2019屆高考理科數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)學(xué)案：第60講離散型隨機變量及其分布列(含解析)

1、第 60 講離散型隨機變量及其分布列考試說明 1.理解取有限個值的離散型隨機變量及其分布列的概念，認識分布列刻畫隨機現(xiàn)象的重要性，會求某些取有限個值的離散型隨機變量的分布列2.了解超幾何分布，并能進行簡單的應(yīng)用.考情分析考點考查方向考例考查熱度離散型隨 機變量的 分布列離散型隨機變量的分布 列2016 全國卷 I 19,2016 全國卷 18,2013 全國卷 II 19真題再現(xiàn) 2017-2013課標全國真題再現(xiàn)1. 2016 全國卷I改編某公司計劃購買 2 臺機器，該種機器使用三年后即被淘汰機器有一易損零件，在購進機器時，可以額外購買這種零件作為備件，每個 200 元在機器使用期間，如果備

2、件不足再購買，則每個500 元.現(xiàn)需決策在購買機器時應(yīng)同時購買幾個易損零件，為此搜集并整理了 100 臺這種機器在三年使用期內(nèi)更換的易損零件數(shù)，得下面柱狀圖：以這 100 臺機器更換的易損零件數(shù)的頻率代替1 臺機器更換的易損零件數(shù)發(fā)生的概率，記X表示 2 臺機器三年內(nèi)共需更換的易損零件數(shù)，n表示購買 2 臺機器的同時購買的易損零件數(shù)求X的分布列.解:由柱狀圖并以頻率代替概率可得，1 臺機器在三年內(nèi)需更換的易損零件數(shù)為8,9,10,11 的概率分別為0.2,0.4,0.2,0.2.從而P(X=16)=0.2X0.2=0.04;F(X=17)=2X0.2X0.4=0.16;F(X=18)=2X0.

3、2X0.2+0.4X0.4=0.24;RX=19)=2X0.2X0.2+2X0. 4X0.2=0.24;F(X=20)=2X0.2X0.4+0.2X0.2=0.2;RX=21)=2X0.2X0.2=0.08;F(X=22)=0.2X0.2=0.04.所以X的分布列為X16171819202122P0.040.160.240.240.20.080.042. 2016 全國卷口某險種的基本保費為a(單位：元),繼續(xù)購買該險種的投保人稱為續(xù)保人，續(xù)保人本年度的保費與其上年度出險次數(shù)的關(guān)聯(lián)如下：上年度出 險次數(shù)01234 5保費0.85aa1.25a1.5a1.75a2a設(shè)該險種一續(xù)保人一年內(nèi)出險次數(shù)

4、與相應(yīng)概率如下一年內(nèi)出01234 5險次數(shù)概率0.300150.200.200.100.05(1) 求一續(xù)保人本年度的保費高于基本保費的概率；(2) 若一續(xù)保人本年度的保費高于基本保費,求其保費比基本保費高出60%的概率；(3) 求續(xù)保人本年度的平均保費與基本保費的比值解：(1)設(shè)A表示事件“一續(xù)保人本年度的保費高于基本保費”，則事件A發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)一年內(nèi)出險次數(shù)大于 1,故P(A)=0.20+0.20+0.10+0.05=0.55.(2)設(shè)B表示事件“一續(xù)保人本年度的保費比基本保費高出60%,則事件B發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)一年內(nèi)出險次數(shù)大于 3,故P(B)=0.10+0.05=0.15.又P(AB=RE

5、),F(町01E 3故P(B|A)=：=：=二=i i,3因此所求概率為-.(3)記續(xù)保人本年度的保費為X,則X的分布列為X0.85aa1.25a1.5a1.75a2aP0.30 0.150.200.200.100.05E(X)=0.85ax0.30+aXO.15+1.25aX0.20+1.5aX0.20+1.75aX0.io+2ax0.05=1.23a.因此續(xù)保人本年度 的平均保費與基本保費的比值為1.23.3.2013 全國卷口經(jīng)銷商經(jīng)銷某種農(nóng)產(chǎn)品，在一個銷售季度內(nèi)，每售出 1 t 該產(chǎn)品獲利潤 500 元，未售出 的產(chǎn)品，每 1 t 虧損 300 元.根據(jù)歷史資料,得到銷售季度內(nèi)市場需求

