高等數(shù)學教學大綱(4)

1、.高等數(shù)學教學大綱 一、課程性質(zhì)、目的及開課對象 高等數(shù)學是研究空間形式和數(shù)量關(guān)系的科學，隨著現(xiàn)代科學和經(jīng)濟建設(shè)的高速發(fā)展，數(shù)學的思想、內(nèi)容、方法和語言日益在科學技術(shù)、生產(chǎn)和生活中得到非常廣泛的應(yīng)用，成為現(xiàn)代社會不可缺少的組成部分。因此，使學生在高等學校繼續(xù)受到必要的數(shù)學教育，提高數(shù)學素養(yǎng)，對培養(yǎng)高素質(zhì)勞動者和高級專門人才具有十分重要的意義。 高等數(shù)學課程是高等學校理(非數(shù)學專業(yè))、工各專業(yè)學生必修的主要基礎(chǔ)課，有很強的工具功能。 通過本課程的學習，逐步培養(yǎng)學生的抽象思維能力和實際應(yīng)用能力，為各類專業(yè)課打下堅實的基礎(chǔ)。提高學生分析問題和解決問題的能力，發(fā)展學生的創(chuàng)新意識，拓寬學生的知識視野，進

2、一步培養(yǎng)學生的科學思維方法和辯證唯物主義思想。 開課對象：理(非數(shù)學專業(yè))、工各專業(yè)。 授課時間：一學年。 二、先修課程：初等數(shù)學。 三、教學方法與考核方式 教學方法：教師以講授為主，學生自學為輔。 考核方式：考試。 四、課程學時數(shù)分配建議 本課程授課時數(shù)約為190學時，具體安排如下： 函數(shù)、極限、連續(xù) 約 20 學時 一元函數(shù)微分學 約 34 學時 一元函數(shù)積分學 約 38 學時 向量代數(shù)與空間解析幾何 約 18 學時 多元函數(shù)微分學 約 22 學時 多元函數(shù)積分學 約 26 學時 無窮級數(shù) 約 18 學時 常微分方程 約 14 學時 五、教學內(nèi)容 第一章 極限與連續(xù) 重點：(1) 函數(shù)的定

3、義和定義域、基本初等函數(shù)的圖象和性質(zhì)、復合函數(shù)的概念; (2) 函數(shù)極限的概念，(3) 無窮小、具有極限的函數(shù)與無窮小的關(guān)系，(4) 極限的四則運算法則，(5) 兩個重要極限，(6) 函數(shù)在某一點連續(xù)的概念，(7) 閉區(qū)間連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)。 難點：(1) 函數(shù)極限的概念；(2) 判定函數(shù)在某點的連續(xù)性。 課程內(nèi)容 §11 映射與函數(shù) §12 數(shù)列的極限 §13 函數(shù)的極限 §14 無窮小與無窮大 §15 極限運算法則 §16 極限存在準則 兩個重要極限 §17 無窮小的比較 §18 函數(shù)的連續(xù)性與間斷點 §

4、19 連續(xù)函數(shù)的運算與初等函數(shù)的連續(xù)性 §110 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì) 掌握要點 (1) 理解函數(shù)的概念。 (2) 了解函數(shù)奇偶性、單調(diào)性、周期性和有界性。 (3) 理解復合函數(shù)及分段函數(shù)的概念、了解反函數(shù)的概念。 (4) 掌握基本初等函數(shù)的性質(zhì)及其圖形。 (5) 會建立簡單實際問題中的函數(shù)關(guān)系式。 (6) 理解極限的概念(對極限的、定義可在學習過程中逐步加深理解，對于給出求或不作過高要求)。 (7) 掌握極限四則運算法則。 (8) 了解兩個極限存在準則(夾逼準則和單調(diào)有界準則)，會用兩個重要極限求極限。 (9) 了解無窮小、無窮大，以及無窮小的階的概念。會用等價無窮求小極限。 (

