第一章極限與連續(xù)ppt課件

1、高等數(shù)學(xué)江門職業(yè)技術(shù)學(xué)院主講教師：駱文輝：68189E-mail:xxlwhh1631.2 1.2 極限的定義極限的定義1.4極限的運算極限的運算1.6 1.6 函數(shù)的連續(xù)性函數(shù)的連續(xù)性第一章第一章 極限與連續(xù)極限與連續(xù) 1.1 1.1 函數(shù)函數(shù) 1函數(shù)的定義函數(shù)的定義 定義定義 1 1 設(shè)有兩個變量設(shè)有兩個變量 x和和 y， 若當(dāng)變量， 若當(dāng)變量 x在實數(shù)在實數(shù)的某一范圍的某一范圍 D 內(nèi)，任意取定一個數(shù)值時，變內(nèi)，任意取定一個數(shù)值時，變量量 y按照一按照一定的規(guī)律定的規(guī)律f，有惟一確定的值與之對應(yīng)，則稱，有惟一確定的值與之對應(yīng)，則稱 y是是 x 的的函數(shù)函數(shù), ,記作記作y= =)(xf，

2、 xD，其中變量，其中變量 x稱為自變量，變稱為自變量，變量量 y稱為函數(shù)（或因變量） 自變量的取值范圍稱為函數(shù)（或因變量） 自變量的取值范圍 D 稱為稱為函數(shù)的定義域函數(shù)的定義域 一一) )、 函數(shù)的概念函數(shù)的概念若若對對于于確確定定的的Dx 0， 通通過過對對應(yīng)應(yīng)規(guī)規(guī)律律f， 函函數(shù)數(shù)y有有惟惟一一確確定定的的值值0y相相對對應(yīng)應(yīng)，則則稱稱 0y為為 )(xfy 在在 0 x處處的的函函數(shù)數(shù)值值，記記作作)(000 xfyyxx. . 函函數(shù)數(shù)值值的的集集合合，稱稱為為函函數(shù)數(shù)的的值值域域，記記作作 M. . 2.函數(shù)的兩個要素 函數(shù)的對應(yīng)規(guī)律和定義域稱為函數(shù)的兩個要素. （對應(yīng)規(guī)律 例例

3、 1 1 )(xf=2 =2 x2 2+3+3 1x 就是一個特定的函數(shù)，就是一個特定的函數(shù)，f確定的對應(yīng)規(guī)律為：確定的對應(yīng)規(guī)律為： f（ ）=2( )2+3( )1 . 解解 .2)2sin(2)2(2fyx 例例 3 3 設(shè)設(shè)f( (x+1)=+1)= x2 2- -3 3 x，求求)(xf. . 解解 令令tx1，則則, 1 tx 所所以以 , 45) 1(3) 1()(22tttttf 所所以以 )(xf= =. 452 xx （定義域（定義域 解解 這是兩個函數(shù)之和的定義域，先分別求出每個函這是兩個函數(shù)之和的定義域，先分別求出每個函數(shù)的定義域數(shù)的定義域, 然后求其公共部分即可然后求其

4、公共部分即可 3. 3. 函數(shù)的表示法：表格法、圖像法及公式法函數(shù)的表示法：表格法、圖像法及公式法 函數(shù)可以用至少三種不同的方法來表示：表格法、圖函數(shù)可以用至少三種不同的方法來表示：表格法、圖像法和公式法像法和公式法 解解 (1) y= = 2lnx與與y= = 2 2lnx不不是是相相同同的的函函數(shù)數(shù),因因為為定定義義域域不不同同. (2) = =u與與y= =x是是相相同同的的函函數(shù)數(shù),因因為為對對應(yīng)應(yīng)規(guī)規(guī)律律與與定定義義域域均均相相同同. 例例 6 6 中中央央電電視視臺臺每每天天都都播播放放天天氣氣預(yù)預(yù)報報， 經(jīng)經(jīng)統(tǒng)統(tǒng)計計， 某某地地 1 19 99 99 9 年年 9 9 月月 1

5、19 9 日日2 29 9 日日每每天天的的最最高高氣氣溫溫如如下下表表所所示示 這這個個表表格格確確實實表表達(dá)達(dá)了了溫溫度度是是日日期期的的函函數(shù)數(shù)，這這里里不不存存在在任任何何計計算算溫溫度度的的公公式式（否否則則就就不不需需要要氣氣象象局局了了） ，但但是是每每一一天天都都會會產(chǎn)產(chǎn)生生出出一一個個惟惟一一的的最最高高氣氣溫溫，對對每每個個日日期期 t，都都有有惟惟一一個個與與 t 相相應(yīng)應(yīng)的的惟惟一一最最高高氣氣溫溫 N 日期日期(9月月)1920212223242526272829最高氣溫最高氣溫/28282725242627252322215.3, 63, 31, 3, 10,3xx

