第八章_季節(jié)性時(shí)間序列模型

1、第八章 季節(jié)性時(shí)間序列模型第一節(jié) 季節(jié)指數(shù)第二節(jié) 綜合分析第三節(jié) X11過程第四節(jié) 隨機(jī)季節(jié)差分【例】以北京市1995年2000年月平均氣溫序列為例，介紹季節(jié)性時(shí)間序列模型的基本思想和具體操作步驟。 時(shí)序圖一、季節(jié)指數(shù)n季節(jié)指數(shù)的概念n所謂季節(jié)指數(shù)就是用簡單平均法計(jì)算的周期內(nèi)各時(shí)期季節(jié)性影響的相對(duì)數(shù) n季節(jié)模型ijjijISxx返回本節(jié)首頁下一頁上一頁季節(jié)指數(shù)的計(jì)算n計(jì)算周期內(nèi)各期平均數(shù)n計(jì)算總平均數(shù)n計(jì)算季節(jié)指數(shù)mknxxniikk, 2 , 1,1nmxxnimkik11mkxxSkk, 2 , 1,季節(jié)指數(shù)的理解n季節(jié)指數(shù)反映了該季度與總平均值之間的一種比較穩(wěn)定的關(guān)系n如果這個(gè)比值大于1

2、，就說明該季度的值常常會(huì)高于總平均值n如果這個(gè)比值小于1，就說明該季度的值常常低于總平均值n如果序列的季節(jié)指數(shù)都近似等于1，那就說明該序列沒有明顯的季節(jié)效應(yīng) 例1 季節(jié)指數(shù)的計(jì)算季節(jié)指數(shù)圖二、綜合分析n常用綜合分析模型n加法模型n乘法模型n混合模型ttttISTxttttISTx)()ttttttttITSxbITSxa返回本節(jié)首頁下一頁上一頁例2 對(duì)1993年2000年中國社會(huì)消費(fèi)品零售總額序列進(jìn)行確定性時(shí)序分析 月份199319941995199619971998199920001977.51192.21602.21909.12288.52549.52662.12774.72892.511

3、62.71491.51911.22213.52306.42538.428053942.31167.51533.31860.12130.92279.72403.126274941.31170.41548.71854.82100.52252.72356.825725962.21213.71585.41898.32108.22265.22364263761005.71281.11639.719662164.723262428.826457963.81251.51623.61888.72102.52286.12380.325978959.812861637.11916.42104.42314.6241

4、0.9263691023.31396.217562083.52239.62443.12604.32854101051.11444.118182148.3234825362743.930291111021553.81935.22290.12454.92652.22781.53108121415.51932.22389.52848.62881.73131.43405.73680(1)繪制時(shí)序圖(2)選擇擬合模型n長期遞增趨勢(shì)和以年為固定周期的季節(jié)波動(dòng)同時(shí)作用于該序列，因而嘗試使用混合模型（b）擬合該序列的發(fā)展)(ttttITSx(3)計(jì)算季節(jié)指數(shù)月份季節(jié)指數(shù)月份季節(jié)指數(shù)10.98270.92920

5、.94380.94030.92091.00140.911101.05450.925111.10060.951121.335季節(jié)指數(shù)圖季節(jié)調(diào)整后的序列圖ttttITSx(4)擬合長期趨勢(shì)tTt93178.20522.1015(5)殘差檢驗(yàn)ttttITSx(6)短期預(yù)測(cè) ( )tt lt lx lST三、X-11過程n簡介nX-11過程是美國國情調(diào)查局編制的時(shí)間序列季節(jié)調(diào)整過程。它的基本原理就是時(shí)間序列的確定性因素分解方法 n因素分解n長期趨勢(shì)起伏n季節(jié)波動(dòng)n不規(guī)則波動(dòng)n交易日影響n模型n加法模型n乘法模型返回本節(jié)首頁下一頁上一頁方法特色n普遍采用移動(dòng)平均的方法n用多次短期中心移動(dòng)平均消除隨機(jī)波動(dòng)

