復(fù)變函數(shù)課件

1、第二章第二章 解析函數(shù)解析函數(shù)2.1 解析函數(shù)的概念解析函數(shù)的概念;),(Dzzfw函數(shù)1 1 復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 定義定義：Dzzz00,zwz0lim極限zzfzzfz)()(lim000存在存在, , 則就說則就說 f (z)在在 z0可導(dǎo)可導(dǎo), , 此極限值就稱為此極限值就稱為 f (z)在在 z0的導(dǎo)數(shù)，記作的導(dǎo)數(shù)，記作00().zzdwfzdz或或應(yīng)該注意：上述定義中應(yīng)該注意：上述定義中 的方式是任意的。的方式是任意的。0z 容易證明：容易證明：可導(dǎo)可導(dǎo) 可微可微 ；可導(dǎo)可導(dǎo) 連續(xù)。連續(xù)。如果如果 f (z) 在區(qū)域在區(qū)域D內(nèi)處處可導(dǎo)內(nèi)處處可導(dǎo), , 就說就說 f (z)

2、 在在內(nèi)可導(dǎo)內(nèi)可導(dǎo).例例1 1 求求 f (z) = z2 的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)。 解解 因?yàn)橐驗(yàn)?( )( )limzf zzf zz220( )limzzzzz0lim(2 )2 .zzzz所以所以f (z) = 2z .復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)具有與實(shí)函數(shù)同樣的求導(dǎo)法則復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)具有與實(shí)函數(shù)同樣的求導(dǎo)法則 。（即即f (z) = z2 在復(fù)平面處處可導(dǎo)在復(fù)平面處處可導(dǎo)。）。）例例2 問問 f (z) = x +2yi 是否可導(dǎo)是否可導(dǎo)? 解解 這里這里0()( )limzf zzf zz 0()2()2limzxxyy ixyixyi 02limzxyixyi 0,zx 取取002limlim1.zx

3、xyixxyix 0,zi y 取取0022limlim2.zyxyiyxyiy 所以所以 f (z) = x + 2yi 的導(dǎo)數(shù)不存在的導(dǎo)數(shù)不存在.（即即 f (z) = x + 2yi 在整個(gè)復(fù)平面處處不可導(dǎo)在整個(gè)復(fù)平面處處不可導(dǎo).）22zzziyx 例例3 3 討論討論2)(zzfw的可導(dǎo)性。的可導(dǎo)性。zzfzzfzw)()(解：解：zzzz22zzzzzzz)(zzzzz:0z)0(0zzzw0)0( f:0z0 xz取zzzw0yiz取zzzw所以所以2)(zzfw在復(fù)平面上除原點(diǎn)外處處不可導(dǎo)。在復(fù)平面上除原點(diǎn)外處處不可導(dǎo)。2. 解析函數(shù)的概念解析函數(shù)的概念函數(shù)在函數(shù)在一點(diǎn)一點(diǎn)解析解

4、析在在該點(diǎn)該點(diǎn)可導(dǎo)。可導(dǎo)。 反之不一定成立。反之不一定成立。在區(qū)域內(nèi)：在區(qū)域內(nèi)：解解析析可可導(dǎo)導(dǎo). .例如例如 f (z) = z2 在整個(gè)復(fù)平面上解析；在整個(gè)復(fù)平面上解析；2)(zzfw僅在原點(diǎn)可導(dǎo)，故在整個(gè)復(fù)平面上不解析；僅在原點(diǎn)可導(dǎo)，故在整個(gè)復(fù)平面上不解析；f (z) = x +2yi在整個(gè)復(fù)平面上不解析。在整個(gè)復(fù)平面上不解析。定義定義解析：在0)(zzf0( )f zz在在 的的某某鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)可可導(dǎo)導(dǎo). .否則稱為奇點(diǎn)否則稱為奇點(diǎn) 。內(nèi)解析：在區(qū)域Dzf)( )f zD在 內(nèi)處處解析.Z0稱為解析點(diǎn)，稱為解析點(diǎn)，例例4 4 討論函數(shù)討論函數(shù) f (z)=1/z 的解析性的解析性.解：