6、量的頻率分布直方圖，如圖所示,經(jīng)銷商為下一個銷售季度購進了130 t 該農(nóng)產(chǎn)品，以X(單位:t，100 X 150)表示下一個銷售季度內(nèi)的市場需求量，T(單位：元)表示下一個銷售季度內(nèi)經(jīng)銷該農(nóng)產(chǎn)品的利潤(1)將T表示為X的函數(shù)；根據(jù)直方圖估計利潤T 不少于 57 000 元的概率；在直方圖的需求量分組中，以各組的區(qū)間中點值代表該組的各個值，并以需求量落入該區(qū)間的頻率作為需求量取該區(qū)間中點值的概率(例如：若需求量X 100，110)，則取X=105,且X=105 的概率等于需求量落入100，110)的頻率)，求T的數(shù)學(xué)期望.解：(1)當(dāng)X 100，130)時，T=500X-300(130-X)=

7、800X-39 000.當(dāng)X 130,150時,T=500X130=65 000.(800n9000(100SY130.,所以T65000,130X W150,由(1)知利潤T不少于 57 000 元，當(dāng)且僅當(dāng) 120 0(i=1,2,n)匚lp=13. (1)1-p P(X=1)(2)minM n對點演練1.1xw2 解析由題中給出的分布列，可讀出相應(yīng)的概率值，因為Rn=-2)+Rn=-1)+Rn=0)+Rn=1)=0.8,所以 1x 2.12c c c 2.解析因為所有事件發(fā)生的概率之和為1, 即RX=0)+P：X=1)+P：X=2)+P：X=3)=1,所以c+ + + =1,所3.12以

8、C=-.X123D131P5554一 解析設(shè)所抽取的 3 道題中，該同學(xué)解答正確的題數(shù)為喲g 4 rF rFr2)=RX=2)+F(X=3)=一一 + .6.X12345P0.90.090.0090.000 90.000 1解析X的所有可能取值為231,2,3,4,5.P(X=1)=0.9,F(X=2)=0.1X0.9=0.09,F(X=3)=(0.1)X0.9=0.009,F(X=4)=(0.1)X0.9=0.而當(dāng)X=5 時，只要前 4 次射擊不中，就要射第 5 發(fā)子彈，第 5 發(fā)子彈可能射中也可能射不中，所以F(X=5)=(0.1)5+(0.1)4X0.9=0.000 1,所以耗用子彈數(shù)X

9、的分布列為X12345解析由題意得X的可能取值為1P(X=1)=,P(X=2)cjcj 3家：1=三，RX=3)=一,X 的分布列為X123P131555X,他能及格的概率是RX5解析根據(jù)離散型隨機變量的分布列的兩條性質(zhì)可知0 9C2-C 1,03-8cl,1汨-3宀二L解得c=.000 9,123,3.P0.9 0.09 0.0090.000 90.000 17解析由題意可知,若得分不大于 7 分,則所取 4 個球都是紅球或 3 個紅球 1 個黑球若 4 個球都是 1程12紅球,則P=.,此時得分為 4 分;若 4 個球中有 3 個紅球 1 個黑球,則P=-=.,此時得分為 6 分.故 RE

10、 7)=.【課堂考點探究】例 1 思路點撥首先根據(jù)分布列的性質(zhì)可求得P(X=0)的值,然后再根據(jù)分布列求 R-1X)的值1 1 1C 解析因為隨機變量X所有可能取值的集合是 卜扛匕且P(X=-2)=,P(X=3)=,P(X=5)三一，由分布列1 1 12的性質(zhì)可知F(X=0)=于是P(-1X4)=P(X=0)+P(X=3)= + =.131變式題 6 解析由題設(shè)知RX=1)=RX=2)=RX=3)=.,則P(X4)=RX=1)+RX=2)+RX=3)=一，故n=6.例 2 思路點撥(1)根據(jù)等可能性知，每人每次贏、平、輸?shù)母怕识紴樾∪A在第 1 個臺階，并且小明在第 2 個臺階，最后一次劃拳兩人

11、平局；另一種是小華在第2 個臺階，并且小明也在第 2 個臺階，最后一次劃拳小華輸逆推確定事件數(shù)及對應(yīng)劃拳的次數(shù)，最后利用互斥事件的概率加法公式求概率(2)先確定隨機變量的取值，再分別求對應(yīng)概率，列表可得分布列解：(1)易知對于每次劃拳比賽，基本事件共有 3X3=9(個),其中小華贏(或輸)包含三個基本事件，他們平局 也包含三個基本事件不妨設(shè)事件“第i(i N)次劃拳小華贏”為A,事件“第i次劃拳兩人平局”為B,31事件“第i次劃拳小華輸”為C,所以RA)=P(B)=RC)=.因為游戲結(jié)束時小華在第2 個臺階，所以這包含兩種可能的情況：第一種，小華在第 1 個臺階，并且小明在第 2 個臺階，最后

