高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)全套課件(理)第六章__第三節(jié)______基本不等式

1、1.了解基本不等式的證明過程了解基本不等式的證明過程.2.會(huì)用基本不等式解決簡單的最大會(huì)用基本不等式解決簡單的最大(小小)值問題值問題.1.基本不等式基本不等式 公式公式 成立的條件是成立的條件是 ，取等號(hào)，取等號(hào)的的 條件是條件是 .a0，b0a ab b2算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù) 設(shè)設(shè)a0，b0，則，則a，b的算術(shù)平均數(shù)為的算術(shù)平均數(shù)為 ，幾何平均，幾何平均數(shù)為數(shù)為 ，基本不等式可敘述為：，基本不等式可敘述為： 兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于其幾何平均數(shù)數(shù)不小于其幾何平均數(shù)3.利用基本不等式求最值問題利用基本不等式求最值問題 已知已知x0，y0，則：，則：

2、(1)如果積如果積xy是定值是定值P，那么當(dāng)且僅當(dāng)，那么當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)，時(shí)，xy有有 值值是是 (簡記：積定和最小簡記：積定和最小).(2)如果和如果和xy是定值是定值P，那么當(dāng)且僅當(dāng)，那么當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)，時(shí)，xy有有 值值是是 (簡記：和定積最大簡記：和定積最大).xy小小xy最大最大思考探究思考探究在利用基本不等式求最值時(shí)，應(yīng)注意哪些方面？在利用基本不等式求最值時(shí)，應(yīng)注意哪些方面？提示：提示：利用基本不等式求最值時(shí)，一定要注意利用基本不等式求最值時(shí)，一定要注意“一正、二定、一正、二定、三相等三相等”.“一正一正”即公式中即公式中a、b必須是正數(shù)，必須是正數(shù)，“二定二定”即必須有即必須有定值定值

3、(和為定值或積為定值和為定值或積為定值)，“三相等三相等”即公式中的等號(hào)必須即公式中的等號(hào)必須成立，必要時(shí)要合理拆分項(xiàng)或配湊因式，以滿足上述三個(gè)成立，必要時(shí)要合理拆分項(xiàng)或配湊因式，以滿足上述三個(gè)條件條件.1.已知已知ab0，a，bR，則下列式子總能成立的是，則下列式子總能成立的是() A. 2B. 2 C. 2 D.| |2解析：解析：選項(xiàng)選項(xiàng)A、B、C中不能保證中不能保證 為正為正.答案：答案：D2.已知已知f(x)x 2(x0)，則，則f(x)有有 () A.最大值為最大值為0 B.最小值為最小值為0 C.最大值為最大值為2 D.最小值為最小值為2解析：解析：x0，f(x)x 22 20，

4、當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)x ，即，即x1時(shí)，時(shí)，“”成立成立.答案：答案：B3.下列函數(shù)中，下列函數(shù)中，y的最小值為的最小值為4的是的是 () A.yx B.y (xR) C.yex4ex D.ysinx (0 x)解析：解析：對(duì)于對(duì)于A，當(dāng)，當(dāng)x0時(shí)，最小值不存在且時(shí)，最小值不存在且y0；B中中y 2 4，當(dāng)且僅當(dāng)，當(dāng)且僅當(dāng)x221時(shí)等號(hào)成立，這樣的實(shí)數(shù)時(shí)等號(hào)成立，這樣的實(shí)數(shù)x不存在，故不存在，故y(xR)取不到最小值取不到最小值4；同理對(duì)于同理對(duì)于D，等號(hào)成立的條件為，等號(hào)成立的條件為sin2x4，這也是不可能的；，這也是不可能的；只有只有C，yex4ex4，當(dāng)且僅當(dāng)，當(dāng)且僅當(dāng)ex2，即，即xln

