不等式恒成立問題的大全12.7

1、不等式恒成立問題“含參不等式恒成立問題”把不等式、函數(shù)、三角、幾何等內(nèi)容有機(jī)地結(jié) 合起來，其以覆蓋知識點(diǎn)多，綜合性強(qiáng)，解法靈活等特點(diǎn)而倍受高考、競賽命 題者的青睞。另一方面，在解決這類問題的過程中涉及的“函數(shù)與方程”、“化歸與轉(zhuǎn)化”、 “數(shù)形結(jié)合”、 “分類討論”等數(shù)學(xué)思想對鍛煉學(xué)生的綜合解題能力，培養(yǎng)其思維的靈活性、創(chuàng)造性都有著獨(dú)到的作用。本文就結(jié)合實(shí)例談?wù)勥@類問 題的一般求解策略。一、判別式法綜上可得實(shí)數(shù) m 的取值范圍為3,1)二、最值法將不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值問題的一種處理方法，其一般類型有：1f(x) a恒成立 a f (x)min2f(x)a恒成立 a f (x)max8

2、x216x k，g(x) 2x35x24x，其中k為實(shí)數(shù).假設(shè)所求問題可轉(zhuǎn)化為二次不等式，則可考慮應(yīng)用判別式法解題。一般地,對于二次函數(shù)2f(x) ax bx c(a1f(x)0對x R恒成立2f(x)0對x R恒成立例 1.已知函數(shù) y lgx2(a 1)x解：由題設(shè)可將問題轉(zhuǎn)化為不等式0,xR),有0；J000.a2的定義域?yàn)?R,求實(shí)數(shù) a 的取值范圍。2(a 1)24a20 解得a(a 1)x a20 對x R恒成立，即有1。3所以實(shí)數(shù) a 的取值范圍為(，1)(?假設(shè)二次不等式中 x 的取值范圍有限制,例 2.設(shè) f (x) x2取值范圍設(shè) F(x)4(m0時，2mx2，當(dāng)x 則可利

3、用根的分布解決問題。1,)時，f(x) m恒成立，求實(shí)數(shù) m 的解:當(dāng)當(dāng)o2x1)(m如圖,2mx 22) 0 即F(x)則當(dāng)x 1,)時，F(xiàn)(01) 02m2解得1.已知兩個函數(shù)f(x)(1)假設(shè)對任意的 x3,，都有f(x) g(x)成立，求k的取值范圍；假設(shè)對任意的各、X23,，都有 f (xjg(X2),求k的取值范圍.(3)假設(shè)對于任意為 3,3，總存在 Xo3,3 使得 g(Xo)f (x )成立，求k的取值范圍.(2)由題意可知當(dāng) x3,3 時，都有 f(x)maxg(X)min由 f (x)16x160 得x 1.- f( 3)24k,f( 1)8 k,f(3)120 kJ-f

4、(X)maxk120.由 g(x)6x210 x 40 得x1或X23,- g( 3)21,g(3) 111,g( 1)1,g(2)28327二 g(x)min21.則120 k21,解得k 141.問題轉(zhuǎn)化為F(x) 0在 X3,3 上恒成立,即 F(X)min0 即可- F(x) 6x26x126(x2x 2),由 F(x)0,得x2或x1.- F( 3)k 45，F(xiàn)(3)k 9,F( 1)k 7,F(2) k20,-F(X)mink 45,由k 45o,解得k 45.【分析及解】(1)令 F(x)g(x) f (x) 2x33x212x k,(3)假設(shè)對于任意&3,3，總存在 X

5、o3,3 使得 g(Xo)f(xj 成立,等價于 f X 的值域是 g X 的值域的子集，由 可知， f(x) 8x216x k 在 3,3 的值域?yàn)?k 8, k 120，g(x) 2x35x24x 在 3,3 的值域?yàn)?21,111，21解析 此題可以化歸為求函數(shù)f(x)在閉區(qū)間上的最值問題，只要對于任意假設(shè)所給的不等式能通過恒等變形使參數(shù)與主元別離于不等式兩端，從而 問題轉(zhuǎn)化為求主元函數(shù)的最值，進(jìn)而求出參數(shù)范圍。這種方法本質(zhì)也還是求最 值，但它思路更清晰，操作性更強(qiáng)。一般地有：于是,k 8, k 12021,11，即滿足2. 已知 恒成立， 解：設(shè)F(x) f(x) g(x) 則由題可知

