太原理工大學(xué)誤差理論與測量平差基礎(chǔ)-第四章

1、煤煤 炭炭 版版 測測 量量 平平 差差太原理工大學(xué)測繪科學(xué)與技術(shù)系太原理工大學(xué)測繪科學(xué)與技術(shù)系 2012.32第四章第四章 間間 接接 平平 差差 誤 差 方 程 與 精 度 評 定 間 接 平 差 估 值 的 統(tǒng) 計 性 質(zhì) 3 通過選定t個與觀測值有一定關(guān)系的獨立未知量作為參數(shù)，將每個觀測值都分別表達(dá)成這t個參數(shù)的函數(shù)，建立函數(shù)模型，按最小二乘原理，用求自由極值的方法解出參數(shù)的最或然值，從而求得各觀測值的平差值。 間接平差的數(shù)學(xué)模型為： 1 ,1 ,1 ,nttnndXBL函數(shù)模型：隨機(jī)模型：nnnnnnPQD,120,20,平差準(zhǔn)則： minPVVT)(00dBXLlxXX lxBVi

2、tiiiiidXtXbXavL21dXBVL平差值方程為：平差值方程為： 一、間接平差一般原理一、間接平差一般原理 為參數(shù) 的充分近似值0XX按最小二乘原理，按最小二乘原理， 必須滿足必須滿足 ，因為，因為t t個參數(shù)為獨立量，個參數(shù)為獨立量，故按照求函數(shù)自由極值方法，得：故按照求函數(shù)自由極值方法，得： minPVVTx 02PBVxVPVxPVVTTT轉(zhuǎn)置后得：轉(zhuǎn)置后得： 0PVBT5PlBWPBBNTtTttbb1 , 212121ptlxpttxpbtxpatpblxpbtxpbbxpabpalxpatxpabxpaattt法方程為：法方程為： 0WxNbb將誤差方程式代入將誤差方程式代

3、入 ，得：，得： 0PVBT0PlBxPBBTT6二、計算步驟二、計算步驟1.1.確定確定t,t,選選t t個獨立量為參數(shù)個獨立量為參數(shù)X.X.2.2.列立誤差方程列立誤差方程3.3.組成法方程組成法方程4.4.解算法方程解算法方程, ,求參數(shù)的改正數(shù)求參數(shù)的改正數(shù)5.5.求觀測值改正數(shù)、平差值求觀測值改正數(shù)、平差值7.7.精度評定精度評定dXBVL)(XfVL或)(00dBXLlxXXlxBVPlBWPBBNTtTttbb1 ,0WxNbbWNxbb1PlBPBBxTT1)(lxBVxXXVLL,0式中：式中：或者：7 一、確定待定參數(shù)的個數(shù)一、確定待定參數(shù)的個數(shù)參數(shù)的個數(shù)等于必要觀測個數(shù)。

4、參數(shù)的個數(shù)等于必要觀測個數(shù)。水準(zhǔn)網(wǎng)：有已知點：水準(zhǔn)網(wǎng)：有已知點：等于等于待定點個數(shù)。待定點個數(shù)。 無已知點：待定點數(shù)無已知點：待定點數(shù)減減1 1。測角網(wǎng)：有四個必要的起算數(shù)據(jù)：測角網(wǎng)：有四個必要的起算數(shù)據(jù)：等于等于2 2倍倍待定點數(shù)。待定點數(shù)。 少于四個必要起算數(shù)據(jù)：等于少于四個必要起算數(shù)據(jù)：等于2 2倍倍總點數(shù)總點數(shù)減減4 4。測邊網(wǎng)、邊角網(wǎng)、導(dǎo)線網(wǎng)：有四個必要的起算數(shù)據(jù)：測邊網(wǎng)、邊角網(wǎng)、導(dǎo)線網(wǎng)：有四個必要的起算數(shù)據(jù)：等于等于2 2倍倍待定點數(shù)。待定點數(shù)。 少于四個必要起算數(shù)據(jù)：等于少于四個必要起算數(shù)據(jù)：等于2 2倍倍總點數(shù)總點數(shù)減減3 3。二、參數(shù)的選取二、參數(shù)的選取 保證保證參數(shù)獨立參數(shù)

