高等數(shù)學(xué)(同濟(jì)版)復(fù)習(xí)2

1、高等數(shù)學(xué)（下）上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁總復(fù)習(xí)-空間解析幾何空間解析幾何 與向量代數(shù)與向量代數(shù)上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁下頁上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁下頁上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁下頁向量的概念向量的概念既有大小既有大小, , 又有方向的量又有方向的量. 向量向量: 向量的表示向量的表示: 用向線段表示用向線段表示.記作記作.aAB 向量的模向量的模:向量的大小向量的大小(長度長度).記為記為單位向量單位向量:零向量零向量: 模等于模等于0 0的向量，記作的向量，記作模等于模等于1的向量的向量.記為記為| |.aAB ,.e a 0.與起點無關(guān)的向量與起點無關(guān)的向量,. ,. 自由向量自

2、由向量: 大小相等且方向相同大小相等且方向相同的的向量向量. .記作記作相等向量相等向量: :向量的平行向量的平行:兩個非零向量方向相同或相反兩個非零向量方向相同或相反.記作記作負(fù)向量負(fù)向量: 大小相同而方向相反的向量大小相同而方向相反的向量. .記作記作/ .ab.ab.aa 以坐標(biāo)以坐標(biāo)原點為起點的向量原點為起點的向量. . 向徑向徑( (矢徑矢徑):):上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁下頁向量的表示法向量的表示法基本單位向量基本單位向量: :(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1).ijk向量按基本單位的分解式向量按基本單位的分解式: :向量在三條坐標(biāo)軸上的分向量向量在三條坐標(biāo)軸上的分向量:

3、 :向量在三條坐標(biāo)軸上的投影向量在三條坐標(biāo)軸上的投影: :向量在三條坐標(biāo)軸上的坐標(biāo)向量在三條坐標(biāo)軸上的坐標(biāo): :.xyzaa ia ja k,.xyza i a j a k,.xyzaaa向量的坐標(biāo)表示式向量的坐標(biāo)表示式: :(,).xyzaaa a,.xyzaaa12212121()()() .M Mxx iyyjzz k 為終點的向量為終點的向量1111(,)Mxy z2222(,)Mxyz以以為起點、為起點、點點M(x,y,z)對原點的向徑對原點的向徑( , , ).OMxiyjzkx y z 上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁下頁向量模長與方向余弦的坐標(biāo)表示式向量模長與方向余弦的坐標(biāo)表示式222|

4、.xyzaaaa向量模的坐標(biāo)表達(dá)式：向量模的坐標(biāo)表達(dá)式：向量方向余弦的坐標(biāo)表示式：向量方向余弦的坐標(biāo)表示式：cos,|xaa cos,|yaa cos.|zaa |aaea).cos,cos,(cos 單位向量的方向余弦為單位向量的方向余弦為:cos2 cos2 cos2 1. . 方向余弦的特征：方向余弦的特征：上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁下頁|cos ,a bab 定義定義:向量的數(shù)量積向量的數(shù)量積 ab其中其中為為與與的夾角的夾角.ajbbabPr| .Pr|bjaa.|2aaa性質(zhì)性質(zhì):zzyyxxbabababa坐標(biāo)表示坐標(biāo)表示:222222cosxxyyzzxyzxyza ba ba b

5、aaabbb 夾角余弦夾角余弦:0aba b0.xxyyzza ba ba b兩向量垂直的充要條件為兩向量垂直的充要條件為重要結(jié)論重要結(jié)論:數(shù)量積的運(yùn)算律數(shù)量積的運(yùn)算律: 交換律交換律,分配律分配律,結(jié)合律結(jié)合律.上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁下頁c的的模模: :定義定義:,cab0.aa/0abab:c的的方方向向性質(zhì)性質(zhì):xyzxyzijkabaaabbb向量積的坐標(biāo)表達(dá)式向量積的坐標(biāo)表達(dá)式:向量的向量積向量的向量積其其中中| |sin ,(),cabab 為為 與與 的的夾夾角角,.ca cb c 的的指指向向符符合合右右手手系系兩向量平行的充要條件為兩向量平行的充要條件為重要結(jié)論重要結(jié)論:.y

