p14_7勢壘和隧道效應(yīng)(動(dòng)畫)

1、*范例范例14.7 勢壘和隧道效應(yīng)勢壘和隧道效應(yīng)(動(dòng)畫動(dòng)畫)如圖所示，一質(zhì)量為如圖所示，一質(zhì)量為m的粒子，能量為的粒子，能量為E，在力場中沿在力場中沿x軸方向運(yùn)動(dòng)。力場勢能分布為軸方向運(yùn)動(dòng)。力場勢能分布為這種勢能分布稱為一維勢壘。一粒子從勢壘左這種勢能分布稱為一維勢壘。一粒子從勢壘左邊向右運(yùn)動(dòng)，求粒子的波函數(shù)，演示波的傳播。邊向右運(yùn)動(dòng)，求粒子的波函數(shù)，演示波的傳播。解析解析由于勢能由于勢能V0與時(shí)間無關(guān)，因此是一個(gè)定態(tài)問題。與時(shí)間無關(guān)，因此是一個(gè)定態(tài)問題。(x V0時(shí)，可設(shè)時(shí)，可設(shè)II區(qū)的波矢為區(qū)的波矢為00(0,)( )(0)xxaV xVxa22112d,2dEmxh(0 x a)12/k

2、mEh202 () /km EVhOaxIIIIIIV0V薛定諤方程薛定諤方程組可化為組可化為221112d0,dkx222222d0,dkx223132d0d.kx*范例范例14.7 勢壘和隧道效應(yīng)勢壘和隧道效應(yīng)(動(dòng)畫動(dòng)畫)方程的方程的通解為通解為(x 0)將將1(x)乘以乘以exp(-it)，然后取函數(shù)的實(shí)部。，然后取函數(shù)的實(shí)部。由于由于cos(k1x - t) = cos(t - k1x)，可知：第一項(xiàng)，可知：第一項(xiàng)表示表示I區(qū)向區(qū)向x正方向傳播的波，即入射波，正方向傳播的波，即入射波，(0 x a)OaxIIIIIIV0V是入射波的復(fù)振幅，模表示入射波的振幅，幅角表示初相。是入射波的復(fù)

3、振幅，模表示入射波的振幅，幅角表示初相。221112d0,dkx222222d0,dkx223132d0dkx11121( )exp(i)exp( i)xAk xAk x%21222( )exp(i)exp( i)xBk xBk x%31121( )exp(i)exp( i)xCk xCk x%1A%同理可知：第二項(xiàng)表示向同理可知：第二項(xiàng)表示向x負(fù)方向傳播的波，即反射波，負(fù)方向傳播的波，即反射波，2A%是反射波的復(fù)振幅。是反射波的復(fù)振幅。2(x)中的兩個(gè)分量是勢壘中的兩個(gè)分量是勢壘II區(qū)中右行波和左行波，區(qū)中右行波和左行波，和和 是復(fù)振幅。是復(fù)振幅。1B%2B%3(x)中第一個(gè)分量是勢壘中第一

4、個(gè)分量是勢壘III區(qū)中右行波。區(qū)中右行波。由于在由于在III區(qū)區(qū)沒有反射波，沒有反射波，所以所以2. 0C %*范例范例14.7 勢壘和隧道效應(yīng)勢壘和隧道效應(yīng)(動(dòng)畫動(dòng)畫)(x 0)根據(jù)波函數(shù)的單值和連根據(jù)波函數(shù)的單值和連續(xù)的條件，在續(xù)的條件，在x = 0處有處有1(0) = 2(0)，(0 x a)OaxIIIIIIV0V可得兩個(gè)方程可得兩個(gè)方程11121( )exp(i)exp( i)xAk xAk x%21222( )exp(i)exp( i)xBk xBk x%311( )exp(i)xCk x%在在x = a處有處有2(a) = 3(a)，再得兩再得兩個(gè)方程個(gè)方程手工求解方程組比較麻煩

