《彈性力學(xué)》試題參考答案

1、1彈性力學(xué)試題參考答案（答題時(shí)間：100 分鐘）、填空題（每小題 4 4 分）1 最小勢能原理等價(jià)于彈性力學(xué)基本方程中：平衡微分方程，應(yīng)力邊界條件。2 一組可能的應(yīng)力分量應(yīng)滿足：平衡微分方程，相容方程（變形協(xié)調(diào)條件）。3 .等截面直桿扭轉(zhuǎn)問題中，2 dxdy M的物理意義是桿端截面上剪應(yīng)力對轉(zhuǎn)軸的矩等于桿截面內(nèi)的扭矩 M M 。4 4平面問題的應(yīng)力函數(shù)解法中，AiryAiry 應(yīng)力函數(shù)在邊界上值的物理意義為邊界上某一點(diǎn)（基準(zhǔn)點(diǎn)）到任一點(diǎn)外力的矩。5 5 彈性力學(xué)平衡微分方程、幾何方程的張量表示為：1j,jXi0,j2（ui，jUji）。、簡述題（每小題 6 6 分）1 1 試簡述力學(xué)中的圣維南

2、原理，并說明它在彈性力學(xué)分析中的作用。圣維南原理：如果物體的 一小部分邊界 上的面力變換為分布不同但 靜力等效的面力（主矢與主矩相同），則近處的應(yīng)力 分布將有 顯著的改變，但遠(yuǎn)處的應(yīng)力 所受影響可以忽略不計(jì)作用：（1 1）將次要邊界上復(fù)雜的面力（集中力、集中力偶等）作分布的面力代替。（2 2）將次要的位移邊界條件轉(zhuǎn)化為應(yīng)力邊界條件處理。題二（2 2）圖P P,板的幾何尺寸如圖，材料的彈性模量E E、泊松(a(a)(x, y) ax2bxy cy2(r, ) r2f()(b)(x, y) ax3bx2y cxy2(r, ) r3f()dy32題二(3 3)圖設(shè)當(dāng)各邊界受均布?jí)毫 q 時(shí)，兩力作

3、用點(diǎn)的相對位移為I。由；27222q . a blab(1ES，由功的互等定理有：q S P I1i 22SPa2b2EE E、丨有關(guān)。4 4圖示曲桿，在rb邊界上作用有均布拉應(yīng)力q q,在自由端作用有水平集中力P P。試寫出其邊界條件(除固定端外)想，并指出各自的適用性LoveLove、GalerkinGalerkin 位移函數(shù)法求解空間彈性力學(xué)問題的基本思想：(1)變求多個(gè)位移函數(shù)u(x, y), v(x, y), w(x, y)或ur(r, ), u (r,)為求一些特殊函數(shù)，如調(diào)和函數(shù)、重調(diào)和函數(shù)。(2)變求多個(gè)函數(shù)為求單個(gè)函數(shù)(特殊函數(shù))。題二(4 4 )圖(1)rr bq,rr0；

4、b，(2)0,0r arabb(3)drPcosrdr PsinaarbrdrPcos a ba2LoveLove)位移函數(shù)法、伽遼金(E(1 )q得,)設(shè)板在力 P P 作用下的面積改變?yōu)閷代入得：顯然，S與板的形狀無關(guān)，僅與GalerkinGalerkin )位移函數(shù)法求解空間彈性力學(xué)問題的基本思5 5 .試簡述拉甫223適用性：LoveLove 位移函數(shù)法適用于求解軸對稱的空間問題；GalerkinGalerkin 位移函數(shù)法適用于求解非軸對稱的空間問題。二、計(jì)算題4圖示半無限平面體在邊界上受有兩等值反向，間距為 d d 的集中力作用，單位寬度上集中力的值為 P P,試求其應(yīng)力分量，并

5、討論所求解的適用范圍。（提示：取應(yīng)力函數(shù)為22Asin 2；r邊界條件:由該脫離體的平衡,將r代入并積分,設(shè)間距 d d 很小。Asin 2d很小,Pd，可近似視為半平面體邊界受一集中力偶M M 的情形。將應(yīng)力函數(shù)(r,）代入， 可求得應(yīng)力分量:(2Acos2B)(1)代入應(yīng)力分量式，t（2A0,B)2A0,(1)（2 2）取一半徑為的半圓為脫離體, 邊界上受有:，和 M M = = PdPd(2Acos2B)r2dAsin 2(2)225Pd代入應(yīng)力分量式，得聯(lián)立式（1 1）、（ 2 2）求得:62Pd sin22Pd sin2r2;0；r2。rr結(jié)果的適用性：由于在原點(diǎn)附近應(yīng)用了圣維南原理

