力學(xué)6剛體ppt課件

1、第一篇第一篇 力學(xué)力學(xué)第第3 3章章 剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)第第3章章 剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng) Rotating of a Rigid Body About a Fixed Axis第第1節(jié)節(jié) 剛體的平動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的平動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng) 第第2節(jié)節(jié) 剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律 第第3節(jié)節(jié) 剛體轉(zhuǎn)動(dòng)的功和能剛體轉(zhuǎn)動(dòng)的功和能 第第4節(jié)節(jié) 剛體的角動(dòng)量定理剛體的角動(dòng)量定理 和角動(dòng)量守恒定律和角動(dòng)量守恒定律 第第5節(jié)節(jié) 滾動(dòng)與進(jìn)動(dòng)滾動(dòng)與進(jìn)動(dòng) Translation and Rotation of a Rigid Body第第1節(jié)節(jié) 剛體的平動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的平動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng) 1. 剛體大小和外形不能忽略

2、剛體大小和外形不能忽略大小和外形都堅(jiān)持不變的物體。大小和外形都堅(jiān)持不變的物體。剛體內(nèi)恣意兩質(zhì)點(diǎn)之間的間隔堅(jiān)持不變。剛體內(nèi)恣意兩質(zhì)點(diǎn)之間的間隔堅(jiān)持不變。剛體可看成是各質(zhì)點(diǎn)間相對(duì)位置堅(jiān)持不變的剛體可看成是各質(zhì)點(diǎn)間相對(duì)位置堅(jiān)持不變的特殊的質(zhì)點(diǎn)系特殊的質(zhì)點(diǎn)系 。關(guān)于質(zhì)點(diǎn)系的力學(xué)規(guī)律都可用于剛體關(guān)于質(zhì)點(diǎn)系的力學(xué)規(guī)律都可用于剛體 。質(zhì)心質(zhì)心ABABAB選哪個(gè)點(diǎn)來(lái)代表？選哪個(gè)點(diǎn)來(lái)代表？2. 剛體的平動(dòng)剛體的平動(dòng) 質(zhì)心質(zhì)心 銜接剛體內(nèi)恣意兩點(diǎn)的一條直線在運(yùn)動(dòng)的銜接剛體內(nèi)恣意兩點(diǎn)的一條直線在運(yùn)動(dòng)的各個(gè)時(shí)辰的位置都彼此平行。剛體的這種運(yùn)動(dòng)各個(gè)時(shí)辰的位置都彼此平行。剛體的這種運(yùn)動(dòng)稱(chēng)為平動(dòng)。稱(chēng)為平動(dòng)。 剛體作平動(dòng)時(shí)，

3、其上各個(gè)質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)形狀剛體作平動(dòng)時(shí)，其上各個(gè)質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)形狀完全一樣，故可用恣意一點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)代表剛體整完全一樣，故可用恣意一點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)代表剛體整體的運(yùn)動(dòng)。體的運(yùn)動(dòng)。通常用質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)來(lái)通常用質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)來(lái)代表整體的運(yùn)動(dòng)。代表整體的運(yùn)動(dòng)。平動(dòng)平動(dòng)質(zhì)心：質(zhì)量分布的中心質(zhì)心：質(zhì)量分布的中心質(zhì)心的位矢質(zhì)心的位矢N個(gè)質(zhì)點(diǎn)質(zhì)量個(gè)質(zhì)點(diǎn)質(zhì)量 m1, m2, , mN12,Nrrr 定義：定義： 質(zhì)心的位矢質(zhì)心的位矢i icim rrm 1ci ixm xm 1ciiym ym 1ci izm zm d1cxx mmd1cyy mmd1czz mm質(zhì)心質(zhì)心留意留意密度均勻的剛體：密度均勻的剛體：i imrm 或或質(zhì)心質(zhì)心

4、重心重心?幾何幾何對(duì)稱(chēng)對(duì)稱(chēng)中心中心質(zhì)點(diǎn)系的質(zhì)點(diǎn)系的總質(zhì)量總質(zhì)量質(zhì)點(diǎn)系質(zhì)點(diǎn)系對(duì)應(yīng)的位矢對(duì)應(yīng)的位矢質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理質(zhì)心的速度：質(zhì)心的速度：ddccrVt dd1()i imrt M dd1iirmMt 1i imvM 質(zhì)心的加速度：質(zhì)心的加速度：ddccVat dd1()i imvt M dd1iivmMt 1i imaM 設(shè)設(shè)mi受力受力內(nèi)內(nèi)外外、iifF那么：那么：iiiifFam 對(duì)一切質(zhì)點(diǎn)求和：對(duì)一切質(zhì)點(diǎn)求和：i iiim aFf 0caMF 合合外外合外合外F MM質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理即：質(zhì)心運(yùn)動(dòng)好像一質(zhì)點(diǎn)，只是將質(zhì)量全部集中即：質(zhì)心運(yùn)動(dòng)好像一質(zhì)點(diǎn)，只是將質(zhì)量全部集中 于該點(diǎn)

