微積分的發(fā)展史

1、聊城大學(xué)本科生畢業(yè)論文題目：微積分的發(fā)展史專業(yè)代碼：070101作者姓名：學(xué)號(hào)：?jiǎn)挝唬褐笇?dǎo)教師：年月日、尸、亠刖言1. 古代東西方微積分思想的萌芽微積分的產(chǎn)生2.1微積分的誕生22.2柯西與魏爾斯特拉斯的貢獻(xiàn)3微積分的意義52. 東西方微積分發(fā)展差異分析結(jié)論6參考文獻(xiàn)8微積分作為數(shù)學(xué)的一個(gè)重要分支，是許多學(xué)科的重要工具.那么它是如何產(chǎn)生的,對(duì)于微積分的發(fā)展史我們從中能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律和啟示呢？通過研究微積分的歷史可以有助于我們的科研與生產(chǎn)，對(duì)于理解微積分也有很大的幫助.關(guān)鍵詞：微積分；發(fā)展史；啟示；意義AbstractCalculusasanimportantbranchofmathematics

2、,isanimportanttoolinmanydisciplines.Sohowitisproduced,thedevelopmenthistoryofcalculusfromwhichwecanfindoutwhatrulesandEnlightenmentThroughthestudyofcalculusofhistorycancontributetothescientificresearchandproductionofourcalculus,fortheunderstandingisalsoagreathelp.Keywords:Calculus;developmenthistory

3、;inspiration;law微積分的發(fā)展史、八,、刖言微積分學(xué)是微分學(xué)與積分學(xué)的總稱，微積分作為現(xiàn)代數(shù)學(xué)的一個(gè)分支，它的觸角幾乎遍布當(dāng)今科學(xué)的各個(gè)角落，更是當(dāng)今科學(xué)的重要基石微積分堪稱是人類智慧最偉大的成就之一.微積分的發(fā)展同時(shí)推動(dòng)了天文學(xué)和物理學(xué)前進(jìn)的步伐，摧毀了籠罩在天體上的神秘主義、迷信和神學(xué).不僅如此，微積分在數(shù)學(xué)這一學(xué)科中同時(shí)又貫穿了多個(gè)分支體系，如極限、微分學(xué)、積分學(xué)、以及導(dǎo)數(shù)等.1. 古代東西方微積分思想的萌芽微積分作為一門學(xué)科是在十七世紀(jì)產(chǎn)生的，標(biāo)志是牛頓一一萊布尼茲公式.然而正如牛頓所說：“如果說我比別人看的更遠(yuǎn)些，那是因?yàn)槲艺驹诹司奕说募缟稀?作為一門學(xué)科，它的產(chǎn)生絕不

4、是偶然，那是無數(shù)先人的努力與支持.公元前三世紀(jì)，古希臘的阿基米德在研究解決“拋物弓形的面積，球和球冠面積,螺旋下面積和旋轉(zhuǎn)雙曲體的體積”的問題中，就隱含著近代積分學(xué)的思想.再比如古希臘數(shù)學(xué)家安提豐的“窮竭法”，前四世紀(jì)由歐多克斯作了補(bǔ)充和完善，它們用來求平面的面積和立體的體積.而在東方，在中國(guó)，前四世紀(jì)的春秋戰(zhàn)國(guó)時(shí)代者惠施稱：“一尺之棰,日取其半，萬世不竭”，引出收斂的數(shù)列，.，-：.在22).2)這里安提豐的“窮竭法”和惠施的“一尺之棰”都是極限思想的濫觴.至公元三世紀(jì),三國(guó)魏人劉徽作九章算術(shù)注，提出“割圓術(shù)”一一割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓合體而無所失矣.他的數(shù)學(xué)表述