5、2時(shí)等號(hào)成立，時(shí)等號(hào)成立，函數(shù)有最小值函數(shù)有最小值4.答案：答案：C4若整數(shù)若整數(shù)a，b滿足滿足 1，則，則ab的最小值為的最小值為 _解析：解析：ab(ab)當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng) ，即，即b22a2時(shí)，取時(shí)，取“”答案：答案：325.若直線若直線axby10(a0，b0)平分圓平分圓x2y28x2y10，則，則 的最小值為的最小值為.解析：解析：由由x2y28x2y10得得(x4)2(y1)216，設(shè)圓的圓心坐標(biāo)為設(shè)圓的圓心坐標(biāo)為(4，1)，4ab10，即，即4ab1，由由14ab2 4 ，得，得ab ， 16， 的最小值為的最小值為16. 答案：答案：161.創(chuàng)設(shè)應(yīng)用基本不等式的條件創(chuàng)設(shè)應(yīng)用基

6、本不等式的條件(1)合理拆分項(xiàng)或配湊因式是常用的技巧，而拆與湊的目合理拆分項(xiàng)或配湊因式是常用的技巧，而拆與湊的目 標(biāo)在于使等號(hào)成立，且每項(xiàng)為正值，必要時(shí)需出現(xiàn)積標(biāo)在于使等號(hào)成立，且每項(xiàng)為正值，必要時(shí)需出現(xiàn)積 為定值或和為定值為定值或和為定值.(2)當(dāng)多次使用基本不等式時(shí)，一定要注意每次是否能保當(dāng)多次使用基本不等式時(shí)，一定要注意每次是否能保 證等號(hào)成立，并且要注意取等號(hào)的條件的一致性，否證等號(hào)成立，并且要注意取等號(hào)的條件的一致性，否 則就會(huì)出錯(cuò)，因此在利用基本不等式處理問題時(shí)，列則就會(huì)出錯(cuò)，因此在利用基本不等式處理問題時(shí)，列 出等號(hào)成立的條件不僅是解題的必要步驟，而且也是出等號(hào)成立的條件不僅是解

7、題的必要步驟，而且也是 檢驗(yàn)轉(zhuǎn)換是否有誤的一種方法檢驗(yàn)轉(zhuǎn)換是否有誤的一種方法.2.基本不等式的集中變形公式基本不等式的集中變形公式 對(duì)于基本不等式，不僅要記住原始形式，而且還要掌對(duì)于基本不等式，不僅要記住原始形式，而且還要掌 握它的幾種常見的變形形式及公式的逆運(yùn)用等握它的幾種常見的變形形式及公式的逆運(yùn)用等.如如 (1)設(shè)設(shè)0 x2，求函數(shù)，求函數(shù)y 的最大值；的最大值；(2)求求 a的取值范圍；的取值范圍；(3)已知已知x0，y0，且，且xy1，求，求 的最小值的最小值.思路點(diǎn)撥思路點(diǎn)撥課堂筆記課堂筆記(1)0 x2，03x6,83x20，y 4，當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)3x83x，即，即x 時(shí)，取等

8、號(hào)時(shí)，取等號(hào).當(dāng)當(dāng)x ，y 的最大值是的最大值是4.(2)顯然顯然a4，當(dāng)當(dāng)a4時(shí)，時(shí)，a40， a (a4)42 42 4，當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng) a4，即，即a4 時(shí)，取等號(hào)；時(shí)，取等號(hào)；當(dāng)當(dāng)a4時(shí)，時(shí)，a40， a (a4)4 (4a)42 42 4，當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng) (4a)，即，即a4 時(shí)，取等號(hào)時(shí)，取等號(hào). a的取值范圍是的取值范圍是(，2 42 4，).(3)x0，y0，且，且xy1， ( )(xy)10102 18.當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng) ，即，即x2y時(shí)等號(hào)成立，時(shí)等號(hào)成立，當(dāng)當(dāng)x ，y 時(shí)，時(shí)， 有最小值有最小值18.若若x0,1，求函數(shù)，求函數(shù)y 的最大值的最大值.解：解：由例由例1