6、xxx)(xf該函數(shù)該函數(shù)f( ( x) )的定義域為的定義域為 D= =0 0，5 5 ，但它在定義域內(nèi) ，但它在定義域內(nèi)不同的區(qū)間上是用不同解析式來表示的，這樣的函數(shù)稱為不同的區(qū)間上是用不同解析式來表示的，這樣的函數(shù)稱為分段函數(shù)分段函數(shù)是定義域上的一個函數(shù)分段函數(shù)分段函數(shù)是定義域上的一個函數(shù), ,不要理解為多不要理解為多個函數(shù)，分段函數(shù)個函數(shù)，分段函數(shù)需要分段求值，分段作圖需要分段求值，分段作圖 解解 該該分分段段函函數(shù)數(shù)的的圖圖形形如如上上圖圖所所示示 -1 1 2 1 2 f(x) x O ,3, 0)(2xxxf. 21, 10, 01xxxD M f 定義定義 2 2 設(shè)設(shè)D與與M

7、分別是兩個數(shù)集，存在對應(yīng)律分別是兩個數(shù)集，存在對應(yīng)律 f , ,若若對對D中的每一個數(shù)中的每一個數(shù) x，通過對應(yīng)規(guī)律，通過對應(yīng)規(guī)律 f，集合，集合 M中都有中都有惟惟一一確定的數(shù)確定的數(shù) y 與之對應(yīng)與之對應(yīng), ,則稱則稱 y為從為從 D到到 M的函數(shù)（也的函數(shù)（也稱為映射）稱為映射）, ,記作記作 MDf:, ,其中其中 D稱為函數(shù)稱為函數(shù) f 的定義的定義域域, , D中的每一個中的每一個 x 根據(jù)對應(yīng)規(guī)律根據(jù)對應(yīng)規(guī)律 f對應(yīng)于一個對應(yīng)于一個 y， 記記作作 y= =)(xf, , 稱為函數(shù)稱為函數(shù) f在在 x的函數(shù)值，全體函數(shù)值的集的函數(shù)值，全體函數(shù)值的集合合 MDxxfyyw),( 稱

8、為函數(shù)稱為函數(shù)f的值域，的值域，x 稱為稱為 f的自變量，的自變量，y 稱為因變量，稱為因變量， 如右圖所示如右圖所示 有界性有界性 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù))(xf在某區(qū)間在某區(qū)間 I上有定義，若存在正數(shù)上有定義，若存在正數(shù) M，使得使得Mxf)(，則稱，則稱)(xf在在 I上有界上有界. . 單調(diào)性單調(diào)性 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù))(xf在某區(qū)間在某區(qū)間 I上有定義， 對于區(qū)間上有定義， 對于區(qū)間 I內(nèi)任內(nèi)任意兩點意兩點x1 1，x2 2，當(dāng)當(dāng) 21xx 時，有時，有)()(21xfxf，則，則稱稱)(xf在在I上單調(diào)增加，區(qū)間上單調(diào)增加，區(qū)間 I稱為單調(diào)增區(qū)間；稱為單調(diào)增區(qū)間；若若 )()(21xfxf則稱則稱

9、)(xf在在 I上單調(diào)減少，區(qū)間上單調(diào)減少，區(qū)間 I稱為單調(diào)減區(qū)間稱為單調(diào)減區(qū)間. . 奇偶性奇偶性 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù))(xf在某區(qū)間在某區(qū)間 I上有定義，上有定義，I為關(guān)于原點對為關(guān)于原點對稱的區(qū)間，若對于任意稱的區(qū)間，若對于任意 Ix，都有都有 )( xf = =)(xf，則稱則稱f( (x) )為偶函數(shù)； 若為偶函數(shù)； 若f( (- - x) )= = - -)(xf， 則稱則稱 )(xf為奇函數(shù)為奇函數(shù). . 二、二、 函數(shù)的幾種特性函數(shù)的幾種特性周期性周期性 設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù))(xf在在某某區(qū)區(qū)間間 I上上有有定定義義， 若若存存在在不不為為零零的的數(shù)數(shù) T, ,使使得得對對于于任任意意Ix

10、, ,都都有有)()(xfTxf，則則稱稱 )(xf為為周周期期函函數(shù)數(shù)，通通常常所所說說的的周周期期函函數(shù)數(shù)的的周周期期是是指指它它的的最最小小正正周周期期 三、反函數(shù)三、反函數(shù) 1-1 基本初等函數(shù)表表1.1 冪函數(shù)冪函數(shù)函數(shù)a=1a=2a=1/2a=-1圖像定義域(-,+)(-,+)0,+) (-,0) (0,+) 值 域(-,+)0,+)0,+)(-,0) (0,+) 奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)非奇非偶奇函數(shù)單調(diào)性單調(diào)增(-,0內(nèi)遞減0,+)內(nèi)遞增單調(diào)增(-,0) 和 (0,+)內(nèi)分別遞減 1-1 基本初等函數(shù)-1-0.50.51-1-0.50.51-1-0.50.510.20.40.60.8