5、是以圓的內(nèi)接正62n-1n=1,2邊形的面積代近似單位圓的面積二二、人,算的629=174邊形,得3.14,又進(jìn)一步通過6X29=174邊形,得到一個(gè)相當(dāng)于3.14159的分?jǐn)?shù),即n愈大，二-An愈??；nr-',二-Ar0.剩余面積可以被竭盡.在中國(guó)古代此方法用來求圓周率，在劉徽極限思想的影響下，后來者祖沖之進(jìn)一步求得更精確的圓周率南宋大數(shù)學(xué)家秦九韶于1274年撰寫了劃時(shí)代巨著數(shù)書九章十八卷，創(chuàng)舉世聞名的“大衍求一術(shù)”一一增乘開方法解任意次數(shù)字（高次）方程近似解，比西方早500多年.北宋大科學(xué)家沈括的夢(mèng)溪筆談獨(dú)創(chuàng)了“隙積術(shù)”、“會(huì)圓術(shù)”和“棋局都數(shù)術(shù)”開創(chuàng)了對(duì)高階等差級(jí)數(shù)求和的研究.在

6、此可見在古代的東西方微積分的極限思想已普遍產(chǎn)生，并已經(jīng)能夠解決實(shí)際問題,并且在我國(guó)的一些文學(xué)或哲學(xué)文獻(xiàn)中也有極限的思想.思想家荀子“盡小者大，積微者著”，“不積跬步，無以至千里；不積小流，無以成江?！鄙蚶ㄔ趬?mèng)溪筆談中也提到了“造微之術(shù)”當(dāng)時(shí)沈括已經(jīng)知道分割的單元愈小，所求得的體積,面積俞精確盡管中國(guó)在古代已有微積分思想的萌芽，但微積分最終還是誕生在了西方.2. 微積分的產(chǎn)生在十七世紀(jì)，隨著人們思想的不斷解放，科學(xué)研究的不斷深入,不少科學(xué)問題都以解決，但同樣還有新的問題出現(xiàn)，這些問題主要涉及物理學(xué)、天文學(xué)、軍事等,總結(jié)起來就是求曲線圍成的面積、體積.以及曲線上任意一點(diǎn)的斜率.解決這些迫切需要解決

7、的問題，需要經(jīng)過長(zhǎng)時(shí)間的研究、討論、醞釀,有關(guān)知識(shí)漸漸積累起來，一些最活躍的人理應(yīng)稱為微積分的先驅(qū).2.1微積分的誕生在微積分被發(fā)現(xiàn)之前，求面積只能求規(guī)則圖形的面積，一些在解析幾何中出現(xiàn)的不規(guī)則的圖形的面積，由于沒有公式而無從下手.在十七世紀(jì)求不規(guī)則面積、體積、曲線長(zhǎng)，始于開普勒.他懷疑酒商的酒桶體積,認(rèn)為旋轉(zhuǎn)體的體積是非常薄的圓盤體積之和，卡瓦列里求積提出不可分量法，認(rèn)為面積是無數(shù)個(gè)等距平行線段構(gòu)成的.線是由點(diǎn)構(gòu)成的，就像鏈由珠子穿成一樣；面是由直線構(gòu)成，就像布是由線織成一樣；立體是由平面構(gòu)成，就像書是由頁組成一樣.卡瓦列里的理論來自“窮竭法”，而費(fèi)馬的方法更接近現(xiàn)代的積分，他用小矩形面積近

8、似小曲邊形的面積，最后用相當(dāng)于和式極限的方法，得到正確的結(jié)果求得一個(gè)幕函數(shù)曲線下的曲變形的面積.此后還有華里斯、羅貝瓦兒、這些人都已來到微積分的大門口.微積分的研究源于運(yùn)動(dòng)學(xué)，即對(duì)切線極值、運(yùn)動(dòng)速度的研究.對(duì)于切線，有笛卡爾的早期研究，開普勒用列表法確定了最大體積，他注意到體積接近最大值時(shí)，由尺寸的變化引起體積的變化越來越小，這正是f'x=0的原始形式，當(dāng)時(shí)人們已認(rèn)識(shí)到衛(wèi)的重要性.最后的沖刺來自牛頓與萊布尼茲牛頓總結(jié)了先輩思想和方法，1664-1666年提出流數(shù)理論，建立了一套導(dǎo)數(shù)方法，他稱之為“流數(shù)術(shù)”，牛頓稱連續(xù)變化的量為流動(dòng)的量或流量(fluent),用英文字母v,x,y,z等表