6、zxxyzaaabbb上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁下頁向量積的運(yùn)算律及模的幾何意義向量積的運(yùn)算律及模的幾何意義;abba (2) 分配律分配律: : 1 1、運(yùn)算律、運(yùn)算律 (1)2 2、幾何意義、幾何意義|ab表示以表示以為鄰邊的平行四邊形的面積為鄰邊的平行四邊形的面積.ab和和();abcacbc()()()().ababab 為為實實數(shù)數(shù)(3) 結(jié)合律結(jié)合律:上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁1 1、橢圓錐面、橢圓錐面 22222xyzab2 2、橢球面、橢球面 2222221xyzabc3 3、單葉、單葉雙曲面雙曲面2222221xyzabc4 4、雙葉、雙葉雙曲面雙曲面2222221xyzabc5 5

7、、橢圓拋物面、橢圓拋物面2222xyzab6 6、雙曲拋物面、雙曲拋物面2222xyzab7 7、橢圓柱面、橢圓柱面22221xyab22221xyab8 8、雙曲柱面、雙曲柱面9 9、拋物柱面、拋物柱面22ypx下頁常見二次曲面及其標(biāo)準(zhǔn)方程常見二次曲面及其標(biāo)準(zhǔn)方程上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁空間曲線及其投影空間曲線及其投影1、空間曲線的一般方程、空間曲線的一般方程3、空間曲線在坐標(biāo)面上的投影、空間曲線在坐標(biāo)面上的投影.0),(0),(zyxGzyxF.)()()(tzztyytxx( , )0H x y 2、空間曲線的參數(shù)方程、空間曲線的參數(shù)方程0),(0),(zyxGzyxF( , )0.0H

8、x yz空間曲線空間曲線投影曲線投影曲線投影柱面投影柱面下頁上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁空間平面與空間直線空間平面與空間直線下頁一般式一般式: :點法式點法式: :截距式截距式: :0DCzByAx222(0).ABC1xyzabc三點式三點式: :1112121213131310.xxyyzzxxyyzzxxyyzz0)()()(000zzCyyBxxA(0).abc 一、空間平面方程一、空間平面方程: :其中法向量其中法向量( ,).nA B C上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁一般式一般式: :點向式點向式: :參數(shù)式參數(shù)式: :0022221111DzCyBxADzCyBxAtpzztnyytmxx00

9、0000 xxyyzzmnp)0(222pnm下頁（對稱式）（對稱式）二、空間直線方程二、空間直線方程直線的方向向量直線的方向向量111222(, , )(,) (,).sm n pA B CA B C其中方向向量其中方向向量(, , ).sm n p上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁兩平面的夾角兩平面的夾角下頁1212cos.nnnn A1A2 B1B2 C1C2 0. . 21 21/ 111222.ABCABC21nn21/nn平面平面平面平面),( , 0:111111111CBAnDzCyBxA ),( , 0:222222222CBAnDzCyBxA 021nn120nn三、面與面的關(guān)系三、面

10、與面的關(guān)系上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁1111111,xxyyzzLmnp：直線直線0212121ppnnmm2222222,xxyyzzLmnp：212121ppnnmm直線直線夾角公式夾角公式: :),(1111pnms ),(2222pnms 021ss21LL 21/ LL021 ss1212cosssss 下頁21ss21/ ss四、線與線的關(guān)系四、線與線的關(guān)系121212222222111222|.m mn np pmnpmnp上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁, 0DzCyBxACpBnAm平面平面 : :L L / 夾角公式：夾角公式：0CpBnAm sin000,xxyyzzmnp直線直線 L

11、 L: :),(CBAn ),(pnms 0 ns0 nss nsn五、面與線間的關(guān)系五、面與線間的關(guān)系下頁ns/ns222222|.AmBnCpABCmnp上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁點到平面的距離公式點到平面的距離公式: :000222|.AxByCzDdABC),(0000zyxM點到直線的距離點到直線的距離: :111:.xxyyzzLmnp01|M Msds ： A x+B y+C z+D = 0, ),(0000zyxM1010101|ijkxxyyzzsmnp下頁六、相關(guān)的幾個問題六、相關(guān)的幾個問題上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁下頁1 1、求平行于向量求平行于向量 (6, , 7, , 6)的

12、單位向量的單位向量. . 222|67( 6)11,a 1676(, , ),|111111aa1676(, , ).|111111aa 平行于向量平行于向量 (6, , 7, , 6)的單位向量為的單位向量為解解或或2 2、求向量求向量kjibkjia23222與與的夾角的夾角.解解, 0213)2(22ba因因為為|cos( , )0,|a ba bab由求夾角公式由求夾角公式aa.2 夾夾角角為為解答題解答題上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁下頁3 3、已知點、已知點A(10, , 9, , 6)、B(9, , 7, , 3)、C(8, , 5, , 4) ，求向量，求向量.32的的方方向向余余弦弦

