第十一講-靜電場(chǎng)1

1、 電電 磁磁 學(xué)學(xué) 電磁學(xué)的研究電磁學(xué)的研究 電磁現(xiàn)象的電磁現(xiàn)象的 基本概念基本概念 和和 基本規(guī)律：基本規(guī)律： 電場(chǎng)和磁場(chǎng)的相互聯(lián)系；電場(chǎng)和磁場(chǎng)的相互聯(lián)系； 電荷、電流產(chǎn)生電場(chǎng)和磁場(chǎng)的規(guī)律；電荷、電流產(chǎn)生電場(chǎng)和磁場(chǎng)的規(guī)律； 電磁場(chǎng)對(duì)電荷、電流的作用；電磁場(chǎng)對(duì)電荷、電流的作用； 電磁場(chǎng)對(duì)物質(zhì)的各種效應(yīng)電磁場(chǎng)對(duì)物質(zhì)的各種效應(yīng)。 電場(chǎng)和磁場(chǎng)電場(chǎng)和磁場(chǎng) 是統(tǒng)一的整體；是統(tǒng)一的整體； 第 8 章靜電場(chǎng) 1.1 電荷電荷 1.2 庫(kù)侖定律與疊加原理庫(kù)侖定律與疊加原理 1.3 電場(chǎng)和電場(chǎng)強(qiáng)度電場(chǎng)和電場(chǎng)強(qiáng)度 1.4 靜止的點(diǎn)電荷的電場(chǎng)及其疊加靜止的點(diǎn)電荷的電場(chǎng)及其疊加 1.5 電場(chǎng)線和電通量電場(chǎng)線和電通量1

2、.6 高斯定律高斯定律1.7 利用高斯定律求靜電場(chǎng)的分布利用高斯定律求靜電場(chǎng)的分布第第 8 章章 靜電場(chǎng)靜電場(chǎng) 1.1電荷電荷 1.2庫(kù)侖定律與疊加原理庫(kù)侖定律與疊加原理 1.3電場(chǎng)和電場(chǎng)強(qiáng)度電場(chǎng)和電場(chǎng)強(qiáng)度庫(kù)侖定律是庫(kù)侖定律是真空中真空中兩個(gè)兩個(gè)靜止的靜止的 點(diǎn)電荷點(diǎn)電荷之間的相互作用力之間的相互作用力rrqqkF221 式中式中 k =9109 N m2/C2 比例常量比例常量041 k通常令通常令（有理化）（有理化）1q2qrFr 041 k式中式中221290/NmC1085. 81094141 k o真空的介電常數(shù)真空的介電常數(shù)“點(diǎn)電荷點(diǎn)電荷”是個(gè)理想化模型。是個(gè)理想化模型。rrqqF

3、412210 庫(kù)侖定律庫(kù)侖定律庫(kù)侖定律只討論兩個(gè)靜止的點(diǎn)電荷之間的作用庫(kù)侖定律只討論兩個(gè)靜止的點(diǎn)電荷之間的作用力，若有力，若有 兩個(gè)以上靜止的點(diǎn)電荷，實(shí)驗(yàn)告訴我們：兩個(gè)以上靜止的點(diǎn)電荷，實(shí)驗(yàn)告訴我們：兩個(gè)點(diǎn)電荷之間的作用力并不因第三個(gè)兩個(gè)點(diǎn)電荷之間的作用力并不因第三個(gè)點(diǎn)電荷的存在而改變。點(diǎn)電荷的存在而改變。 -電力的疊加原理電力的疊加原理 niiFF1靜止的點(diǎn)電荷周?chē)嬖谥环N靜止的點(diǎn)電荷周?chē)嬖谥环N彌散的特殊的物質(zhì)彌散的特殊的物質(zhì),稱為靜電場(chǎng)。處于靜電場(chǎng)中的電荷都受到該電場(chǎng)稱為靜電場(chǎng)。處于靜電場(chǎng)中的電荷都受到該電場(chǎng)的作用力的作用力: 電荷電荷電場(chǎng)電場(chǎng)電荷電荷 （近距作用）（近距作用）q1q