5、10) 理解函數(shù)在一點連續(xù)的概念。 (11) 了解間斷點的概念，并會判別間斷點的類型。 (12) 了解初等函數(shù)的連續(xù)性和閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)(介值定理和最大、最小值定理)。 第二章 一元函數(shù)的微積分 重點：(1) 導數(shù)的定義，(2) 函數(shù)的和、差、積、商的求導法則，(3) 復合函數(shù)的求導法則，(4) 基本初等函數(shù)的導數(shù)公式，(5) 微分的定義，(6) 微分的運算，(7) 拉格朗日中值定理，(8)函數(shù)的單調(diào)性與極值的判定，(9) 函數(shù)的凹凸性與拐點的判定，(10) 求應(yīng)用問題中的最大值和最小值，(11) 會描繪函數(shù)的圖形。 難點：(1) 導數(shù)的定義，(2) 復合函數(shù)的求導法則，(3) 微分的概

6、念，(4) 羅爾定理與拉格朗日中值定理的證明，(5) 應(yīng)用問題中最大值與最小值的列式、函數(shù)圖象的描繪。 課程內(nèi)容 §21 導數(shù)概念 §22 函數(shù)的求導法則 §23 高階導數(shù) §24 隱函數(shù)及由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導數(shù) 相關(guān)變化率 §25 函數(shù)的微分 §26 微分中值定理 §27 洛必達法則 §28 泰勒公式 §29 函數(shù)的單調(diào)性與曲線的凹凸性 §210 函數(shù)的極值與最大值最小值 §211 函數(shù)圖形的描繪 §212 曲 率 掌握要點 (1) 理解導數(shù)和微分的概念，理解導數(shù)的幾

7、何意義及函數(shù)的可導性與連續(xù)之間的關(guān)系。 (2) 會用導數(shù)描述一些物理量。 (3) 掌握導數(shù)的四則運算法則和復合函數(shù)的求導法，掌握基本初等函數(shù)、雙曲函數(shù)的導數(shù)公式。了解微分的四則運算法則和一階微分形式不變性。 (4) 了解階導數(shù)的概念。 (5) 掌握初等函數(shù)一階、二階導數(shù)的求法。 (6) 會求隱函數(shù)和參數(shù)式所確定的函數(shù)的一階、二階導數(shù)。會求反函數(shù)的導數(shù)。 (7) 理解羅爾定理和拉格朗日中值定理。 (8) 了解柯西中值定理。 (9) 理解函數(shù)的極限概念，掌握用導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性和求極值的方法。 (10) 會用導數(shù)判斷函數(shù)圖形的凹凸性，會求拐點，會描繪函數(shù)的圖形。會求解較簡單的最大值和最小值問題。

8、 (11) 會用洛必達法則求不定式的極限。 (12) 了解曲率和曲率半徑的概念，并會計算曲率和曲率半徑。 第三章 一元函數(shù)的積分學 重點：(1) 原函數(shù)和不定積分的概念，(2) 直接積分法和第一類換元積分法，(3) 定積分的定義及其幾何意義，(4) 積分上限函數(shù)、牛頓萊布尼茨公式，(5) 反常積分，(6) 定積分的元素法，(7) 定積分在實際問題中的應(yīng)用。 難點：(1) 換元積分法、分部積分法和有理函數(shù)的積分。(2)定積分的定義，(3) 積分上限函數(shù)的導數(shù)，(4) 利用元素法解決定積分的實際應(yīng)用問題。 課程內(nèi)容 §31 不定積分的概念與性質(zhì) §32 換元積分法 §

9、33 分部積分法 §34 有理函數(shù)的積分 §35 定積分的概念與性質(zhì) §36 微積分基本公式 §37 定積分的換元法和分部積分法 §38 反常積分 §39 定積分的元素法 §310 定積分在幾何學上的應(yīng)用 §311 定積分在物理學上的應(yīng)用 掌握要點 (1) 理解不定積分和定積分的概念及性質(zhì)。 (2) 掌握不定積分的基本公式，不定積分、定積分的換元法和分部積分法。 (3) 會求簡單的有理函數(shù)的積分。 (4) 理解變上限積分作為其上限的函數(shù)及其求導定理，掌握牛頓萊布尼茨公式。 (5) 了解反常積分的概念。 (6) 掌握