5、解：210 ,dwzdzz 故故 f (z)=1/z 除除 z = 0外處處解析外處處解析；z = 0 是它的一個(gè)奇點(diǎn)是它的一個(gè)奇點(diǎn)。解析函數(shù)的性質(zhì)：解析函數(shù)的性質(zhì)：(1)(1) 兩個(gè)解析函數(shù)的和、差、積、商仍為解析函數(shù)；兩個(gè)解析函數(shù)的和、差、積、商仍為解析函數(shù)；(2)(2) 兩個(gè)解析函數(shù)的復(fù)合函數(shù)仍為解析函數(shù)；兩個(gè)解析函數(shù)的復(fù)合函數(shù)仍為解析函數(shù)；(3)(3) 一個(gè)解析函數(shù)不可能僅在一個(gè)點(diǎn)或一條曲線上解析；一個(gè)解析函數(shù)不可能僅在一個(gè)點(diǎn)或一條曲線上解析； 所有解析點(diǎn)的集合必為開集所有解析點(diǎn)的集合必為開集。問題問題：對(duì)函數(shù)：對(duì)函數(shù) f (z) = u(x,y) + iv(x,y)，如何判別其解析（

6、可導(dǎo)）性？如何判別其解析（可導(dǎo)）性？與與u、v的偏導(dǎo)有關(guān)的偏導(dǎo)有關(guān)( ),f zu v的的解解析析 可可導(dǎo)導(dǎo) 與與的的偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)之之間間有有什什么么關(guān)關(guān)系系？設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)( )( , )( , )wf zu x yiv x y在在D D內(nèi)內(nèi)解解析析，( ).fzaib即即存存在在于是于是 wf zzf z(0,0)aibzzz 當(dāng)12()()aibziz )()(21yixiyixiba yxybxa21 21ib xa yxy ,u x yi v x y （可微）（可微） yxyaxbvyxybxau1221 oyvxvoyuxuyxyx,.xyxyuvavub ,uvvuxyxy 稱稱C

7、auchy-Riemann為為方方程程( )( , )( , )wf zu x yiv x yD即即在在 內(nèi)內(nèi)一一點(diǎn)點(diǎn) x x, ,y y 解解析析u(x,y) 與與 v(x,y) 在該點(diǎn)可微在該點(diǎn)可微, , 并且滿足并且滿足柯西柯西- -黎曼黎曼( (Cauchy-Riemann) )方程方程。( ).xxyyf zuivviu yxyaxbvyxybxau1221 oyvxvoyuxuyxyx設(shè)設(shè) u(x,y) 與與 v(x,y) 在點(diǎn)在點(diǎn) (x,y) 可微可微, 于是于是1234xyxyuuxuyxyvvxvyxy （x,y0時(shí),k0, (k=1,2,3,4)）()( )f zzf zu

8、i v 21324()()xxxxCR uivxi viuyixiy 1324()()(),xxuivxi yixiy D并且滿足并且滿足柯西柯西- -黎曼黎曼( (Cauchy-Riemann) )方程。方程。1324()()xxyyuivxuivyixiy z1324()( )()().xxf zzf zxyuiviizzz(1,1)xyzz0()( )( )lim.zf zzf zuvfzizxx即函數(shù)即函數(shù) f (z)在在點(diǎn)點(diǎn) z = x + iy 處可導(dǎo)處可導(dǎo).由由 z 的任意性的任意性可知可知：( )( , )( , )wf zu x yiv x y在在D D解解析析. .定理定理