9、(1)的解答知，當(dāng)?shù)慕獯鹬?dāng)x0,1時(shí)，函數(shù)的最大時(shí)，函數(shù)的最大值不能用基本不等式值不能用基本不等式.y (x0,1)，函數(shù)在函數(shù)在0,1上單調(diào)遞增上單調(diào)遞增.ymax . 利用基本不等式證明不等式是綜合法證明不等式的利用基本不等式證明不等式是綜合法證明不等式的一種情況，是指從已證不等式和問題的已知條件出發(fā)，借一種情況，是指從已證不等式和問題的已知條件出發(fā)，借助不等式的性質(zhì)和有關(guān)定理，經(jīng)過逐步的邏輯推理，最后助不等式的性質(zhì)和有關(guān)定理，經(jīng)過逐步的邏輯推理，最后轉(zhuǎn)化為所求問題，其特征是以轉(zhuǎn)化為所求問題，其特征是以“已知已知”看看“可知可知”，逐步推向，逐步推向“未知未知”.特別警示特別警示證明不

10、等式時(shí)要注意靈活變形，多次利用基證明不等式時(shí)要注意靈活變形，多次利用基本不等式時(shí)，要注意每次等號(hào)是否都成立，同時(shí)也要注意本不等式時(shí)，要注意每次等號(hào)是否都成立，同時(shí)也要注意基本不等式的變形形式的應(yīng)用基本不等式的變形形式的應(yīng)用. 已知已知a0，b0且且ab1.求證：求證：(1) 4；(2) 2.思路點(diǎn)撥思路點(diǎn)撥課堂筆記課堂筆記(1)a0，b0，且，且ab1.22 4.當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng) ，即，即ab 時(shí)，等號(hào)成立時(shí)，等號(hào)成立.原不等式成立原不等式成立.(2)a0，b0，且，且ab1.原不等式原不等式 4ab12 422 4 1 1ab (ab) 1ab 1 1ab .a0，b0，1ab2 (當(dāng)且僅當(dāng)

11、當(dāng)且僅當(dāng)ab 時(shí)取時(shí)取等號(hào)等號(hào)).ab .故原不等式成立故原不等式成立. 應(yīng)用基本不等式解決實(shí)際問題的步驟是：應(yīng)用基本不等式解決實(shí)際問題的步驟是：(1)仔細(xì)閱讀題目，透徹理解題意；仔細(xì)閱讀題目，透徹理解題意；(2)分析實(shí)際問題中的數(shù)量關(guān)系，引入未知數(shù)，并用它分析實(shí)際問題中的數(shù)量關(guān)系，引入未知數(shù)，并用它 表示其他的變量，把要求最值的變量設(shè)為函數(shù)；表示其他的變量，把要求最值的變量設(shè)為函數(shù)；(3)應(yīng)用基本不等式求出函數(shù)的最值；應(yīng)用基本不等式求出函數(shù)的最值；(4)還原實(shí)際問題，作出解答還原實(shí)際問題，作出解答.特別警示特別警示(1)解應(yīng)用題時(shí)，一定要注意變量的實(shí)際意義，解應(yīng)用題時(shí)，一定要注意變量的實(shí)際意

12、義，即其取值范圍即其取值范圍.(2)在求函數(shù)最值時(shí)，除應(yīng)用基本不等式外，有時(shí)會(huì)出現(xiàn)在求函數(shù)最值時(shí)，除應(yīng)用基本不等式外，有時(shí)會(huì)出現(xiàn)基本不等式取不到等號(hào)，此時(shí)可利用函數(shù)的單調(diào)性解決基本不等式取不到等號(hào)，此時(shí)可利用函數(shù)的單調(diào)性解決. (2009湖北高考湖北高考)圍建一個(gè)面積為圍建一個(gè)面積為360m2的矩形場的矩形場地，要求矩形場地的一面利用舊墻地，要求矩形場地的一面利用舊墻(利用的舊墻需維修利用的舊墻需維修)，其他三面圍墻要新建，在舊墻對(duì)面的新墻上要留一個(gè)寬度其他三面圍墻要新建，在舊墻對(duì)面的新墻上要留一個(gè)寬度為為2 m的進(jìn)出口，如圖所示的進(jìn)出口，如圖所示.已知舊墻的維修費(fèi)用為已知舊墻的維修費(fèi)用為45

