譜估計(jì)與譜第一章

1、 匯報(bào)人： 主要內(nèi)容主要內(nèi)容1.引言2.經(jīng)典譜估計(jì)方法3.非參數(shù)化方法的性質(zhì)1. 引言引言功率譜密度的第一種定義：功率譜密度的第二種定義：以上兩種定義是非參數(shù)化譜估計(jì)方法的依據(jù)2. 經(jīng)典譜估計(jì)方法經(jīng)典譜估計(jì)方法 經(jīng)典譜估計(jì)是建立在傳統(tǒng)的傅立葉變換基礎(chǔ)之上的。經(jīng)典譜估計(jì)又可以分為兩種方法：相關(guān)圖法。 1958年，Blackman和Tukey首先提出相關(guān)圖法。周期圖法 1898年，Schuster在尋找太陽(yáng)黑子數(shù)據(jù)中隱藏的周期性的研究工作中，提出了周期圖法，但直到1965年提出FFT以后，周期圖法才受到人們的重視。 2.1 PSD估計(jì)周期圖(Periodogram)法 周期圖方法的依據(jù)是PSD的定

2、義2。當(dāng)我們只有采樣 時(shí)，忽略PSD定義2中的期望E和極限 運(yùn)算，就可以得到周期圖譜估計(jì)器： 周期圖譜估計(jì)器的重要用途之一就是判斷時(shí)間序列中可能“隱含的周期性”（周期性是一種規(guī)律性）。這可能是“周期圖”這一名稱(chēng)的由來(lái)。2.2 PSD估計(jì)相關(guān)圖(Correlogram)法 相關(guān)圖法譜估計(jì)器是基于PSD的定義1得到的：式中r(k)表示由采樣y(1), y(N )得到的自協(xié)方差序列r(k)的估值。（1）兩種）兩種 r(k) 標(biāo)準(zhǔn)無(wú)偏ACS估計(jì) 標(biāo)準(zhǔn)有偏ACS估計(jì) 負(fù)延遲部分構(gòu)成，利用特性： r(k) = r* (k), k= 0, N 1（2）有偏）有偏ACS估計(jì)最經(jīng)常利用估計(jì)最經(jīng)常利用 因?yàn)閍.協(xié)

3、方差函數(shù)一般衰減較快，所以大K時(shí)r(k) 很??； b.采樣協(xié)方差 r(k)應(yīng)半正定。 有偏ACS估計(jì)可滿(mǎn)足上述兩個(gè)條件。1.3 周期圖和相關(guān)圖譜估計(jì)器的等效性 當(dāng)用標(biāo)準(zhǔn)的有偏ACS估計(jì)進(jìn)行計(jì)算時(shí)，相關(guān)圖譜估計(jì) 與周期圖譜估計(jì) 一致。 一個(gè)簡(jiǎn)單證明:考慮信號(hào) ，即 x(t)為一個(gè)傳遞函數(shù)為 的濾波器在輸入為一個(gè)單位方差白噪聲條件下的輸出 。另一方面，注意 y(k), k= 1, N 是固定的（非隨機(jī)的）濾波器脈沖響應(yīng)。3. 周期圖法的性質(zhì)周期圖法的性質(zhì) 3.1 一個(gè)估計(jì)器用來(lái)表征其性能的兩種度量：偏差和方差。 a 之估計(jì)a的均方誤差MSE3.2 周期圖/相關(guān)圖譜估計(jì)偏差分析：（1）周期圖）周期圖

4、 和相關(guān)圖和相關(guān)圖 的均值的均值 有偏自協(xié)方差序列ACS估計(jì) 均值 （2）將）將 表為兩個(gè)序列乘積表為兩個(gè)序列乘積DTFT兩個(gè)序列各自?xún)蓚€(gè)序列各自DTFT的卷積的卷積 （3）窗及其作用）窗及其作用 窗的作用 （4）無(wú)偏）無(wú)偏ACS估計(jì)估計(jì) 相關(guān)圖譜估計(jì)相關(guān)圖譜估計(jì) 可見(jiàn)， (Fejer核)與 (Dirichlet核)之間并無(wú)“實(shí)質(zhì)性”差別。（5）希望什么樣的窗？）希望什么樣的窗？ 希望 盡可能接近 () 希望窗 近似于一個(gè)Dirac脈沖。（6）周期圖）周期圖/相關(guān)圖譜估計(jì)偏差的兩個(gè)分量相關(guān)圖譜估計(jì)偏差的兩個(gè)分量 (i) 主瓣有一定的寬度，不像Dirac脈沖。 半功率(3dB)主瓣寬度，用表示為

