matlab培訓5-符號運算

1、2022年4月3日第1頁l符號運算簡介符號運算簡介 l符號表達式的化簡與替換符號表達式的化簡與替換 l符號函數(shù)圖形繪制符號函數(shù)圖形繪制 l符號微積分符號微積分 l符號線性代數(shù)符號線性代數(shù) l符號方程的求解符號方程的求解 l符號積分變換符號積分變換 MATLAB 的符號計算功能的符號計算功能 2022年4月3日第2頁符號表達式的操作符號表達式的操作lMATLAB中下列函數(shù)可以實現(xiàn)符號表達式中下列函數(shù)可以實現(xiàn)符號表達式的操作的操作 collect expand horner factor simplify simple2022年4月3日第3頁collectl該函數(shù)用于合并同類項，具體調(diào)用格式為：該

2、函數(shù)用于合并同類項，具體調(diào)用格式為： R = collect(S)，合并同類項。其中，合并同類項。其中 S 可以是可以是數(shù)組，數(shù)組的每個元素為符號表達式。該命令數(shù)組，數(shù)組的每個元素為符號表達式。該命令將將 S 中的每個元素進行合并同類項。中的每個元素進行合并同類項。 R = collect(S,v)，對指定的變量，對指定的變量 v 進行合并，進行合并，如果不指定，則默認為對如果不指定，則默認為對 x 進行合并，或者由進行合并，或者由 findsym 函數(shù)返回的結(jié)果進行合并。函數(shù)返回的結(jié)果進行合并。2022年4月3日第4頁expandlexpand 函數(shù)用于符號表達式的展開。其操函數(shù)用于符號表達

3、式的展開。其操作對象可以是多種類型，如多項式、三角作對象可以是多種類型，如多項式、三角函數(shù)、指數(shù)函數(shù)等。函數(shù)、指數(shù)函數(shù)等。l用戶可以利用用戶可以利用 expand 函數(shù)對任意的符號函數(shù)對任意的符號表達式進行展開。表達式進行展開。2022年4月3日第5頁hornerlhorner 函數(shù)將函數(shù)轉(zhuǎn)化為嵌套格式。嵌套函數(shù)將函數(shù)轉(zhuǎn)化為嵌套格式。嵌套格式在多項式求值中可以降低計算的時間格式在多項式求值中可以降低計算的時間復雜度。該函數(shù)的調(diào)用格式為：復雜度。該函數(shù)的調(diào)用格式為： R = horner(P)，其中，其中 P 為由符號表達式組成為由符號表達式組成的矩陣，該命令將的矩陣，該命令將 P 中的所有元素

4、轉(zhuǎn)化為相應(yīng)中的所有元素轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的嵌套形式。的嵌套形式。2022年4月3日第6頁factor 和和 simplifylfactor 函數(shù)實現(xiàn)因式分解功能，如果輸入函數(shù)實現(xiàn)因式分解功能，如果輸入的參數(shù)為正整數(shù)，則返回此數(shù)的素數(shù)因數(shù)。的參數(shù)為正整數(shù)，則返回此數(shù)的素數(shù)因數(shù)。lsimplify 函數(shù)實現(xiàn)表達式的化簡，化簡所函數(shù)實現(xiàn)表達式的化簡，化簡所選用的方法為選用的方法為 Maple 中的化簡方法。中的化簡方法。2022年4月3日第7頁simplel該函數(shù)同樣實現(xiàn)表達式的化簡，并且該函數(shù)可以該函數(shù)同樣實現(xiàn)表達式的化簡，并且該函數(shù)可以自動選擇化簡所選擇的方法，最后返回表達式的自動選擇化簡所選擇的方法，

5、最后返回表達式的最簡單的形式。函數(shù)的化簡方法包括：最簡單的形式。函數(shù)的化簡方法包括：simplify、combine(trig)、radsimp、convert(exp)、collect、factor、expand 等。該函數(shù)的調(diào)用格等。該函數(shù)的調(diào)用格式為：式為： r = simple(S)，該命令嘗試多種化簡方法，顯示全部，該命令嘗試多種化簡方法，顯示全部化簡結(jié)果，并且返回最簡單的結(jié)果；如果化簡結(jié)果，并且返回最簡單的結(jié)果；如果 S 為矩陣，為矩陣，則返回使矩陣最簡單的結(jié)果，但是對于每個元素而言，則返回使矩陣最簡單的結(jié)果，但是對于每個元素而言，則并不一定是最簡單的。則并不一定是最簡單的。 r,