9、示，x的無限小的增量.：x為x的瞬，即無限小時(shí)間間隔為瞬，用小寫字母o表示.流量的速度，即流量在無限小的時(shí)間間隔內(nèi)的變化率，稱為流數(shù)(fluxionofflutnt),用帶點(diǎn)的字母表示牛頓的“流數(shù)術(shù)”就是以流量和瞬為基本概念的微積分，牛頓用有限差分的最初比和最終比來描述“流數(shù)術(shù)”，如函數(shù)y=xnn為正整數(shù)，流量x從x流到xo,函數(shù)值的增量xon-xn,瞬0與增量之比(最初比)，當(dāng)0消失時(shí)，最后比即1：(nXn-1),相當(dāng)于衛(wèi)二nxn-1.牛頓不僅僅引入導(dǎo)數(shù)，還明確了導(dǎo)數(shù)是增量比極限的思想，在1669：xn年寫的運(yùn)用無限多項(xiàng)方程的分析學(xué)不僅給出求一個(gè)變量對(duì)另一個(gè)變量的瞬時(shí)變化率的普遍方法，還證明

10、了“面積可以由變化率的逆過程得到”即“如果lo,x1區(qū)間上曲線是y=maxm-1則它下面的曲邊形面積為Z=axm或矽=y,這一結(jié)dx論稱為牛頓-萊布尼茲定理，此外牛頓還引入分部積分法、變量代換法、方程求根切線法，曲線弧長(zhǎng)計(jì)算方法.牛頓足跡幾乎遍布每一個(gè)數(shù)學(xué)分支.萊布尼茲在同期也做出同樣的貢獻(xiàn)，因此微積分的根本定理是由牛頓與萊布尼茲共同命名.他們的貢獻(xiàn)在于將微分、積分的知識(shí)聯(lián)系起來，發(fā)現(xiàn)了更具有本質(zhì)、更有普遍意義的內(nèi)涵，給出了純潔的概念，特別是建立了變化的概念，創(chuàng)立了有普遍意義的微積分方法等.初創(chuàng)的微積分尚有不少問題，其數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的建立有待后世數(shù)學(xué)家給其注入嚴(yán)密性.2.2柯西與魏爾斯特拉斯的貢獻(xiàn)微

11、積分學(xué)創(chuàng)立以后，由于運(yùn)算的完整性和應(yīng)用的廣泛性，使微積分學(xué)成為了研究自然科學(xué)的有力工具.但微積分學(xué)中的許多概念都沒有精確嚴(yán)密的定義，特別是對(duì)微積分的基礎(chǔ)一無窮小概念的解釋不明確，在運(yùn)算中時(shí)而為零，時(shí)而非零，出現(xiàn)了邏輯上的困境.多方面的批評(píng)和攻擊沒有使數(shù)學(xué)家們放棄微積分，相反卻激起了數(shù)學(xué)家們?yōu)榻⑽⒎e分的嚴(yán)格而努力.從而也掀起了微積分乃至整個(gè)分析的嚴(yán)格化運(yùn)動(dòng).?微積分的嚴(yán)格化工作經(jīng)過近一個(gè)世紀(jì)的嘗試，到19世紀(jì)初已開始顯現(xiàn)成效.對(duì)分析的嚴(yán)密性真正有影響的先驅(qū)則是偉大的法國(guó)數(shù)學(xué)家柯西柯西在數(shù)學(xué)上的最大貢獻(xiàn)是在微積分中引進(jìn)了極限概念，并以極限為基礎(chǔ)建立了邏輯清晰的分析體系.這是微積分發(fā)展史上的精華，

