二項式定理典型例題

1、-二項式定理典型例題-典型例題一例1在二項式的展開式中，前三項的系數(shù)成等差數(shù)列，求展開式中所有有理項分析：此題是典型的特定項問題，涉及到前三項的系數(shù)及有理項，可以通過抓通項公式解決解：二項式的展開式的通項公式為：前三項的得系數(shù)為：，由：，通項公式為為有理項，故是4的倍數(shù)，依次得到有理項為說明：此題通過抓特定項滿足的條件，利用通項公式求出了r的取值，得到了有理項類似地，的展開式中有多少項是有理項.可以通過抓通項中r的取值，得到共有17頁系數(shù)和為典型例題四例41求展開式中的系數(shù)；2求展開式中的常數(shù)項分析：此題的兩小題都不是二項式展開，但可以轉化為二項式展開的問題，1可以視為兩個二項展開式相乘；2可

2、以經(jīng)過代數(shù)式變形轉化為二項式解：1展開式中的可以看成以下幾種方式得到，然后合并同類項：用展開式中的常數(shù)項乘以展開式中的項，可以得到；用展開式中的一次項乘以展開式中的項可得到；用中的乘以展開式中的可得到；用中的項乘以展開式中的項可得到，合并同類項得項為：2由展開式的通項公式，可得展開式的常數(shù)項為說明：問題2中將非二項式通過因式分解轉化為二項式解決這時我們還可以通過合并項轉化為二項式展開的問題來解決典型例題五例5求展開式中的系數(shù)分析：不是二項式，我們可以通過或把它看成二項式展開解：方法一：其中含的項為含項的系數(shù)為6方法二：其中含的項為項的系數(shù)為6方法3：此題還可通過把看成6個相乘，每個因式各取一項

3、相乘可得到乘積的一項，項可由以下幾種可能得到5個因式中取*，一個取1得到3個因式中取*，一個取，兩個取1得到1個因式中取*，兩個取，三個取1得到合并同類項為，項的系數(shù)為6典型例題六例6求證：1；2分析：二項式系數(shù)的性質實際上是組合數(shù)的性質，我們可以用二項式系數(shù)的性質來證明一些組合數(shù)的等式或者求一些組合數(shù)式子的值解決這兩個小題的關鍵是通過組合數(shù)公式將等式左邊各項變化的等數(shù)固定下來，從而使用二項式系數(shù)性質解：1左邊右邊2左邊右邊說明：此題的兩個小題都是通過變換轉化成二項式系數(shù)之和，再用二項式系數(shù)的性質求解此外，有些組合數(shù)的式子可以直接作為*個二項式的展開式，但這需要逆用二項式定理才能完成，所以需仔

4、細觀察，我們可以看下面的例子：求的結果仔細觀察可以發(fā)現(xiàn)該組合數(shù)的式與的展開式接近，但要注意：從而可以得到：典型例題七例7利用二項式定理證明：是64的倍數(shù)分析：64是8的平方，問題相當于證明是的倍數(shù)，為了使問題向二項式定理貼近，變形，將其展開后各項含有，與的倍數(shù)聯(lián)系起來解：是64的倍數(shù)說明：利用此題的方法和技巧不僅可以用來證明整除問題，而且可以用此方程求一些復雜的指數(shù)式除以一個數(shù)的余數(shù)典型例題八例8展開分析1：用二項式定理展開式解法1：分析2：對較繁雜的式子，先化簡再用二項式定理展開解法2：說明：記準、記熟二項式的展開式，是解答好與二項式定理有關問題的前提條件對較復雜的二項式，有時先化簡再展開會

5、更簡便典型例題九例9假設將展開為多項式，經(jīng)過合并同類項后它的項數(shù)為A11B33C55D66分析：看作二項式展開解：我們把看成，按二項式展開，共有“項，即這時，由于“和中各項的指數(shù)各不一樣，因此再將各個二項式展開，不同的乘積展開后，都不會出現(xiàn)同類項下面，再分別考慮每一個乘積其中每一個乘積展開后的項數(shù)由決定，而且各項中和的指數(shù)都不一樣，也不會出現(xiàn)同類項故原式展開后的總項數(shù)為，應選D典型例題十例10假設的展開式的常數(shù)項為，求分析：題中，當時，把三項式轉化為；當時，同理然后寫出通項，令含的冪指數(shù)為零，進而解出解：當時，其通項為，令，得，展開式的常數(shù)項為；當時，同理可得，展開式的常數(shù)項為無論哪一種情況，

6、常數(shù)項均為令，以，逐個代入，得典型例題十一例11的展開式的第3項小于第4項，則的取值圍是_分析：首先運用通項公式寫出展開式的第3項和第4項，再根據(jù)題設列出不等式即可解：使有意義，必須；依題意，有，即解得的取值圍是應填：典型例題十二例12的展開式中有連續(xù)三項的系數(shù)之比為，這三項是第幾項.假設展開式的倒數(shù)第二項為，求的值解：設連續(xù)三項是第、項且，則有，即，所求連續(xù)三項為第、三項又由，即兩邊取以為底的對數(shù)，或說明：當題目中二項展開式的*些項或*幾項之間的關系時，常利用二項式通項，根據(jù)條件列出*些等式或不等式進展求解典型例題十三例13的展開式中第項與第項的系數(shù)相等，求展開式中二項式系數(shù)最大的項和系數(shù)最