6、how = simple(S)，該命令在返回化簡結(jié)果的同時，該命令在返回化簡結(jié)果的同時返回化簡所使用的方法。返回化簡所使用的方法。2022年4月3日第8頁符號表達式的替換符號表達式的替換 lMATLAB 中，可以通過符號替換使表達式的形式簡化。中，可以通過符號替換使表達式的形式簡化。符號工具箱中提供了兩個函數(shù)用于表達式的替換：符號工具箱中提供了兩個函數(shù)用于表達式的替換：subexpr 和和 subs。l1subexprl該函數(shù)自動將表達式中重復出現(xiàn)的字符串用變量替換，該該函數(shù)自動將表達式中重復出現(xiàn)的字符串用變量替換，該函數(shù)的調(diào)用格式為：函數(shù)的調(diào)用格式為： Y,SIGMA = subexpr(X

7、,SIGMA)，指定用符號變量，指定用符號變量 SIGMA 來代來代替符號表達式（可以是矩陣）中重復出現(xiàn)的字符串。替換后的結(jié)替符號表達式（可以是矩陣）中重復出現(xiàn)的字符串。替換后的結(jié)果由果由 Y 返回，被替換的字符串由返回，被替換的字符串由 SIGMA 返回；返回； Y,SIGMA = subexpr(X,SIGMA)，該命令與上面的命令不同之，該命令與上面的命令不同之處在于第二個參數(shù)為字符串，該命令用來替換表達式中重復出現(xiàn)處在于第二個參數(shù)為字符串，該命令用來替換表達式中重復出現(xiàn)的字符串。的字符串。2022年4月3日第9頁subs 函數(shù)函數(shù)l2subsl函數(shù)函數(shù) subs 可以用指定符號替換表達

8、式中的某一特定符號?？梢杂弥付ǚ柼鎿Q表達式中的某一特定符號。該函數(shù)在第一節(jié)中已經(jīng)有簡單介紹，本節(jié)介紹該函數(shù)的更該函數(shù)在第一節(jié)中已經(jīng)有簡單介紹，本節(jié)介紹該函數(shù)的更多功能。該函數(shù)的調(diào)用格式為：多功能。該函數(shù)的調(diào)用格式為： R = subs(S)，對于，對于 S 中出現(xiàn)的全部符號變量，如果在調(diào)用函數(shù)中出現(xiàn)的全部符號變量，如果在調(diào)用函數(shù)或工作區(qū)間中存在相應(yīng)值，則將值代入，如果沒有相應(yīng)值，則對或工作區(qū)間中存在相應(yīng)值，則將值代入，如果沒有相應(yīng)值，則對應(yīng)的變量保持不變；應(yīng)的變量保持不變； R = subs(S, new)，用新的符號變量替換，用新的符號變量替換 S 中的默認變量，即有中的默認變量，即有 f

9、indsym 函數(shù)返回的變量；函數(shù)返回的變量； R = subs(S,old,new)，用新的符號變量替換，用新的符號變量替換 S 中的變量，被替中的變量，被替換的變量由換的變量由 old 指定，如果指定，如果 new 是數(shù)字形式的符號，則數(shù)值代替是數(shù)字形式的符號，則數(shù)值代替原來的符號計算表達式的值，所得結(jié)果仍是字符串形式，如果原來的符號計算表達式的值，所得結(jié)果仍是字符串形式，如果 new 是矩陣，則將是矩陣，則將 S 中的所有中的所有 old 替換為替換為 new，并將，并將 S 中的常中的常數(shù)項擴充為與數(shù)項擴充為與 new 維數(shù)相同的常數(shù)矩陣。維數(shù)相同的常數(shù)矩陣。2022年4月3日第10頁