12、也是柯西對(duì)人類科學(xué)發(fā)展所做的巨大貢獻(xiàn)與此同時(shí),柯西還在此基礎(chǔ)上創(chuàng)建了復(fù)變函數(shù)的微積分理論.?柯西對(duì)定積分作了最系統(tǒng)的開創(chuàng)性工作，他把定積分定義為和的“極限”.在定積分運(yùn)算之前，強(qiáng)調(diào)必須確立積分的存在性.他利用中值定理首先嚴(yán)格證明了微積分基本定理.柯西關(guān)于分析基礎(chǔ)的最具代表性的著作是他的分析教程（1821）、無窮小計(jì)算教程（1823）以及微分計(jì)算教程（1829）,它們以分析的嚴(yán)格化為目標(biāo),對(duì)微積分的一系列基本概念給出了明確的定義，在此基礎(chǔ)上，柯西嚴(yán)格地表述并證明了微積分基本定理、中值定理等一系列重要定理，定義了級(jí)數(shù)的收斂性，研究了級(jí)數(shù)收斂的條件等，他的許多定義和論述已經(jīng)非常接近于微積分的現(xiàn)代形式

13、.柯西的工作在一定程度上澄清了在微積分基礎(chǔ)問題上長(zhǎng)期存在的混亂，向分析的全面嚴(yán)格化邁出了關(guān)鍵的一步.另一位為微積分的嚴(yán)密性做出卓越貢獻(xiàn)的是德國(guó)數(shù)學(xué)家魏爾斯特拉斯.魏爾斯特拉斯是一個(gè)有條理而又苦干的人，在中學(xué)教書的同時(shí)，他以驚人的毅力進(jìn)行數(shù)學(xué)研究.?魏爾斯特拉斯定量地給出了極限概念的定義，這就是今天極限論中的“£-方法.魏爾斯特拉斯用他創(chuàng)造的這一套語言重新定義了微積分中的一系列重要概念，特別地,他引進(jìn)的一致收斂性概念消除了以往微積分中不斷出現(xiàn)的各種異議和混亂.另外,魏爾斯特拉斯認(rèn)為實(shí)數(shù)是全部分析的本源，要使分析嚴(yán)格化，就首先要使實(shí)數(shù)系本身嚴(yán)格化.而實(shí)數(shù)又可按照嚴(yán)密的推理歸結(jié)為整數(shù)（有理

14、數(shù)）.因此，分析的所有概念便可由整數(shù)導(dǎo)出.這就是魏爾斯特拉斯所倡導(dǎo)的“分析算術(shù)化”綱領(lǐng).基于魏爾斯特拉斯在分析嚴(yán)格化方面的貢獻(xiàn)，在數(shù)學(xué)史上，他獲得了“現(xiàn)代分析之父”的稱號(hào).通過柯西以及后來魏爾斯特拉斯的艱苦工作，數(shù)學(xué)分析的基本概念得到嚴(yán)格的論述.從而結(jié)束微積分二百年來思想上的混亂局面，把微積分及其推廣從對(duì)幾何概念,運(yùn)動(dòng)和直觀了解的完全依賴中解放出來，并使微積分發(fā)展成為現(xiàn)代數(shù)學(xué)最基礎(chǔ)最龐大的數(shù)學(xué)學(xué)科.?3. 微積分的意義眾所周知，由古希臘繼承下來的數(shù)學(xué)是常量的數(shù)學(xué)，是靜態(tài)的數(shù)學(xué).自從有了解析幾何和微積分，就開辟了變量數(shù)學(xué)的時(shí)代，是動(dòng)態(tài)的數(shù)學(xué).數(shù)學(xué)開始描述變化、描述運(yùn)動(dòng)，改變了整個(gè)數(shù)學(xué)世界的面貌.