5、于該點(diǎn), ,是質(zhì)點(diǎn)系受的一切外力。是質(zhì)點(diǎn)系受的一切外力。留意：質(zhì)心上能夠既無(wú)質(zhì)量，又未受力。留意：質(zhì)心上能夠既無(wú)質(zhì)量，又未受力。 iiicmrmr啞鈴啞鈴炮彈炮彈演示：錐體上滾演示：錐體上滾3. 剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的轉(zhuǎn)動(dòng) 剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的描畫(huà)剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的描畫(huà)轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)軸剛剛 體體轉(zhuǎn)軸上各點(diǎn)轉(zhuǎn)軸上各點(diǎn)都堅(jiān)持靜止都堅(jiān)持靜止轉(zhuǎn)動(dòng)：剛體各點(diǎn)都繞同不斷線轉(zhuǎn)動(dòng)：剛體各點(diǎn)都繞同不斷線 (轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)軸) 作圓周運(yùn)動(dòng)。作圓周運(yùn)動(dòng)。最簡(jiǎn)單的情況是轉(zhuǎn)軸的位置和最簡(jiǎn)單的情況是轉(zhuǎn)軸的位置和方向都固定不變的轉(zhuǎn)動(dòng)，稱(chēng)為方向都固定不變的轉(zhuǎn)動(dòng)，稱(chēng)為剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)。剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)。在同一時(shí)間內(nèi)在同一時(shí)間內(nèi), 各點(diǎn)對(duì)軸的轉(zhuǎn)角各點(diǎn)對(duì)軸的轉(zhuǎn)角相等

6、，但線速度不同。相等，但線速度不同。用角量來(lái)描畫(huà)轉(zhuǎn)動(dòng)規(guī)律較為方便。用角量來(lái)描畫(huà)轉(zhuǎn)動(dòng)規(guī)律較為方便。(1) 角位置角位置定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)方程定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)方程(3) 角速度角速度(4) 角加速度角加速度轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)軸剛剛 體體參考參考方向方向單位：?jiǎn)挝唬夯《然《?rad)弧度弧度/秒秒(rad s-1 )弧度弧度/秒秒 (rad s-2 )2(2) 角位移角位移描畫(huà)剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的物理量描畫(huà)剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的物理量dtdq q qqq q)(tq qq q 22dtddtdq qw wb b w w0limtt qq ()( )ttt q qq q q q 定軸轉(zhuǎn)動(dòng)中角量與線量的根本關(guān)系定軸轉(zhuǎn)動(dòng)中角量與線量

7、的根本關(guān)系角量的方向：角量的方向：rv w wra van 矢量式矢量式ddSrq q ddddrSvrttq qw w dddd()rvartt w wb b 222()nrvarrw ww w w wdSdq qOrP:w w 右手螺旋法那么右手螺旋法那么d:dtw wb b 反向反向與與同向同向與與 , 0d , 0dw wb bw ww wb bw w b b b b 1. 力矩力矩MrF 1 在垂直在垂直oo 的平面的平面內(nèi)內(nèi)FsinMrF 2 不在垂直不在垂直oo 的平面的平面內(nèi)內(nèi)Foo.PrFF/F/FFF對(duì)剛體繞對(duì)剛體繞oo軸的轉(zhuǎn)動(dòng)無(wú)奉獻(xiàn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)無(wú)奉獻(xiàn) 總可分解成兩個(gè)分量：總可

8、分解成兩個(gè)分量：FFro 計(jì)算計(jì)算 時(shí)時(shí), 只需思索只需思索 的力矩的力矩, 即即Mz .FM 第第2節(jié)節(jié) 剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律 Principle of Rotation of a Rigid Body About a Fixed Axis( (參考點(diǎn)在轉(zhuǎn)軸上參考點(diǎn)在轉(zhuǎn)軸上) )oo.PF ror在軸上任選參考點(diǎn)在軸上任選參考點(diǎn)O,那么任一質(zhì)元那么任一質(zhì)元A對(duì)對(duì)O 的角動(dòng)量為的角動(dòng)量為:ddLMt 質(zhì)點(diǎn)系的角動(dòng)量定理質(zhì)點(diǎn)系的角動(dòng)量定理:iiiLLrP iiiMMrF xyzMM iM jMk ()zxyzMM iM jMk kM k (-)iii iiii iiiLRm vm z