4、2q002FF01F定義定義: 電場(chǎng)強(qiáng)度電場(chǎng)強(qiáng)度0qFEqo正試驗(yàn)電荷正試驗(yàn)電荷（電量足夠小、（電量足夠小、 尺寸足夠?。┏叽缱銐蛐。?是空間坐標(biāo)的函數(shù)是空間坐標(biāo)的函數(shù),它是從它是從“力力”的角度的角度 來(lái)描述電場(chǎng)的物理量。來(lái)描述電場(chǎng)的物理量。E設(shè)有若干個(gè)靜止的點(diǎn)電荷設(shè)有若干個(gè)靜止的點(diǎn)電荷q1、q2、qNNEEE,2, 1則它們同時(shí)存在時(shí)的場(chǎng)強(qiáng)為則它們同時(shí)存在時(shí)的場(chǎng)強(qiáng)為 它們單獨(dú)存在時(shí)的場(chǎng)強(qiáng)分別為它們單獨(dú)存在時(shí)的場(chǎng)強(qiáng)分別為 NiiEE1這稱為這稱為電場(chǎng)疊加原理電場(chǎng)疊加原理。1q2qiq4q3qiEP 1.4 靜止的點(diǎn)電荷的電場(chǎng)及其疊加靜止的點(diǎn)電荷的電場(chǎng)及其疊加一一. . 靜止的點(diǎn)電荷的電場(chǎng)靜止

5、的點(diǎn)電荷的電場(chǎng)rrqqrrqqqFE4142002000 場(chǎng)強(qiáng)與試驗(yàn)電荷場(chǎng)強(qiáng)與試驗(yàn)電荷q0無(wú)關(guān)無(wú)關(guān),確實(shí)反映電場(chǎng)本身的性質(zhì)。確實(shí)反映電場(chǎng)本身的性質(zhì)。靜止的點(diǎn)電荷的電場(chǎng)靜止的點(diǎn)電荷的電場(chǎng):(1)是球?qū)ΨQ的是球?qū)ΨQ的;(2)是與是與 r 平方反比平方反比 的非均勻場(chǎng)。的非均勻場(chǎng)。Fq0qr rPrrqE420 討論：點(diǎn)電荷的電場(chǎng)強(qiáng)度公式討論：點(diǎn)電荷的電場(chǎng)強(qiáng)度公式當(dāng)當(dāng) r 0 時(shí)，時(shí)，E ， 怎么解釋？怎么解釋？答：此時(shí)，答：此時(shí)，點(diǎn)電荷模型已失效，點(diǎn)電荷模型已失效， 所以這個(gè)公式已不能用！所以這個(gè)公式已不能用！二二. .靜止點(diǎn)電荷的電場(chǎng)疊加靜止點(diǎn)電荷的電場(chǎng)疊加設(shè)有若干個(gè)靜止的點(diǎn)電荷設(shè)有若干個(gè)靜止的

6、點(diǎn)電荷q1、q2、qN 它們單獨(dú)存在時(shí)的場(chǎng)強(qiáng)分別為它們單獨(dú)存在時(shí)的場(chǎng)強(qiáng)分別為 則它們同時(shí)存在則它們同時(shí)存在時(shí)的場(chǎng)強(qiáng)為時(shí)的場(chǎng)強(qiáng)為NEEE,2, 1 iioiiNiirrqEE214 點(diǎn)電荷的點(diǎn)電荷的電場(chǎng)強(qiáng)度電場(chǎng)強(qiáng)度公式公式場(chǎng)強(qiáng)疊加場(chǎng)強(qiáng)疊加原理原理任意點(diǎn)電荷系的場(chǎng)強(qiáng)任意點(diǎn)電荷系的場(chǎng)強(qiáng)原則上講：原則上講：可以求得可以求得下面舉下面舉 4個(gè)例子，個(gè)例子，說(shuō)明如何求說(shuō)明如何求 任意點(diǎn)電荷系的場(chǎng)強(qiáng)，任意點(diǎn)電荷系的場(chǎng)強(qiáng)，有的是分散的點(diǎn)電荷，有的是連續(xù)分布的電荷。有的是分散的點(diǎn)電荷，有的是連續(xù)分布的電荷。例例 1. 求電偶極子中垂線上任一點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)求電偶極子中垂線上任一點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)【解】【解】電偶極子模型電偶極子模