6、n用周期移動(dòng)平均消除趨勢(shì)n用交易周期移動(dòng)平均消除交易日影響 例2 續(xù)n對(duì)1993年2000年中國社會(huì)消費(fèi)品零售總額序列使用X-11過程進(jìn)行季節(jié)調(diào)整 n選擇模型（無交易日影響）ttttISTx X11過程獲得的季節(jié)指數(shù)圖 季節(jié)調(diào)整后的序列圖趨勢(shì)擬合圖 隨機(jī)波動(dòng)序列圖第四節(jié)第四節(jié) 季節(jié)時(shí)間序列模型季節(jié)時(shí)間序列模型n4.1季節(jié)時(shí)間序列的重要特征季節(jié)時(shí)間序列的重要特征n一、季節(jié)時(shí)間序列表示一、季節(jié)時(shí)間序列表示n許多商業(yè)和經(jīng)濟(jì)時(shí)間序列都包含季節(jié)現(xiàn)象，例如，冰淇淋的銷量的季度序列在夏季最高，序列在每年都會(huì)重復(fù)這一現(xiàn)象。相應(yīng)的周期為4。類似地，在美國汽車的月度銷售量和銷售額數(shù)據(jù)在每年的7月和8月也趨于下降，

7、因?yàn)槊磕赀@時(shí)汽車廠家將會(huì)推出新的產(chǎn)品；在西方，玩具的銷售量在每年12月份會(huì)增加，主要是因?yàn)槭フQ節(jié)的緣故；在中國，每年農(nóng)歷5月份糯米的銷售量大大地增加，這是因?yàn)橹袊亩宋绻?jié)有吃粽子的習(xí)慣。以上三種情況的季節(jié)周期都是12個(gè)月。由上面的例子可以看到，很多的實(shí)際問題中，時(shí)間序列會(huì)顯示出周期變化的規(guī)律，這種周期性是由于季節(jié)變化或其他物理因素所致，我們稱這類序列為季節(jié)性序列。單變量的時(shí)間序列為了分析方便，可以編制成一個(gè)二維的表格，其中一維表示周期，另一維表示某個(gè)周期的一個(gè)觀測(cè)值，如表8.1所示。 n 表表4.1 單變量時(shí)間序列觀測(cè)數(shù)據(jù)表單變量時(shí)間序列觀測(cè)數(shù)據(jù)表n例如，19932000年各月中國社會(huì)消費(fèi)品零

8、售總額序列，是一個(gè)月度資料，其周期S=12，起點(diǎn)為1993年1月，具體數(shù)據(jù)見附錄。n二、季節(jié)時(shí)間序列的重要特征二、季節(jié)時(shí)間序列的重要特征n季節(jié)性時(shí)間序列的重要特征表現(xiàn)為周期性。在一個(gè)序列中，如果經(jīng)過S個(gè)時(shí)間間隔后觀測(cè)點(diǎn)呈現(xiàn)出相似性，比如同處于波峰或波谷，我們就說該序列具有以S為周期的周期特性。具有周期特性的序列稱為季節(jié)時(shí)間序列，S為周期的長度，不同的季節(jié)時(shí)間序列會(huì)表現(xiàn)出不同的周期，季度資料的一個(gè)周期表現(xiàn)為一年的四個(gè)季度，月度資料的周期表現(xiàn)為一年的12各月，周資料表現(xiàn)為一周的7天或5天。n例如，圖4.16的數(shù)據(jù)是1993年1月到2000年12月的中國社會(huì)消費(fèi)品月銷售總額。n 圖圖4.16 199

9、3年年1月月2000年年12月的中國社會(huì)消費(fèi)品月銷售總月的中國社會(huì)消費(fèi)品月銷售總額額n當(dāng)然影響一個(gè)季節(jié)性時(shí)間序列的因素除了季節(jié)因素外，還存在趨勢(shì)變動(dòng)和不規(guī)則變動(dòng)等。我們研究季節(jié)性時(shí)間序列的目的就是分解影響經(jīng)濟(jì)指標(biāo)變量的季節(jié)因素、趨勢(shì)因素和不規(guī)則因素，據(jù)以了解它們對(duì)經(jīng)濟(jì)的影響。50010001500200025003000350040001993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000SALES4.2 季節(jié)時(shí)間序列模型季節(jié)時(shí)間序列模型n一、隨機(jī)季節(jié)模型一、隨機(jī)季節(jié)模型n季節(jié)性隨機(jī)時(shí)間序列時(shí)間間隔為周期長度S的兩個(gè)時(shí)間點(diǎn)上的隨機(jī)變量有相對(duì)較強(qiáng)的相關(guān)性，或者說季節(jié)性時(shí)間

