jsy4非線性模型

1、第四章 非線性模型 4.1 非線性模型的形式及其分類非線性模型的形式及其分類 4.2 可化為線性模型的非線性模型可化為線性模型的非線性模型 4.3 不可轉(zhuǎn)換成線性的非線性模型不可轉(zhuǎn)換成線性的非線性模型4.1 4.1 非線性回歸模型的形式和分類非線性回歸模型的形式和分類 在實(shí)際經(jīng)濟(jì)活動(dòng)中，經(jīng)濟(jì)變量的關(guān)系是復(fù)雜的，在實(shí)際經(jīng)濟(jì)活動(dòng)中，經(jīng)濟(jì)變量的關(guān)系是復(fù)雜的，直接表現(xiàn)為線性關(guān)系的情況并不多見。直接表現(xiàn)為線性關(guān)系的情況并不多見。 如著名的恩格爾曲線如著名的恩格爾曲線(Engle curves)表現(xiàn)為冪表現(xiàn)為冪函數(shù)曲線形式、宏觀經(jīng)濟(jì)學(xué)中的菲利普斯曲線函數(shù)曲線形式、宏觀經(jīng)濟(jì)學(xué)中的菲利普斯曲線（Pillips

2、 cuves）表現(xiàn)為雙曲線形式等。）表現(xiàn)為雙曲線形式等。 但是，大部分非線性關(guān)系又可以通過一些簡(jiǎn)單但是，大部分非線性關(guān)系又可以通過一些簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)處理，使之化為數(shù)學(xué)上的線性關(guān)系，從的數(shù)學(xué)處理，使之化為數(shù)學(xué)上的線性關(guān)系，從而可以運(yùn)用線性回歸模型的理論方法。而可以運(yùn)用線性回歸模型的理論方法。非線性回歸模型的形式非線性回歸模型的形式 常見的非線性模型 根據(jù)非線性回歸模型線性化的不同性質(zhì)，上述模型一般根據(jù)非線性回歸模型線性化的不同性質(zhì)，上述模型一般可以分成三種類型：可以分成三種類型： 第一類：直接換元型第一類：直接換元型 這類非線性回歸模型通過簡(jiǎn)單的變量換元可直接化為線這類非線性回歸模型通過簡(jiǎn)單的變量換

3、元可直接化為線性回歸模型，如式（性回歸模型，如式（1）、式（）、式（2）、式（）、式（3）、式（）、式（4）。）。 第二類：間接代換型第二類：間接代換型 這類非線性回歸模型經(jīng)常通過對(duì)數(shù)變形代換間接地化為這類非線性回歸模型經(jīng)常通過對(duì)數(shù)變形代換間接地化為線性回歸模型，如：式（線性回歸模型，如：式（5）、式（）、式（6）。）。 第三類：非線性型第三類：非線性型 這類非線性回歸模型屬于不可線性化的非線性回歸模型，這類非線性回歸模型屬于不可線性化的非線性回歸模型，如式（如式（7）和式（）和式（8）。）。 非線性回歸模型的分類非線性回歸模型的分類4.2 可化為線性模型的非線性模型可化為線性模型的非線性模型

4、 直接換元法直接換元法 間接換元法間接換元法 直接換元法直接換元法例例 4.2.1例例 4.2.1直接換元法計(jì)算表直接換元法計(jì)算表例例 4.2.1例例 4.2.1例例 4.2.1 由于商品零售額增加，流通費(fèi)用率呈下降趨勢(shì)，二者之間為負(fù)由于商品零售額增加，流通費(fèi)用率呈下降趨勢(shì)，二者之間為負(fù)相關(guān)關(guān)系，故相關(guān)系數(shù)取負(fù)值為：相關(guān)關(guān)系，故相關(guān)系數(shù)取負(fù)值為：0.9898。說明兩者高度相關(guān)，。說明兩者高度相關(guān)，用雙曲線回歸模型配合進(jìn)行預(yù)測(cè)是可靠的。用雙曲線回歸模型配合進(jìn)行預(yù)測(cè)是可靠的。 例例 4.2.1例例 4.2.1 對(duì)于式（對(duì)于式（5）、式（）、式（6）和式（）和式（7）所）所示的非線性回歸模型，因變量