7、型：實(shí)際意義：分子實(shí)際意義：分子 (H+Cl-)r l 具有相對(duì)意義。具有相對(duì)意義。 rrlrqEEEo2422 q, -q電偶極子：電偶極子：一對(duì)靠得一對(duì)靠得很近很近的的等量異號(hào)等量異號(hào)點(diǎn)電荷。點(diǎn)電荷。E E Er r r q q Pl r l 時(shí)時(shí) rrrq420 3033444rprl qrrrqoo 其中：其中：qqll qp ：P稱為稱為電偶極矩電偶極矩 rrlrqEEEo2422 對(duì)連續(xù)帶電體的場(chǎng)強(qiáng)對(duì)連續(xù)帶電體的場(chǎng)強(qiáng) qoqrrqEE24 dd體電荷體電荷 dq = dv ：體電荷密度：體電荷密度面電荷面電荷 dq = ds ：面電荷密度：面電荷密度線電荷線電荷 dq = dl ：

8、線電荷密度：線電荷密度 ),(dzyxEExxqdqrEdPr 由對(duì)稱性分析由對(duì)稱性分析 0yyEEd cosddEEEExxrxryrxrq 20204d4d 遇到積分要注意遇到積分要注意:什么是變量什么是變量,什么不是變量！什么不是變量！現(xiàn)在現(xiàn)在y, r 是變量是變量. x不是變量不是變量.將將 r =（x2+y2）1/2 代入代入,并利用對(duì)稱性并利用對(duì)稱性 例例 2.求長(zhǎng)為求長(zhǎng)為 L ,帶電量為帶電量為 q ( 設(shè)設(shè)q 0 ) 的均勻的均勻 帶電細(xì)棒中垂面上的場(chǎng)強(qiáng)帶電細(xì)棒中垂面上的場(chǎng)強(qiáng)【解】【解】這是求連續(xù)帶電體的場(chǎng)強(qiáng)這是求連續(xù)帶電體的場(chǎng)強(qiáng) EdyEdxEdxyqdyrx0LP 2023

9、22042/dLyxyxE 2/02/122202Lyxxyx 2/122202/122041442/2 xLxqLxxL 方向方向:當(dāng)當(dāng) q 0時(shí)時(shí),為為 +x方向方向當(dāng)當(dāng) q L時(shí)時(shí),即場(chǎng)點(diǎn)在遠(yuǎn)離直線即場(chǎng)點(diǎn)在遠(yuǎn)離直線 的地方的地方,物理上可以認(rèn)為該直線物理上可以認(rèn)為該直線 是一個(gè)點(diǎn)電荷是一個(gè)點(diǎn)電荷204xqE 2/12220414 xLxqE 這時(shí)這時(shí)x 0） 的細(xì)園環(huán)軸線上任一點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)。的細(xì)園環(huán)軸線上任一點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)?！窘狻俊窘狻扛鶕?jù)對(duì)稱性根據(jù)對(duì)稱性 的分析的分析 cosdd20114rqEE 2/32202044cosxRqxrq 方向方向: + x rEdR0qdxqxEdEdP例例 4

10、. 求半徑為求半徑為 R,均勻帶電圓面的軸線上任一點(diǎn)的均勻帶電圓面的軸線上任一點(diǎn)的 場(chǎng)強(qiáng)。設(shè)面電荷密度為場(chǎng)強(qiáng)。設(shè)面電荷密度為 （設(shè)（設(shè) 0）dq = 2 r dr 2322042/ddxrxrrE 各個(gè)細(xì)圓環(huán)各個(gè)細(xì)圓環(huán)在在P點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)方向都相同方向都相同 RxrrrxEE0232202/dd 【解】【解】利用上例的結(jié)果，利用上例的結(jié)果， 2/32204xRqxE EdR0qdxqxPrrd討論討論 1:對(duì)對(duì) x R 時(shí)時(shí), 則利用泰勒公式則利用泰勒公式 212221221111/xRxxR 22211xRx 22211xRx2020244xqxRE 在在遠(yuǎn)離遠(yuǎn)離帶電圓面處帶電圓面處 的電