10、符號函數(shù)圖形繪制符號函數(shù)圖形繪制 l符號函數(shù)曲線的繪制符號函數(shù)曲線的繪制 l符號函數(shù)曲面網(wǎng)格圖及表面圖的繪制符號函數(shù)曲面網(wǎng)格圖及表面圖的繪制 l等值線的繪制等值線的繪制 2022年4月3日第11頁符號函數(shù)曲線的繪制符號函數(shù)曲線的繪制lMATLAB 中，中，ezplot 函數(shù)和函數(shù)和 ezplot3 函數(shù)分別實函數(shù)分別實現(xiàn)符號函數(shù)二維和三維曲線的繪制?，F(xiàn)符號函數(shù)二維和三維曲線的繪制。lezplot 函數(shù)可以繪制顯函數(shù)的圖形，可以繪制隱函數(shù)可以繪制顯函數(shù)的圖形，可以繪制隱函數(shù)的圖形，也可以繪制參數(shù)方程的圖形。對于函數(shù)的圖形，也可以繪制參數(shù)方程的圖形。對于顯函數(shù)，其調(diào)用格式有：顯函數(shù)，其調(diào)用格式有：

11、 ezplot(f)，繪制函數(shù)，繪制函數(shù) f 在區(qū)間在區(qū)間 內(nèi)的圖形。內(nèi)的圖形。 ezplot(f,min,max)，繪制函數(shù)，繪制函數(shù) f 在指定區(qū)間在指定區(qū)間 min,max 內(nèi)的圖形。該函數(shù)打開標簽為內(nèi)的圖形。該函數(shù)打開標簽為 Figure No. 1 的圖形窗口，并顯示圖像。如果已經(jīng)存在圖形窗口，的圖形窗口，并顯示圖像。如果已經(jīng)存在圖形窗口，在該函數(shù)在標簽數(shù)最大的窗口中顯示圖形。在該函數(shù)在標簽數(shù)最大的窗口中顯示圖形。 ezplot(f,xmin xmax,fign)，在指定的窗口，在指定的窗口 fign 中繪中繪制函數(shù)的圖像。制函數(shù)的圖像。2022年4月3日第12頁l對于隱函數(shù)，對于隱

12、函數(shù)，ezplot 函數(shù)的調(diào)用格式有：函數(shù)的調(diào)用格式有：ezplot(f)，繪制函數(shù)在區(qū)間，的圖形；，繪制函數(shù)在區(qū)間，的圖形；ezplot(f,xmin,xmax,ymin,ymax)，繪制函數(shù)在，繪制函數(shù)在 xmin x xmax、ymin y ymax 的圖形；的圖形；ezplot(f,min,max)，繪制函數(shù)在，繪制函數(shù)在 min x max、min y max 的圖形。的圖形。l對于參數(shù)方程，對于參數(shù)方程，ezplot 函數(shù)的調(diào)用格式有：函數(shù)的調(diào)用格式有：ezplot(x,y)，繪制參數(shù)方程，繪制參數(shù)方程 x = x(t)、y = y(t) 在的曲線；在的曲線；ezplot(x,y,

13、tmin,tmax)，繪制參數(shù)方程，繪制參數(shù)方程 x = x(t)、y = y(t) 在的曲線；在的曲線；2022年4月3日第13頁ezplot3 函數(shù)函數(shù)lezplot3 函數(shù)用于繪制三維參數(shù)曲線。該函數(shù)的函數(shù)用于繪制三維參數(shù)曲線。該函數(shù)的調(diào)用格式為：調(diào)用格式為： ezplot3(x,y,z)，在默認區(qū)間內(nèi)繪制參數(shù)方程，在默認區(qū)間內(nèi)繪制參數(shù)方程 x = x(t)，y = y(t)，z = z(t) 的圖像；的圖像； ezplot3(x,y,z,tmin,tmax)，在區(qū)間，在區(qū)間 tmin t tmax 內(nèi)繪制參數(shù)方程內(nèi)繪制參數(shù)方程 x = x(t)、y = y(t)、z = z(t) 的圖