9、 k rnrw w ()iiiiimrz krkw w (Z軸軸)轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)軸剛剛 體體OOiRiriinwA2. 定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律 只需力矩的只需力矩的z向分量對(duì)向分量對(duì)定軸轉(zhuǎn)動(dòng)有作用定軸轉(zhuǎn)動(dòng)有作用!故求此分量故求此分量Mz的表達(dá)式的表達(dá)式: ddzLMM kkt ddiL kt dd2()iim rtw w 2iim rb b 2:iiJm r 令令bJMziLL k 2iim rw w Jw w wJL轉(zhuǎn)動(dòng)慣量(Z軸軸)轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)軸剛剛 體體OOiRiriinwA()iiiiiiLmrz krkw w zMM k 將將Mz改寫(xiě)為改寫(xiě)為M，那么，那么定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律將將Lz改寫(xiě)為改

10、寫(xiě)為L(zhǎng)，那么，那么對(duì)定軸的角動(dòng)量對(duì)定軸的角動(dòng)量 ddiiiiimr z krkktw w 2iirmJJM剛體對(duì)定軸剛體對(duì)定軸(z 軸軸)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 由剛體上各質(zhì)元相對(duì)于固定轉(zhuǎn)軸的分布決議，由剛體上各質(zhì)元相對(duì)于固定轉(zhuǎn)軸的分布決議，與外力無(wú)關(guān)，是表征剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣性的特征量。與外力無(wú)關(guān)，是表征剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣性的特征量。與牛頓第二定律比較：與牛頓第二定律比較：J mamFJMMFab bm反映質(zhì)點(diǎn)的平動(dòng)慣性反映質(zhì)點(diǎn)的平動(dòng)慣性定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律:J反映剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣性反映剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣性J mPmv L Jw w L P v w w LJw w 剛體對(duì)定軸的角動(dòng)量剛體對(duì)定軸的角動(dòng)量:3. 轉(zhuǎn)動(dòng)慣

11、量的計(jì)算轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的計(jì)算 2iirmJd2MJrm 1分立的質(zhì)量元構(gòu)成的系統(tǒng)分立的質(zhì)量元構(gòu)成的系統(tǒng)2質(zhì)量延續(xù)分布的系統(tǒng)質(zhì)量延續(xù)分布的系統(tǒng)(如如:剛體剛體)Mrdm在在SI制中，制中，J 的單位：的單位：kgm2質(zhì)量元質(zhì)量元dm dm 的計(jì)算方法如下：的計(jì)算方法如下：ddml 質(zhì)量為線分布：質(zhì)量為線分布：ddmS 質(zhì)量為面分布：質(zhì)量為面分布：ddmV 質(zhì)量為體分布：質(zhì)量為體分布：線密度線密度面密度面密度體密度體密度例例1. 1. 求質(zhì)量為求質(zhì)量為m m、半徑為、半徑為R R的均勻圓環(huán)的轉(zhuǎn)動(dòng)的均勻圓環(huán)的轉(zhuǎn)動(dòng) 慣量。軸與圓環(huán)平面垂直并經(jīng)過(guò)環(huán)心。慣量。軸與圓環(huán)平面垂直并經(jīng)過(guò)環(huán)心。解：解：d2JRm 假設(shè)

12、是半徑為假設(shè)是半徑為R R的薄圓筒的薄圓筒不計(jì)厚度結(jié)果如何？不計(jì)厚度結(jié)果如何？ORdmORd2Rm 2JmR 在圓環(huán)上取質(zhì)量元在圓環(huán)上取質(zhì)量元dmdmdm結(jié)果方式不變結(jié)果方式不變d2MJrm 例例2. 求質(zhì)量為求質(zhì)量為m, 半徑為半徑為R, 厚為厚為l 的均勻圓盤(pán)的的均勻圓盤(pán)的 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。軸與盤(pán)平面垂直并經(jīng)過(guò)盤(pán)心。轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。軸與盤(pán)平面垂直并經(jīng)過(guò)盤(pán)心。解：解：ddmV lRr取半徑為取半徑為r r寬為寬為drdr的薄圓環(huán)的薄圓環(huán), ,d2 r r l 其質(zhì)量為：其質(zhì)量為：d2Jrm 412R l 2mR l 212JmR d2MJrm d302Rlr r 顯然：轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與顯然：轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與l 無(wú)關(guān)

13、。所以，實(shí)心圓柱對(duì)其無(wú)關(guān)。所以，實(shí)心圓柱對(duì)其軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量也是軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量也是mR2/2。例例3.3.如下圖如下圖, ,一個(gè)均勻半圓薄板的質(zhì)量為一個(gè)均勻半圓薄板的質(zhì)量為m, m, 半徑半徑 為為R.R.以其直徑邊為轉(zhuǎn)軸以其直徑邊為轉(zhuǎn)軸, , 它的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量多大？它的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量多大？解解: :取窄條狀面元取窄條狀面元dS.dS.設(shè)面密度為設(shè)面密度為 . .dShdhq qdq qRd 對(duì)應(yīng)的弧長(zhǎng)為RdddhRq qcosq q dd2cosSRhq qd222cosRq q q q dd2JhS d222(sin ) 2cosRRqq qqq qd42222cossin/2mRRq qq q q q