6、，故此結(jié)果在原點(diǎn)附近誤差較大，離原點(diǎn)較遠(yuǎn)處可適用。2 2 圖示懸臂梁，受三角形分布載荷作用，若梁的正應(yīng)力求出xy,y,并檢驗(yàn)該應(yīng)力分量能否滿足應(yīng)力表示的相容方程。lh3積分上式，得利用邊界條件：xyh0，有y2(12(12 分)解：（1 1）求橫截面上正應(yīng)力任意截面的彎矩為M題三（2 2 ）圖xq-X3，截面慣性矩為I?2，由材料力學(xué)計(jì)算公式有xMyT2q3xy（2）由平衡微分方程求xy、yxxyX0平衡微分方程：xyyxyY0 xy其中，X 0,Y0。將式（1 1）代入式（2 2）,有(1)由材料力學(xué)公式給出，試由平衡微分方程xyy6qoxy3qolh3fi(x)227理X2h24lh3f,

7、x) 0即h(x)宴x2h4lh38將式（4 4）代入式(3(3),有g(shù)y2lh38h)積分得6q0利用邊界條件:得:h3243冀 x(lh31hlh3X(24 8h1 匕38h)3)由第二式，得f2（X）q。X2l將其代入第一式，得2lX將f2b）代入y的表達(dá)式,所求應(yīng)力分量的結(jié)果:MyIq0 xy校核梁端部的邊界條件：（1 1）梁左端的邊界（X X = = 0 0）：3qo2 z 2(y3qxy眉2/ 2(y6qlh34h2)(4(4)x(翌1h234q。TX，f2(X)f2(X)y)f2（X）自然成立。h2y) x34y2l(5(5)?2)1h2y)4y2l9h2h x2xdy o,h2

8、xody0代入后可見：自然滿足。（2 2）梁右端的邊界（x xh2h2idyxh xy2223qx ,2 h2dylh2h2xy|dydyiqlh2h2ydyh2h22qx3lh3dy2qol33-3lhqol2可見，所有邊界條件均滿足。檢驗(yàn)應(yīng)力分量是否滿足應(yīng)力相容方程:常體力下的應(yīng)力相容方程為2(xy)y)將應(yīng)力分量x,xy,y式(6(6) 代入應(yīng)力相容方程,顯然，應(yīng)力分量2(y)1230 xy，lh2y)(2xy)畀xylh3y)xy 0 x,xy,y不滿足應(yīng)力相容方程，因而式（6 6）并不是該該問題的正確解。3 3. 一端固定，另一端彈性支承的梁,其跨度為 I I,抗彎剛度 EIEI 為

9、常數(shù),梁端支承彈簧的剛度系數(shù)為k k。梁受有均勻分布載荷 q q 作用，如圖所示。試:（1）構(gòu)造兩種形式（多項(xiàng)式、三角函數(shù)）的梁撓度試函數(shù)w （x）；（2 2）用最小勢能原理或 RitzRitz 法求其多項(xiàng)式形式的撓度近似解（取1 1 項(xiàng)待定系數(shù)）（1313 分）題二（3 3 ）圖10解：兩種形式的梁撓度試函數(shù)可取為2 2w(x) x (A1A2XA3X多項(xiàng)式函數(shù)形式此時(shí)有:w(x)w (x)w(x)w (x)nw(x)X2(AI2x(AinAm(1m 1Am(112m x、cos )三角函數(shù)形式A2XA2XA3X2A3X22m x、cos-)lx00)X2(A2ASXnmiAm2mI 2m

10、x sin-即滿足梁的端部邊界條件。梁的總勢能為lEI0d2wdx2dx0qw(x)dx?。簑( x)A-IX2，有d2wdx22w(l) Al代入總勢能計(jì)算式，有I20EI(2A)2dxl212 2qx2Adx ?k(Ail2)22EllA；qAi ,3il3丄kA2l432由n0，有4EIIAikA4即0ql33(4EII kl4)代入梁的撓度試函數(shù)表達(dá)式，得一次近似解為w(x)ql323(4EIl kl4)X4.已知受力物體內(nèi)某一點(diǎn)的應(yīng)力分量為:0,y2MPa,z1MPa,Xy1MPa,yz0,110 1 23 11202 0 11I295 73 32.64 MPaII111彈性力學(xué)課程

11、考試試卷學(xué)號(hào)：姓名：工程領(lǐng)域： 建筑與土木工程題號(hào)一一一-二四五總分得分考試時(shí)間：120分鐘考試方式：開卷任課教師：楊靜日期：2007年4月28日、簡述題（40 分）1.1.試敘述彈性力學(xué)兩類平面問題的幾何、受力、應(yīng)力、應(yīng)變特征，并指出兩類平面問題中彈性常 數(shù)間的轉(zhuǎn)換關(guān)系。2.2.彈性力學(xué)問題按應(yīng)力和位移求解，分別應(yīng)滿足什么方程？3.3.寫出直角坐標(biāo)下彈性力學(xué)平面問題的基本方程和邊界條件？4.4.寫出彈性力學(xué)按應(yīng)力求解空間問題的相容方程。5.5.求解彈性力學(xué)問題時(shí)，為什么需要利用圣維南原理？6.6.試敘述位移變分方程和最小勢能原理，并指出他們與彈性力學(xué)基本方程的等價(jià)性？7.7.試判斷下列應(yīng)變場