10、用定積分表達一些幾何量與物理量(如面積、體積、弧長、功、引力等)的方法。 第四章 空間解析幾何與向量代數(shù) 重點：(1) 向量概念及其運算、空間直角坐標系，(2) 數(shù)量積、向量積、混合積，(3) 曲面方程的概念，(4) 空間曲線的一般方程及空間曲線的參數(shù)方程, (5) 平面的點法式方程、兩平面的夾角，(6) 空間直線的一般方程，空間直線的對稱式方程與參數(shù)方程、兩直線的夾角、直線與平面的夾角。 難點：(1) 向量的模、方向角、投影，(2) 兩向量的向量積,(3) 曲面方程的概念，旋轉(zhuǎn)曲面, (4) 空間曲線在坐標面上的投影, (5) 兩平面的夾角, (6) 兩直線的夾角，直線與平面的夾角。 課程內(nèi)

11、容 §41 向量及其線性運算 §42 數(shù)量積 向量積 混合積 §43 曲面及其方程 §44 空間曲線及其方程 §45 平面及其方程 §46 空間直線及其方程 掌握要點 (1) 理解空間直角坐標系，理解向量的概念及其表示。 (2) 掌握向量的運算(線性運算、數(shù)乘、向量乘)，了解兩個向量垂直、平行的條件。 (3) 掌握單位向量、方向余弦、向量的坐標表達式以及用坐標表達式進行向量運算方法。 (4) 掌握平面的方程和直線的方程及其求法；會利用平面、直線的相互關(guān)系解決有關(guān)問題。 (5) 理解曲面方程的概念，了解常用二次曲面的方程及其圖形，了解以

12、坐標軸為旋轉(zhuǎn)軸的旋轉(zhuǎn)曲面及母線平行于坐標軸的柱面方程。 (6) 了解空間曲線的參數(shù)方程和一般方程。 (7) 了解曲面的交線在坐標平面上的投影 第五章 多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用 重點：(1) 多元函數(shù)的概念、多元函數(shù)的極限，(2) 偏導數(shù)的定義及其計算、高階偏導數(shù)，(3) 全微分的定義，(4) 多元復合函數(shù)的求導法則，(5) 隱函數(shù)的求導公式，(6) 空間曲線的切線與法平面、曲面的切平面與法線，(7) 方向?qū)?shù)、梯度，(8) 多元函數(shù)的極值及最大值、最小值。 難點：(1) 多元函數(shù)極限的運算，(2) 偏導數(shù)的幾何意義，(3) 全微分的定義，(4) 正確地應(yīng)用法則計算多元復合函數(shù)的導數(shù)，(5) 隱函

13、數(shù)的求導公式, (6) 求切線、法平面、切平面、法線的方程，(7) 方向?qū)?shù)和梯度的概念，(8) 多元函數(shù)的極值和最大值、最小值的求法。 課程內(nèi)容 §51 多元函數(shù)的基本概念 §52 偏 導 數(shù) §53 全 微 分 §54 多元復合函數(shù)的求導法則 §55 隱函數(shù)的求導公式 §56 多元函數(shù)微分學的幾何應(yīng)用 §57 方向?qū)?shù)與梯度 §58 多元函數(shù)的極值及其求法 掌握要點 (1) 理解多元函數(shù)的概念。 (2) 了解二元函數(shù)的極限與連續(xù)性的概念，以及有界閉域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)。 (3) 理解偏導數(shù)和全微分的概念，了解全微