14、d22sin 2mRq qq q dd2220sin 2mRJJ q qq q 24mR 2/2mR ?X例例4.4.求長(zhǎng)為求長(zhǎng)為L(zhǎng) L、質(zhì)量為、質(zhì)量為m m的均勻細(xì)棒的均勻細(xì)棒 對(duì)圖中不同軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。對(duì)圖中不同軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。ABLo解：取如圖坐標(biāo)解：取如圖坐標(biāo)d2CJxx d2AMJx m dmdx dm=dx213AJmL d20Lxx 以質(zhì)心為轉(zhuǎn)軸的以質(zhì)心為轉(zhuǎn)軸的J：2112CJmL 2L 2L可見(jiàn)：同一物體繞不同的轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量不同！可見(jiàn)：同一物體繞不同的轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量不同！ABL/2L/2CXodmd2MJrm 以棒一端為轉(zhuǎn)軸的以棒一端為轉(zhuǎn)軸的J：3平行軸定理平行軸定理 JC是經(jīng)過(guò)

15、質(zhì)心的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，是經(jīng)過(guò)質(zhì)心的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量， JA是經(jīng)過(guò)棒端的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量是經(jīng)過(guò)棒端的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 兩軸平行，相距兩軸平行，相距L/2。2211312ACJJmLmL 上述結(jié)論可以推行：上述結(jié)論可以推行：平行軸定理平行軸定理2()2ACLJ = J + m2()2Lm 假設(shè)有任一軸與過(guò)質(zhì)心的軸平行假設(shè)有任一軸與過(guò)質(zhì)心的軸平行,相距為相距為d,剛體剛體對(duì)其轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為對(duì)其轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J，那么有：，那么有：2mdJJCABLC231mLJA 2121mLJC 一些常見(jiàn)剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量：一些常見(jiàn)剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量：Lm細(xì)棒細(xì)棒231mLJ 細(xì)棒細(xì)棒2121mLJ 薄圓環(huán)薄圓環(huán)或薄圓筒或薄圓筒2mRJ Rm圓

16、盤(pán)或圓盤(pán)或圓柱體圓柱體薄球殼薄球殼221mRJ Rm232mRJ 球體球體252mRJ RmRmmL長(zhǎng)長(zhǎng)桿桿短短鉛鉛筆筆竿子長(zhǎng)些還是短些平安？竿子長(zhǎng)些還是短些平安？q qq q 從小傾角從小傾角 處?kù)o止釋放處?kù)o止釋放兩勻直細(xì)桿兩勻直細(xì)桿地面地面短桿的角加速度大短桿的角加速度大且與勻質(zhì)直桿的質(zhì)量無(wú)關(guān)且與勻質(zhì)直桿的質(zhì)量無(wú)關(guān)兩者瞬時(shí)角加速度之比兩者瞬時(shí)角加速度之比213q q1q q1321根據(jù)4. 剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律的運(yùn)用剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律的運(yùn)用bJMd2mJrm 例例5.一根長(zhǎng)為一根長(zhǎng)為L(zhǎng)、質(zhì)量為、質(zhì)量為m的均勻細(xì)直棒的均勻細(xì)直棒, 其一端其一端 有一固定的光滑程度軸，因此可以在豎直平有一固定的光滑

17、程度軸，因此可以在豎直平 面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)。面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)。 最初棒靜止在程度位置，最初棒靜止在程度位置， 求它由此下擺求它由此下擺角時(shí)的角加速度和角速度。角時(shí)的角加速度和角速度。解：棒下擺為加速過(guò)程，解：棒下擺為加速過(guò)程， 外力矩為重力對(duì)外力矩為重力對(duì)O O 的力矩。的力矩。 ddMxg m q qXOgdmdmxCmgxM dg x m mmcxmgCdMxg m 合力矩：合力矩： 棒上取質(zhì)元棒上取質(zhì)元dm,dm,當(dāng)棒處在當(dāng)棒處在 下擺下擺角時(shí)角時(shí), ,重力矩為：重力矩為：重力對(duì)整個(gè)棒的合力矩重力對(duì)整個(gè)棒的合力矩與全部重力集中作用在與全部重力集中作用在質(zhì)心所產(chǎn)生的力矩一樣。質(zhì)心所產(chǎn)生的力矩一樣。1cos

18、2cxLq q 1cos2MmgL MJb b 21cos213mgLmLq q 3 cos2gLq q q qXOgdmdmxmgCCMmgx d dtw wb b ddddtw w q qq q d dw wb bw wq q dd3 cos2gLq qw ww wq q dd003 cos2gLw wq qq qw w w w 231sin22gLq qw w 3 singLq qw w 又：又：即：即：mgCqXOxc3 cos2gLq qb b 例例6.6.質(zhì)量為質(zhì)量為m m、長(zhǎng)為、長(zhǎng)為L(zhǎng) L的勻質(zhì)細(xì)桿程度放置的勻質(zhì)細(xì)桿程度放置, ,一端一端 為鉸鏈，另一端用繩懸掛。為鉸鏈，另一端用