12、一次劃拳兩人平局7其概率為 R2P( B)F(C2)P(B3) +R G)P(A)F(C3)P( B) =1;第二種，小華在第 2 個臺階，并且小明也在第 2 個臺階，最后一次劃拳小華輸.再分兩種情況分別計數(shù)：一種是29其概率為R=RB)RB)P(C3)+毘R A)P( B)RG)P(C4)A)P(C2)P(A)R C4)P(C5) =4?.(2)由題知E可取 1,2,3,4,C； ；1口?F(E=1)= .=-,F(E=2)=- - =ii,7 29 SO-所以游戲結(jié)束時小華在第 2 個臺階的概率為P=P+P=l+&?=飪.依題意可知，X的可能取值為 2,3,4,5,F(X=5)=2

13、P(Ai)F(C2)P(A3) RC)=2X=,件-F(X=2)=2P(Ai)F(A2)=2 X =*,F(X=3)=2P(Ai)F(B2)P( A)+2P(Bi)F(A2)F(AB)+F(B)P(B2)F(B3)+2P(A)P(B2)F(B3)+2P(B)P( A)F(E3)+2P(Bi)P(13B)P(AB)+2F(G)FAP(A) =27,22F(X=4)=1-P(X=5)-P(X=2)-P(X=3)=乩所以X的分布列為X2345PZ132229278131變式題 解：(1)記事件A為“任取兩張卡片由題意知故E的分布列為E1234 3 思路點撥(1)由對立事件的

14、概率公式可得取出的(2)利用概率的加法公式可得取出的3 個球得分之和恰為可能的取值為 0,1,2,3,由超幾何分布求得分布列解:HB+C=RB+RC)=一一+一=:.(3)E可能的取值為 0,1,2,3.曲 _- 一RE=0)=.,P(E=1)=一=,P(E=2)=一=一：，P(E=3)=-.故E的分布列為E0123P5453141218494S2變式題解: 由題意可知,樣本容量n=1站：=50,y=ii汀.=0.004,x=0.100-0.004-0.010-0.016-0.040=0.030.由(1)可知，租用時間在80,90)內(nèi)的人數(shù)為 5,租用時間在90,100內(nèi)的人數(shù)為 2,共 7

15、人.抽取的 4 人中 租用時間在80,90)內(nèi)的人數(shù)X的可能取值為 2,3,4,貝 U3 個球中至少有 1 個紅色球的概率是一一;1 分的概率是:;“取出 1 個紅色球,2 個白色球”為事件B“取出2 個紅色球,1 個黑色球”為事件C則朗102(J 20 43 &J1RX=2)=一=.=,P(X=3)=.=,故X的分布列為X234P241111【備選理由】例 1 側(cè)重考查分布列的概率計算；例 2 考查離散型隨機變量的分布列；例 3 考查超幾何分布的 相關(guān)知識以及分布列.1已知隨機變量E的分布列為P(E=K)=.,K=1,2,則P(2EW4)=()c 16D.511 1 3解析A 由題給

16、出了P(E =0=-的概率公式，得F(2E w4)=P(E=3)+F(E=4)=一+=.S.2 配合例 2 使用甲、乙兩袋中各裝有大小相同的9 個小球，其中甲袋中紅色、黑色、白色小球的個數(shù)分別為 2,3,4,乙袋中紅色、黑色、白色小球的個數(shù)均為3,某人用左、右手分別從甲、乙兩袋中取球(1) 若左、右手各取 1 球,求兩只手所取球的顏色不同的概率；(2) 若左、右手依次各取 2 球,稱同一手中 2 球顏色相同的取法為成功取法，記兩次取球的成功取法次數(shù)為隨機變量X,求X的分布列.Si 配合例 1 使用RX=4)2+御啊叨2解:(1)設(shè)事件A為兩只手所取的球不同色”，則P=1=.（2）依題意,X的所有可能取值為 0,1,2左手所取的 2 球顏色相同的概率為=他爭州1右手所取的 2 球顏色相同的概率為-=,/ - =. X-=-匚X5 1 5 P -=；X.故X的分布列為X0112P1324718572配合例 3 使用點擊次數(shù)x（萬次）等級統(tǒng)計該網(wǎng)站 4 月份每天的點擊次數(shù)如下表點擊次數(shù)x0 x5050Wx10