14、像；的圖像； ezplot3(.,animate)，生成空間曲線的動態(tài)軌跡。，生成空間曲線的動態(tài)軌跡。2022年4月3日第14頁符號函數(shù)曲面網(wǎng)格圖及表面圖的繪符號函數(shù)曲面網(wǎng)格圖及表面圖的繪制制 lMATLAB 中，函數(shù)中，函數(shù) ezmesh、ezmeshc、ezsurf及及ezsurfc 實現(xiàn)三維曲面的繪制。實現(xiàn)三維曲面的繪制。l1ezmesh、ezsurflezmesh、ezsurf 函數(shù)分別用于繪制三維網(wǎng)格圖和三維表函數(shù)分別用于繪制三維網(wǎng)格圖和三維表面圖。這兩個函數(shù)的用法相同，下面以函數(shù)面圖。這兩個函數(shù)的用法相同，下面以函數(shù) ezmesh 函函數(shù)為例介紹三維曲面的繪制。該函數(shù)的調(diào)用格式為：

15、數(shù)為例介紹三維曲面的繪制。該函數(shù)的調(diào)用格式為： ezmesh(f)，繪制函數(shù)，繪制函數(shù) f(x,y) 的圖像；的圖像； ezmesh(f,domain)，在指定區(qū)域繪制函數(shù)，在指定區(qū)域繪制函數(shù) f(x,y) 的圖像；的圖像； ezmesh(x,y,z)，在默認區(qū)域繪制三維參數(shù)方程的圖像；，在默認區(qū)域繪制三維參數(shù)方程的圖像； ezmesh(x,y,z,smin,smax,tmin,tmax) or ezmesh(x,y,z,min,max)，在指定區(qū)域繪制三維參數(shù)方程的圖像。，在指定區(qū)域繪制三維參數(shù)方程的圖像。2022年4月3日第15頁ezmeshc、ezsurfc 函數(shù)函數(shù)l2ezmeshc、

16、ezsurfcl這兩個函數(shù)用于在在繪制三維曲面的同時繪制等值線。下面以這兩個函數(shù)用于在在繪制三維曲面的同時繪制等值線。下面以 ezmeshc 函數(shù)為例介紹這兩個函數(shù)的用法。函數(shù)為例介紹這兩個函數(shù)的用法。 ezmeshc(f)，繪制二元函數(shù)在默認區(qū)域，的圖形。，繪制二元函數(shù)在默認區(qū)域，的圖形。 ezmeshc(f,domain)，繪制函數(shù)在指定區(qū)域的圖形，繪圖區(qū)域由，繪制函數(shù)在指定區(qū)域的圖形，繪圖區(qū)域由 domain 指定，其中指定，其中 domain 為為 41 數(shù)組或者數(shù)組或者 21 數(shù)組，如數(shù)組，如 xmin, xmax, ymin, ymax 表示表示 min x max,，min y

17、max，min, max 表示表示 min x max,，min y H=hilb(3)H = 1.00000000000000 0.50000000000000 0.33333333333333 0.50000000000000 0.33333333333333 0.25000000000000 0.33333333333333 0.25000000000000 0.20000000000000l該矩陣為雙精度類型（該矩陣為雙精度類型（double），下面將其轉(zhuǎn)化為符號），下面將其轉(zhuǎn)化為符號矩陣。矩陣。2022年4月3日第27頁 H = sym(H)H = 1, 1/2, 1/3 1/2,

18、1/3, 1/4 1/3, 1/4, 1/5l對該矩陣進行求逆、求行列式等操作：對該矩陣進行求逆、求行列式等操作： inv(H)ans = 9, -36, 30 -36, 192, -180 30, -180, 180 det(H)ans =1/21602022年4月3日第28頁l利用左除符號利用左除符號“”求解線性系統(tǒng)：求解線性系統(tǒng)： b = 1 1 1; x = Hbx = 3 -24 30l上述運算得到的結(jié)果均為精確解，如果對相同的運算采用上述運算得到的結(jié)果均為精確解，如果對相同的運算采用數(shù)值解，則得到的解會存在誤差，見下面的代碼：數(shù)值解，則得到的解會存在誤差，見下面的代碼： digit

19、s(16) V = vpa(H)2022年4月3日第29頁V = 1., .5000000000000000, .3333333333333333 .5000000000000000, .3333333333333333, .2500000000000000 .3333333333333333, .2500000000000000, .2000000000000000 inv(V)ans = 9.000000000000179, -36.00000000000080, 30.00000000000067 -36.00000000000080, 192.0000000000042, -180.0