5、獨立。 水準(zhǔn)網(wǎng)一般選待定點高程平差值；三角網(wǎng)和導(dǎo)線網(wǎng)選待定點坐標(biāo)平差值。水準(zhǔn)網(wǎng)一般選待定點高程平差值；三角網(wǎng)和導(dǎo)線網(wǎng)選待定點坐標(biāo)平差值。三、誤差方程的組成三、誤差方程的組成方法：把觀測值表示成所選參數(shù)的函數(shù)。方法：把觀測值表示成所選參數(shù)的函數(shù)。水準(zhǔn)網(wǎng)和水準(zhǔn)網(wǎng)和GPSGPS網(wǎng)一般是網(wǎng)一般是線性的線性的，三角網(wǎng)和導(dǎo)線網(wǎng)一般為，三角網(wǎng)和導(dǎo)線網(wǎng)一般為非線性的非線性的。8四、誤差方程線性化四、誤差方程線性化非線性誤差方程線性化的一般方法：非線性誤差方程線性化的一般方法： itiiiilxtxbxav2112,iiiitLLVf X XX),(0202101ttixXxXxXf002010202101,t

6、iittiiiiXXXfLxXfxXfxXfv按泰勒公式展開：按泰勒公式展開：00201,tiiiiiiXftXfbXfa000012,iiitiilLfXXXLL令：91.1.測角網(wǎng)坐標(biāo)平差的誤差方程測角網(wǎng)坐標(biāo)平差的誤差方程 ),(00jjYX),(00kkYXjkjkjkS.,0000kkkkkkjjjjjjyYYxXXyYYxXX0jkjkjk坐標(biāo)方位角改正數(shù)坐標(biāo)方位角改正數(shù) 0000arctankkjjjkkkjjYyYyXxXx00000000arctankjjkjkjkjkjkjjkkkjjjkkYYxyxyXXXYXY按泰勒公式展開：按泰勒公式展開：kkjkkkjkjjjkjjj

7、kjkyYxXyYxX00002002002000020000200000)()()()(1)(jkjkjkjkjkjkjkjkjkjjkSYYYXXYYXXYYXXYYX式中：020002000200,jkjkjjkjkjkkjkjkjkkjkXYSYXSXYS同理得：同理得：10坐標(biāo)方位角改正數(shù)方程：坐標(biāo)方位角改正數(shù)方程： 對于角度觀測值來說，其觀測方程為：對于角度觀測值來說，其觀測方程為： jhjkiivL 0代入：000)(iijhjkiiLLLl令：ijhjkilv000022220000jkjkjkjkjkjjkkjkjkjkjkYXYXxyxySSSS kjkjkkjkjkjjk

8、jkjjkjkjkySxSySxScossincossin0000000011線性化后的觀測角度的誤差方程式：線性化后的觀測角度的誤差方程式： ihjhjhhjhjhkjkjkkjkjkjjhjhjkjkjjhjhjkjkilySXxSYySXxSYySXSXxSYSYv)()()()()()()()(200200200200200200200200對于角度觀測的三角網(wǎng)，采用間接平差，選擇待定點的坐標(biāo)為未知數(shù)時，對于角度觀測的三角網(wǎng)，采用間接平差，選擇待定點的坐標(biāo)為未知數(shù)時， 列誤差方程的步驟為：列誤差方程的步驟為：1. 1. 計算各待定點的近似坐標(biāo)計算各待定點的近似坐標(biāo) 、 ；2. 2. 由

9、待定點的近似坐標(biāo)和已知點的坐標(biāo)計算各待定邊的近似坐標(biāo)方位由待定點的近似坐標(biāo)和已知點的坐標(biāo)計算各待定邊的近似坐標(biāo)方位角角 和近似邊長和近似邊長 ；3. 3. 列出各待定邊的坐標(biāo)方位角改正數(shù)方程，并計算其系數(shù)；列出各待定邊的坐標(biāo)方位角改正數(shù)方程，并計算其系數(shù)；4. 4. 列各觀測角出誤差方程式，算出誤差方程的系數(shù)和常數(shù)項。列各觀測角出誤差方程式，算出誤差方程的系數(shù)和常數(shù)項。0X0Y00S122 2、測邊網(wǎng)坐標(biāo)平差的誤差方程、測邊網(wǎng)坐標(biāo)平差的誤差方程 ),(00jjYX),(00kkYXjkiL平差值方程為： 22)()(jkjkiiiYYXXvLL)()(00000jkjkjkjkjkjkjkii

