線性代數(shù)課件：庭芳n 階行列式的定義

1、3 n 階行列式的定義階行列式的定義一、三階行列式的結(jié)構(gòu)一、三階行列式的結(jié)構(gòu)二、二、n 階行列式的定義階行列式的定義三、小結(jié)三、小結(jié)一、一、 三階行列式的結(jié)構(gòu)三階行列式的結(jié)構(gòu)三階行列式三階行列式333231232221131211aaaaaaaaaD 322113312312332211aaaaaaaaa 332112322311312213aaaaaaaaa 說明說明（1）三階行列式共有）三階行列式共有 6 項(xiàng)，即項(xiàng)，即 3! 項(xiàng)項(xiàng)（2）每項(xiàng)都是位于不同行不同列的三個(gè)元素的）每項(xiàng)都是位于不同行不同列的三個(gè)元素的乘積乘積（3）每項(xiàng)的正負(fù)號都取決于位于不同行不同列）每項(xiàng)的正負(fù)號都取決于位于不同行

2、不同列 的三個(gè)元素的下標(biāo)排列的三個(gè)元素的下標(biāo)排列例如例如322113aaa列標(biāo)排列的逆序數(shù)為列標(biāo)排列的逆序數(shù)為 , 211312 t322311aaa列標(biāo)排列的逆序數(shù)為列標(biāo)排列的逆序數(shù)為 , 101132 t偶排列偶排列奇排列奇排列正號正號 ,負(fù)號負(fù)號 .)1(321321333231232221131211 ppptaaaaaaaaaaaa二、二、n 階行列式的定義階行列式的定義nnnnnnnppptaaaaaaaaaDaaannnn21222211121121221)1( 記記作作的的代代數(shù)數(shù)和和個(gè)個(gè)元元素素的的乘乘積積取取自自不不同同行行不不同同列列的的階階行行列列式式等等于于所所有有個(gè)

3、個(gè)數(shù)數(shù)組組成成的的由由1. 定義定義).det(ija簡記作簡記作列的元素列的元素行第行第的第的第稱為行列式稱為行列式數(shù)數(shù)jiaaijij)det()1(.)(為列標(biāo)為列標(biāo)為行標(biāo)，為行標(biāo)，中中jiaij:其中其中行行的第的第表示行列式表示行列式用用iaij)det(ir列列的第的第表示行列式表示行列式用用jaij)det(jc為這個(gè)排列的逆序數(shù)為這個(gè)排列的逆序數(shù)的一個(gè)排列，的一個(gè)排列，為自然數(shù)為自然數(shù)tnpppn21)2(21 nnnnppppppppptnnnnnnaaaaaaaaaaaaD212121212122221112111 )3( .)!(21級排列之和級排列之和個(gè)個(gè)指指nnnpp

4、p 說明說明1、行列式是一種特定的算式，它是根據(jù)求解方、行列式是一種特定的算式，它是根據(jù)求解方程個(gè)數(shù)和未知量個(gè)數(shù)相同的一次方程組的需要而程個(gè)數(shù)和未知量個(gè)數(shù)相同的一次方程組的需要而定義的定義的;2、 階行列式是階行列式是 項(xiàng)的代數(shù)和項(xiàng)的代數(shù)和;n!n3、 階行列式的每項(xiàng)都是位于不同行、不同階行列式的每項(xiàng)都是位于不同行、不同列列 個(gè)元素的乘積個(gè)元素的乘積;nn4、 一階行列式一階行列式 不要與絕對值記號相混淆不要與絕對值記號相混淆;aa 5、 的符號為的符號為nnpppaaa2121 .1t 例例1 1 )det(4ijaD 項(xiàng)項(xiàng)！展開式共有展開式共有244 44332211 )1(aaaa413

5、22413 )2(aaaa41332413 )3(aaaa的項(xiàng)共有幾項(xiàng)？的項(xiàng)共有幾項(xiàng)？中含有中含有32 )4(aD. )5(3223的項(xiàng)的項(xiàng)求含有求含有aa例例2 2的符號的符號5413453221 aaaaa例例3 3計(jì)算行列式計(jì)算行列式0004003002001000分析分析展開式中項(xiàng)的一般形式是展開式中項(xiàng)的一般形式是43214321ppppaaaa41 p若若, 011 pa從而這個(gè)項(xiàng)為零，從而這個(gè)項(xiàng)為零，所以所以 只能等于只能等于 , 1p4同理可得同理可得1, 2, 3432 ppp解解即行列式中不為零的項(xiàng)為即行列式中不為零的項(xiàng)為.aaaa4132231400040030020010

6、00 432114321 t.24 解解:例例3 3計(jì)算行列式計(jì)算行列式0004003002001000;21n n 21例例4 4 證明證明n 21 .12121nnn (2)(1) 對角行列式對角行列式例例5 5 計(jì)算上計(jì)算上三角行列式三角行列式nnnnaaaaaa00022211211分析分析展開式中項(xiàng)的一般形式是展開式中項(xiàng)的一般形式是.2121nnpppaaa,npn , 11 npn, 1, 2, 3123 ppnpn所以不為零的項(xiàng)只有所以不為零的項(xiàng)只有.2211nnaaa解解nnnnaaaaaa00022211211 nnntaaa2211121 .2211nnaaa 例例5 5

7、計(jì)算上計(jì)算上三角行列式三角行列式nnnnaaaaaa00022211211解解例例6?8000650012404321 D443322118000650012404321aaaaD .1608541 同理可得同理可得下三角行列式下三角行列式nnnnnaaaaaaa32122211100000.2211nnaaa . 2于零于零還多，則此行列式必等還多，則此行列式必等素比素比階行列式中等于零的元階行列式中等于零的元如果一個(gè)如果一個(gè)nnn 注意注意 上三角行列式和下三角行列式統(tǒng)稱為上三角行列式和下三角行列式統(tǒng)稱為三角行列式三角行列式例例6 6 用行列式的定義計(jì)算用行列式的定義計(jì)算nnDn00000

8、00010020001000 解解 nnnnnnnnNnaaaaD1 , 12,21, 1)321)2)(1(1 nnnn ) 1(21) 1(2)1)(2(!) 1(2)1)(2(nnn 1 、行列式是一種特定的算式，它是根據(jù)求解、行列式是一種特定的算式，它是根據(jù)求解方程個(gè)數(shù)和未知量個(gè)數(shù)相同的一次方程組的需方程個(gè)數(shù)和未知量個(gè)數(shù)相同的一次方程組的需要而定義的要而定義的.2、n 階行列式共有階行列式共有 n! 項(xiàng)，每項(xiàng)都是位于不同行、項(xiàng)，每項(xiàng)都是位于不同行、不同列不同列 的的 n 個(gè)元素的乘積個(gè)元素的乘積,正負(fù)號由下標(biāo)排列的正負(fù)號由下標(biāo)排列的逆序數(shù)決定逆序數(shù)決定.三、小結(jié)三、小結(jié)3、n 階行列式的定義很抽象，只要能夠知道定階行列式的定義很抽象，只要能夠知道定義式中各符號的意義就可以了義式中各符號的意義就可以了.已知已知 1211123111211xxxxxf .3的系數(shù)的系數(shù)求求 x思考題解答思考題解答解解含含 的項(xiàng)