11、10.20.40.60.810.20.40.60.81-1-0.50.51-100-75-50-25255075江門職業(yè)技術(shù)學(xué)院 1-1 基本初等函數(shù)表表1.2 指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)函數(shù)y=ax (a0,a)y=logax (a0,a)a10a10a0)解我們可先畫出的圖像，再對 應(yīng)同個x將x2與x-1相迭加。取點列表: xxy12xyxy12和x0y12xxy12X1/41/213/22 X2+x-165/169/4235/129/2y=1/xy=x21/229/235/123/2江門職業(yè)技術(shù)學(xué)院 1-2 來自原來函數(shù)的新函數(shù) 復(fù)合而成的復(fù)合函數(shù)。是xuuyxycos,cos

12、 1-2 來自原來函數(shù)的新函數(shù)江門職業(yè)技術(shù)學(xué)院 1-2 來自原來函數(shù)的新函數(shù)v21x 例2將下列各函數(shù)表示成x的復(fù)合函數(shù)： (1) (2)解(1) (2)例3指出下列函數(shù)的復(fù)合過程：(1) (2)解(1) y=cos u，u= ，v= (2) xuuysin1,xevvuuy,1,ln2)1ln(),)(1ln()1ln(ln222xxeyevuy即21cosxyxey2tanxvvueyutan,2xuuysin1xsin1y21cosxy江門職業(yè)技術(shù)學(xué)院v1 1 數(shù)數(shù)列列的的概概念念 設(shè)自變量為正整數(shù)的函數(shù)設(shè)自變量為正整數(shù)的函數(shù)), 2 , 1)( nnfun，其，其函 數(shù) 值 按 自 變

13、 量函 數(shù) 值 按 自 變 量n由 小 到 大 排 列 成 一 列 數(shù)由 小 到 大 排 列 成 一 列 數(shù) ,321nuuuu 稱為數(shù)列，將其簡記為稱為數(shù)列，將其簡記為 nu，其中，其中 nu為數(shù)列為數(shù)列 nu的通項或一般項的通項或一般項 例例如如 nnu21，相相應(yīng)應(yīng)的的數(shù)數(shù)列列為為 ,21,21,21,2132n 2 2 數(shù)列的極限數(shù)列的極限一、數(shù)列的極限一、數(shù)列的極限1.2極限的定義極限的定義例.求極限01lim(1)nn01lim(1)nn解:列表可得當(dāng) 變化如下表:n12510100104106xn22.252.488 2.59372.70492.71812.718280從表可得,

14、上式無限接近于常數(shù)e例例 3 3 觀觀察察下下列列數(shù)數(shù)列列的的極極限限： ( (1 1) ) 1nnun： ( (2 2) ) nnu21： ( (3 3) ) 12 nun： ( (4 4) ) 1) 1(nnu 解解 觀察數(shù)列在觀察數(shù)列在n時的發(fā)展趨勢，得時的發(fā)展趨勢，得 （ 1 1 ） 對 于 數(shù) 列對 于 數(shù) 列1nnun， 即， 即,.1,.,43,32,21nn極 限極 限11limnnn； （2 2） 對于數(shù)列對于數(shù)列nnu21， 即， 即,.21,.,21,21,2132n極限極限021limnn； （ 3 3 ） 對 于 數(shù) 列） 對 于 數(shù) 列12 nun， 即， 即,.1

15、2,.,7 , 5 , 3n極 限極 限) 12(limnn不存在不存在； （4 4）對于數(shù)列）對于數(shù)列1) 1(nnu，即，即,.) 1(,.,1 , 1, 11n極限極限1) 1(limnn不存在不存在 極限是微積分的基礎(chǔ)，是一種重要的思想和方法。當(dāng) 時，函數(shù)f(x)的極限定義2：設(shè)函數(shù)y=f(x),當(dāng)|x|無限增大時,f(x)趨于一個確定的常數(shù)A,則稱A為函數(shù)f(x)當(dāng) 時的極限，記說明：例、當(dāng) 時，討論 的極限。解:(右圖) 所以xx.)(limAxfxAxfxfAxfxxx)(lim)(lim)(limxxf1)(x0 xy；時，當(dāng)01xx；時，當(dāng)01xx.01limxx二、函數(shù)的極

16、限二、函數(shù)的極限O 1 -1 x 1 1 ) ( 2 x x x g y 圖圖 圖圖O1-1(1,2)xyf(x)=x+10 xx時時函函數(shù)數(shù)( )f x的的極極限限 由該定義可知由該定義可知, , 討論函數(shù)討論函數(shù)( )f x在在 0 x處的右極限處的右極限0lim( )xxf xA時，在自變量時，在自變量 x無限接近于無限接近于 0 x的過程中，恒的過程中，恒有有0 xx . .于是有于是有 00lim( )lim( )xxxxf xf xA. . 000lim ( )()( )().xxf xAf xAf xA xx，或3 3 0 xx時時函函數(shù)數(shù))(xf的的極極限限 由 該 定 義 知