19、繩懸掛。求剪斷繩子瞬時(shí)求剪斷繩子瞬時(shí), ,桿的角加速度以及鉸鏈的支撐力。桿的角加速度以及鉸鏈的支撐力。.解：解：gmF剪斷時(shí)細(xì)桿繞剪斷時(shí)細(xì)桿繞O O點(diǎn)的力矩為點(diǎn)的力矩為o12MmgL 根據(jù)定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律根據(jù)定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律MJb b 213JmL 32gLb b質(zhì)心平動(dòng)：質(zhì)心平動(dòng)：cmaFmg12caLb b )(cagmF14mg carb b 例例7. 在半徑為在半徑為R,質(zhì)量為質(zhì)量為m，J= mR2的滑輪上掛一細(xì)的滑輪上掛一細(xì)繩，細(xì)繩兩端各掛兩物繩，細(xì)繩兩端各掛兩物m1m2。12m2m1解：解：m1、m2作為質(zhì)點(diǎn)處置作為質(zhì)點(diǎn)處置滑輪作剛體處置滑輪作剛體處置,m1gT1m2gT2T1T2根據(jù)牛頓

20、定律：根據(jù)牛頓定律：amTgm111)(222amTgmy由定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律：由定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律：b bJRTRT21 aab bR聯(lián)立解得：聯(lián)立解得：121122mmagm mm 121122mmgRm mm 求求: 兩物的加速度兩物的加速度 a及滑輪的角加速度及滑輪的角加速度.動(dòng)畫(huà)動(dòng)畫(huà)第第3節(jié)節(jié) 剛體轉(zhuǎn)動(dòng)的功和能剛體轉(zhuǎn)動(dòng)的功和能 Work and Energy of a Rotating Rigid Body1. 剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能多個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成的質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能定義為多個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成的質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能定義為:21()2kiiiEm v 所以，轉(zhuǎn)動(dòng)的剛體的動(dòng)能為所以，轉(zhuǎn)動(dòng)的剛體的動(dòng)能為:21()2ki

21、iiEmv 221()2iiimrw w 221()2iiimrw w 212kEJw w 212Jw w 2.力矩的功力矩的功Oq qdq qr xPF dr 力在這段元位移中所做的功是力在這段元位移中所做的功是: dcosFr ddA Fr dcosFr q q drF q q dMq qd21AMq qq qq q 即即:力對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)剛體所做的功用力矩的功來(lái)計(jì)算力對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)剛體所做的功用力矩的功來(lái)計(jì)算!所以，所以，3. 剛體繞固定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理剛體繞固定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理 ddAMq q dJb bq q dddJtw wq qdJw w w w 在剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程中在剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程中, 合外合外

22、力矩力矩M對(duì)剛體所做的功為對(duì)剛體所做的功為: dAA d21Jw ww ww w w w 22211122JJw ww w 即：即：21222121w ww wJJA 合外力矩對(duì)剛體所做的功等于剛體轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能合外力矩對(duì)剛體所做的功等于剛體轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能的增量的增量剛體繞固定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理剛體繞固定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理Oq qdq qr xPF dr 4.剛體的重力勢(shì)能剛體的重力勢(shì)能yhihcxOMC mi質(zhì)元質(zhì)元 mimi的勢(shì)能：的勢(shì)能：iiighmE iiiPhgmE )(iiihmg 整個(gè)剛體的勢(shì)能：整個(gè)剛體的勢(shì)能：剛體的重力勢(shì)能剛體的重力勢(shì)能5. 機(jī)械能守恒定律機(jī)械能守恒定律 對(duì)于含有剛體的系統(tǒng)對(duì)

23、于含有剛體的系統(tǒng), ,假設(shè)在假設(shè)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中只需保守內(nèi)力做功運(yùn)動(dòng)過(guò)程中只需保守內(nèi)力做功, ,那么那么此系統(tǒng)的機(jī)械能守恒。此系統(tǒng)的機(jī)械能守恒。cMghMM它的全部質(zhì)量都集中它的全部質(zhì)量都集中在質(zhì)心時(shí)所具有的勢(shì)能在質(zhì)心時(shí)所具有的勢(shì)能 iicxmMx1 iicymMy1 iiczmMz1q qXOmgC例例10.一根長(zhǎng)為一根長(zhǎng)為L(zhǎng),質(zhì)量為質(zhì)量為m的均勻細(xì)直棒的均勻細(xì)直棒,一端有一一端有一 固定的光滑程度軸固定的光滑程度軸,因此可以在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)因此可以在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn) 動(dòng)。動(dòng)。 最初棒靜止在程度位置，求它由此下擺最初棒靜止在程度位置，求它由此下擺 角時(shí)的角加速度和角速度。角時(shí)的角加速度和角速度。解：解

