不等式的綜合

1、張寧張寧中級(jí)教師中級(jí)教師2003年名師課堂輔導(dǎo)講座年名師課堂輔導(dǎo)講座高中部分高中部分學(xué)習(xí)內(nèi)容1、不等式的性質(zhì)、不等式的性質(zhì)2、證明不等式的主要依據(jù)、證明不等式的主要依據(jù) baba0baba0不等式的性質(zhì)不等式的性質(zhì)學(xué)習(xí)學(xué)習(xí)內(nèi)容幾個(gè)重要不等式幾個(gè)重要不等式)(02Raa),(222Rbaabba),(2Rbaabba),(,max222,min22Rbabababaabbaabba學(xué)習(xí)內(nèi)容內(nèi)容3、不等式證明方法、不等式證明方法4、不等式的解法、不等式的解法比較法比較法綜合法綜合法 分析法分析法換元法換元法放縮法放縮法反證法反證法判別式法判別式法構(gòu)造法構(gòu)造法數(shù)學(xué)歸納法數(shù)學(xué)歸納法學(xué)習(xí)要求學(xué)習(xí)要求 不

2、等式是高中數(shù)學(xué)的重要組成不等式是高中數(shù)學(xué)的重要組成部分，它與其它章節(jié)的聯(lián)系非常緊部分，它與其它章節(jié)的聯(lián)系非常緊密，應(yīng)注重不等式與其它知識(shí)的銜密，應(yīng)注重不等式與其它知識(shí)的銜接，抓住解題的切入點(diǎn)。接，抓住解題的切入點(diǎn)。學(xué)習(xí)指導(dǎo)重點(diǎn)：不等式的基本知識(shí)。重點(diǎn)：不等式的基本知識(shí)。難點(diǎn)：不等式與函數(shù)、數(shù)列的銜接。難點(diǎn)：不等式與函數(shù)、數(shù)列的銜接。關(guān)鍵：知識(shí)點(diǎn)間的聯(lián)系，將切入點(diǎn)關(guān)鍵：知識(shí)點(diǎn)間的聯(lián)系，將切入點(diǎn)解決好。解決好。典型例題（ ）例例1：若若ba,是正數(shù)，則是正數(shù)，則的是baabba1122A、充分不必要條件、充分不必要條件B、必要不充分條件、必要不充分條件C、充要條件、充要條件D、既不充分又不必要條件

3、、既不充分又不必要條件典型例題那么如果,0abmabmambmambDmambabmambCmambmambabBmambabmambAcoscoscos.coscoscos.coscoscos.coscoscos.典型例題,4,0,0yxyx且若則下列不等式中恒成立的是（則下列不等式中恒成立的是（ ）2.411.xyCyxA11.111.xyDyxB典型例題Nncba,設(shè)cancbba11且恒成立，則恒成立，則n的最大值是（的最大值是（ ）A.2 B.3 C.4 D.5典型例題若設(shè), 0, 0yx恒成立yxayx.的最小值求a,| 3|4|有解已知axx.的取值范圍求a解答：充分性：充分性：

4、1, 112222baba0) 1)(1(1| , 1|bababaab1baabba1,2時(shí)當(dāng)., 1822必要性不成立但ba必要性：必要性：故選故選A。解答：abm0)( 10真分?jǐn)?shù)性質(zhì)mambabmamb單調(diào)遞減) 1 , 0(,cosxxy.coscoscosAmambabmamb故選解答：40, 0yxyx且442xyyxxy即411xy., 14121211Bxyyx故選解答：, cba0, 0cbybax可設(shè)yxca則得由yxnyx11xyxyyxxyyxn2)(222解答：44222xyxyxyxyyx4)2(min22xyxyyx4n解答：yxyxzyxyxa令,222122

5、xyxyyxxyyxz20z2a2mina解答：法一：法一：axxx343時(shí)當(dāng)327,27aax則有解1 aaxxx3443時(shí)當(dāng)1a即解答：axxx344時(shí)當(dāng)142727aaax有解1:a取并集綜上法二：幾何法法二：幾何法|3|4|xxy有解1, 1minay不等式與函數(shù)例例2：)(3421lg)(Raaxfxx設(shè)函數(shù))2()(2:. 10 xfxfa求證若的求有意義時(shí)當(dāng)axfx,)(, 1 ,(范圍。范圍。解答：3421)3421(2222aaxxxx9432334224222421222222aaaaxxxxxxxx)422422242222(91222aaaxxxxxx0)42()41

6、()21 (91222aaxxxx解答：3421)3421(2222aaxxxxaaa2010又3421342122222aaxxxx3421lg)3421lg(222aaxxxx)2()(2xfxf即解答：0)() 20( 1)(,22tgttattgtx時(shí)則設(shè)0,0)0(0210agaa即可當(dāng)0210aa當(dāng)0)2(1210ga4321aa解答：2143a0)0(121gaRaa21021a解答：即可時(shí)當(dāng)0)0(,0ga0a43a綜上不等式與函數(shù)例例3：設(shè)二次函數(shù)：設(shè)二次函數(shù)12) 2( 24)(22ppxpxxf 11|xxA012) 2( 24|22ppxpxxB的范圍求若pBA,不等式