12、是否為可能的應(yīng)變場？（需寫出判斷過程）xC（x2y2），yCy2，xy2Cxy。zx2MPa試求經(jīng)過該點(diǎn)的平面x 3y z 1上的正應(yīng)力（1212分）解：由平面方程x 3y z1,得其法線方向單位矢量的方向余弦為13-，m -11，.,1232123n11.11，n廠3廠12111“11,111128.8.試寫出應(yīng)力邊界條件：(1) (a)圖用極坐標(biāo)形式寫出；(2) (b)圖用直角坐標(biāo)形式寫出。切應(yīng)力。三、計(jì)算題(15 分)圖示矩形截面懸臂梁，長為I，高為h，在左端面受力P作用。不計(jì)體力，試求梁的應(yīng)力分量。(試圖示半無限平面體在邊界上受有兩等值反向，間距為 d d 的集中力作用，單位寬度上集中

13、力的值為P P，設(shè)間距 d d 很小。試求其應(yīng)力分量，并討論所求解的適用范圍。(試取應(yīng)力函數(shù)y(b)圖試求作用在過此點(diǎn)的平面2a，a，xya，yz0，zx2a。x 3y z 1上的沿坐標(biāo)軸方向的應(yīng)力分量,以及該平面上的正應(yīng)力和四、計(jì)算題(15 分)取應(yīng)力函數(shù)Axy313Asin 2 B)五、計(jì)算題(15 分)如圖所示的懸臂梁，其跨度為I?？箯潉偠葹镋I，在自由端受集中力P作用。試用最小勢能原14彈性力學(xué)試題（答題時(shí)間：120 分鐘）班級(jí)_姓名_ 學(xué)號(hào)_題號(hào)-一-二二三總分(1 1)(2 2)(3 3)(4 4)得分、填空題（每小題 4 4 分）1 用最小勢能原理求解時(shí)所假設(shè)的位移試函數(shù)應(yīng)滿足：

14、_。2 彈性多連體問題的應(yīng)力分量應(yīng)滿足 _, _, _ , _。3 拉甫（LoveLove ）位移函數(shù)法適用 _空間問題；伽遼金（ GalerkinGalerkin ）位移函數(shù)法適用于空間問題。4 圣維南原理的基本要點(diǎn)有 _, _ , _。5 .有限差分法的基本思想為： _ , _。、簡述題（每小題 5 5 分）1 1.試比較兩類平面問題的特點(diǎn)，并給出由平面應(yīng)力到平面應(yīng)變問題的轉(zhuǎn)換關(guān)系。2 2 .試就下列公式說明下列問題：（1 1）單連體問題的應(yīng)力分量與材料的彈性常數(shù)無關(guān)；（2 2）多連體彈性力學(xué)問題中應(yīng)力分量與彈性常數(shù)無關(guān)的條件。xy21（Z）1(z)4 Re1（Z）yx2ixy2 z1（Z

15、）1（Z）1m1(XkiYk)l n(zZk)18k 13m1(XkiYk)l n(zZk)18k 1式中：1（z）,1（z）均為解析函數(shù)；1（z）,1（z）均為單值解析函數(shù)。理求最大撓度。（設(shè)梁的撓度曲線wA(1cos )2l153 3試列寫圖示半無限平面問題的邊界條件。題二（3 3 ）圖4.4.圖示彈性薄板，作用一對拉力 P P。試由功的互等定理證明： 薄板的面積改變量S與板的形狀無關(guān),僅與材料的彈性模量 E E、泊松比 、兩力 P P 作用點(diǎn)間的距離 I I 有關(guān)。題二（4 4）圖5.5.下面給出平面問題（單連通域）的一組應(yīng)變分量，試判斷它們是否可能。xC（x2y2）,yCy2,xy2C

16、xy。6.6.等截面直桿扭轉(zhuǎn)問題的應(yīng)力函數(shù)解法中，應(yīng)力函數(shù)（x, y）應(yīng)滿足：22GK式中：G G 為剪切彈性模量；K K 為桿件單位長度扭轉(zhuǎn)角。試說明該方程的物理意義。三、計(jì)算題1 1.圖示無限大薄板，在夾角為 9090的凹口邊界上作用有均勻分布剪應(yīng)力q q。已知其應(yīng)力函數(shù)為:2r （Acos2 B）不計(jì)體力，試求其應(yīng)力分量。（1313 分）2 2 .圖示矩形截面桿，長為 I I，截面高為 h h,寬為單位 1 1，受偏心拉力 N N，偏心距為 e e,不計(jì)桿的體力。16題三（1 1）圖17Ay3By2求桿的應(yīng)力分量，并與材料力學(xué)結(jié)果比較。（1212 分）3 3圖示簡支梁，其跨度為 I I，抗彎剛度 EIEI 為常數(shù)，受有線性分布載荷q q 作用。試求：（1 1） 用三角函數(shù)形式和多項(xiàng)式寫出梁撓度（w w）近似函數(shù)的表達(dá)式；（2 2） 在上述梁撓度（w w）近似函數(shù)中任選一種，用最小勢能原理或RitzRitz 法求梁撓度（w w）的近似解（取 2 2 項(xiàng)待定系數(shù)）。（1313 分）%