15、數(shù)學(xué)也由幾何的時(shí)代而進(jìn)人分析的時(shí)代.微積分給數(shù)學(xué)注入了旺盛的生命力，使數(shù)學(xué)獲得了極大的發(fā)展，取得了空前的繁榮如微分方程、無窮級(jí)數(shù)、變分法等數(shù)學(xué)分支的建立，以及復(fù)變函數(shù)，微分幾何的產(chǎn)生.嚴(yán)密的微積分的邏輯基礎(chǔ)理論進(jìn)一步顯示了它在數(shù)學(xué)領(lǐng)域的普遍意義.微積分的建立是人類理性思維的結(jié)晶.他給出一整套科學(xué)的方法，開創(chuàng)了科學(xué)的新紀(jì)元，并因此加強(qiáng)了數(shù)學(xué)與其他學(xué)科的聯(lián)系，加深了數(shù)學(xué)的應(yīng)用.它極大的推動(dòng)力天文學(xué)、力學(xué)、物理學(xué)、化學(xué)、生物學(xué)、工程學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)等自然科學(xué)、社會(huì)科學(xué)及應(yīng)用科學(xué)各個(gè)分支的發(fā)展，并在這些學(xué)科中有越來越廣泛的應(yīng)用.特別是在物理學(xué)方面，有了微積分人們才能把握運(yùn)動(dòng)過程，萬有引力被發(fā)現(xiàn)并導(dǎo)出了開普勒

16、行星運(yùn)動(dòng)三定律，衛(wèi)星、宇宙飛船、航天飛機(jī)不在是夢(mèng).與我們聯(lián)系密切的現(xiàn)代工程技術(shù)，直接影響到人們的物質(zhì)生產(chǎn)，而工程技術(shù)的基礎(chǔ)是數(shù)學(xué)，都離不開微積分.如今微積分不但成了自然科學(xué)和工程技術(shù)的基礎(chǔ)，而且還滲透到人們廣泛的經(jīng)濟(jì)、金融活動(dòng)中，也就是說微積分在人文社會(huì)科學(xué)領(lǐng)域中也有著其廣泛的應(yīng)用.一場(chǎng)空前巨大的，席卷近代世界的科學(xué)運(yùn)動(dòng)開始了，毫無疑問,微積分的發(fā)展是世界近代科學(xué)的開端.4. 東西方微積分發(fā)展差異分析“正負(fù)開在13世紀(jì)40年代到14世紀(jì)初,各主要（數(shù)學(xué)）領(lǐng)域都達(dá)到了中國(guó)古代數(shù)學(xué)的高峰,出現(xiàn)了現(xiàn)通稱賈憲三角形的“開方作法本源圖”和增乘開方法、方術(shù)”、“大衍求一術(shù)”、“大衍總數(shù)術(shù)”（一次同余式組解

17、法）、“垛積術(shù)”（高階等差級(jí)數(shù)求和）、“招差術(shù)”（高次差內(nèi)差法）、“天元術(shù)”（數(shù)字高次方程一般解法）、“四元術(shù)”（四元高次方程組解法）、勾股數(shù)學(xué)、弧矢割圓術(shù)、組合數(shù)學(xué)、計(jì)算技術(shù)改革和珠算等都是在世界數(shù)學(xué)史上有重要地位的杰出成果，中國(guó)古代數(shù)學(xué)有著微積分前兩階段的出色工作，其中許多都是微積分得以創(chuàng)立的關(guān)鍵.中國(guó)已具備了17世紀(jì)發(fā)明微積分前夕的全部?jī)?nèi)在條件，已經(jīng)接近了微積分的大門可惜中國(guó)元朝以后，八股取士制度造成了學(xué)術(shù)上的大倒退，封建統(tǒng)治的文化專制和盲目排外致使包括數(shù)學(xué)在內(nèi)的科學(xué)水平日漸衰落，在微積分創(chuàng)立的最關(guān)鍵一步落伍了為什么微積分會(huì)產(chǎn)生在西方，而不是中國(guó)東西方（東方特指中國(guó)）微積分的思想幾乎同時(shí)

