2006考研數(shù)二真題及解析

1、 Born to win2006年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)二試題一、填空題：1-6小題，每小題4分，共24分，請將答案寫在答題紙指定位置上.(1) 曲線的水平漸近線方程為(2) 設(shè)函數(shù) 在處連續(xù)，則(3) 廣義積分(4) 微分方程的通解是(5) 設(shè)函數(shù)確定，則(6) 設(shè),為2階單位矩陣，矩陣滿足,則 .二、選擇題：9-14小題，每小題4分，共32分，下列每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求，把所選項(xiàng)前的字母填在題后的括號內(nèi).(7) 設(shè)函數(shù)具有二階導(dǎo)數(shù)，且為自變量在點(diǎn)處的增量，與分別為在點(diǎn)處對應(yīng)增量與微分，若，則( )(A)(B)(C)(D)(8) 設(shè)是奇函數(shù)，除外處處連續(xù)，是其第

2、一類間斷點(diǎn)，則是( )(A)連續(xù)的奇函數(shù) (B)連續(xù)的偶函數(shù)(C)在間斷的奇函數(shù)(D)在間斷的偶函數(shù)(9) 設(shè)函數(shù)可微，則等于( )(A)(B) (C) (D)(10) 函數(shù)滿足的一個(gè)微分方程是( )(A)(B)(C)(D)(11) 設(shè)為連續(xù)函數(shù)，則等于( )(A)(B)(C)(D)(12) 設(shè)均為可微函數(shù)，且在約束條件下的一個(gè)極值點(diǎn)，下列選項(xiàng)正確的是( )(A)若 (B)若(C)若 (D)若(13) 設(shè)均為維列向量，是矩陣，下列選項(xiàng)正確的是( )(A)若線性相關(guān)，則線性相關(guān).(B)若線性相關(guān)，則線性無關(guān).(C)若線性無關(guān)，則線性相關(guān).(D)若線性無關(guān)，則線性無關(guān). (14) 設(shè)為3階矩陣，將

3、的第2行加到第1行得，再將的第1列的-1倍加到第2列得，記，則( )(A)(B) (C)(D) 三、解答題：1523小題，共94分.請將解答寫在答題紙指定的位置上.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.(15)(本題滿分10分)試確定常數(shù)的值，使得，其中是當(dāng)時(shí)比高階的無窮小.(16)(本題滿分10分)求(17)(本題滿分10分)設(shè)區(qū)域，計(jì)算二重積分(18)(本題滿分12分)設(shè)數(shù)列滿足，(I) 證明存在，并求該極限; (II) 計(jì)算.(19)(本題滿分10分)證明：當(dāng)時(shí)，.(20)(本題滿分12分)設(shè)函數(shù)內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù)，且滿足等式(I)驗(yàn)證; (II)若, 求函數(shù).(21)(本題滿分12分)已

4、知曲線的方程(I) 討論的凹凸性;(II) 過點(diǎn)引的切線，求切點(diǎn)，并寫出切線的方程;(III) 求此切線與(對應(yīng)的部分)及軸所圍成的平面圖形的面積. (22)(本題滿分9分)已知非齊次線性方程組 有3個(gè)線性無關(guān)的解.(I) 證明此方程組系數(shù)矩陣的秩; () 求的值及方程組的通解. (23)(本題滿分9分)設(shè)3階實(shí)對稱矩陣的各行元素之和均為3,向量是線性方程組的兩個(gè)解.(I) 求的特征值與特征向量;(II) 求正交矩陣和對角矩陣,使得.2006年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)二試題解析一、填空題(1)【答案】【詳解】 由水平漸近線的定義及無窮小量的性質(zhì)-“無窮小量與有界函數(shù)的乘積是無窮小量”可知

5、時(shí)為無窮小量，均為有界量. 故，是水平漸近線.(2)【答案】【詳解】按連續(xù)性定義，極限值等于函數(shù)值，故注：型未定式，可以采用洛必達(dá)法則；等價(jià)無窮小量的替換(3)【答案】【詳解】(4) 【答案】.【詳解】分離變量， (5)【答案】【詳解】題目考察由方程確定的隱函數(shù)在某一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù).在原方程中令 . 將方程兩邊對求導(dǎo)得，令得 (6) 【答案】 【詳解】由已知條件變形得，, 兩邊取行列式, 得 其中， 因此，.二、選擇題.(7)【答案】【詳解】方法1： 圖示法. O x0 x0+x xyy=f(x) ydy因?yàn)閯t嚴(yán)格單調(diào)增加；因?yàn)?則是凹函數(shù)，又，畫的圖形結(jié)合圖形分析，就可以明顯得出結(jié)論：.方法2：

6、用兩次拉格朗日中值定理(前兩項(xiàng)用拉氏定理) (再用一次拉氏定理), 其中由于，從而. 又由于，故選方法3： 用拉格朗日余項(xiàng)一階泰勒公式. 泰勒公式：，其中. 此時(shí)取1代入，可得又由，選 .(8)【答案】()【詳解】方法1：賦值法 特殊選取，滿足所有條件，則 .它是連續(xù)的偶函數(shù). 因此，選()方法2：顯然在任意區(qū)間上可積，于是處處連續(xù)，又即為偶函數(shù) . 選 () .(9)【答案】()【詳解】利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法兩邊對求導(dǎo)將代入上式，. 故選().(10)【答案】()【詳解】題目由二階線性常系數(shù)非齊次方程的通解，反求二階常系數(shù)非齊次微分方程，分兩步進(jìn)行，先求出二階常系數(shù)齊次微分方程的形式，再由特解定