11、場(chǎng)也相當(dāng)于一的電場(chǎng)也相當(dāng)于一 個(gè)點(diǎn)電荷的電場(chǎng)。個(gè)點(diǎn)電荷的電場(chǎng)。xR 1.5 電場(chǎng)線和電通量電場(chǎng)線和電通量一一. .電場(chǎng)（力）線電場(chǎng)（力）線形象地描述電場(chǎng)的性質(zhì)。形象地描述電場(chǎng)的性質(zhì)。畫(huà)法規(guī)定畫(huà)法規(guī)定: :（1）方向）方向電力線上每點(diǎn)的切線方向電力線上每點(diǎn)的切線方向 就是該點(diǎn)場(chǎng)強(qiáng)的方向。就是該點(diǎn)場(chǎng)強(qiáng)的方向。（2）密度密度通過(guò)某點(diǎn)處垂直于通過(guò)某點(diǎn)處垂直于 的單位面積的單位面積 的電力線條數(shù)與該點(diǎn)場(chǎng)強(qiáng)的大小成正比的電力線條數(shù)與該點(diǎn)場(chǎng)強(qiáng)的大小成正比 （通常取比例系數(shù)為（通常取比例系數(shù)為1）。）。E SE線線切線切線 E幾種電荷的幾種電荷的 線分布線分布E帶正電的帶正電的 電偶極子電偶極子均勻帶電均勻帶

12、電的直線段的直線段點(diǎn)電荷點(diǎn)電荷形象地給出各點(diǎn)場(chǎng)強(qiáng)的方向，各處場(chǎng)強(qiáng)的強(qiáng)弱。形象地給出各點(diǎn)場(chǎng)強(qiáng)的方向，各處場(chǎng)強(qiáng)的強(qiáng)弱。二二. .電通量電通量定義定義: 通過(guò)任一給定面積的電力線條數(shù)稱通過(guò)任一給定面積的電力線條數(shù)稱 為通過(guò)該面積的電通量為通過(guò)該面積的電通量,用用 e 表示。表示。 在均勻電場(chǎng)中在均勻電場(chǎng)中,通過(guò)面積通過(guò)面積S的的 電通量為電通量為 e = ES通過(guò)任一平面通過(guò)任一平面S的電通量為的電通量為 e = E Scos 注意：注意：1.e是對(duì)面而言，不是點(diǎn)函數(shù)。是對(duì)面而言，不是點(diǎn)函數(shù)。 2.e 是代數(shù)量，有正、負(fù)（見(jiàn)后）。是代數(shù)量，有正、負(fù)（見(jiàn)后）。 E SSn 在非均勻電場(chǎng)中在非均勻電場(chǎng)中

13、,通過(guò)通過(guò) 任一面積任一面積S的電通量為的電通量為 SEdcosdee 通過(guò)任一封閉面通過(guò)任一封閉面S的電通量為的電通量為SESEddcose 對(duì)閉合曲面，約定以對(duì)閉合曲面，約定以向外為正方向。向外為正方向。在電力線穿出處在電力線穿出處, 900 電通量為負(fù)。電通量為負(fù)。Sd注意：注意： 的大小和方向，的大小和方向， n ESSd 1 900， 電通量為負(fù)電通量為負(fù) 1 21n 2n 1E2E1.6 高斯定律高斯定律（Gausss Law）高斯定律是反映靜電場(chǎng)性質(zhì)的一個(gè)基本定律。高斯定律是反映靜電場(chǎng)性質(zhì)的一個(gè)基本定律。它是關(guān)于靜電場(chǎng)中閉合曲面的電通量的定律。它是關(guān)于靜電場(chǎng)中閉合曲面的電通量的定

14、律。 一一. . 高斯定律的表述高斯定律的表述: : 在真空中的靜電場(chǎng)內(nèi)在真空中的靜電場(chǎng)內(nèi),通過(guò)任意閉合曲面通過(guò)任意閉合曲面 （稱為高斯面）的電通量，等于該曲面所（稱為高斯面）的電通量，等于該曲面所 包圍電量的代數(shù)和除以包圍電量的代數(shù)和除以 0,即即Sq內(nèi)內(nèi)Esd 0 內(nèi)內(nèi)qSEde（S）E為為 處的處的 sdE注意：高斯面上各點(diǎn)都有自己注意：高斯面上各點(diǎn)都有自己的的 ；公式中；公式中E二二. . 高高斯定律的證明斯定律的證明: :1.通過(guò)點(diǎn)電荷通過(guò)點(diǎn)電荷q為球心的為球心的球面球面的電通量的電通量 等于等于q/ 0 SEde 020204141 qSrqnSrrq dd點(diǎn)電荷的點(diǎn)電荷的 電通量