24、：用機(jī)械能守恒定律重解用機(jī)械能守恒定律重解P20P20例例5)5)在棒擺動(dòng)過(guò)程中系統(tǒng)在棒擺動(dòng)過(guò)程中系統(tǒng)的機(jī)械能守恒。的機(jī)械能守恒。0212 CmgyJw w213Jml sin2Clyq q 設(shè)棒在程度位置時(shí)重力勢(shì)能為零，設(shè)棒在程度位置時(shí)重力勢(shì)能為零，由機(jī)械能守恒知由機(jī)械能守恒知: :3 singLq qw w dd3 cos2gtLq qw wb b 與前面解得的結(jié)果一致與前面解得的結(jié)果一致! ! 1.1.剛體的角動(dòng)量剛體的角動(dòng)量剛體上的任一質(zhì)元繞固定軸做圓周運(yùn)動(dòng)剛體上的任一質(zhì)元繞固定軸做圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)相對(duì)于轉(zhuǎn)軸上恣意一點(diǎn)時(shí)相對(duì)于轉(zhuǎn)軸上恣意一點(diǎn)O的角動(dòng)量在的角動(dòng)量在軸上的分量的大小均為：軸上的分

25、量的大小均為：故，剛體對(duì)此軸的角動(dòng)量為：故，剛體對(duì)此軸的角動(dòng)量為：iizzLLiriiiizvmrL w w iimr2即：剛體對(duì)定軸的角動(dòng)量即：剛體對(duì)定軸的角動(dòng)量L, 等于它對(duì)該軸的轉(zhuǎn)動(dòng)等于它對(duì)該軸的轉(zhuǎn)動(dòng) 慣量慣量J和角速度和角速度 的乘積。的乘積。zim izLw w )(2iiirmw wzJw wJL簡(jiǎn)寫(xiě)為：簡(jiǎn)寫(xiě)為：第第4節(jié)節(jié) 剛體的角動(dòng)量定理和角動(dòng)量守恒定律剛體的角動(dòng)量定理和角動(dòng)量守恒定律 Principle of Angular Momentum & Law of Conservation of Angular Momentum of a Rigid Body Rotating A

26、bout a Fixed AxisddLMt 質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量定理為質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量定理為對(duì)質(zhì)點(diǎn)系恣意一質(zhì)點(diǎn)對(duì)質(zhì)點(diǎn)系恣意一質(zhì)點(diǎn)ddiiLMt iiiMMM d dizziLMt ddizizLMt 定軸定軸方向方向0外iMM外izzMMd dizLt d dzLt 對(duì)質(zhì)點(diǎn)系對(duì)質(zhì)點(diǎn)系: :ddzzM tL 由上可得：由上可得：d dzzLMt dd()zJtw w d dzzM Jtw w b bzJ定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律d d()zzJMtw w 剛體繞定軸的角動(dòng)量定理剛體繞定軸的角動(dòng)量定理ddM tL w wzzJL 2. 剛體繞定軸的角動(dòng)量定理剛體繞定軸的角動(dòng)量定理內(nèi)內(nèi)外外Jz不變不變Jz變化變

27、化合外力矩合外力矩 M 對(duì)剛體繞定軸的沖量矩為：對(duì)剛體繞定軸的沖量矩為：ddM tL 0t00JJw ww w 0LtL0tLL 即即: : 對(duì)某一定軸的外力矩的作用在某段時(shí)間內(nèi)的對(duì)某一定軸的外力矩的作用在某段時(shí)間內(nèi)的 累積效果為剛體對(duì)同一轉(zhuǎn)動(dòng)軸的角動(dòng)量的增量。累積效果為剛體對(duì)同一轉(zhuǎn)動(dòng)軸的角動(dòng)量的增量。ddM tL ( (微分方式微分方式) )剛體繞定軸的角動(dòng)量定理：剛體繞定軸的角動(dòng)量定理：d000tM tJJw ww w ( (積分方式積分方式) )ddzzM tL 簡(jiǎn)寫(xiě)為簡(jiǎn)寫(xiě)為當(dāng)合外力矩當(dāng)合外力矩0M那么那么0tLL 角動(dòng)量守恒角動(dòng)量守恒討論討論1當(dāng)當(dāng) L=常量，常量， 假設(shè)假設(shè)J=常量，