7、常數(shù)項(xiàng).因?yàn)槭悄扯A線性常系數(shù)非齊次方程的通解，所以該方程對應(yīng)的齊次方程的特征根為1和-2，于是特征方程為，對應(yīng)的齊次微分方程為所以不選()與()，為了確定是()還是()，只要將特解代入方程左邊，計(jì)算得，故選().(11) 【答案】【詳解】記，則區(qū)域的極坐標(biāo)表示是： ，. 題目考察極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化問題，畫出積分區(qū)間，結(jié)合圖形可以看出，直角坐標(biāo)的積分范圍（注意 與 在第一象限的交點(diǎn)是），于是 所以，原式. 因此選 (12) 【答案】【詳解】方法1： 化條件極值問題為一元函數(shù)極值問題。已知，由，在鄰域，可確定隱函數(shù)，滿足，。是在條件下的一個(gè)極值點(diǎn)是 的極值點(diǎn)。它的必要條件是若，則，或，因此不

8、選，.若，則(否則). 因此選方法2：用拉格朗日乘子法. 引入函數(shù)，有因?yàn)?，所以，代?1)得若，則，選(13) 【答案】A【詳解】方法1：若線性相關(guān), 則由線性相關(guān)定義存在不全為的數(shù)使得 為了得到的形式，用左乘等式兩邊, 得 于是存在不全為的數(shù)使得成立，所以線性相關(guān).方法：如果用秩來解,則更加簡單明了. 只要熟悉兩個(gè)基本性質(zhì), 它們是:1. 線性相關(guān)Û；2. . 矩陣, 設(shè)， 則由得. 所以答案應(yīng)該為().(14) 【答案】【詳解】用初等矩陣在乘法中的作用(矩陣左乘或右乘初等矩陣相當(dāng)于對矩陣進(jìn)行初等行變換或列變換)得出將的第2行加到第1行得，即 將的第1列的-1倍加到第2列得，即因

9、為，故. 從而 ,故選().三、解答題(15) 【詳解】 方法1：用泰勒公式將代入題設(shè)等式整理得比較兩邊同次冪函數(shù)得，由此可解得， ， 方法2： 用洛必達(dá)法則. 由 要求分子極限為0，即 ，否則 要求分子極限為0，即，否則 所以 解得 (16)【詳解】題目考察不定積分的計(jì)算，利用變量替換和分部積分的方法計(jì)算.=所以 (17)【詳解】積分區(qū)域?qū)ΨQ于軸，為的奇函數(shù)，從而知 所以 (18) 【詳解】(I) 由于時(shí)，于是,說明數(shù)列單調(diào)減少且. 由單調(diào)有界準(zhǔn)則知存在.記為. 遞推公式兩邊取極限得(II) 原式，為“”型. 因?yàn)殡x散型不能直接用洛必達(dá)法則，先考慮所以 (19) 【詳解】令，只需證明單調(diào)增加

10、(嚴(yán)格) 單調(diào)減少(嚴(yán)格)，又，故時(shí)，則單調(diào)增加(嚴(yán)格)得證(20) 【詳解】(I)由于題目是驗(yàn)證，只要將二階偏導(dǎo)數(shù)求出來代入題目中給的等式就可以了同理 代入，得 ，所以 成立.(II) 令于是上述方程成為，則，即 ，所以 因?yàn)?，所以 ，得 又因?yàn)?，所以 ，得 (21)【詳解】 方法1：計(jì)算該參數(shù)方程的各階導(dǎo)數(shù)如下(I) 所以曲線在處是凸的(II) 切線方程為，設(shè)，則 得 所以，切點(diǎn)為(2，3)，切線方程為(III) 設(shè)L的方程, 則 由 由于點(diǎn)(2，3)在L上，由所以 方法2：(I) 解出 ：由 代入 得 .于是 ， 曲線是凸的 .(II) 上任意點(diǎn)處的切線方程是，其中(時(shí)不合題意).

11、令 ，得 令 ，得 .其余同方法1，得(III) 所求圖形面積 .(22) 【詳解】(I)系數(shù)矩陣未知量的個(gè)數(shù)為，且又有三個(gè)線性無關(guān)解，設(shè)是方程組的3個(gè)線性無關(guān)的解, 則是的兩個(gè)線性無關(guān)的解. 因?yàn)榫€性無關(guān)又是齊次方程的解，于是的基礎(chǔ)解系中解的個(gè)數(shù)不少于2, 得, 從而.又因?yàn)榈男邢蛄渴莾蓛删€性無關(guān)的, 所以. 所以.(II)對方程組的增廣矩陣作初等行變換: = 由, 得， 即 .所以作初等行變換后化為；，它的同解方程組 中令求出的一個(gè)特解；的同解方程組是 取代入得；取 代入得. 所以的基礎(chǔ)解系為，所以方程組的通解為：，為任意常數(shù) (23) 【詳解】(I) 由題設(shè)條件，故是的對應(yīng)于的特征向量，又因?yàn)榫€性無關(guān)，故