5、而，用 表示則為 ； (ii) 有大量旁瓣，也不像Dirac脈沖。（第一旁瓣高度-25dB； 第一旁瓣高度-13dB）； (iii) 周期圖譜估計(jì)偏置兩分量： 模糊（Smearing）非零主瓣寬度影響， 泄漏（Leakage）非零旁瓣高度影響。（7）周期圖）周期圖/相關(guān)圖譜估計(jì)偏置分析：窗函數(shù)相關(guān)圖譜估計(jì)偏置分析：窗函數(shù) 非零主瓣寬度影響非零主瓣寬度影響 假設(shè) ()有兩個(gè)峰值，頻率 f 間隔小于 。在 E p()中由于()與 主瓣的卷積則不能分辨，將兩個(gè)峰值變?yōu)橐粋€(gè)寬峰值。這類(lèi)主瓣對(duì)估計(jì)譜的影響稱(chēng)作模糊(Smearing)。主瓣模糊使得周期圖/相關(guān)圖方法不能分辨頻率 f 間隔小于 的細(xì)節(jié)； 稱(chēng)

6、之為周期圖方法譜分辨限。（8）周期圖）周期圖/相關(guān)圖譜估計(jì)偏置分析：窗函數(shù)相關(guān)圖譜估計(jì)偏置分析：窗函數(shù) 非零旁瓣高度影響非零旁瓣高度影響 例如，()中占優(yōu)勢(shì)的峰值可能通過(guò)與 旁瓣的卷積導(dǎo)致一種估計(jì)譜()，它在() = 0 的頻帶中包含了功率( () 0 ) ，這類(lèi)旁瓣對(duì)估計(jì)譜的影響稱(chēng)作泄漏（Leakage）將功率從集中的頻帶傳遞到小量或沒(méi)有的頻帶。（9）峰值和平滑譜的模糊和泄漏）峰值和平滑譜的模糊和泄漏 對(duì)于有大幅值范圍的譜（像peaky spectra），模糊和泄漏是特別重要的。 對(duì)于平滑譜(smooth spectra)，模糊和泄漏重要性要小。特別對(duì)于白噪聲，周期圖是一個(gè)無(wú)偏譜估計(jì)器：Ep

7、 () = () 注意:估計(jì)量是一個(gè)隨機(jī)量。無(wú)偏估計(jì)器指估計(jì)量均值等于待估計(jì)量真值。（10）周期圖）周期圖/相關(guān)圖是一個(gè)漸近無(wú)偏譜估相關(guān)圖是一個(gè)漸近無(wú)偏譜估計(jì)器計(jì)器 如果有可能增加N， p () 中的偏差將隨著N增加逐步消失。然而，周期圖方法的主要問(wèn)題是方差大。3.3 周期圖/相關(guān)圖方差分析（1）周期圖）周期圖 p ()的有限采樣方差和漸近方差的有限采樣方差和漸近方差（N1) ()的有限采樣方差只是在某些特殊情況下（像白高斯噪聲情況）容易建立。 ()的漸近方差（N1 ）可對(duì)更一般的信號(hào)導(dǎo)出：足以說(shuō)明周期圖的統(tǒng)計(jì)精度差。（2）高斯復(fù)）高斯復(fù)/圓白噪聲信號(hào)圓白噪聲信號(hào) e(t ) 之之() 的漸的

8、漸近方差近方差/協(xié)方差協(xié)方差（3）一般線性信號(hào)）一般線性信號(hào)y(t)（有色噪聲信號(hào)：高斯（有色噪聲信號(hào)：高斯白噪聲序列白噪聲序列 e(t) 線性濾波線性濾波（式中 表示一個(gè)隨機(jī)變量的二階矩平方根，對(duì)于某些a0的值，隨著 N ，趨向于0的速度至少為 ）3.4 周期圖/相關(guān)圖是一個(gè)非一致譜估計(jì)器（1）對(duì)于相當(dāng)一般的信號(hào)，周期圖值是漸近地）對(duì)于相當(dāng)一般的信號(hào)，周期圖值是漸近地(N1)不相關(guān)隨機(jī)變量，它的均值和標(biāo)準(zhǔn)偏差都不相關(guān)隨機(jī)變量，它的均值和標(biāo)準(zhǔn)偏差都等于真正的等于真正的PSD值值() （2）周期圖）周期圖() 圍繞著真正的圍繞著真正的PSD()起伏起伏（非（非0方差），甚至處理的采樣長(zhǎng)度方差），甚至處理的采樣長(zhǎng)度N增至無(wú)限，增至無(wú)限，依然如此。依然如此。（3）周期圖值）周期圖值 p () 對(duì)于大對(duì)于大N值是不相關(guān)的，值是不相關(guān)的，類(lèi)似于白噪聲的情況，使得周期圖呈現(xiàn)一種類(lèi)似于白噪聲的情況，使得周期圖呈現(xiàn)一種erratic behavior （飄忽不定的行為）（飄忽不定的行為） 形成形成周期圖方法周期圖方法 作作PSD估計(jì)的主要限制。估計(jì)的主要限制。 注意：一致估計(jì)器指采樣數(shù)N增至