7、與函數(shù))(xf若在區(qū)間在區(qū)間-1，1上至少存在上至少存在一個(gè)自變量一個(gè)自變量. 0)(,00 xfx 使求求p的取值范圍。的取值范圍。解答：012)2(2422ppxpx(*)0)21)(212(pxpx法一法一：21212,0ppp時(shí)當(dāng)21212(*)pxpBA 解答：1211212pp123pp23 p21221,0ppp時(shí)當(dāng)21221(*)pxpBA 解答：1212121pp213pp3pBABp,21,0時(shí)當(dāng)233pp或綜上解答：法二法二：) 1,(0)( 兩根分別為依題意xf), 1 ( 和0) 1 (0) 1(ff233121pppp或或233pp或解答：法一法一：命題的否定形式：

8、命題的否定形式： 1 , 1)(在xf0)(xf上恒有323pp或由由知知233:p原題意法二法二：0) 1 (0) 1(ff或233p則不等式與函數(shù)例例4：已知：已知)(xf是定義在區(qū)間是定義在區(qū)間4 ,(上的減函數(shù)，是否存在實(shí)數(shù)上的減函數(shù)，是否存在實(shí)數(shù)m，使，使)cos4721()sin(2xmfxmf對(duì)定義域內(nèi)的一切實(shí)數(shù)對(duì)定義域內(nèi)的一切實(shí)數(shù)x均成立，均成立，若存在，求出若存在，求出m的范圍，若不存的范圍，若不存在，說明理由。在，說明理由。解答：依題意得若存在實(shí)數(shù) ,mxxmmxmsincos47214sin22)21(sin2121sin4xmmxm恒成立恒成立解答：0212114mmm

9、21233mmm或的范圍m32321mm或不等式與函數(shù)R的函數(shù)的函數(shù))(xf，對(duì)任意，對(duì)任意例例5：定義在：定義在Ryx,都有都有)()()(yfxfxyf當(dāng)且當(dāng)且僅當(dāng)僅當(dāng)0)(,1xfx時(shí)成立。成立。)()()(:,xfyfxyfRyx求證設(shè))()(,2121xfxfRxx若設(shè)比較比較21,xx的大小。的大小。不等式與函數(shù)解不等式解不等式) 10)(3()1(aafafxx解答：)()()(yfxfxyf)()()()(yfxxyfxfxyf)()()(xfyfxyf)()(21xfxf0)()()(2121xxfxfxf解答：121xxRxx21,又21xx 解答：在在由由知知)(xfR上

10、為增函數(shù)上為增函數(shù)2) 3(10301xxxxaaaa即即5231xxxaaa1053aax又3log5logaax 不等式與數(shù)列例例6：已知：已知*Nn實(shí)數(shù)實(shí)數(shù)1a解關(guān)于解關(guān)于x的不等式：的不等式：xnxxxnanaaalog)2(log12log4log132 )(log3)2(12axan解答：依換底公式：依換底公式：xnxxxnanaaalog) 2(log12log4log132 xxananlog)2(1)2(1log)2(421 1 )(log3)2(1log3)2(12axxanan解答：n當(dāng)當(dāng) 為奇數(shù)時(shí)為奇數(shù)時(shí)03)2(1n)(loglog2axxaa原不等式1aaxxaxx

11、2200241124110axaaxaxx或2411axa解答：n當(dāng)當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，為偶數(shù)時(shí)，03) 2(1n原不等式原不等式)(loglog2axxaa1aaxxaxx2200241124110axaxaxaxx或或2411ax解答：綜上：綜上：當(dāng)當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)為奇數(shù)時(shí)2411axa當(dāng)當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)為偶數(shù)時(shí)2411ax不等式與數(shù)列na21例例7：已知：已知是首項(xiàng)為是首項(xiàng)為2公比為公比為的等比數(shù)列，的等比數(shù)列，nS為它的前為它的前n項(xiàng)和。項(xiàng)和。.1nnSS 表示用 是否存在自然數(shù)是否存在自然數(shù)c和和k，使，使21cScSkk成立。成立。解答：nnnnnSSS21224211)21(1 212解答：32

12、 )4 (20244230232221221211kkkkkkkkkccccSSccScScScS32)4(2,1kcNck不成立不成立故不存在符合條件的故不存在符合條件的c和和k。不等式與數(shù)列例例8：已知：已知)(131211*NnnSn 112)(nnSSnf證明：證明：).() 1(nfnf試確定實(shí)數(shù)試確定實(shí)數(shù)m的范圍，使得對(duì)一的范圍，使得對(duì)一切大于切大于1的自然數(shù)的自然數(shù)n的不等式的不等式212log2011)1(log)(mmnfmm恒成立。恒成立。解答：)() 1(021) 2( 21) 2( 2121221321)()()()() 1(121232112232nfnfnnnnnnSSSSSSSSnfnfnnn