17、由 該 定 義 知 , , 討 論 函 數(shù)討 論 函 數(shù))(xf在在0 x處 的處 的 左 極 限左 極 限Axfxx)(lim0時，在自變量時，在自變量 x無限接近于無限接近于0 x的過程中，恒的過程中，恒有有0 xx , ,于是有于是有 Axfxfxxxx)(lim)(lim00. . .)(lim)(lim00Axfxfxxxx解解 )(xf的的圖圖形形如如圖圖 3 3( (見見下下頁頁) )所所示示，由由該該圖圖不不難難看看出出： 0)(lim0 xfx；0)(lim0 xfx；0)(lim0 xfx. . y O 1 -1 x 1 圖圖 3 3 O x y x e y O x y x

18、 y 1 1 1 無無窮窮小小量量的的定定義義 說說明明（1 1）數(shù)數(shù)零零是是惟惟一一可可作作為為無無窮窮小小的的常常數(shù)數(shù). . （2 2） 無無窮窮小小表表達(dá)達(dá)的的是是量量的的變變化化狀狀態(tài)態(tài)， 而而不不是是量量的的大大小小一一個個量量不不管管多多么么小小，都都不不能能是是無無窮窮小小量量，零零是是惟惟一一例例外外的的即即無無窮窮小小量量是是絕絕對對值值無無限限變變小小且且趨趨于于零零的的量量 解解 ( (1 1) ) 因因為為011limxx，所所以以當(dāng)當(dāng)x時時， 11x為為無無窮窮小??； ( (2 2) ) 因因為為0) 12(lim21xx，所所以以當(dāng)當(dāng)21x時時， 12 x 為為無無

19、窮窮小??； ( (3 3) ) 因因為為02limxx，所所以以當(dāng)當(dāng)x時時， x2為為無無窮窮小小； ( (4 4) ) 因因為為041limxx， 所所以以當(dāng)當(dāng)x時時， x41為為無無窮窮小小 2 2 極極限限與與無無窮窮小小量量之之間間的的關(guān)關(guān)系系 設(shè)設(shè)Axfxx)(lim0，即即0 xx 時時，函函數(shù)數(shù)值值)(xf無無限限接接近近于于常常數(shù)數(shù) A，也也就就是是說說Axf)(無無限限接接近近于于常常數(shù)數(shù)零零，即即0 xx 時時， Axf)(以以零零為為極極限限，也也就就是是說說0 xx 時時， Axf)(為為無無窮窮小小量量，若若記記Axfx)()(，則則有有)()(xAxf，于于是是有有

20、 解解因為因為1)11 (lim1lim)(limxxxxfxxx，而，而xxxxf111)(中的中的x1為為x時的無窮小量，所以，時的無窮小量，所以，xxf11)(為所求極限值與一個無窮小量之和的形式為所求極限值與一個無窮小量之和的形式 3 3 無無窮窮小小量量的的運運算算性性質(zhì)質(zhì) 說說明明：無無窮窮多多個個無無窮窮小小量量的的代代數(shù)數(shù)和和未未必必是是無無窮窮小小量量. .如如n時時 ，,2,122nn 2nn均均 為為 無無 窮窮 小小 量量 ， 但但21)2121(lim2) 1(lim)21(lim2222nnnnnnnnnnn. . 推推論論 1 1 常常數(shù)數(shù)與與無無窮窮小小的的積積

21、是是無無窮窮小小 推推論論 2 2 有有限限個個無無窮窮小小的的積積仍仍是是無無窮窮小小 說說明明：兩兩個個無無窮窮小小之之商商未未必必是是無無窮窮小小. .如如0 x時時，x 與與 2x 皆皆為為無無窮窮小小，但但由由22lim0 xxx知知 xx2當(dāng)當(dāng)0 x時時不不是是無無窮窮小小 1 1 無無窮窮大大量量的的定定義義 如 果 函 數(shù)如 果 函 數(shù))(xf是是0 xx 時 的 無 窮 大 ， 記 作時 的 無 窮 大 ， 記 作)(lim0 xfxx；如果；如果)(xf是是0 xx 時的正無窮大，記作時的正無窮大，記作)(lim0 xfxx；如果；如果)(xf是是0 xx 時的負(fù)無窮大，記

22、作時的負(fù)無窮大，記作)(lim0 xfxx 對于自變量對于自變量 x 的其的其他變換過程中的無他變換過程中的無窮大量，正無窮大量，負(fù)無窮大量窮大量，正無窮大量，負(fù)無窮大量可用類似的方法描可用類似的方法描 4.無窮大量無窮大量述述 值值得得注注意意的的是是，無無窮窮大大量量是是極極限限不不存存在在的的一一種種情情形形，這這里里借借用用極極限限的的記記號號，但但并并不不表表示示極極限限存存在在 例例 x1是是 0 x時的負(fù)無窮大量；用記號表示為時的負(fù)無窮大量；用記號表示為 ,1lim0 xx 2x是是x時的正無窮大量，用記號表時的正無窮大量，用記號表示為示為 2limxx. . 2 2 無無窮窮大