10、序列表現(xiàn)出周期相關(guān)，比如對(duì)于月度數(shù)據(jù)，S=12， 與 有相關(guān)關(guān)系，于是我們可以利用這種周期相關(guān)性在 與 之間進(jìn)行擬合。n設(shè)一個(gè)季節(jié)性時(shí)間序列 通過D階的季節(jié)差分 后為一平穩(wěn)時(shí)間序列 ，即 ，則一階自回歸季節(jié)模型為n 或 (8.5)n其中， 為白噪聲序列。將 代入式（8.5），得 (8.6)tXtX12tX12tXtX(1)SDBtW(1)SDttWBX1tt StWW1(1)SttBWt(1)SDttWBX1(1)(1)SSDttBBXn同樣的思路，一個(gè)一階移動(dòng)平均季節(jié)模型為 或 (8.7)n推廣之，季節(jié)性的SARIMA為n (8.8)n其中，1ttt sW 1(1)(1)SDSttBXB()

11、(1)()SSDSttU BBXV B212()1SSSkSkU BBBB -212() 1SSSmSmV BHBHBB -Hn二、乘積季節(jié)模型二、乘積季節(jié)模型n式(8.8)的季節(jié)性SARIMA模型中，我們假定是 白噪聲序列，值得注意的是實(shí)際中 不一定是白噪聲序列。因?yàn)槭?8.8)的模型中季節(jié)差分僅僅消除了時(shí)間序列的季節(jié)成分，自回歸或移動(dòng)平均僅僅消除了不同周期相同周期點(diǎn)之間具有的相關(guān)部分，時(shí)間序列還可能存在長期趨勢(shì)，相同周期的不同周期點(diǎn)之間也有一定的相關(guān)性，所以，模型可能有一定的擬合不足，如果假設(shè) 是ARIMA（p,d,q）模型，則式(8.8)可以改為n n (8.9)tatata( )()(

12、 ) ()SdDSSttB U BXB V B n其中，n稱式(8.9)為乘積季節(jié)模型，記為 。如果將模型的AR因子和MA因子分別展開，可以得到類似的 模型，不同的是模型的系數(shù)在某些階為零，故 是疏系數(shù)模型或子集模型。212()1SSSkSkU BBBB -212() 1SSSmSmV BHBH BB -H1( ) 1ppBBB 1( ) 1qqBBB (1)ddB (1)DS DSB ARIMA(k,D,m) (p,d,q)ARIMA(kS+p,mS+q)ARIMA(k,D,m) (p,d,q)三、常見的隨機(jī)季節(jié)模型三、常見的隨機(jī)季節(jié)模型n為了讀者學(xué)習(xí)起來方便，這里列舉幾個(gè)常見的隨機(jī)季節(jié)模型

13、，并簡介其生成的過程。n在實(shí)際問題中，季節(jié)性時(shí)間序列所含有的成分不同，記憶性長度各異，因而模型形式也是多種多樣的。這里以季節(jié)周期S=12為例，介紹幾種常見的季節(jié)模型。n模型一模型一n (8.10)n模型(8.10)先對(duì)時(shí)間序列 做雙重差分，移動(dòng)平均算子由 和 兩個(gè)因子構(gòu)成，該模型是交叉乘積模型 。實(shí)際上該模型是由兩個(gè)模型組合而成。由于序列存在季節(jié)趨勢(shì)，故先對(duì)序列進(jìn)行季節(jié)差分 ，差分后的序列是一階季節(jié)移動(dòng)平均模型，則n n (8.11)1212112(1)(1)(1)(1)ttBBXBB1(1)B1212(1)BtXARIMA(0,1,1) (0,1,1)1212(1)B 121212(1)(1

14、)ttBXBun但式(8.11)僅僅擬合了間隔時(shí)間為周期長度點(diǎn)之間的相關(guān)關(guān)系，序列還存在非季節(jié)趨勢(shì)，相鄰時(shí)間點(diǎn)上的變量還存在相關(guān)關(guān)系，所以模型顯然擬合不足， 不僅是非白噪聲序列而且非平穩(wěn)， 如滿足以下的模型n (8.12)n式(8.12)擬合了序列滯后期為一期的時(shí)間點(diǎn)之間的相關(guān)， 為白噪聲序列，將式(8.12)代入式(8.11)，則得到模型一。tutu1(1)(1)ttB uBtan模型二模型二 n (8.13)n模型(8.13)也是由兩個(gè)模型組合而成，一個(gè)是n (8.14)n它刻畫了不同年份同月的資料之間的相關(guān)關(guān)系，但是又有欠擬合存在，因?yàn)?不是白噪聲序列。如果 滿足以下MA（1）的模型，則