9、1 1 函數(shù)函數(shù)f (z) = u(x,y) + iv(x,y) 在其定義域在其定義域D內(nèi)內(nèi)解析解析的的充要條件是充要條件是 u(x,y) 與與 v(x,y) 在在D內(nèi)內(nèi)可微可微, 并滿足并滿足Cauchy-Riemann方程方程.定理定理2 2 函數(shù)函數(shù)f (z) = u(x,y)+iv(x,y)定義在區(qū)域定義在區(qū)域D內(nèi)一點(diǎn)內(nèi)一點(diǎn)z =x+iy 可導(dǎo)可導(dǎo)的充分必要條件是的充分必要條件是: u(x,y)與與v(x,y)在點(diǎn)在點(diǎn)(x,y)可微可微, , 在該在該點(diǎn)滿足點(diǎn)滿足Cauchy-Riemann方程方程 。 推論推論 ：,( , )u vx yCR若若在在處處一一階階偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)連連續(xù)續(xù)且

10、且滿滿足足方方程程, ,( )f zuivzxiy則則在在處處可可導(dǎo)導(dǎo). .例題例題1 1 ,u v解解析析 可可導(dǎo)導(dǎo)可可微微且且滿滿足足C-R方C-R方程程 222f zxyi xyuivfz已已知知，求求解：解： 2222xxfzuivxi yxiyz例題例題2 2 判斷下列函數(shù)在何處可導(dǎo)判斷下列函數(shù)在何處可導(dǎo), , 在何處解析在何處解析: :1);2)Re( )wzwzz2222yyviuxiyxiyz( ).xxyyf zuivviu解：解：1),wzxiy由由 得得 u x, vy, 所以所以1,0,0,1xyxyxyyxuuvvuv uv 在復(fù)平面內(nèi)處處不可導(dǎo)在復(fù)平面內(nèi)處處不可導(dǎo),

11、 , 處處不解析；處處不解析；wz故故2) 由由w = z Re(z) = x2 + ixy, 得得u = x2, v = xy, 所以所以2 ,0,xyxyuxuvyvx當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng) x = y = 0時(shí)時(shí), ,xyyxuvuv 因而函數(shù)僅在因而函數(shù)僅在z = 0可導(dǎo)可導(dǎo), , 但在復(fù)平面內(nèi)任何地方都但在復(fù)平面內(nèi)任何地方都不解析不解析. .( )f zuivD是是區(qū)區(qū)域域 內(nèi)內(nèi)的的解解析析函函數(shù)數(shù)，( )0fz且且1212( , ), ( , ),u x yC v x yCC C為為任任意意常常數(shù)數(shù)是區(qū)域內(nèi)的是區(qū)域內(nèi)的正交正交 曲線族。曲線族。 ( (正交正交：兩曲線在交點(diǎn)處的切線垂直：

12、兩曲線在交點(diǎn)處的切線垂直 ) )例題例題3 3 證：證：1( , )( , )xuyuu x yCx yku 在在處處切切線線的的斜斜率率，yxvvvkyxCyxv處切線的斜率在),(),(21,yyxxuvyyyyvuuvk kCRuvuv 得證。得證。例如例如 2222,200 .f zzxyi xy fzzz兩族分別以直線兩族分別以直線y= x和坐標(biāo)軸和坐標(biāo)軸為漸近線的等軸雙曲線為漸近線的等軸雙曲線x2 y2 = c1, 2xy = c2 互相正交互相正交。111108642x2468v=101y108642u=02468uv10101010 解析函數(shù)退化為常數(shù)的幾個(gè)充分條件解析函數(shù)退化