23、大與與無無窮窮小小的的關(guān)關(guān)系系 (1) (1) 11xy； (2)(2) 12 xy； (3) (3) xyln； (4)(4) xy2 解解 ( (1 1) )因因為為0) 1(lim1xx， 即即1x時時 1x為為無無窮窮小小量量，所所以以11x為為1x時時的的無無窮窮大大量量； (2) (2) 因為因為0)121(limxx，所以，所以x時時121x為無窮為無窮小量，所以小量，所以12 x為為x時的無窮大量；時的無窮大量； (3) (3) 由右圖知，由右圖知， 0 x時，時，xln，xxlnlim0 x時 ，時 ，xln， 即， 即xxlnlim 所以，所以， 0 x 及及x時，時，xl

24、n都是無窮大量；都是無窮大量； O y x 1 x y ln ( (4 4) )因因為為02limxx，即即x時時x2為為無無窮窮小小量量，因因此此xx221為為x時時的的無無窮窮大大量量； 定定義義 設(shè)設(shè)某某一一極極限限過過程程中中, , 與與 都都是是無無窮窮小小, ,且且 Clim（C為為常常數(shù)數(shù)）. . ( (1 1) )若若0C，則則稱稱 是是比比 高高階階的的無無窮窮小小，記記成成)(ao ( (此此時時，也也稱稱 是是比比 低低階階的的無無窮窮小小) ) ( (2 2) )若若0C， 則則稱稱 與與 是是同同階階無無窮窮小小， 特特別別地地，若若1C，則則稱稱 與與 是是等等價價

25、無無窮窮小小，記記為為 例例如如，1sinlim0 xxx即即)0(sinxxx； 12cos1lim20 xxx即即)0(2cos12xxx 三、無窮小的比較三、無窮小的比較 定定理理 設(shè)設(shè),) 1 (aa； ),(lim)2(或Aa 則則)(limlim或Aaa ).(limlimlimlimlimlim或Aaaaaaaaa 證證思考題思考題1.1.下列運算錯在何處：下列運算錯在何處： ; 01coslim01coslimsinlim1cossinlim) 1 (0000 xxxxxxxxx22222lim(2)lim.2lim(2)xxxxxxx 2 2. .兩兩個個無無窮窮大大的的和和

26、仍仍為為無無窮窮大大嗎嗎? ?試試舉舉例例說說明明. . 性質(zhì)性質(zhì) 1 1 ( (惟一性惟一性) ) 若若Axfxx)(lim0，Bxfxx)(lim0，則則BA . . 性性質(zhì)質(zhì) 2 2 ( (有有界界性性) ) 若若Axfxx)(lim0，則則存存在在 0 x的的某某一一空空心心鄰鄰域域),(0 xN，在在),(0 xN內(nèi)內(nèi)函函數(shù)數(shù))(xf有有界界 一、極限的性質(zhì)一、極限的性質(zhì)1.4 極限的運算法則極限的運算法則性質(zhì)性質(zhì) 3 3 ( (保號性保號性) ) 若若Axfxx)(lim0且且 0A( (或或 0A) )，則存在某個，則存在某個空心鄰域空心鄰域),(0 xN，在，在),(0 xN內(nèi)

27、內(nèi)0)(xf ( (或或0)(xf) ) 上述性質(zhì)，若把上述性質(zhì)，若把0 xx 換成自變量換成自變量 x的其他變化過的其他變化過程，有類似的結(jié)論成立程，有類似的結(jié)論成立 法則法則 )(lim)(lim)()(limxgxfxgxf 法法則則 )(lim)(lim)()(limxgxfxgxf 法則法則 )(lim)(lim)()(limxgxfxgxf ).0)(limxg 下下面面我我們們來來證證明明法法則則，其其他他證證法法類類同同 二、極限的四則運算法則二、極限的四則運算法則證證 設(shè)設(shè)BxgAxf)(lim,)(lim，則則知知 BxgAxf)(,)(（ ，都都是是無無窮窮小小量量） 于

28、于是是 )()()()(BAABBAxgxf 由由無無窮窮小小的的性性質(zhì)質(zhì)知知 BA仍仍為為無無窮窮小小，再再由由極極限限與與無無窮窮小小的的關(guān)關(guān)系系，得得 )()(limxgxfAB= =)(lim)(limxgxf 解解 當(dāng)當(dāng)4x時時，分分子子分分母母都都為為，故故可可約約去去公公因因式式 （4x） .3113lim)4)(1()4)(3(lim45127lim44224xxxxxxxxxxxxx解解 32213312lim2332lim2222xxxxxxxxxx 一一般般地地 ., 0,lim00110110nmnmbanmbxbxbaxaxammmnnnx當(dāng)當(dāng)當(dāng)解解 (1) (1)