13、元元/m，新墻的造價(jià)為新墻的造價(jià)為180元元/m.設(shè)利用的舊墻長度為設(shè)利用的舊墻長度為x(單位：單位：m)，修建此矩形場地圍墻總費(fèi)用為修建此矩形場地圍墻總費(fèi)用為y(單位：元單位：元).(1)將將y表示為表示為x的函數(shù)；的函數(shù)；(2)試確定試確定x，使修建此矩形場地圍墻的總費(fèi)用最小，使修建此矩形場地圍墻的總費(fèi)用最小，并求出最小總費(fèi)用并求出最小總費(fèi)用.思路點(diǎn)撥思路點(diǎn)撥課堂筆記課堂筆記(1)如圖，設(shè)矩形的另一邊長為如圖，設(shè)矩形的另一邊長為a m，則則y45x180(x2)1802a225x360a360.由已知由已知xa360，得，得a ，所以所以y225x 360(x0).(2)x0，225x2

14、10 800.y225x 36010 440.當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)225x 時(shí)，等號(hào)成立時(shí)，等號(hào)成立.即當(dāng)即當(dāng)x24 m時(shí)，修建圍墻的總費(fèi)用最小，最小總費(fèi)時(shí)，修建圍墻的總費(fèi)用最小，最小總費(fèi)用是用是10 440元元. 以選擇題或填空題的形式考查基本不等式在求以選擇題或填空題的形式考查基本不等式在求最值中的應(yīng)用，是高考對(duì)本節(jié)內(nèi)容的常規(guī)考法最值中的應(yīng)用，是高考對(duì)本節(jié)內(nèi)容的常規(guī)考法.近幾近幾年高考中多次出現(xiàn)應(yīng)用基本不等式求最值的應(yīng)用題，年高考中多次出現(xiàn)應(yīng)用基本不等式求最值的應(yīng)用題，如如09年湖北、江蘇高考，符合新課標(biāo)對(duì)學(xué)生應(yīng)用所年湖北、江蘇高考，符合新課標(biāo)對(duì)學(xué)生應(yīng)用所學(xué)知識(shí)分析解決實(shí)際問題能力的要求，仍是

15、今后高學(xué)知識(shí)分析解決實(shí)際問題能力的要求，仍是今后高考對(duì)本節(jié)內(nèi)容的一個(gè)考查方向考對(duì)本節(jié)內(nèi)容的一個(gè)考查方向. 考題印證考題印證 (2009江蘇高考江蘇高考)(12分分)按照某學(xué)者的理論，假設(shè)一個(gè)按照某學(xué)者的理論，假設(shè)一個(gè)人生產(chǎn)某產(chǎn)品單件成本為人生產(chǎn)某產(chǎn)品單件成本為a元，如果他賣出該產(chǎn)品的單價(jià)為元，如果他賣出該產(chǎn)品的單價(jià)為m元，則他的滿意度為元，則他的滿意度為 如果他買進(jìn)該產(chǎn)品的單價(jià)為如果他買進(jìn)該產(chǎn)品的單價(jià)為n元，則他的滿意度為元，則他的滿意度為 .如果一個(gè)人對(duì)兩種交易如果一個(gè)人對(duì)兩種交易(賣出或賣出或買進(jìn)買進(jìn))的滿意度分別為的滿意度分別為h1和和h2，則他對(duì)這兩種交易的綜合滿，則他對(duì)這兩種交易的綜