13、BCABa解解( 1,2, 3),AB BCABa322( 1,2, 3)3( 1, 2,1)2|110( 9)182,a :的的方方向向余余弦弦得得a1109cos,cos,cos.182182182 ( 1, 2,1).BC (1,10, 9),222110081coscoscos1.182182182 另有另有上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁截線方程為截線方程為22,20yzxxyz解解22540.0 xyxyxz下頁在在xOy坐標(biāo)面上的投影曲線方程坐標(biāo)面上的投影曲線方程. 22yzx20 xyz4 4、求拋物面、求拋物面與平面與平面的截線的截線消去消去z得投影方程得投影方程上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁

14、下頁5 5、指出下面旋轉(zhuǎn)曲面的一條母線和旋轉(zhuǎn)軸：、指出下面旋轉(zhuǎn)曲面的一條母線和旋轉(zhuǎn)軸：222(1)1;499xyz220(1)149zxy母母線線220.149yxz或或旋轉(zhuǎn)軸為旋轉(zhuǎn)軸為x軸軸. .解解(2)x2 y2 z2 1 (2)這是這是xOy面上的雙曲線面上的雙曲線x2 y2 1繞繞x軸旋轉(zhuǎn)一周而軸旋轉(zhuǎn)一周而形成的形成的, , 或是或是zOx面上的雙曲線面上的雙曲線x2 z2 1繞繞x軸旋轉(zhuǎn)一周而軸旋轉(zhuǎn)一周而形成的形成的. . 上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁下頁 6 6、空間直角坐標(biāo)系中，方程空間直角坐標(biāo)系中，方程x2+y2 z2=0表示的圖形表示的圖形是是( ). (A)雙葉雙曲面雙葉雙曲面

15、 (B)單葉雙曲面單葉雙曲面 (C)圓錐面圓錐面 (D)旋轉(zhuǎn)拋物面旋轉(zhuǎn)拋物面 7 7、在空間直角坐標(biāo)系中在空間直角坐標(biāo)系中, 方程方程2220 xzz(A)圓圓 (B)圓柱面圓柱面 (C)拋物線拋物線 (D)拋物柱面拋物柱面 圖形是圖形是( ).表示的表示的若方程若方程x2+4y222z2=0，則表示什么曲面？，則表示什么曲面？上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁下頁所求的直線對稱式方程為所求的直線對稱式方程為 31.215xyz413215xyz8 8、求過點求過點(3, , 0, , 1)且平行于直線且平行于直線的直線方程的直線方程. .解解 所求直線的方向向量為所求直線的方向向量為 (2, , 1,

16、, 5), ,413215xyz9 9、求過點求過點(3, , 0, , 1)且垂直于直線且垂直于直線的平面方程的平面方程. .由平面的點法式，由平面的點法式，解解 所求平面的法向量為所求平面的法向量為. 0)1(5)3(2zyxs),5 , 1 , 2( sn所求的方程為所求的方程為 . 01152zyx上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁下頁1010、求過點求過點(1, , 2, , 4)且與平面且與平面2x 3y z 4 0垂直的直線垂直的直線的方程的方程 124.231xyz平面的法線向量平面的法線向量(2, , 3, , 1)作為所求直線的方向向量作為所求直線的方向向量解解由此可得所求直線的方程為

17、由此可得所求直線的方程為 1111、求過點求過點(1, , 2, , 4)且與平面且與平面2x 3y z 4 0平行的平面平行的平面的方程的方程 已知平面的法線向量已知平面的法線向量(2, , 3, , 1)作為所求平面的法向量作為所求平面的法向量. .解解由點法式方程得由點法式方程得2(x 1) 3(y+2) (z 4) 0,所求平面所求平面方程為方程為2x 3y z 12 0.上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁 所求平面的法線向量所求平面的法線向量 可取為可取為 1 2. . 因為因為所以所求平面方程為所以所求平面方程為 2(x 1) (y 1) (z 1) 0, , 即即 2x y z 0. . 下頁1212、一平面通過兩點一平面通過兩點M(1, , 1, , 1)和和N(0, , 1, , 1)且垂直于平且垂直于平面面 x y z 0, , 求它的方程求它的方程. . 解解12nnn102111ijk 設(shè)點設(shè)點M到點到點N的向量為的向量為 1 ( 1, , 0, , 2)在所求平面上，在所求平面上，nnnnn.2kj