5、，用手工求解方程組比較麻煩，用MATLAB比較容易求解比較容易求解。12d(0)d(0)ddxx1212,AABB%1 12 11222AkA kB kB k%32d( )d( )ddaaxx122211exp(i)exp( i)exp(i)Bk aBk aCk a%1222221 11exp(i)exp( i)exp(i)B kk aB kk aC kk a%*范例范例14.7 勢壘和隧道效應(yīng)勢壘和隧道效應(yīng)(動(dòng)畫動(dòng)畫)求解結(jié)求解結(jié)果是果是可見：其他波的復(fù)振幅由入射波的復(fù)振幅決定?？梢姡浩渌ǖ膹?fù)振幅由入射波的復(fù)振幅決定。1212,AABB%1 12 11222AkA kB kB k%1222

6、11exp(i)exp( i)exp(i)Bk aBk aCk a%1222221 11exp(i)exp( i)exp(i)B kk aB kk aC kk a%221222122122122i()sin2cosi()sinkkk aAAk kk akkk a%12111221221222exp( i)2cosi()sink kk aCAk kk akkk a%21121211212122()()1()22kk Akk AkBAAAAkk%21121212212122()()1()22kk Akk AkBAAAAkk%當(dāng)入射波函數(shù)取實(shí)部時(shí)，其他波函數(shù)也取實(shí)部；當(dāng)入射波函數(shù)取實(shí)部時(shí)，其他波函數(shù)

7、也取實(shí)部；當(dāng)入射波函數(shù)取虛部時(shí)，其他波函數(shù)也取虛部。當(dāng)入射波函數(shù)取虛部時(shí)，其他波函數(shù)也取虛部。虛部和實(shí)虛部和實(shí)部只差一部只差一個(gè)相位因個(gè)相位因子，因此子，因此兩者中的兩者中的任何一個(gè)任何一個(gè)都可以表都可以表示波函數(shù)示波函數(shù)。*范例范例14.7 勢壘和隧道效應(yīng)勢壘和隧道效應(yīng)(動(dòng)畫動(dòng)畫)當(dāng)粒子能量趨于勢壘高當(dāng)粒子能量趨于勢壘高度時(shí)，度時(shí)，k2趨于零，可得趨于零，可得勢壘內(nèi)的波函數(shù)為勢壘內(nèi)的波函數(shù)為2212221221 22122i()sin,2cosi()sinkkk aAAk kk akkk a%1 2111221 221222exp( i)2cosi()sink kk aCAk kk akkk

8、 a%21121211212122()()1()22kk Akk AkBAAAAkk%21121212212122()()1()22kk Akk AkBAAAAkk%當(dāng)粒子能量等于勢壘高度時(shí)，當(dāng)粒子能量等于勢壘高度時(shí)，勢壘中仍然有波函數(shù)存在。勢壘中仍然有波函數(shù)存在。1211i,2ik aAAk a%11112exp( i)2ik aCAk a%2122212122( )(1 i)(1 i)()ixBk xBk xBBBBk x%112121111112i2i2()i2i2ik ak xAAAAk xAAk ak a%11121 i ()2ik xaAk a%當(dāng)粒子能量小于勢壘高度當(dāng)粒子能量小于

9、勢壘高度時(shí)，時(shí)，k2是復(fù)數(shù)，勢壘中的是復(fù)數(shù)，勢壘中的波函數(shù)按指數(shù)規(guī)律變化波函數(shù)按指數(shù)規(guī)律變化。入射波的振幅取實(shí)數(shù)，初始入射波的振幅取實(shí)數(shù)，初始時(shí)各區(qū)域的波函數(shù)的實(shí)部和時(shí)各區(qū)域的波函數(shù)的實(shí)部和虛部虛部(對(duì)應(yīng)顏色的點(diǎn)虛線對(duì)應(yīng)顏色的點(diǎn)虛線) ?？梢姡翰徽撌怯倚胁ㄊ强梢姡翰徽撌怯倚胁ㄊ亲笮胁ǎê瘮?shù)的實(shí)部左行波，波函數(shù)的實(shí)部和虛部的幅度是相同的。和虛部的幅度是相同的。隨著時(shí)間的推移，入射波的隨著時(shí)間的推移，入射波的波函數(shù)向右移，反射波的波波函數(shù)向右移，反射波的波函數(shù)向左移，合成波函數(shù)向函數(shù)向左移，合成波函數(shù)向右移，其幅度不斷發(fā)生改變。右移，其幅度不斷發(fā)生改變。設(shè)一無量綱的常數(shù)設(shè)一無量綱的常數(shù)002/k