16、合滿意度為意度為 現(xiàn)假設(shè)甲生產(chǎn)現(xiàn)假設(shè)甲生產(chǎn)A、B兩種產(chǎn)品的單件成本分別為兩種產(chǎn)品的單件成本分別為12元和元和5元，乙生產(chǎn)元，乙生產(chǎn)A、B兩種產(chǎn)品的單件成本分別為兩種產(chǎn)品的單件成本分別為3元和元和20元，元，設(shè)產(chǎn)品設(shè)產(chǎn)品A、B的單價(jià)分別為的單價(jià)分別為mA元和元和mB元，甲買進(jìn)元，甲買進(jìn)A與賣出與賣出B的綜合滿意度為的綜合滿意度為h甲甲，乙賣出，乙賣出A與買進(jìn)與買進(jìn)B的綜合滿意度為的綜合滿意度為h乙乙. (1)求求h甲甲和和h乙乙關(guān)于關(guān)于mA、mB的表達(dá)式；當(dāng)?shù)谋磉_(dá)式；當(dāng)mA mB時(shí)，時(shí)，求證：求證：h甲甲h乙乙； (2)設(shè)設(shè)mA mB，當(dāng)，當(dāng)mA、mB分別為多少時(shí)，甲、乙分別為多少時(shí)，甲、乙兩人

17、的綜合滿意度均最大？最大的綜合滿意度為多少？兩人的綜合滿意度均最大？最大的綜合滿意度為多少？ (3)記記(2)中最大的綜合滿意度為中最大的綜合滿意度為h0，試問能否適當(dāng)選，試問能否適當(dāng)選取取mA、mB的值，使得的值，使得h甲甲h0和和h乙乙h0同時(shí)成立，但等號(hào)不同時(shí)成立，但等號(hào)不同時(shí)成立？試說明理由同時(shí)成立？試說明理由. 【解解】設(shè)設(shè)mAx，mBy.(1)甲買進(jìn)產(chǎn)品甲買進(jìn)產(chǎn)品A的滿意度：的滿意度：h1甲甲 ；甲賣出產(chǎn)品；甲賣出產(chǎn)品B的的滿意度：滿意度：h2甲甲 ；甲買進(jìn)產(chǎn)品；甲買進(jìn)產(chǎn)品A和賣出產(chǎn)品和賣出產(chǎn)品B的綜合滿的綜合滿意度：意度：h甲甲 ；(3分分) 同理，乙賣出產(chǎn)品同理，乙賣出產(chǎn)品A和

18、買進(jìn)產(chǎn)品和買進(jìn)產(chǎn)品B的綜合滿意度：的綜合滿意度： h乙乙 (4分分) 當(dāng)當(dāng)x y時(shí)，時(shí)，故故h甲甲h乙乙.(8分分)(6分分)(2)當(dāng)當(dāng)x y時(shí)，時(shí)，由由(1)知知h甲甲h乙乙 ，因?yàn)橐驗(yàn)?，且等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)且等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)y10時(shí)成立時(shí)成立.當(dāng)當(dāng)y10時(shí)，時(shí)，x6.因此，當(dāng)因此，當(dāng)mA6，mB10時(shí)，甲、乙兩人的綜合滿意度時(shí)，甲、乙兩人的綜合滿意度均最大，且最大的綜合滿意度為均最大，且最大的綜合滿意度為 .(11分分)(10分分)(3)由由(2)知知h0 .因?yàn)橐驗(yàn)閔甲甲h乙乙 (12分分)所以，當(dāng)所以，當(dāng)h甲甲 ，h乙乙 時(shí)，有時(shí)，有h甲甲h乙乙 .因此，不能取到因此，不能取到mA，m