28、常量，那么那么 =常量，常量，即：剛體堅(jiān)持恒定的角速度即：剛體堅(jiān)持恒定的角速度 轉(zhuǎn)動(dòng)。轉(zhuǎn)動(dòng)。當(dāng)當(dāng) L =常量，常量，假設(shè)假設(shè)J 常量，常量， J =常量，常量，那么那么 常量。常量。2211JJw ww w Jw ww wddM tL 0t0tLL ddM tL w wJL或或J2此定律可推行到含多個(gè)質(zhì)點(diǎn)、多個(gè)剛體的系統(tǒng)此定律可推行到含多個(gè)質(zhì)點(diǎn)、多個(gè)剛體的系統(tǒng)3. 角動(dòng)量守恒定律角動(dòng)量守恒定律旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn)w wurR例例11. 如圖，質(zhì)量為如圖，質(zhì)量為 M 半徑為半徑為 R 的轉(zhuǎn)臺(tái)初始角速度為的轉(zhuǎn)臺(tái)初始角速度為 0 ,有一質(zhì)量為有一質(zhì)量為m 的人站在轉(zhuǎn)臺(tái)的中心的人站在轉(zhuǎn)臺(tái)的中心,假設(shè)他相對(duì)于轉(zhuǎn)臺(tái)以

29、假設(shè)他相對(duì)于轉(zhuǎn)臺(tái)以恒定的速度恒定的速度 u 沿半徑向邊緣走去沿半徑向邊緣走去,求人走了求人走了t 時(shí)間后時(shí)間后,轉(zhuǎn)臺(tái)轉(zhuǎn)臺(tái)轉(zhuǎn)過(guò)的角度。豎直軸所受摩擦阻力矩不計(jì)轉(zhuǎn)過(guò)的角度。豎直軸所受摩擦阻力矩不計(jì)解：解：人與轉(zhuǎn)臺(tái)系統(tǒng)對(duì)軸角動(dòng)量守恒人與轉(zhuǎn)臺(tái)系統(tǒng)對(duì)軸角動(dòng)量守恒設(shè)設(shè) t 時(shí)辰人走到距轉(zhuǎn)臺(tái)中心時(shí)辰人走到距轉(zhuǎn)臺(tái)中心 r = ut 處，轉(zhuǎn)臺(tái)的角速度為處，轉(zhuǎn)臺(tái)的角速度為 . w w w w)2(222202tmuRMRM222021MRtmu w w w wtdd q qw w tMRtmutttd21dd 0222000 w ww wq qq qq q)2(arctan)2(21210RMmutMmuRw w

30、 q qOOuvmm碰前碰前碰后碰后例例12.12.勻質(zhì)細(xì)棒質(zhì)量為勻質(zhì)細(xì)棒質(zhì)量為m,m,長(zhǎng)為長(zhǎng)為2l,2l,可在鉛直平面內(nèi)可在鉛直平面內(nèi) 繞經(jīng)過(guò)其中心的程度軸繞經(jīng)過(guò)其中心的程度軸O O自在轉(zhuǎn)動(dòng)自在轉(zhuǎn)動(dòng). . 開(kāi)場(chǎng)時(shí)開(kāi)場(chǎng)時(shí) 棒靜止于程度位置棒靜止于程度位置, ,一質(zhì)量為一質(zhì)量為mm的小球的小球, ,以速以速 度度u u垂直落到棒的端點(diǎn)垂直落到棒的端點(diǎn), ,且與棒作彈性碰撞且與棒作彈性碰撞, , 碰撞時(shí)間極短碰撞時(shí)間極短. . 求求: :碰撞后小球的回跳速度以及棒的角速度碰撞后小球的回跳速度以及棒的角速度. .解解: 以棒和小球?yàn)橄到y(tǒng)以棒和小球?yàn)橄到y(tǒng). 在碰撞過(guò)程中在碰撞過(guò)程中, 對(duì)軸對(duì)軸O的的

31、外力矩只需小球的重力矩外力矩只需小球的重力矩mgl .因碰撞時(shí)間因碰撞時(shí)間 極短極短, 此重力矩對(duì)時(shí)間的累積可忽略不計(jì)此重力矩對(duì)時(shí)間的累積可忽略不計(jì).ddM tL 于是于是,系統(tǒng)對(duì)轉(zhuǎn)軸系統(tǒng)對(duì)轉(zhuǎn)軸O的角動(dòng)量守恒的角動(dòng)量守恒:0tLL 以順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)的角動(dòng)量方向?yàn)檎皂槙r(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)的角動(dòng)量方向?yàn)檎? 那么那么由角動(dòng)量守恒得由角動(dòng)量守恒得:因作彈性碰撞因作彈性碰撞,故在碰撞過(guò)程中機(jī)械能守恒故在碰撞過(guò)程中機(jī)械能守恒 :222111( 2 )222mumvJw w ( 1 )mulJmvlw w 33m- mv u m m 于是于是,系統(tǒng)對(duì)轉(zhuǎn)軸系統(tǒng)對(duì)轉(zhuǎn)軸O的角動(dòng)量守恒的角動(dòng)量守恒OOuvmm碰前碰前碰后碰