6、 令F(x) 而F( 1)F (x)max2f (x) 7x 28x a,g(x) 求實(shí)數(shù)a 的取值范圍。2x32x34x23x212xF(x) 0對任意x 3,3恒成立6x26x 120,得x7a, F (2)20 a, F( 3)45 a 0 a 45即實(shí)數(shù) a 的取值范圍為45,23.函數(shù)f(x)x-,x1,x求實(shí)數(shù) a 的取值范圍。解：假設(shè)對任意x 1,即對X 1,f (x)2f(x) 考慮到不等式的分母x而拋物線 g(x)a 31,x22x a 在x注：此題還可將4.已知f(x) x2k 8k 12040 x，當(dāng)x1或x 245 a, F(3)9 a,)，假設(shè)對任意x 1,x)，只需

7、1,f (x)變形為f (x)ax 3 a，假設(shè)x解得9 k 13111.3,3時，f (x) g(x)f(x) 0恒成立,0恒成立，紅芒0恒成立,2x a 0在x1,的最小值 gmin(x)時恒成立而得g(1)3 a 0 得2，討論其單調(diào)性從而求出f (x)最小2,2, f(x) 2恒成立，求 a 的取值范圍.x 2,2, f(x)min2.假設(shè)x 2,2, f (x)min2a22f (x)minf( 2)或2-222或-22f(x)minf( )3 a2乞24f (x)min5,2 2.2.值。三、別離變量法x 2,2, f(x) 2恒 成 立7 3a 2，即 a 的取值范圍為f (2)

8、 7 a 21f (x) g(a)(a 為參數(shù))恒成立g(a)f (x)max2f (x) g(a)(a 為參數(shù))恒成立g(a)f (x)max. 4xx2- ，貝 U a g(x)minx.4x x241 可知g(x)在(0,4上為減函數(shù)，故 x xg(x)ming(4)0 a 0即 a 的取值范圍為(，0)。注：別離參數(shù)后，方向明確，思路清晰能使問題順利得到解決。例 4 已知函數(shù)f(x) |x24x 5|，假設(shè)在區(qū)間1,5上,y kx 3k的圖象位于函數(shù) f(x)的上方，求k 的取值范圍.解析 此題等價于一個不等式恒成立問題，即對于實(shí)際上，上題就可利用此法解決。)時恒成立，只要a x22x

9、在x 1,)時恒 x22x 在1,)上的最大值為3，所以a 3。略解：x22x a 0在x 1,成立。而易求得二次函數(shù) h(x)a1、已知函數(shù) f X lg x -x，假設(shè)對任意 x 2,恒有 f x 0，試確定a 的取值范圍。解：根據(jù)題意得：x即:ax23x在 xa 2x2,1在 x 2,上恒成立,3x ，則 f x上恒成立,23x22時，f2、已知 xxmax,1 時,2 所以a 2不等式1 2xa解：令2xt，.x,1 t 0,22x、,a 40恒成立，求 a 的取值范圍。所以原不等式可化為：a2a亍，要使上式在 t0,2 上恒成立，只須求出t 1T 在 t02 上的最小值即可。tmin

10、211243a -41t123.已知函數(shù) f(x)圍。ax,4x x2,x(0,4時f(x) 0恒成立，求實(shí)數(shù) a 的取值范解：將問題轉(zhuǎn)化為 a4x x對x (0,4恒成立。x令 g(x)由 g(x)x 1,5, kx 3kx24x 5恒成立，式子中有兩個變量，可以通過變量別離化歸為求函數(shù)的最值問題.對于X 1,5, kx 3kx24x 5恒成立k 竺衛(wèi)對于x 3x 1,5恒成立，令科上4-5,x 1,5,設(shè)x 3 t,t 2,8,則x 316y (t10,t 2,8,當(dāng)t4，即 x=1 時ymax2, k 的取值范圍是 k2.變式假設(shè)此題中將ykx 3k改為y k(x 3)2，其余條件不變，