20、000000000040 30.00000000000067, -180.0000000000040, 180.0000000000038 det(V)ans =.462962962962953e-3 Vbans = 3.000000000000041 -24.00000000000021 30.000000000000192022年4月3日第30頁l上面的上面的 Hilbert 矩陣為非奇異矩陣，下面查看對矩陣為非奇異矩陣，下面查看對奇異矩陣的操作。首先，改變矩陣奇異矩陣的操作。首先，改變矩陣 H 的第一個元的第一個元素，使其成為奇異矩陣，然后對其進行運算，見素，使其成為奇異矩陣，然后對其進

21、行運算，見下面的代碼：下面的代碼： H(1,1)=8/9; det(H)ans =0 inv(H)? Error using = sym.invError, (in inverse) singular matrix2022年4月3日第31頁矩陣的特征值分解矩陣的特征值分解 l在在 MATLAB 中，矩陣的特征值和特征向量中，矩陣的特征值和特征向量由函數(shù)由函數(shù) eig 計算。該函數(shù)的主要用法為：計算。該函數(shù)的主要用法為： E = eig(A)，計算符號矩陣，計算符號矩陣 A 的符號特征值，的符號特征值，返回結(jié)果為一個向量，向量的元素為矩陣返回結(jié)果為一個向量，向量的元素為矩陣 A 的的特征值；特征

22、值； V,E = eig(A)，計算符號矩陣，計算符號矩陣 A 的符號特征值的符號特征值和符號特征向量，返回結(jié)果為兩個矩陣：和符號特征向量，返回結(jié)果為兩個矩陣：V 和和 E，V 是矩陣是矩陣 A 的特征向量組成的矩陣，的特征向量組成的矩陣，E 為為 A 的特征值組成的對角矩陣，得到的結(jié)果滿足的特征值組成的對角矩陣，得到的結(jié)果滿足A*V = V*E。2022年4月3日第32頁Jordon 標準型標準型 l當利用相似變換將矩陣對角化時會產(chǎn)生當利用相似變換將矩陣對角化時會產(chǎn)生 Jordon 標準型。對于給定的矩陣標準型。對于給定的矩陣 ，如果存在非奇異矩，如果存在非奇異矩陣陣 ，使得矩陣，使得矩陣

23、最接近對角形，則矩陣稱為的最接近對角形，則矩陣稱為的 Jordon 標準型。標準型。MATLAB 中函數(shù)中函數(shù) jordan 用于用于計算矩陣的計算矩陣的 Jordon 標準型。該函數(shù)的調(diào)用格式標準型。該函數(shù)的調(diào)用格式如下：如下： J = jordan(A)，計算矩陣的，計算矩陣的 Jordon 標準型；標準型； V,J = jordan(A)，返回矩陣的，返回矩陣的 Jordon 標準型，同時標準型，同時返回相應(yīng)的變換矩陣，滿足返回相應(yīng)的變換矩陣，滿足VA*V=J。2022年4月3日第33頁奇異值分解奇異值分解 l奇異值分解是矩陣分析中的一個重要內(nèi)容，在理論分析和奇異值分解是矩陣分析中的一個

24、重要內(nèi)容，在理論分析和實踐計算中都有著廣泛的應(yīng)用。在實踐計算中都有著廣泛的應(yīng)用。在 MATLAB 中，完全的中，完全的奇異值分解只對可變精度的矩陣可行。進行奇異值分解的奇異值分解只對可變精度的矩陣可行。進行奇異值分解的函數(shù)為函數(shù)為 svd，該函數(shù)的調(diào)用格式為：，該函數(shù)的調(diào)用格式為： sigma = svd(A)，計算矩陣的奇異值；，計算矩陣的奇異值； sigma = svd(vpa(A)，采用可變精度計算矩陣的奇異值；，采用可變精度計算矩陣的奇異值； U,S,V = svd(A)，矩陣奇異值分解，返回矩陣的奇異向量矩陣和，矩陣奇異值分解，返回矩陣的奇異向量矩陣和奇異值所構(gòu)成的對角矩陣。滿足奇異