15、 (8.15)n將式(8.15)代入式(8.14)，得到模型二。 1212112(1)(1)(1)ttBXBB121212(1)(1)ttBXBututu1(1)ttuB4.3 季節(jié)性檢驗(yàn)和季節(jié)模型的建立季節(jié)性檢驗(yàn)和季節(jié)模型的建立n檢驗(yàn)一個(gè)時(shí)間序列是否具有季節(jié)性是十分必要的，如果一個(gè)時(shí)間序列季節(jié)性顯著，那么擬合適應(yīng)的季節(jié)時(shí)間序列模型是合理的，否則會(huì)有欠擬合之嫌。如果不是一個(gè)具有顯著季節(jié)性的時(shí)間序列，即使是一個(gè)月度數(shù)據(jù)資料，也不應(yīng)該擬合季節(jié)性時(shí)間序列模型。下面我們討論如何識(shí)別一個(gè)時(shí)間序列的季節(jié)性。n一、季節(jié)性時(shí)間序列自相關(guān)函數(shù)和偏自相關(guān)函數(shù)的檢驗(yàn)一、季節(jié)性時(shí)間序列自相關(guān)函數(shù)和偏自相關(guān)函數(shù)的檢驗(yàn)n

16、根據(jù)Box-Jenkins的建模方法，自相關(guān)函數(shù)和偏自相關(guān)函數(shù)的特征是識(shí)別非季節(jié)性時(shí)間序列的工具。從第七章第二節(jié)的討論已經(jīng)看到季節(jié)性時(shí)間序列模型實(shí)際上是一種特殊的ARIMA模型，不同的是它的系數(shù)是稀疏的，即部分系數(shù)為零，所以對(duì)于乘積季節(jié)模型的階數(shù)識(shí)別，基本上可以采用Box-Jenkins的方法，考察序列樣本自相關(guān)函數(shù)和偏自相關(guān)函數(shù)，從而對(duì)季節(jié)性進(jìn)行檢驗(yàn)。n1. 季節(jié)性MA模型的自相關(guān)函數(shù)n假設(shè)某一季節(jié)性時(shí)間序列適應(yīng)的模型為n (8.16)n (8.17)n 是白噪聲序列。將式(8.17)代入(8.16)，可得n整理后，有n這實(shí)際上是一個(gè)疏系數(shù)的MA(S+1)模型，除滯后期為1，S和S+1時(shí)的滑

17、動(dòng)平均參數(shù)不為零以外，其余的均為零。根據(jù)前面第三章的討論，不難求出其自相關(guān)函數(shù)。S(1)SttXBu1(1)ttuBtaS1(1)(1)SttXBB1111tttS t ss t sX n可見當(dāng)?shù)玫綐颖镜淖韵嚓P(guān)函數(shù)后，各滑動(dòng)平均參數(shù)的矩法估計(jì)式也就不難得到了。n更一般的情形，如果一個(gè)時(shí)間序列服從模型n n (8.18)n其中， 。整理后可以看出該時(shí)間序列模型是疏系數(shù)MA(ms+q)，可以求出其自相關(guān)函數(shù)，從而了解時(shí)間序列的統(tǒng)計(jì)特征。2s2( )(1)ssmstsmstXBBBB 212( )1qqBBBB n2. 季節(jié)性AR模型的偏自相關(guān)函數(shù)n假定 是一個(gè)季節(jié)時(shí)間序列，服從n如果我們將上式展開

18、整理后，可以得到n這是一個(gè)階段為S+1的疏系數(shù)AR模型，根據(jù)偏自相關(guān)函數(shù)的定義，該模型的滯后期1，S和S+1不為零，其他的偏自相關(guān)函數(shù)可能會(huì)顯著為零。n更一般的情形，如果一個(gè)時(shí)間序列服從模型n (8.19)n其中， ，整理后可以看到該時(shí)間序列模型是疏系數(shù)AR(kS+p)模型，求出其偏自相關(guān)函數(shù)，可以了解時(shí)間序列的統(tǒng)計(jì)特征。 1(1)(1)ssttBBX111(1)ssssttBBBX22( )(1)ssksssksttBBBBX212( )1ppBBBB tXn季節(jié)時(shí)間序列的樣本自相關(guān)函數(shù)和偏自相關(guān)函數(shù)既不拖尾也不截尾，也不呈現(xiàn)出線性衰減趨勢(shì)，如果在滯后期為周期S的整倍數(shù)時(shí)出現(xiàn)峰值，則建立乘積