13、為常數(shù)的幾個(gè)充分條件：(a)(a) 函數(shù)在區(qū)域內(nèi)解析且導(dǎo)數(shù)恒為零；函數(shù)在區(qū)域內(nèi)解析且導(dǎo)數(shù)恒為零；(b)(b)解析函數(shù)的實(shí)部、虛部、?；蜉椊侵杏幸粋€(gè)恒為常數(shù)；解析函數(shù)的實(shí)部、虛部、模或輻角中有一個(gè)恒為常數(shù)；(c)(c) 解析函數(shù)的共軛在區(qū)域內(nèi)解析解析函數(shù)的共軛在區(qū)域內(nèi)解析。2.2 2.2 解析函數(shù)和調(diào)和函數(shù)的關(guān)系解析函數(shù)和調(diào)和函數(shù)的關(guān)系定義定義1 1 內(nèi)的調(diào)和函數(shù)：為區(qū)域?qū)嵑瘮?shù)Dyxu),(內(nèi)有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，在區(qū)域Dyxu),(0yyxxuuu且滿足(稱為調(diào)和方程或稱為調(diào)和方程或Laplace方程方程) 定理定理1 1： 內(nèi)的解析函數(shù)是區(qū)域Dyxivyxuzf),(),()(內(nèi)的調(diào)和函數(shù)是區(qū)域

14、與Dvu證明：證明： 內(nèi)解析在Dzf)(,xyxyuvvu 且且u, v有任意階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)有任意階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù) xyyyxyxxvuvu,0.xxyyuu同樣可得同樣可得 0.xxyyvv注：注：逆定理顯然不成立，即逆定理顯然不成立，即 對(duì)區(qū)域?qū)^(qū)域D內(nèi)的任意兩個(gè)調(diào)和函數(shù)內(nèi)的任意兩個(gè)調(diào)和函數(shù) u, v, ivuzf)(不一定是解析函數(shù)不一定是解析函數(shù) . .定義定義2 2 若若u與與v是區(qū)域是區(qū)域D內(nèi)的調(diào)和函數(shù)且滿足內(nèi)的調(diào)和函數(shù)且滿足C-R方方程程， 則稱則稱v為為u的的共軛調(diào)和函數(shù)共軛調(diào)和函數(shù) .定理定理2 2： ( )( , )( , )f zu x yiv x y函函數(shù)數(shù)在區(qū)域在區(qū)域D內(nèi)解

15、析內(nèi)解析 v為為u的共軛調(diào)和函數(shù)的共軛調(diào)和函數(shù) .解析函數(shù)的虛部為實(shí)部的共軛調(diào)和數(shù)解析函數(shù)的虛部為實(shí)部的共軛調(diào)和數(shù)例如：例如： 2222f zzxyi xy是解析函數(shù)，是解析函數(shù)，不是解析函數(shù)。不是解析函數(shù)。22;2uxyvxy是調(diào)和函數(shù)（是調(diào)和函數(shù)（自證自證），）， 222f zxyi xyg已知共軛調(diào)和函數(shù)中的一個(gè)，可利用已知共軛調(diào)和函數(shù)中的一個(gè)，可利用 C-R 方程求得另方程求得另一個(gè)，從而構(gòu)成一個(gè)解析函數(shù)。一個(gè)，從而構(gòu)成一個(gè)解析函數(shù)。例題例題1 1 已知一調(diào)和函數(shù)已知一調(diào)和函數(shù)22,u x yxyxy求一解析函數(shù)求一解析函數(shù) 00.f zuivf使使解：解：2,2xyuxy uyx 由

16、由 C-R 方程方程22yxvuxyvxy dy 2122xyyc x 2,xvyc x 22xyvuyc xyx 由由 21,2c xxc 2211,2.22v x yyxyxc所所以以于是于是（法一）（法一） 222211222f zxyxyiyxyxc 000()00 xfcy由由從而從而 222221121222if zxyxyiyxyxz即為所求解析函數(shù)。即為所求解析函數(shù)。（法二）（法二）0,yyxxxyyuuuuuxyy 因因(NMMdxNdyxy已已知知為為某某一一二二元元函函數(shù)數(shù)的的全全微微分分) )yxxyu dxu dyCRv dxv dydv,0,0,x yyxv x y