29、當(dāng)當(dāng)1x時時, ,上式兩項極限均為不存在上式兩項極限均為不存在( (呈現(xiàn)呈現(xiàn)形式形式),),我們可以先通分我們可以先通分, ,再求極限再求極限. . . 112lim)1)(1 ()1)(2(lim)1)(1 ()1 (3lim)1113(lim212122131xxxxxxxxxxxxxxxxxxx.21111lim) 11(lim) 11() 11)(11(lim11lim0000 xxxxxxxxxxxxxx( (3 3) ) 因因為為當(dāng)當(dāng)x時時, , xxcos極極限限不不存存在在, ,也也不不能能直直接接用用極極限限法法則則, ,注注意意到到xcos有有界界( (因因為為|cos|x

30、1 1) ), ,又又 , 01lim1lim23xxxxxxxx( (2 2) ) 當(dāng)當(dāng)0 x時時, ,分分子子分分母母極極限限均均為為零零( (呈呈現(xiàn)現(xiàn) 00形形式式) ), ,不不能能直直接接用用商商的的極極限限法法則則, ,這這時時, ,可可先先對對分分子子有有理理化化, ,然然后后再再求求極極限限. . 根據(jù)有界乘無窮小仍是無窮小的性質(zhì)根據(jù)有界乘無窮小仍是無窮小的性質(zhì), ,得得 . 01coslim1coslim33xxxxxxxx小結(jié)：小結(jié)： (1 (1) )運用極限法則時運用極限法則時, ,必須注意只有各項必須注意只有各項極限存在極限存在( (除式除式, ,還要分母極限不為零還要

31、分母極限不為零) )才能適用；才能適用； ( (2 2) )如如果果所所求求極極限限呈呈現(xiàn)現(xiàn) 00, ,等等形形式式不不能能直直接接用用極極限限法法則則, ,必必須須先先對對原原式式進(jìn)進(jìn)行行恒恒等等變變形形( (約約分分, ,通通分分, ,有有理理化化，變變量量代代換換等等) )，然然后后再再求求極極限限 ( (3 3) )利利用用無無窮窮小小的的運運算算性性質(zhì)質(zhì)求求極極限限. . 1. 1. 1sinlim0 xxx 證明證明 作單位圓如下圖所示作單位圓如下圖所示, ,取取xAOB (rad)(rad), ,于于是 有是 有 ：BC,sin xABx, ,xADtan. . 由 圖 得由 圖

32、 得OADOABOABSSS扇形, , 即即 xxxtan2121sin21 得得 xxxtansin, ,從從而而 有有1sincosxxx. . D A B C O x 1.5 兩個重要極限兩個重要極限上述不等式是當(dāng)上述不等式是當(dāng)20 x時得到的時得到的, ,但因當(dāng)?shù)虍?dāng) x用用x代換時代換時xcos, ,xxsin都不變號都不變號, ,所以所以 x為負(fù)時為負(fù)時, ,關(guān)系式關(guān)系式也成立也成立. . 因因為為1coslim0 xx, ,又又11lim0 x, ,由由極極限限的的夾夾逼逼準(zhǔn)準(zhǔn)則則知知介介于于它它們們之之間間的的函函數(shù)數(shù)xxsin當(dāng)當(dāng)0 x時時, ,極極限限也也是是 1 1. .

33、 這這樣樣就就證證明明了了1sinlim0 xxx. . 說明： （說明： （1 1）這個重要極限主要解決含有三角函數(shù)）這個重要極限主要解決含有三角函數(shù)的的00型極限型極限 （2 2）為了強(qiáng)調(diào)其一般形式）為了強(qiáng)調(diào)其一般形式, ,我們把它形象地寫成我們把它形象地寫成1sinlim0口口口 ( (方框代表同一變量方框代表同一變量) ) 例例 6 6 求求xxx4sin3sinlim0. . 003040sin3sin343limlim()sin43sin443sin343limlim.43sin44xxxxxxxxxxxxxxxx 例例 7 7 求求20cos1limxxx. . 解解 2122s

34、inlim212sin2limcos1lim2022020 xxxxxxxxx 解解例例 8 8 求求30sintanlimxxxx 203030cos1sincos1lim)cos1 (tanlimsintanlimxxxxxxxxxxxxxx 由由例例 7 7 知知)0(21cos12xxx, , 故故21sintanlim30 xxxx. . 解解2 2. . e11limxxx 解解釋釋說說明明：列列出出xx11的的數(shù)數(shù)值值表表( (如如下下表表) )，觀觀察察其其變變化化趨趨勢勢. . 1234510100100010000.22.2502.3702.4412.4882.5942.7