5、與待估計(jì)參示的非線性回歸模型，因變量與待估計(jì)參數(shù)之間的關(guān)系也是非線性的。因此不能通數(shù)之間的關(guān)系也是非線性的。因此不能通過直接換元化為線性模型。對(duì)此類模型，過直接換元化為線性模型。對(duì)此類模型，通?？赏ㄟ^對(duì)回歸方程兩邊取對(duì)數(shù)將其化通?？赏ㄟ^對(duì)回歸方程兩邊取對(duì)數(shù)將其化為可以直接換元的形式。這種先取對(duì)數(shù)再為可以直接換元的形式。這種先取對(duì)數(shù)再進(jìn)行變量代換的方法稱為間接換元法。進(jìn)行變量代換的方法稱為間接換元法。 間接換元法間接換元法 間接換元法間接換元法間接換元法回歸實(shí)例間接換元法回歸實(shí)例 例例4.2.2 建立中國(guó)城鎮(zhèn)居民食品消費(fèi)需求函數(shù)模型。 根據(jù)需求理論，居民對(duì)食品的消費(fèi)需求函數(shù)大致為: ),(01P

6、PXfQ Q:居民對(duì)食品的需求量，X：消費(fèi)者的消費(fèi)支出總額P1：食品價(jià)格指數(shù)，P0：居民消費(fèi)價(jià)格總指數(shù)。 (*) 零階齊次性零階齊次性，當(dāng)所有商品和消費(fèi)者貨幣支出總額按同一比例變動(dòng)時(shí)，需求量保持不變 )/,/(010PPPXfQ (*)為了進(jìn)行比較，將同時(shí)估計(jì)（為了進(jìn)行比較，將同時(shí)估計(jì)（* *）式與（）式與（* * *）式。）式。 )/,/(010PPPXfQ (*),(01PPXfQ (*) 根據(jù)恩格爾定律恩格爾定律，居民對(duì)食品的消費(fèi)支出與居民的總支出間呈冪函數(shù)冪函數(shù)的變化關(guān)系: 首先首先, ,確定具體的函數(shù)形式確定具體的函數(shù)形式32101PPAXQ 對(duì)數(shù)變換: 031210lnlnln)l

7、n(PPXQ(*)e考慮到零階齊次性零階齊次性時(shí)時(shí))/ln()/ln()ln(012010PPPXQ(*)式也可看成是對(duì)（*）式施加如下約束而得:0321因此，對(duì)（對(duì)（* * * * *）式進(jìn)行回歸，就意味著原需）式進(jìn)行回歸，就意味著原需求函數(shù)滿足零階齊次性條件求函數(shù)滿足零階齊次性條件。(*)X：人均消費(fèi)X1：人均食品消費(fèi)GP：居民消費(fèi)價(jià)格指數(shù)FP：居民食品消費(fèi)價(jià)格指數(shù)XC：人均消費(fèi)（90年價(jià)）Q：人均食品消費(fèi)（90年價(jià)）P0：居民消費(fèi)價(jià)格縮減指數(shù)（1990=100）P1：居民食品消費(fèi)價(jià)格縮減指數(shù)（1990=100表表 4.2.2 中國(guó)城鎮(zhèn)居民消費(fèi)支出（元）及價(jià)格指數(shù)中國(guó)城鎮(zhèn)居民消費(fèi)支出（元）

8、及價(jià)格指數(shù) X (當(dāng)年價(jià)) X1 (當(dāng)年價(jià)) GP (上年=100) FP (上年=100) XC (1990年價(jià)) Q (1990年價(jià)) P0 (1990=100 ) P1 (1990=100 ) 1981 456.8 420.4 102.5 102.7 646.1 318.3 70.7 132.1 1982 471.0 432.1 102.0 102.1 659.1 325.0 71.5 132.9 1983 505.9 464.0 102.0 103.7 672.2 337.0 75.3 137.7 1984 559.4 514.3 102.7 104.0 690.4 350.5 81.

9、0 146.7 1985 673.2 351.4 111.9 116.5 772.6 408.4 87.1 86.1 1986 799.0 418.9 107.0 107.2 826.6 437.8 96.7 95.7 1987 884.4 472.9 108.8 112.0 899.4 490.3 98.3 96.5 1988 1104.0 567.0 120.7 125.2 1085.5 613.8 101.7 92.4 1989 1211.0 660.0 116.3 114.4 1262.5 702.2 95.9 94.0 1990 1278.9 693.8 101.3 98.8 127

10、8.9 693.8 100.0 100.0 1991 1453.8 782.5 105.1 105.4 1344.1 731.3 108.2 107.0 1992 1671.7 884.8 108.6 110.7 1459.7 809.5 114.5 109.3 1993 2110.8 1058.2 116.1 116.5 1694.7 943.1 124.6 112.2 1994 2851.3 1422.5 125.0 134.2 2118.4 1265.6 134.6 112.4 1995 3537.6 1766.0 116.8 123.6 2474.3 1564.3 143.0 112.