10、yySYxxSXSvL0jkiiSLl0jkiiSLl0jkiiSLlikjkjkkjkjkjjkjkjjkjkilySYxSXySYxSXv00000000測邊的誤差方程為測邊的誤差方程為：按泰勒公式展開：按泰勒公式展開：3 3導(dǎo)線網(wǎng)坐標(biāo)平差的誤差方程導(dǎo)線網(wǎng)坐標(biāo)平差的誤差方程 導(dǎo)線網(wǎng)邊長觀測值測角網(wǎng)坐標(biāo)平差的誤差方程角度觀測值測邊網(wǎng)坐標(biāo)平差的誤差方程權(quán)的配比問題134 4、GPSGPS網(wǎng)誤差方程的列立網(wǎng)誤差方程的列立 ,ijijijXYZVVV),(zyx),(ijijijzyx),(000zyx),(dzdydx)()()(000000ijijijijijijiiijjjZYXZZZYYY

11、XXXzyxzyxVVVijijij基線向量的誤差方程為：基線向量的誤差方程為：13131313KijKlxxV14當(dāng)網(wǎng)中有m個待定點，n條基線向量時，整個GPS網(wǎng)的誤差方程為：13133313nmmnnlxBV12020PQD用兩臺GPS接收機(jī)在一個時段內(nèi)只能得到一條觀測基線向量，它的協(xié)方差陣為：222222ijijijijijijijijijZZYYZXYXXijD稱對觀測向量的權(quán)陣為：120DP15 一、單位權(quán)中誤差一、單位權(quán)中誤差tnPVVT0 xWPllxPlBPllPVVTTTTTT)(二、協(xié)因數(shù)陣二、協(xié)因數(shù)陣LXVLLQ1bbBNQBBNTbb1TbbBBN1XTbbBN11bb

12、NTbbBN1VQBBNTbb1TbbBBNQ1LTbbBBN11bbBNTbbBBN100000LlLplBNxTbb1lxBVVLL間接平差協(xié)因數(shù)陣 16三、參數(shù)函數(shù)中的誤差三、參數(shù)函數(shù)中的誤差參數(shù)的函數(shù)為： ),(21tXXX按泰勒公式展開：tttxXxXxXXXX),(020210100201權(quán)函數(shù)式： ttxfxfxff22110ttxfxfxf2211的中誤差為：)(12020,FNFQDbbTmmxFT FNFFQFQbbTXXT1的協(xié)因數(shù)為：17一、未知數(shù)的估計量一、未知數(shù)的估計量 具有具有無偏性無偏性 X二、改正數(shù)二、改正數(shù) 的數(shù)學(xué)期望的數(shù)學(xué)期望等于零等于零 V三、三、 的方

13、差的方差最小最小 X四、單位權(quán)方差估值四、單位權(quán)方差估值 具有具有無偏性無偏性 20XXE)(0)() ()(xBxBlExBEVEtnPVVT202020)(E18iiLXv對同一個待定量進(jìn)行多次獨立觀測，求該量的平差值并評定精度的平差。實際上它是間接平差中只有一個參數(shù)的特殊情況。 一、平差原理一、平差原理設(shè)對某個量獨立地進(jìn)行了n次不同精度的觀測，得觀測值 ，相應(yīng)的權(quán)為 1nLnnPX選改量的平差值為參數(shù)，誤差方程為：法方程為：法方程為：011niiiniiLpXp解得：niiniiipLpX1119通常取參數(shù)的近似值 ，有 ，則誤差方程為：0XxXX0iiLXv其中：0XLlii法方程為：法方程為：011niiiniilpxp解得：niiniiiplpX11于是有：niiniiiplpXxXX1100nlXxXXnii1002010nPVVTniibbXXpNQ111二、精度評定二、精度評定單位權(quán)中誤差為：參數(shù)的協(xié)因數(shù)為：參數(shù)的權(quán)為：參數(shù)的中誤差為：10nVVTniiXXXPQ1001niiXpp1npXnX0當(dāng)觀測值等精度時：21 間接平差的數(shù)學(xué)模型： lXB 12020PQD）（或XFLdXBL平差值方程：平差值方程：誤差方程：誤差方程：l