35、052.7172.718xx11x從從上上表表可可看看出出, ,當(dāng)當(dāng)x無無限限增增大大時時, ,函函數(shù)數(shù)xx11變變化化的的大大致致趨趨勢勢, ,可可以以證證明明當(dāng)當(dāng)x時時, , xx11的的極極限限確確實實存存在在, ,并并且且是是一一個個無無理理數(shù)數(shù), ,其其值值為為718282828. 2e , ,即即 e11limxxx說明： （說明： （1 1）此極限主要解決）此極限主要解決 1型冪指函數(shù)的極限型冪指函數(shù)的極限 （2 2）它可形象地表示為）它可形象地表示為 e11lim口口）口（ ( (方方框代表同一變量框代表同一變量) ) 例例 9 9 求求xxx31lim. . 解解 所 求 極

36、 限 類 型 是所 求 極 限 類 型 是1型型 , , 令令ux3, , 則則ux3. . 333311lim 1lim 1lim1exuuxuuxuu 例例 1010 求求2lim 1xxx. . 解解 所求極限類型是所求極限類型是 1型型. . 22221lim 1lim1e .2xxxxxx例例 1 11 1 求求2lim3xxxx. . 解解 所所求求極極限限類類型型是是 1型型, ,令令uxx1132, ,解解得得3 ux. .當(dāng)當(dāng)x時時, , u. .于于是是 332111limlim 1lim 1lim 1e.3xuuxuuuxxuuu 例例 1212 求求xxx5sin2ta

37、nlim0 解解 當(dāng)當(dāng)0 x時時，xx22tan, ,xx55sin, ,所所以以 .5252lim5sin2tanlim00 xxxxxx例例 1 13 3 求求30sintanlimxxxx 解解 因因為為當(dāng)當(dāng)0 x時時, ,xx sin, ,221cos1xx, ,所所以以 3330002301sin1tansinsin (1 cos )coslimlimlimcos112lim.cos2xxxxxxxxxxxxxxxxxx常常用用的的幾幾個個等等價價無無窮窮小小代代換換 當(dāng)當(dāng)0 x時時, ,有有 2sin ,tan ,arcsin ,arctan11 cos,ln(1) ,e1 ,21

38、11.2xxxxxxxxxxxxxxxx 一、函數(shù)的連續(xù)性定義一、函數(shù)的連續(xù)性定義 二、初等函數(shù)的連續(xù)性二、初等函數(shù)的連續(xù)性三、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)三、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)1.6 1.6 函數(shù)的連續(xù)性函數(shù)的連續(xù)性 連續(xù)性是自然界中各種物態(tài)連續(xù)變化的數(shù)學(xué)體現(xiàn)，這方面實例可以舉出很多，如水的連續(xù)流動、身高的連續(xù)增長等 函函數(shù)數(shù)的的增增量量 設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù))(xfy在在點點 0 x的的某某鄰鄰域域上上有有定定義義， 當(dāng)當(dāng)自自變變量量 x由由 0 x變變到到xx0時時， 函函數(shù)數(shù) y相相應(yīng)應(yīng)由由)(0 xf變變到到)(0 xxf，函函 數(shù)數(shù)相相應(yīng)應(yīng)的的增增量量為為 )()(00 xfxxfy. .

39、O x y x f y 0 x x x 0 x y ( ) 其其幾幾何何意意義義如如右右圖圖 所所示示 1.6 1.6 函數(shù)的連續(xù)性函數(shù)的連續(xù)性一、函數(shù)的連續(xù)性定義一、函數(shù)的連續(xù)性定義定定義義 1 1 設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù))(xfy 在在點點 0 x的的某某鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)有有定定義義，如如果果自自變變量量的的增增量量0 xxx趨趨于于零零時時，對對應(yīng)應(yīng)的的函函數(shù)數(shù)增增量量也也趨趨于于零零，即即 0)()(limlim0000 xfxxfyxx 則則稱稱函函數(shù)數(shù))(xf在在點點0 x是是連連續(xù)續(xù)的的 由于由于y也寫成也寫成)()(0 xfxfy，所以上述定義，所以上述定義 1 1中表達(dá)式也寫為中表達(dá)式也寫

40、為 0)()(lim00 xfxfxx , , 即即 )()(lim00 xfxfxx 于是有于是有 函數(shù)不連續(xù)(連續(xù))的直觀解釋:如下圖所示:函數(shù)y=f(x)在x0點間斷. 說明:函數(shù)在x0點間斷的理論解釋為:當(dāng)在x0的增量 時,函數(shù)的增量 不趨于0.)(xfy x0yx0L0 xyy說說明明：函函數(shù)數(shù))(xf在在點點 0 x連連續(xù)續(xù)，必必須須同同時時滿滿足足以以下下三三個個條條件件： ( (1 1) ) )(xf在在點點 0 x的的一一個個鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)有有定定義義； ( (2 2) ) )(lim0 xfxx存存在在； (3)(3)上述極限值等于函數(shù)值上述極限值等于函數(shù)值)(0 xf 如如