11、9 1996 3919.5 1904.7 108.8 107.9 2692.0 1687.9 145.6 112.8 1997 4185.6 1942.6 103.1 100.1 2775.5 1689.6 150.8 115.0 1998 4331.6 1926.9 99.4 96.9 2758.9 1637.2 157.0 117.7 1999 4615.9 1932.1 98.7 95.7 2723.0 1566.8 169.5 123.3 2000 4998.0 1958.3 100.8 97.6 2744.8 1529.2 182.1 128.1 2001 5309.0 2014.0

12、 100.7 100.7 2764.0 1539.9 192.1 130.8 2004006008001000120014001600180082848688909294969800Q中中國(guó)國(guó)城城鎮(zhèn)鎮(zhèn)居居民民人人均均食食品品消消費(fèi)費(fèi) 特征特征：消費(fèi)行為在19811995年間表現(xiàn)出較強(qiáng)的一致性；1995年之后呈現(xiàn)出另外一種變動(dòng)特征。 建立建立19811994年中國(guó)城鎮(zhèn)居民對(duì)食品的消費(fèi)年中國(guó)城鎮(zhèn)居民對(duì)食品的消費(fèi)需求模型需求模型: )ln(92. 0)ln(08. 0)ln(05. 163. 3)ln(01PPXQ (9.03) (25.35) (-2.28) (-7.34) 按按零階齊次性零階齊次

13、性表達(dá)式回歸表達(dá)式回歸: :)/ln(09. 0)/ln(07. 183. 3)ln(010PPPXQ （75.86）(52.66) (-3.62) 為了比較，改寫該式為： 01010ln98. 0ln09. 0ln07. 183. 3)ln(ln09. 0)ln(ln07. 183. 3lnPPXPPPXQ)ln(92.0)ln(08.0)ln(05.163.3)ln(01PPXQ與接近。意味著：所建立的食品需求函數(shù)滿足零階齊次所建立的食品需求函數(shù)滿足零階齊次性特征。性特征。01010ln98. 0ln09. 0ln07. 183. 3)ln(ln09. 0)ln(ln07. 183. 3l

14、nPPXPPPXQ可化為線性模型的非線性模型處理方法總結(jié)可化為線性模型的非線性模型處理方法總結(jié) 1 1、倒數(shù)模型、多項(xiàng)式模型與變量的直接置換法、倒數(shù)模型、多項(xiàng)式模型與變量的直接置換法 例如，例如，描述稅收與稅率關(guān)系的拉弗曲線拉弗曲線：拋物線 s = a + b r + c r2 c0 s：稅收； r：稅率設(shè)X1 = r，X2 = r2， 則原方程變換為 s = a + b X1 + c X2 c0 2、冪函數(shù)模型、指數(shù)函數(shù)模型與對(duì)數(shù)變換法、冪函數(shù)模型、指數(shù)函數(shù)模型與對(duì)數(shù)變換法 例如例如，Cobb-Dauglas生產(chǎn)函數(shù)：冪函數(shù) Q = AKLQ：產(chǎn)出量，K：投入的資本；L：投入的勞動(dòng) 方程兩邊

15、取對(duì)數(shù)： ln Q = ln A + ln K + ln L3、復(fù)雜函數(shù)模型與級(jí)數(shù)展開法、復(fù)雜函數(shù)模型與級(jí)數(shù)展開法 方程兩邊取對(duì)數(shù)后，得到： eLKAQ1)(21(1+2=1) Q:產(chǎn)出量，K：資本投入，L：勞動(dòng)投入 ：替代參數(shù)， 1、2：分配參數(shù))(211LKLnLnALnQ例如例如，常替代彈性CES生產(chǎn)函數(shù) 將式中l(wèi)n(1K- + 2L-)在=0處展開臺(tái)勞級(jí)數(shù),取關(guān)于的線性項(xiàng)，即得到一個(gè)線性近似式。 如取0階、1階、2階項(xiàng)，可得:22121ln21lnlnlnlnLKmLmKmAY4.3 不可轉(zhuǎn)換成線性的非線性模型不可轉(zhuǎn)換成線性的非線性模型一、不可線性化模型一、不可線性化模型1、不可線性化