11、則也可以用變量別離法解.此題不等式中有三個變量，因此可以通過消元轉(zhuǎn)化的策略，先消去 一個變量，容易證明 f(x)是定義在-1,1上的增函數(shù)，故 f(x)在-1,1上的最大值為f(1)=1,則f(x) t22at 1對于所有的x 1,1, a 1,1恒成立1 t22at 1對于所有的a 1,1恒成立，即2ta t20對于所有的a 1,1恒成立，令g(a) 2ta t2，只要陽00，t2或t 2或t 0- 四、變換主元法處理含參不等式恒成立的某些問題時，假設(shè)能適時的把主元變量和參數(shù)變 量進(jìn)行“換位”思考，往往會使問題降次、簡化。例 1 已知對于任意的 a -1,1，函數(shù) f(x)=ax2+(2a-

12、4)x+3-a0 恒成立，求 x 的取值范圍.由題意得，對于x 1,5, k(x 3)2x24x5恒成立2X坐磐對于3)(xx 1,5恒2 .x 4x令y2(x 3)5一，x1,5,設(shè)t,t2,816 10 ,y廠1當(dāng)4 5,即Xt 49,t 2,8，169(-)2t 4時，ymax, k 的取值范圍是516k.164.m, n1,1, mf(x)是定義在-1,1上的奇函數(shù) 他 40，假設(shè)f(x) t22atf(1)=1，假于所有1,1, a 1,1恒成立，求實(shí)數(shù) t 的取值范圍.解析解析 此題按常規(guī)思路是分 a=0 時 f(x)是 情況討論，不容易求 x 的取值范圍。因此，次函數(shù)，aO寸是二

13、次函數(shù)兩種我們不能總是把 x 看成是變量，把 a看成常參數(shù)，我們可以通過變量轉(zhuǎn)換，把a(bǔ) 看成變量，x 看成常參數(shù)，這就轉(zhuǎn)化次函數(shù)問題，問題就變得容易求解。令g( 1) 0g(1)g(a)=(x2+2x-1)a-4x+3 在 a -1,1時,g(a)0 恒成立，則0，得3.133.13.例 2、假設(shè)不等式2x圍。解：設(shè)f mx22x 1x21x211對滿足 m，對滿足 m2x 102x 102 的所有 m 都成立，求 x 的取值范0恒成立,x2(a 4)x 4 2a 0 恒成立，求 x 的取值范圍 分析：題中的不等式是關(guān)于 x 的一元二次不等式，但假設(shè)把 a 看成主元，則 問題可轉(zhuǎn)化為一次不等式

14、(x 2)a解：令 f (a) (x 2)a x a 1,10當(dāng)x 2時，可得f(a)當(dāng)x 2時，應(yīng)有f(1)f( 1) 0故 x 的取值范圍為(,1)(3,)。注：一般地，一次函數(shù)f(x) kx b(k 0)在,上恒有f(x) 0的充要條件為f( )00f( ) 0四、數(shù)形結(jié)合法 數(shù)學(xué)家華羅庚曾說過：“數(shù)缺形時少直觀，形缺數(shù)時難入微”，這充分說明 了數(shù)形結(jié)合思想的妙處，在不等式恒成立問題中它同樣起著重要作用。我們知 道，函數(shù)圖象和不等式有著密切的聯(lián)系：函數(shù)f (x)圖象恒在函數(shù)g(x)圖象上方； 函數(shù)f (x)圖象恒在函數(shù)g(x)圖象下上方。10,-內(nèi)恒成立，求實(shí)數(shù) a 的取值范圍。3例3.