14、分存在的必要條件和充分條件。 (4) 了解方向?qū)?shù)與梯度的概念及其計算方法。 (5) 掌握復合函數(shù)一階偏導數(shù)的求法，會求復合函數(shù)二階偏導數(shù)。 (6) 會求隱函數(shù)(包括由兩個方程組成的方程組確定的隱函數(shù))的偏導數(shù)。 (7) 了解曲線的切線和法平面及曲面的切平面與法線，并會求出它們的方程。 (8) 理解多元函數(shù)極值和條件極值的概念，會求二元函數(shù)的極值。 第六章 重 積 分 重點：(1) 二、三重積分的定義及性質(zhì)，(2)二重積分的計算，(3) 三重積分的定義及計算，(4) 重積分的應(yīng)用。 難點：(1) 二重積分的定義，(2) 利用直角坐標計算二重積分，(3) 利用重積分解決實際問題。 課程內(nèi)容 &#

15、167;61 二重積分的概念與性質(zhì) §62 二重積分的計算方法 §63 三重積分 §64 重積分的應(yīng)用 掌握要點 (1) 理解二、三重積分的概念、了解重積分的性質(zhì)。 (2) 掌握二重積分的計算方法(直角坐標、極坐標)，了解三重積分的方法(直角坐標、柱面坐標、球面坐標)。 (3) 理解兩類曲線積分的概念，了解兩類曲線積分的性質(zhì)及兩類曲線積分的關(guān)系。 (4) 會計算兩類曲線積分。 (5) 掌握格林公式，會使用平面曲線積分與路徑無關(guān)的條件。 (6) 了解兩曲面積分的概念及高斯、斯托克斯公式并會計算兩類曲面積分。 第七章 無窮級數(shù) 重點：(1) 級數(shù)收斂和發(fā)散的概念及正項

16、級數(shù)的審斂法，(2)五個重要的初等函數(shù)(，, , , )的冪級數(shù)展開式及冪級數(shù)的運算，(3) 以為周期的函數(shù)展開為傅里葉級數(shù)。 難點：(1) 將函數(shù)展開為冪級數(shù)、將周期函數(shù)展開為三角級數(shù)。(2) 將函數(shù)展為冪級數(shù)中的余項的討論、近似計算中余項估計。 課程內(nèi)容 §71 常數(shù)項級數(shù)的概念和性質(zhì) §72 常數(shù)項級數(shù)的審斂法 §73 冪 級 數(shù) §74 函數(shù)展開成冪級數(shù) §75 傅里葉級數(shù) 掌握要點 (1) 理解無窮級數(shù)收斂、發(fā)散以及和的概念，了解無窮級數(shù)基本性質(zhì)及收斂的必要條件。 (2) 掌握幾何級數(shù)和P級數(shù)的收斂性。 (3) 了解正項級數(shù)的比值審斂

17、法、了解正項級數(shù)的比較審斂法。 (4) 了解交錯級數(shù)的萊布尼茨定理。 (5) 了解無窮級數(shù)的收斂與條件收斂的概念，以及絕對收斂與條件收斂的關(guān)系。 (6) 了解函數(shù)項級數(shù)的收斂域及和函數(shù)的概念。 (7) 掌握比較簡單的冪級數(shù)收斂區(qū)間的求法(區(qū)間端點的收斂性可不作要求)。 (8) 了解冪級數(shù)在其收斂區(qū)間的一些基本性質(zhì)。 (9) 了解函數(shù)展開為泰勒級數(shù)的充分必要條件。 第八章 微分方程 重點：(1) 微分方程的概念，(2) 可分離變量的微分方程的解法，(3) 一階線性微分方程的解法，(4) 全微分方程的解法，(5) 常系數(shù)齊次線性微分方程的解法，(6) 常系數(shù)非齊次線性微分方程的解法。 難點：(1) 常數(shù)變易法，(2) 二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的特解的確定，(3) 常微分方程在實際問題中的應(yīng)用。 課程內(nèi)容 §81 微分方程的基本概念 §82 可分離變量的微分方程 §83 齊次方程 §84 一階線性微分方程 §85 全微分方程 §86 可降階的高階微分方程 §87 常系數(shù)齊次線性微分方程