19、B的值，使得的值，使得h甲甲h0和和h乙乙h0同時(shí)成同時(shí)成立，但等號(hào)不同時(shí)成立立，但等號(hào)不同時(shí)成立.(14分分) 自主體驗(yàn)自主體驗(yàn) 某養(yǎng)殖廠需定期購買飼料，已知該廠每天需要飼料某養(yǎng)殖廠需定期購買飼料，已知該廠每天需要飼料200千克，每千克飼料的價(jià)格為千克，每千克飼料的價(jià)格為1.8元，飼料的保管與其他元，飼料的保管與其他費(fèi)用為平均每千克每天費(fèi)用為平均每千克每天0.03元，購買飼料每次支付運(yùn)費(fèi)元，購買飼料每次支付運(yùn)費(fèi)300元元. (1)求該廠多少天購買一次飼料才能使平均每天支付的求該廠多少天購買一次飼料才能使平均每天支付的總費(fèi)用最少？總費(fèi)用最少？ (2)若提供飼料的公司規(guī)定，當(dāng)一次購買飼料不少于若

20、提供飼料的公司規(guī)定，當(dāng)一次購買飼料不少于5噸時(shí)其價(jià)格可享受八五折優(yōu)惠噸時(shí)其價(jià)格可享受八五折優(yōu)惠(即為原價(jià)的即為原價(jià)的85%).問該廠是問該廠是否可以考慮利用此優(yōu)惠條件？請(qǐng)說明理由否可以考慮利用此優(yōu)惠條件？請(qǐng)說明理由. 解：解：(1)設(shè)該廠應(yīng)隔設(shè)該廠應(yīng)隔x(xN)天購買一次飼料，平均天購買一次飼料，平均每天支付的總費(fèi)用為每天支付的總費(fèi)用為y1. 飼料的保管與其他費(fèi)用每天比前一天少飼料的保管與其他費(fèi)用每天比前一天少 2000.036(元元)， x天飼料的保管與其他費(fèi)用共是天飼料的保管與其他費(fèi)用共是 6(x1)6(x2)63x23x(元元).從而有從而有y1 (3x23x300)2001.8 3x3

21、57417.當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng) 3x，即，即x10時(shí)，時(shí)，y1有最小值有最小值.即每隔即每隔10天購買一次飼料才能使平均每天支付的總費(fèi)用天購買一次飼料才能使平均每天支付的總費(fèi)用最少最少. (2)若廠家利用此優(yōu)惠條件，則至少若廠家利用此優(yōu)惠條件，則至少25天購買一次天購買一次飼料，設(shè)該廠利用此優(yōu)惠條件，每隔飼料，設(shè)該廠利用此優(yōu)惠條件，每隔x天天(x25)購買一購買一次飼料，平均每天支付的總費(fèi)用為次飼料，平均每天支付的總費(fèi)用為y2，則，則 y2 (3x23x300)2001.80.85 3x303(x25). y2 3， 當(dāng)當(dāng)x25時(shí)，時(shí)，y20，即函數(shù)，即函數(shù)y2在在25，)上是上是增函數(shù)，增函數(shù)， 當(dāng)當(dāng)x25時(shí)，時(shí)，y2取得最小值為取得最小值為390.而而390417， 該廠可以接受此優(yōu)惠條件該廠可以接受此優(yōu)惠條件.1.下列結(jié)論正確的是下列結(jié)論正確的是 () A.當(dāng)當(dāng)x0且且x1時(shí)，時(shí)，lgx 2 B.當(dāng)當(dāng)x0時(shí)，時(shí)， 2 C.當(dāng)當(dāng)x2時(shí)，時(shí)，x 的最小值為的最小值為2 D.當(dāng)當(dāng)00， 2 2，當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng) ，即，即x1時(shí)，等號(hào)成立時(shí)，等號(hào)成立.答案：答案：B2.(2009天津高考天津高考)設(shè)設(shè)x，yR，a1，b1.若若axby3， ab2 ，則，則 的最大值為的最大值為 () A.2B. C.1 D.解析：解析：axby3，xloga3，ylogb3，