25、值所構(gòu)成的對角矩陣。滿足A = U*S*V。 U,S,V = svd(vpa(A)，采用可變精度計算對矩陣進行奇異值分，采用可變精度計算對矩陣進行奇異值分解。解。2022年4月3日第34頁符號方程的求解符號方程的求解 l代數(shù)方程的求解代數(shù)方程的求解 l求解代數(shù)方程組求解代數(shù)方程組 l微分方程的求解微分方程的求解 l微分方程組的求解微分方程組的求解 l復合方程復合方程 l反方程反方程 2022年4月3日第35頁符號積分變換符號積分變換 l符號傅立葉變換符號傅立葉變換 l符號拉普拉斯變換符號拉普拉斯變換 l符號符號 Z 變換變換 2022年4月3日第36頁傅立葉變換傅立葉變換l傅立葉變換由函數(shù)傅立

26、葉變換由函數(shù) fourier 實現(xiàn)，該函數(shù)的實現(xiàn)，該函數(shù)的調(diào)用格式為：調(diào)用格式為： F = fourier(f)，實現(xiàn)函數(shù)，實現(xiàn)函數(shù) f 的傅立葉變換，如的傅立葉變換，如果果 f 的默認自變量為的默認自變量為 x，則返回，則返回 f 的傅立葉變的傅立葉變換結(jié)果，默認自變量為換結(jié)果，默認自變量為 w；如果；如果 f 的默認自變的默認自變量為量為 w，則返回結(jié)果的默認自變量為，則返回結(jié)果的默認自變量為 t； F = fourier(f,v)，返回結(jié)果為，返回結(jié)果為 v 的函數(shù)；的函數(shù)； F = fourier(f,u,v)，f 的自變量為的自變量為 u，返回結(jié)果，返回結(jié)果為為 v 的函數(shù)。的函數(shù)。

27、2022年4月3日第37頁傅立葉逆變換傅立葉逆變換l傅立葉逆變換由函數(shù)傅立葉逆變換由函數(shù) ifourier 實現(xiàn)，該函數(shù)的調(diào)實現(xiàn)，該函數(shù)的調(diào)用格式為：用格式為： f = ifourier(F)，實現(xiàn)函數(shù)，實現(xiàn)函數(shù) F 的傅立葉逆變換，如果的傅立葉逆變換，如果 F 的默認自變量為的默認自變量為 w，則返回結(jié)果，則返回結(jié)果 f 的默認自變量為的默認自變量為 x，如果如果 F 的自變量為的自變量為 x ，則返回結(jié)果，則返回結(jié)果 f 的自變量為的自變量為 t； f = ifourier(F,u)，實現(xiàn)函數(shù)，實現(xiàn)函數(shù) F 的傅立葉逆變換，返回的傅立葉逆變換，返回結(jié)果結(jié)果 f 為為 u 的函數(shù)；的函數(shù)；

28、f = ifourier(F,v,u)，實現(xiàn)函數(shù)，實現(xiàn)函數(shù) F 的傅立葉逆變換，的傅立葉逆變換，F(xiàn) 的的自變量為自變量為 v，返回結(jié)果，返回結(jié)果 f 為為 u 的函數(shù)。的函數(shù)。2022年4月3日第38頁符號拉普拉斯變換符號拉普拉斯變換 llaplace 函數(shù)實現(xiàn)符號函數(shù)的拉普拉斯變換。函數(shù)實現(xiàn)符號函數(shù)的拉普拉斯變換。該函數(shù)的調(diào)用格式為：該函數(shù)的調(diào)用格式為： laplace(F)，實現(xiàn)函數(shù)，實現(xiàn)函數(shù) F 的拉普拉斯變換，如的拉普拉斯變換，如果果 F 的默認自變量為的默認自變量為 t，返回結(jié)果的默認自變，返回結(jié)果的默認自變量為量為 s；如果；如果 F 的默認自變量為的默認自變量為 s，則返回結(jié)，則返回結(jié)果為果為 t 的函數(shù)；的函數(shù)； laplace(F,t)，返回函數(shù)的自變量為，返回函數(shù)的自變量為