32、后0tLL 6( 3)m u m m lw w 由由(1) (2)解得解得:例例13、一人手持長(zhǎng)為、一人手持長(zhǎng)為 的棒的一端打擊巖石，但的棒的一端打擊巖石，但又要防止手遭到猛烈的沖擊。請(qǐng)問(wèn)：此人該當(dāng)用又要防止手遭到猛烈的沖擊。請(qǐng)問(wèn)：此人該當(dāng)用棒的哪一點(diǎn)去打擊巖石才會(huì)受力最??？棒的哪一點(diǎn)去打擊巖石才會(huì)受力最小？解：解：L打擊前，棒的運(yùn)動(dòng)可看成繞手打擊前，棒的運(yùn)動(dòng)可看成繞手握端的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，為滿足打擊握端的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，為滿足打擊時(shí)手受力最小，即手受力為零。時(shí)手受力最小，即手受力為零。于是打擊過(guò)程中棒只受巖石的反作用力，該力使棒于是打擊過(guò)程中棒只受巖石的反作用力，該力使棒的質(zhì)心速度降為零，棒的轉(zhuǎn)動(dòng)速度也

33、降為零。的質(zhì)心速度降為零，棒的轉(zhuǎn)動(dòng)速度也降為零。設(shè)打擊時(shí)間為設(shè)打擊時(shí)間為 ，打擊點(diǎn)與手握端的間隔為，打擊點(diǎn)與手握端的間隔為 t21213cF tmvm LFx tJmLwww LcvFwxx動(dòng)量定理動(dòng)量定理角動(dòng)量定理角動(dòng)量定理解得：解得：23xL剛體的非定軸的運(yùn)動(dòng)剛體的非定軸的運(yùn)動(dòng)1. 滾動(dòng)滾動(dòng)S=2R AcccRAA0可看成可看成軸平動(dòng)軸平動(dòng)剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)合成合成運(yùn)動(dòng)方程運(yùn)動(dòng)方程質(zhì)心平動(dòng)質(zhì)心平動(dòng)camF 合外力合外力cyycxxmaFmaF 定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定軸轉(zhuǎn)動(dòng)b b MMb b MMJJ合外力矩合外力矩留意：留意：10 角量是對(duì)質(zhì)心而言的，可以證明：角量是對(duì)質(zhì)心而言的，可以證明：

34、b b w w RaRvcc30 S = R演示演示動(dòng)畫(huà)動(dòng)畫(huà)20 “ 0 的速度的速度 v0 = 0 ！是瞬時(shí)靜止的。這個(gè)點(diǎn)稱(chēng)為瞬！是瞬時(shí)靜止的。這個(gè)點(diǎn)稱(chēng)為瞬心。心。w wmg0ZL2.進(jìn)動(dòng)：陀螺在繞本身的對(duì)稱(chēng)軸線轉(zhuǎn)動(dòng)的同時(shí)，對(duì)稱(chēng)軸還進(jìn)動(dòng)：陀螺在繞本身的對(duì)稱(chēng)軸線轉(zhuǎn)動(dòng)的同時(shí)，對(duì)稱(chēng)軸還將繞豎直軸將繞豎直軸 OZ 轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)動(dòng),這種回轉(zhuǎn)景象稱(chēng)為進(jìn)動(dòng)。這種回轉(zhuǎn)景象稱(chēng)為進(jìn)動(dòng)。進(jìn)動(dòng)產(chǎn)生的緣由：進(jìn)動(dòng)產(chǎn)生的緣由：重力對(duì)重力對(duì) 0 點(diǎn)的力矩為點(diǎn)的力矩為 ，MLtMdd 的方向：的方向：M gmr的方向與的方向與 一致一致MLdLLLM d Ld 使 改動(dòng)方向LdL故陀螺的自轉(zhuǎn)軸改動(dòng)方向，繞一故陀螺的自轉(zhuǎn)軸改動(dòng)方向，繞一豎直軸進(jìn)動(dòng)豎直軸進(jìn)動(dòng)進(jìn)動(dòng)角速度進(jìn)動(dòng)角速度q qw w sinJM根據(jù)角動(dòng)量定理：根據(jù)角動(dòng)量定理：動(dòng)畫(huà)動(dòng)畫(huà)q對(duì)稱(chēng)軸繞對(duì)稱(chēng)軸繞Z軸轉(zhuǎn)動(dòng)軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)合成合成例例14. 一個(gè)質(zhì)量為一個(gè)質(zhì)量為m半徑為半徑為 R 的均勻圓柱體，從傾角為的均勻圓柱體，從傾角為 的斜面上由靜止開(kāi)場(chǎng)無(wú)滑動(dòng)地滾下，求質(zhì)心的加速度。的斜面上由靜止開(kāi)場(chǎng)無(wú)滑動(dòng)地滾下，求質(zhì)心的加速度。cRcaq qxymgNf解法一：