17、u dxu dyc(0,0)(x,y)(x,0)002xyxdxxy dyc2211222xxyyc ,0,022x yyx dxxy dyc（法三）（法三） 22xxxyfzuivuiuxyiyx222xi yyixxiyi xiy2i z 21.2if zzc (000)fc 2.3 初等函數(shù)初等函數(shù)3.1 指數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù) 定義：定義： )sin(cosyiyeeexiyxz1,:00eeeyxzyiyeexiyzsincos:0性質(zhì)：性質(zhì)： (1)0zzee 定定義義在在全全平平面面上上，且且 (2)zzzeee在在全全平平面面解解析析，且且121212(3),zzzzeeez z加加

18、法法定定理理：(4)2zei是是以以為為基基本本周周期期的的周周期期函函數(shù)數(shù)(0,cossin00)xiyzeeyiye22(cos2sin2,)zk izk izzee eekike kZ(5)lim.zze不不存存在在( lim, lim0 )zzz xz xee 3.2 三角函數(shù)三角函數(shù)定義：定義： ,2sinieeziziz,2cosizizeez性質(zhì)：性質(zhì)：(1)Euler 公式仍然成立公式仍然成立： zizeizsincos(2)全平面解析函數(shù)全平面解析函數(shù)，sincos , cossinzzzz 且且(3)各種三角恒等式仍然成立各種三角恒等式仍然成立( (半角公式除外半角公式除外

19、) ) (4)sin z為奇函數(shù)為奇函數(shù)，cos z為偶函數(shù)為偶函數(shù)(5)2以以為為基基本本周周期期的的周周期期函函數(shù)數(shù)：sin2sin ,cos2sin .()zkzzkz kZ(6) sincoszz與與的的模?？煽梢砸源蟠笥谟谝灰簧跎踔林翢o無界界：例如例如11cos1,2eeicos.2yyeeiyy (7)(7)定義其他的三角函數(shù)：定義其他的三角函數(shù)：.sin1csc,cos1sec,sincosctg,cossintgzzzzzzzzzz3.3 雙曲函數(shù)雙曲函數(shù)定義：定義： eeeech, sh.22zzzzzz （1）全平面解析函數(shù)全平面解析函數(shù)： ,.shzchzchzshz（2

20、）以以2 i為基本周期的周期函數(shù)為基本周期的周期函數(shù)：2,2.sh zk ishz ch zk ichz（3）chz為偶函數(shù)為偶函數(shù), shz為奇函數(shù)。為奇函數(shù)。（4）與三角函數(shù)的關(guān)系：與三角函數(shù)的關(guān)系：shsin ,izizchcosizzsinsh ,izizcosch ,izz例題例題1 1解方程解方程sin1.zish解：解：sinsinsin coscos sinzxiyxiyxiysincos1xchyixshyish sin01cos12xchyxshysh :0sin0,chyxxkkZ由由 1 因1 因 211kshysh 代代入入11ykyk 為偶數(shù)為奇數(shù)2.21niznZ

21、nisinsh ,izizcosch ,izz3.4 對(duì)數(shù)函數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù)定義：定義： (0),wez z若若Ln(0).wzz則則,wuiv記：記：izreu ivuiviee erelnlnarg2uerurzvArgzzklnarg2wLnzzizklnarg2ln2zizi kzk i 多值性多值性lnlnargzziz-主值支主值支例如：例如：iki2) 1arg(1ln) 1(Lnik) 12(性質(zhì)：性質(zhì)：(1) Ln:0,zzz 的的定定義義域域?yàn)闉?2) Ln z為無窮多值函數(shù)，每?jī)蓚€(gè)值相差為無窮多值函數(shù)，每?jī)蓚€(gè)值相差2 i的整數(shù)倍的整數(shù)倍 ，121 212(3),0Ln()LnLn,z zz zzz：1122Ln()LnLn.zzzz(4)