7、大的項分析：根據(jù)條件可求出，再根據(jù)的奇偶性；確定二項式系數(shù)最大的項解：，依題意有的展開式中，二項式系數(shù)最大的項為設第項系數(shù)最大，則有或系婁最大的項為：，說明：(1)求二項式系數(shù)最大的項，根據(jù)二項式系數(shù)的性質，為奇數(shù)時中間兩項的二項式系數(shù)最大，為偶數(shù)時，中間一項的二項式系數(shù)最大(2)求展開式中系數(shù)最大項與求二項式系數(shù)最大項是不同的，需根據(jù)各項系數(shù)的正、負變化情況，一般采用列不等式，解不等式的方法求得典型例題十四例14設()，假設其展開式中關于的一次項的系數(shù)和為，問為何值時，含項的系數(shù)取最小值.并求這個最小值分析：根據(jù)條件得到的系數(shù)關于的二次表達式，然后利用二次函數(shù)性質探討最小值問題解：，或，或時

8、，項系數(shù)最小，最小值為說明：二次函數(shù)的對稱軸方程為，即，由于、距等距離，且對，、距最近，所以的最小值在或處取得典型例題十五例15假設，求(1)；(2)；(3)解：(1)令，則，令，則(2)令，則由得：(3)由得：說明：1本解法根據(jù)問題恒等式特點來用“特殊值法這是一種重要的方法，它適用于恒等式(2)一般地，對于多項式，的各項的系數(shù)和為：的奇數(shù)項的系數(shù)和為的偶數(shù)項的系數(shù)和為典型例題十六例16填空：(1)除以的余數(shù)_；(2)除以的余數(shù)是_.分析(1)：將分解成含的因數(shù)，然后用二項式定理展開，不含的項就是余數(shù)解：又余數(shù)不能為負數(shù)，需轉化為正數(shù)除以的余數(shù)為應填：分析(2)：將寫成，然后利用二項式定理展開

9、解：容易看出該式只有不能被整除，因此除以的余數(shù)，即除以的余數(shù)，故余數(shù)為應填：典型例題十七例17求證：對于，證明：展開式的通項展開式的通項由二項式展開式的通項明顯看出，所以說明：此題的兩個二項式中的兩項為正項，且有一項一樣，證明時，根據(jù)題設特點，采用比較通項大小的方法完成此題證明典型例題十八例18在的展開式中的系數(shù)為A160B240C360D800分析：此題考察二項式定理的通項公式的運用應想方法將三項式轉化為二項式求解解法1：由，得再一次使用通項公式得，這里，令，即所以，由此得到的系數(shù)為解法2：由，知的展開式中的系數(shù)為，常數(shù)項為，的展開式中的系數(shù)為，常數(shù)項為因此原式中的系數(shù)為解法3：將看作個三項

10、式相乘，展開式中的系數(shù)就是從其中一個三項式中取的系數(shù)，從另外個三項式中取常數(shù)項相乘所得的積，即應選B典型例題十九例19的展開式中的系數(shù)為，常數(shù)的值為_分析：利用二項式的通項公式解：在的展開式中，通項公式為根據(jù)題設，所以代入通項公式，得根據(jù)題意，所以應填：典型例題二十例20(1)求證：(2)假設，求的值分析：(1)注意觀察的系數(shù)、指數(shù)特征，即可通過賦值法得到證明(2)注意到，再用賦值法求之解：(1)在公式中令，即有等式得證(2)在展開式中，令，得；令，得原式說明：注意“賦值法在證明或求值中的應用賦值法的模式是，在*二項展開式，如或中，對任意的該式恒成立，則對中的特殊值，該工也一定成立特殊值如何選

11、取，沒有一成不變的規(guī)律，需視具體情況而定，其靈活性較強一般取較多一般地，多項式的各項系數(shù)和為，奇數(shù)項系數(shù)和為，偶次項系數(shù)和為二項式系數(shù)的性質及的證明就是賦值法應用的例典型例題二十一例21假設，求證明：能被整除分析：考慮先將拆成與的倍數(shù)有關的和式，再用二項式定理展開解：，均為自然數(shù)，上式各項均為的整數(shù)倍原式能被整除說明：用二項式定理證明整除問題，大體上就是這一模式，先將*項湊成與除數(shù)有關的和式，再展開證之該類題也可用數(shù)學歸納法證明，但不如用二項式定理證明簡捷典型例題二十二例22的展開式各項系數(shù)和比它的二項式系數(shù)和大(1)求展開式中二項式系數(shù)最大的項；(2)求展開式中系數(shù)最大的項分析：先由條件列方

12、程求出(1)需考慮二項式系數(shù)的性質；(2)需列不等式確定解：令得展開式的各項系數(shù)之和為，而展開式的二項式系數(shù)的和為，有(1)，故展開式共有，其中二項式系數(shù)最大的項為第三、第四兩項，(2)設展開式中第項的系數(shù)最大，故有即解得，即展開式中第項的系數(shù)最大說明：展開式中二項式系數(shù)最大的項與系數(shù)最大的項是兩個不同的概念，因此其求法亦不同前者用二項式系數(shù)的性質直接得出，后者要列不等式組；解不等式組時可能會求出幾個，這時還必須算出相應項的系數(shù)后再比較大小典型例題二十三例23求證：(1)；(2)(，)分析：(1)注意到兩列二項式兩乘后系數(shù)的特征，可構造一個函數(shù)；也可用構造一個組合問題的兩種不同解法找到思路(2)同上構造函數(shù)，賦值證明：(1)(法1)，此式左右兩邊展開式中的系數(shù)必相等左邊的系數(shù)是，右邊的系數(shù)是，等式成立(法2)設想有下面一個問題：要從個不同元素中取出個元素，共有多少種取法.該問題可有兩種解法一種解法是明顯的，即直接由組合數(shù)公式可得出結論：有種不同取法第二種解法，可將個元素分成兩組