10、amVh常數(shù)由粒子質(zhì)量、勢阱高度和常數(shù)由粒子質(zhì)量、勢阱高度和寬度決定，不妨稱為勢壘常數(shù)。寬度決定，不妨稱為勢壘常數(shù)。勢壘常數(shù)將影響波長。勢壘常數(shù)將影響波長。在某時(shí)刻，波函數(shù)在某時(shí)刻，波函數(shù)的實(shí)部與虛部重疊。的實(shí)部與虛部重疊。說明：波函數(shù)的虛部和實(shí)說明：波函數(shù)的虛部和實(shí)部都能描述粒子的狀態(tài)。部都能描述粒子的狀態(tài)。當(dāng)粒子能量大于勢壘高當(dāng)粒子能量大于勢壘高度時(shí)，粒子雖然能夠越度時(shí)，粒子雖然能夠越過勢壘，還會(huì)發(fā)生反射。過勢壘，還會(huì)發(fā)生反射。當(dāng)粒子能量一定時(shí)，勢壘當(dāng)粒子能量一定時(shí)，勢壘常數(shù)越大，波長就越短。常數(shù)越大，波長就越短。在勢壘左邊界，入射波在勢壘左邊界，入射波和反射波都不連續(xù)，但和反射波都不連續(xù)

11、，但疊加的波是連續(xù)的。在疊加的波是連續(xù)的。在勢壘右邊界，疊加的波勢壘右邊界，疊加的波與透射波是連續(xù)的。與透射波是連續(xù)的。當(dāng)粒子能量等于勢壘高度當(dāng)粒子能量等于勢壘高度時(shí)，勢壘中的入射波和反時(shí)，勢壘中的入射波和反射波合并為一個(gè)波函數(shù)，射波合并為一個(gè)波函數(shù)，波函數(shù)隨距離線性變化。波函數(shù)隨距離線性變化。隧道效應(yīng)已經(jīng)被大量隧道效應(yīng)已經(jīng)被大量實(shí)驗(yàn)所證實(shí)，例如冷實(shí)驗(yàn)所證實(shí)，例如冷電子發(fā)射電子發(fā)射(電子在強(qiáng)電電子在強(qiáng)電場作用下從金屬表面場作用下從金屬表面逸出逸出)，粒子從原子粒子從原子核中釋放，等等。核中釋放，等等。當(dāng)粒子能量小于勢壘高度當(dāng)粒子能量小于勢壘高度時(shí)，粒子雖然會(huì)發(fā)生反射，時(shí)，粒子雖然會(huì)發(fā)生反射，還能夠穿過勢壘產(chǎn)生透射，還能夠穿過勢壘產(chǎn)生透射，如同勢壘中有一條隧道，如同勢壘中有一條隧道，這種現(xiàn)象稱為隧道效應(yīng)。這種現(xiàn)象稱為隧道效應(yīng)。隧道效應(yīng)也得到廣泛的應(yīng)用，隧道效應(yīng)也得到廣泛的應(yīng)用，例如半導(dǎo)體器件，超導(dǎo)和掃例如半導(dǎo)體器件，超導(dǎo)和掃描隧道顯微鏡，等等。描隧道顯微鏡，等等。當(dāng)粒子能量小于勢壘高當(dāng)粒子能量小于勢壘高度時(shí)，在勢