15、與球面的半徑電通量與球面的半徑 無(wú)關(guān)。無(wú)關(guān)。En r rSdqS 注意注意: 得到這個(gè)結(jié)果是與庫(kù)侖定律的得到這個(gè)結(jié)果是與庫(kù)侖定律的 平方反比平方反比分不開(kāi)的。分不開(kāi)的。2.通過(guò)包圍點(diǎn)電荷通過(guò)包圍點(diǎn)電荷 q 的的任意封閉曲面任意封閉曲面的的 電電 通量都等于通量都等于q/ 0這是因?yàn)辄c(diǎn)電荷這是因?yàn)辄c(diǎn)電荷q 的的 電力線是連續(xù)地電力線是連續(xù)地 延伸到無(wú)限遠(yuǎn)延伸到無(wú)限遠(yuǎn)的緣故。的緣故。qS3.通過(guò)不包圍點(diǎn)電荷通過(guò)不包圍點(diǎn)電荷 q 的任意封閉曲面的的任意封閉曲面的 電通電通量都量都 等于等于0。注意注意:通過(guò)封閉曲面通過(guò)封閉曲面S2的電通量等于的電通量等于0， 而而封閉曲面封閉曲面 S2上各點(diǎn)處的場(chǎng)強(qiáng)

16、上各點(diǎn)處的場(chǎng)強(qiáng) 并不等于并不等于0。這也是因?yàn)檫@也是因?yàn)辄c(diǎn)電荷點(diǎn)電荷q 的的 電力線是連續(xù)地電力線是連續(xù)地延伸到無(wú)限遠(yuǎn)延伸到無(wú)限遠(yuǎn)的緣故。的緣故。q1S2S4.推廣到多個(gè)點(diǎn)電荷的情形推廣到多個(gè)點(diǎn)電荷的情形 SEEEESEdde 2121 002010 內(nèi)內(nèi)qqq SEESEEd)(d 2121作任意封閉曲面（高斯面）作任意封閉曲面（高斯面） ，S有些電荷在高斯面內(nèi)，有些電荷在高斯面外，有些電荷在高斯面內(nèi)，有些電荷在高斯面外，內(nèi)內(nèi)外外1q 1q2q 2qS 同理同理,對(duì)電荷連續(xù)分布的帶電體對(duì)電荷連續(xù)分布的帶電體,可將它分成許多可將它分成許多電荷元電荷元,一樣可以證明高斯定律是正確的。一樣可以證明

17、高斯定律是正確的。注意：注意： 0 內(nèi)內(nèi)qSEde從上面的證明可以看出：從上面的證明可以看出：高斯定律中的高斯定律中的 ，是高斯面是高斯面內(nèi)、外內(nèi)、外全部電荷在全部電荷在高斯面上各處的高斯面上各處的 ; 而而 q內(nèi)內(nèi)只是對(duì)高斯面只是對(duì)高斯面內(nèi)內(nèi)的的電荷求和。電荷求和。EE說(shuō)明：說(shuō)明：1. 高斯定理是平方反比定律的必然結(jié)果；高斯定理是平方反比定律的必然結(jié)果；2. 由由 的值決定，與的值決定，與 分布無(wú)關(guān)；分布無(wú)關(guān)；e內(nèi)內(nèi) q內(nèi)內(nèi)q3. 高斯面為幾何面，高斯面為幾何面， q內(nèi)內(nèi) 和和 q外外 總能分清；總能分清；庫(kù)侖定律只適用于靜電場(chǎng)，庫(kù)侖定律只適用于靜電場(chǎng)，高斯定理高斯定理不僅適用于靜電場(chǎng)，不僅適用于靜電場(chǎng)，還適用于變化的電場(chǎng)。還適用于變化的電場(chǎng)。以后可知：以后可知： 三三. . 高斯定律的應(yīng)用舉例高斯定律的應(yīng)用舉例1.定性定性分析一些問(wèn)題分析一些問(wèn)題例如例如 . 分析電力線的性質(zhì)分析電力線的性質(zhì)電力線總是從正電荷發(fā)出，終止于負(fù)電荷電力線總是從正電荷發(fā)出，終止于負(fù)電荷;無(wú)電荷處不中斷。無(wú)電荷處不中斷。若若P點(diǎn)無(wú)電荷，點(diǎn)無(wú)電荷， SsE0d則有：則有：即即 N入入 = N出出， 靜電場(chǎng)稱為靜電場(chǎng)稱為有源場(chǎng)。有源場(chǎng)。E線連續(xù)。線連續(xù)。P點(diǎn)處點(diǎn)處SP帶電系統(tǒng)帶電系統(tǒng)多余的正電荷多余的正電荷發(fā)出發(fā)出的電力線將指向系統(tǒng)