18、產(chǎn)生，并且中國(guó)古代的數(shù)學(xué)成就也是相當(dāng)輝煌在東西方極限思想一般是用來計(jì)算平面面積和立體的體積，如上文中劉徽求圓的面積，歐多克斯用“窮竭法”求面積與體積等，這與古代的分田，交稅等活動(dòng)是分不開的，而在近代的西方，文藝復(fù)興、啟蒙運(yùn)動(dòng)極大地解放了人們的思想，隨之而來的資產(chǎn)階級(jí)革命更使西方在底層發(fā)生了改變，生產(chǎn)力大發(fā)展，人們對(duì)知識(shí)的渴望從未如此強(qiáng)烈，一批批各領(lǐng)域的大師紛紛登上歷史的舞臺(tái)，推動(dòng)者科學(xué)的發(fā)展，當(dāng)時(shí)間來到牛頓等人之時(shí),微積分的大門被打開了.反觀中國(guó)，小農(nóng)經(jīng)濟(jì)，所謂男耕女織，一直都是不變的信條，國(guó)內(nèi)沒有發(fā)展自然科學(xué)的土壤，明朝更是大興文字獄，人們的思想進(jìn)一步被禁錮.在這里說明一下，中國(guó)的科技,大多

19、是技術(shù)，比如：醫(yī)學(xué)、農(nóng)學(xué)、水利工程等.這與近代西方的科學(xué)有著本質(zhì)的不同，近代西方科學(xué)是建立在近代科學(xué)方法論的基礎(chǔ)之上，是通過實(shí)驗(yàn)、數(shù)學(xué)模型和數(shù)學(xué)推導(dǎo)演繹來研究的，是科學(xué)的，嚴(yán)謹(jǐn)?shù)?，中?guó)則更像是經(jīng)驗(yàn)的積累，這也是微積分沒有產(chǎn)生在中國(guó)的原因.當(dāng)然中國(guó)古代由幾何問題引起極限，微積分等觀念思想萌芽的出現(xiàn)，所用方法本質(zhì)上是靜態(tài)的，只有牛頓、萊布尼茲在他們先驅(qū)者所做工作的基礎(chǔ)上才發(fā)展成動(dòng)態(tài)分析的方法.結(jié)論微積分的發(fā)明不是一蹴而就的，而是人類集體智慧的結(jié)晶，是無數(shù)科學(xué)家長(zhǎng)期奮斗的結(jié)果.數(shù)學(xué)來源于實(shí)踐，沒有當(dāng)時(shí)大量實(shí)際問題的涌現(xiàn)，沒有科學(xué)家深入實(shí)際,將大量實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題的研究，是不可能產(chǎn)生微積分理論的東西方微積分發(fā)展差異在于：早期東西方都產(chǎn)生了微積分的極限思想，他們都用來解決一些實(shí)際問題，比如：求圓的面積、分田等，不同的是西方在后來有了更科學(xué)的研究體系，現(xiàn)有的數(shù)學(xué)知識(shí)不能解決當(dāng)時(shí)的問題，如：牛頓求物體的位移。所以微積分作為工具出現(xiàn)了。東西方微積分發(fā)展差異在于中國(guó)近代科學(xué)沒有發(fā)展，想一想如果中國(guó)古代也有一個(gè)人被蘋果砸了一下悟出了萬有引力，他去研究運(yùn)動(dòng)學(xué)，需要計(jì)算加速度、位移什么的，也許微積分就是中國(guó)人發(fā)明的了。說到底，微積分是作為工具出現(xiàn)的，用不到這樣的工具，它就沒有出現(xiàn)的必要了。微積分的發(fā)展史是近代科學(xué)發(fā)展的縮影，中國(guó)由領(lǐng)先到落后是值得