19、季節(jié)模型是適應(yīng)的，同時(shí)SAR算子 和SMA算子 的階數(shù)也可以通過自相關(guān)函數(shù)和偏自相關(guān)函數(shù)的表現(xiàn)得到。n關(guān)于差分階數(shù)和季節(jié)差分階數(shù)的選擇是試探性的，可以通過考察樣本的自相關(guān)函數(shù)來確定。一般情況下，如果自相關(guān)函數(shù)緩慢下降同時(shí)在滯后期為周期S的整倍數(shù)時(shí)出現(xiàn)峰值，通常說明序列同時(shí)有趨勢(shì)變動(dòng)和季節(jié)變動(dòng)，應(yīng)該做一階差分和季節(jié)差分。如果差分后的序列所呈現(xiàn)的自相關(guān)函數(shù)有較好的截尾和拖尾性，則差分階數(shù)是適宜的。 ()SU B()SV Bn例例4.3 繪制1993年1月至2000年12月中國社會(huì)消費(fèi)品零售總額序列的自相關(guān)和偏自相關(guān)圖（圖4.17）。n 圖圖4.17n圖4.17顯示中國社會(huì)消費(fèi)品零售總額月度時(shí)間序列

20、的自相關(guān)函數(shù)緩慢下降，且在滯后期為周期倍數(shù)時(shí)出現(xiàn)峰值，滯后期為12的自相關(guān)函數(shù)為0.645，滯后期為24的自相關(guān)函數(shù)為0.318，說明該時(shí)間序列是一個(gè)典型的既有趨勢(shì)又有季節(jié)變動(dòng)的序列，由于該序列不是一個(gè)平穩(wěn)的時(shí)間序列，所以我們不能由其偏自相關(guān)函數(shù)簡單建立一個(gè)自回歸模型，該序列建模必須將序列進(jìn)行差分變化，使其平穩(wěn)化。EVIEWS軟件介紹軟件介紹()n一、一、X-12季節(jié)調(diào)整方法簡介季節(jié)調(diào)整方法簡介nX-12-ARIMA方法最早由美國普查局Findley等人在20世紀(jì)90年代左右提出，現(xiàn)已成為對(duì)重要時(shí)間序列進(jìn)行深入處理和分析的工具，也是處理最常用經(jīng)濟(jì)類指標(biāo)的工具，在美國和加拿大被廣泛使用。其在歐洲

21、統(tǒng)計(jì)界也得到推薦，并在包括歐洲中央銀行在內(nèi)的歐洲內(nèi)外的許多中央銀行、統(tǒng)計(jì)部門和其他經(jīng)濟(jì)機(jī)構(gòu)被廣泛應(yīng)用。nX-12-ARIMA方法提供了四個(gè)方面的改進(jìn)和提高，（1）可選擇季節(jié)、交易日及假日進(jìn)行調(diào)整，包括調(diào)整用戶定義的回歸自變量估計(jì)結(jié)果，選擇輔助季節(jié)和趨勢(shì)過濾器，以及選擇季節(jié)、趨勢(shì)和不規(guī)則因素的分解形式；（2）對(duì)各種選項(xiàng)條件下調(diào)整的質(zhì)量和穩(wěn)定性做出新診斷；（3） 對(duì)具有ARIMA誤差及可選擇穩(wěn)健估計(jì)系數(shù)的線性回歸模型，進(jìn)行廣泛的時(shí)間序列建模和模型選擇能力分析；（4）提供一個(gè)新的易于分批處理大量時(shí)間序列能力的用戶界面。 X-12-ARIMA方法現(xiàn)已廣泛應(yīng)用于世界各國的中央銀行、統(tǒng)計(jì)部門和其他經(jīng)濟(jì)機(jī)構(gòu)

22、，并且已成為對(duì)重要時(shí)間序列進(jìn)行深入處理和分析的工具。n二、案例：二、案例：1993-2000年中國社會(huì)消費(fèi)品零售總額月度年中國社會(huì)消費(fèi)品零售總額月度序列（單位：億元）序列（單位：億元）n通過1993-2000年中國社會(huì)消費(fèi)品零售總額月度序列的時(shí)序圖（圖8.16），我們可以觀察到該序列有著很強(qiáng)的季節(jié)特征。通過該序列的自相關(guān)函數(shù)圖（圖8.17）及單位根檢驗(yàn)結(jié)果（圖8.19）的進(jìn)一步判斷，認(rèn)為該序列非平穩(wěn)，并且有著很強(qiáng)的季節(jié)特征。圖圖8.19n首先顯示的是Seasonal Adjustment（季節(jié)調(diào)整）模塊（圖8.19），該模塊共有5個(gè)選項(xiàng)區(qū)。n在X11 Method（X11方法）選項(xiàng)區(qū)選Multiplicative（乘法模型）。n在Seasonal Filter（季節(jié)濾子）選項(xiàng)區(qū)選Aut