15、對任意a 1,1，不等式1f(x) g(x)2f(x) g(x)x24x 40 在a 1,1上恒成立的問題。4x 4，則原問題轉(zhuǎn)化為f (a)0恒成立0，不合題意。0解之得x 1或x 3。例 1、假設(shè)不等式 3x2logax 0 在x解：由題意知：3x2logax 在x10,3內(nèi)恒成立,在同一坐標(biāo)系內(nèi)，分別作出函數(shù)y 3x2和 y logax觀察兩函數(shù)圖象，當(dāng)1031函數(shù) y logax 的圖象顯然在函數(shù) y 3x2圖象的下方，所以不成立；1 1logax 的圖象必須過點(diǎn) -,-或在這個點(diǎn)的上方,3 3數(shù) a 的取值范圍.假設(shè)a1時，由圖可知,則，log1a3綜上得:27丄27127例 2.設(shè)

16、 f (x)x24x ,g(x)4、一、x 1 a,假設(shè)恒有f (x) g(x)成立,3求實(shí)數(shù) a 的取值范圍.分析：在同一直角坐標(biāo)系中作出如下圖，f(x)的圖象是半圓(xg(x)的圖象是平行的直線系 要使f (x) g(x)恒成立， 則圓心(2,0)到直線4x 3yI8 3 3a|24x3y3a0的距離廠 44滿足 d5解得a5或a53舍去)例 3 .設(shè)函數(shù)f(x): 2a x 4x,g(x)ax a,假設(shè)恒有f (x) g(x)成立,試求實(shí)題意得f (x) g(x)x24x ax 2a,令-23 3a 0。f (x)及g(x)的圖象2)2y24( y 0)y1、x24x,y2ax2a.可化

17、為(x 2)2y24(0 x 4y 0),它表示以(2,0)為圓心，2 為半徑的上半圓；表示經(jīng)過定點(diǎn)(-2,0)，以 a 為斜率的直線，要使f(x) g(x)恒成立，只需 所表示的半圓在 所表示的直線下方就可以了(如下圖).當(dāng)直線與半圓相切時就有|2a 2a|a子，由圖可知，要使f(x) g(x)恒成立，實(shí)數(shù)的取值范圍是a彳2，五.分類討論在給出的不等式中，如果兩變量不能通過恒等變形分別置于不等式的兩邊， 則可利用分類討論的思想來解決。例 1、假設(shè) x 2,2 時，不等式X2ax 3 a恒成立，求 a 的取值范圍。 解：設(shè) f x x2ax 3 a，則問題轉(zhuǎn)化為當(dāng) x 2,2 時，f x 的最

18、小值非負(fù)。a7(1)當(dāng)a2即：a 4時，f x.f 27 3a 0a-又a 4所2丿min3以 a 不存在；2(2)當(dāng)2 -22即：4a 4時，fXminf|3 a046 a 2又4a44 a 2(3)當(dāng)a22即：a4時，f xminf 27 a 0a7又a47a 4綜上所得：7 a21 .解關(guān)于 x 的不等式 x24mx 4m2m 32 .設(shè)a R，函數(shù) f (x) x2ax 2a2.假設(shè)f (x) 0的解集為 A， B x|1 x 3 ,APlB，求實(shí)數(shù) a 的取值范圍點(diǎn)評：二次函數(shù)與二次不等式和集合知識有很多聯(lián)系，不等式的解集、函 數(shù)的值域成為集合運(yùn)算的載體，對于含參數(shù)問題要確定好分類的標(biāo)準(zhǔn)，做到不 重不漏。3.已知 a 是實(shí)數(shù)，函數(shù) f(x) 2ax22x 3 a，如果函數(shù)y f (x)在區(qū)間1,1解：原泉不等式等價于|x2m | m 3當(dāng)m30即m3時，x 2m m3 或 x 2mx3m3或x m 3當(dāng)m30即m3時，|x 6| 0 x6當(dāng)m30即m3時，x R3)(m上有零點(diǎn)，求 a 的取值范圍.解析：由函數(shù)f(x)的