41、果果上上述述條條件件中中至至少少有有一一個個不不滿滿足足，則則點點 0 x就就是是函函數(shù)數(shù))(xf的的間間斷斷點點 定定義義 2 2 設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù))(xfy 在在點點0 x的的某某鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)有有定定義義，若若)()(lim00 xfxfxx，則則稱稱函函數(shù)數(shù))(xf在在點點0 x處處連連續(xù)續(xù) 定義定義 3 3 ( (間斷點的分類間斷點的分類) ) 設(shè)設(shè) 0 x為為)(xf的一個間的一個間斷點，如果當(dāng)斷點，如果當(dāng)0 xx 時，時， )(xf的左、右極限都存在，的左、右極限都存在，則稱則稱0 x為為)(xf的第一類間斷點；否則，稱的第一類間斷點；否則，稱 0 x為為)(xf的的第二類間斷點第二類

42、間斷點 對第一類間斷點對第一類間斷點還有還有 ( (1 1) )當(dāng)當(dāng))(lim0 xfxx與與)(lim0 xfxx均均存存在在，但但不不相相等等時時，稱稱 0 x為為)(xf的的跳跳躍躍間間斷斷點點； ( (2 2) )當(dāng)當(dāng))(lim0 xfxx存存在在， 但但不不等等于于)(xf在在 0 x處處的的函函數(shù)數(shù)值值時時，稱稱0 x為為)(xf的的可可去去間間斷斷點點 若若)(lim0 xfxx，則則稱稱 0 x為為)(xf的的無無窮窮間間斷斷點點，無無窮窮間間斷斷點點屬屬第第二二類類間間斷斷點點 例例 1 1 設(shè)設(shè) 21,1,1xxf xxx，討討論論)(xf在在1x處處的的連連續(xù)續(xù)性性 解解

43、 因為因為 1lim)(lim211xxfxx , , 2) 1(lim)(lim11xxfxx, , 即即)(lim1xfx不存在 所以不存在 所以1x是是第一類間斷點，且為跳躍間斷點 （如下頁圖第一類間斷點，且為跳躍間斷點 （如下頁圖 7 7）. . 例例 2 2 設(shè)設(shè) 4,01,0 xxfxxx，討討論論)(xf在在0 x處處的的連連續(xù)續(xù)性性 解解因因為為0lim)(lim400 xxxfxx；1)0(f即即)0()(lim0fxfx 所所以以0 x是是)(xf的的第第一一類類間間斷斷點點，且且為為可可去去間間斷斷點點 （如如下下頁頁圖圖 8 8）. . O x y 2 1 1 圖圖7

44、7 O x 1 y 圖圖 8 8 例例3 3 2)1(1)(xxf在在1x處處 沒沒 有有 定定 義義 ， 且且21)1(1limxx，則則稱稱1x為為)(xf的的無無窮窮間間斷斷點點 如如果果)(xf在在區(qū)區(qū)間間),(ba內(nèi)內(nèi)每每一一點點都都是是連連續(xù)續(xù)的的，就就稱稱)(xf在在區(qū)區(qū)間間),(ba內(nèi)內(nèi)連連續(xù)續(xù)若若)(xf在在),(ba內(nèi)內(nèi)連連續(xù)續(xù)，在在ax 處處右右連連續(xù)續(xù)，在在bx 處處左左連連續(xù)續(xù)，則則稱稱)(xf在在,ba上上連連續(xù)續(xù). . 連連續(xù)續(xù)函函數(shù)數(shù)的的圖圖形形是是一一條條連連續(xù)續(xù)不不斷斷的的曲曲線線 若若00lim( )()xxf xf x,則稱函數(shù)在則稱函數(shù)在 0 x處右連

45、續(xù)處右連續(xù), 若若00lim( )()xxf xf x,則稱函數(shù)在則稱函數(shù)在 0 x處左連續(xù)處左連續(xù). 1 1 初等函數(shù)的連續(xù)性初等函數(shù)的連續(xù)性定理定理 一切初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)都是連續(xù)的一切初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)都是連續(xù)的 求初等函數(shù)的連續(xù)區(qū)間就是求其定義區(qū)間關(guān)于分段求初等函數(shù)的連續(xù)區(qū)間就是求其定義區(qū)間關(guān)于分段函數(shù)的連續(xù)性，除按上述結(jié)論考慮每一段函數(shù)的連續(xù)性函數(shù)的連續(xù)性，除按上述結(jié)論考慮每一段函數(shù)的連續(xù)性外，還必須討論分界點處的連續(xù)性外，還必須討論分界點處的連續(xù)性 2 2 利用函數(shù)的連續(xù)性求極限利用函數(shù)的連續(xù)性求極限若若)(xf在在0 x處處連連續(xù)續(xù)， 則則 )()(lim00 xfxfxx ， 即即求求連連續(xù)續(xù)函函數(shù)數(shù)的的極極限限，可可歸歸結(jié)結(jié)為為計計算算函函數(shù)數(shù)值值 二、初等函數(shù)的連續(xù)性二、初等函