16、模型：無論采取什么方式變換都不可、不可線性化模型：無論采取什么方式變換都不可 能實(shí)現(xiàn)線性化的模型。能實(shí)現(xiàn)線性化的模型。2、常用的處理方法：一般采用高斯一牛頓迭代、常用的處理方法：一般采用高斯一牛頓迭代 法進(jìn)行參數(shù)估計(jì)，即借助于泰勒級(jí)數(shù)展開式法進(jìn)行參數(shù)估計(jì)，即借助于泰勒級(jí)數(shù)展開式 進(jìn)行逐次的線性近似估計(jì)。進(jìn)行逐次的線性近似估計(jì)。 二、迭代估計(jì)法二、迭代估計(jì)法基本思路是：基本思路是：1、通過泰勒級(jí)數(shù)展開使非線性方程在某一組初始參數(shù)、通過泰勒級(jí)數(shù)展開使非線性方程在某一組初始參數(shù) 估計(jì)值附近線性化；估計(jì)值附近線性化；2 2、然后對(duì)這一線性方程應(yīng)用、然后對(duì)這一線性方程應(yīng)用OLSOLS法，得出一組新的參法

17、，得出一組新的參 數(shù)估計(jì)值；數(shù)估計(jì)值；3 3、使非線性方程在新參數(shù)估計(jì)值附近線性化，對(duì)新、使非線性方程在新參數(shù)估計(jì)值附近線性化，對(duì)新 的線性方程再應(yīng)用的線性方程再應(yīng)用OLSOLS法，又得出一組新的參數(shù)估法，又得出一組新的參數(shù)估 計(jì)值；計(jì)值；4、不斷重復(fù)上述過程，直至參數(shù)估計(jì)值收斂時(shí)為止。、不斷重復(fù)上述過程，直至參數(shù)估計(jì)值收斂時(shí)為止。三、迭代估計(jì)法的三、迭代估計(jì)法的EviewsEviews軟件實(shí)現(xiàn)軟件實(shí)現(xiàn) 設(shè)定代估參數(shù)的初始值，可采用以下兩種方式：設(shè)定代估參數(shù)的初始值，可采用以下兩種方式：（1 1）使用）使用paramparam命令。命令格式為命令。命令格式為param param 初始值初始值

18、1 1 初始值初始值2 2 初始值初始值3 3 （2 2）在工作文件窗口雙擊序列）在工作文件窗口雙擊序列C C，并在序列窗口中直，并在序列窗口中直接輸入?yún)?shù)的初始值（注意序列接輸入?yún)?shù)的初始值（注意序列C C中總是保留著剛建立中總是保留著剛建立模型的參數(shù)估計(jì)值，若不重新設(shè)定，系統(tǒng)自動(dòng)將這些模型的參數(shù)估計(jì)值，若不重新設(shè)定，系統(tǒng)自動(dòng)將這些值作為參數(shù)的默認(rèn)初始值）。值作為參數(shù)的默認(rèn)初始值）。 估計(jì)非線性模型估計(jì)非線性模型（1 1）命令方式）命令方式在命令窗口直接鍵入在命令窗口直接鍵入:NLS :NLS 非線性函數(shù)表達(dá)式非線性函數(shù)表達(dá)式例如，對(duì)于非線性模型例如，對(duì)于非線性模型 ，其估計(jì)命令格式，其估計(jì)

19、命令格式為為YAK LNLS y=c(1)*kc(2)*Lc(3)其中，其中， c(1)c(1)、c(2)c(2)、c(3)c(3)表示待估計(jì)的三個(gè)參數(shù)表示待估計(jì)的三個(gè)參數(shù)A A、 、 ?；剀嚭?，系統(tǒng)會(huì)自動(dòng)給出迭代估計(jì)的參?；剀嚭?，系統(tǒng)會(huì)自動(dòng)給出迭代估計(jì)的參數(shù)估計(jì)值。數(shù)估計(jì)值。在數(shù)組窗口，點(diǎn)擊在數(shù)組窗口，點(diǎn)擊ProcsMake EquationProcsMake Equation，在彈出，在彈出的方程描述對(duì)話框中，輸入非線性函數(shù)表達(dá)式：的方程描述對(duì)話框中，輸入非線性函數(shù)表達(dá)式：（2 2）菜單方式）菜單方式選擇估計(jì)方法為最小二乘法后，點(diǎn)擊選擇估計(jì)方法為最小二乘法后，點(diǎn)擊OKOK按鈕。按鈕。y=c(1)*kc(2)*Lc(3)幾點(diǎn)說明：幾點(diǎn)說明：（1）在方程描述