構(gòu)造全等三角形的方法

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上構(gòu)造全等三角形的方法在證明兩個三角形全等時，選擇三角形全等的五種方法（“SSS”，“SAS”，“ASA”，“AAS”，“HL”）中，至少有一組相等的邊，因此在應(yīng)用時要養(yǎng)成先找邊的習(xí)慣。如果選擇找到了一組對應(yīng)邊，再找第二組條件，若找到第二組條件是對應(yīng)邊，則再找這兩邊的夾角用“SAS”或再找第三組對應(yīng)邊用“SSS”；若找到第二組條件是角，則需找另一組角（可能用“ASA”或“AAS”）或夾這個角的另一組對應(yīng)邊用“SAS”；若是判定兩個直角三角形全等則優(yōu)先考慮“HL” 。搞清了全等三角形的證題思路后，還要注意一些較難的一些證明問題，只要構(gòu)造合適的全等三角形，把條件相對集中起來

2、，再進(jìn)行等量代換，就可以化難為易了一、利用三角形的角平分線來構(gòu)造全等三角形（ 可以利用角平分線所在直線作對稱軸，翻折三角形來構(gòu)造全等三角形。） 1、如圖，在ABC中，AD平分BAC。畫一畫。法一：在AB上截取AE=AC，連結(jié)DE。法二：延長AC到F，使AF=AB，連結(jié)DF。法三：作DMAB于M，DNAC于N。2、如圖，DCAB，BAD和ADC的平分線相交于E，過E的直線分別交DC、AB于C、B兩點. 求證：ADABDC. 證明：在線段AD上取AFAB，連接EF，AE是BAD的角平分線，12，AFAB  AEAE，ABEAFE，BAFE由CDAB又可得CB180°，AFEC1

3、80°，又DFEAFE180°，CDFE，DE是ADC的平分線，34，又DEDE，CDEFDE，DFDC，ADDFAF，ADABDC 3、已知：如圖，在四邊形ABCD中，BD是ABC的角平分線，AD=CD.求證：A+C=180°法一：證明：在BC上截取BE，使BE=AB，連結(jié)DE。 法二：延長BA到F，使BF=BC，連結(jié)DF。 BD是ABC的角平分線（已知） BD是ABC的角平分線（已知）1=2（角平分線定義） 1=2（角平分線定義）在ABD和EBD中 在BFD和BCD中 AB=EB（已知） BF=BC（已知） 1=2（已證） 1=2（已證） BD=BD（公共邊）

4、 BD=BD（公共邊）ABDEBD（S.A.S） BFDBCD（S.A.S） A3（全等三角形的對應(yīng)角相等） FC（全等三角形的對應(yīng)角相等AD=DE（全等三角形的對應(yīng)邊相等） DF=DC（全等三角形的對應(yīng)邊相等） AD=CD（已知），AD=DE（已證） AD=CD（已知），DF=DC（已證）DE=DC（等量代換） DF=AD（等量代換） 4=C（等邊對等角） 4=F（等邊對等角） 3+ 4180° （平角定義）， FC（已證）A3（已證） 4=C（等量代換）A+ C180°（等量代換） 3+ 4180°（平角定義） A+ C180°（等量代換） 法三：作

5、DMBC于M，DNBA交BA的延長線于N。 BD是ABC的角平分線（已知）1=2（角平分線定義） DNBA，DMBC（已知） N=DMB=90°（垂直的定義）在NBD和MBD中 N=DMB （已證） 1=2（已證） BD=BD（公共邊）NBDMBD（A.A.S） ND=MD（全等三角形的對應(yīng)邊相等） DNBA，DMBC（已知） NAD和MCD是Rt在RtNAD和RtMCD中 ND=MD （已證） AD=CD（已知）RtNADRtMCD（H.L） 4=C（全等三角形的對應(yīng)角相等） 3+ 4180°（平角定義）， A3（已證） A+ C180°（等量代換） 法四：作D

6、MBC于M，DNBA交BA的延長線于N。 BD是ABC的角平分線（已知） DNBA，DMBC（已知） ND=MD（角平分線上的點到這個角的兩邊距離相等） DNBA，DMBC（已知）NAD和MCD是Rt在RtNAD和RtMCD中 ND=MD （已證） AD=CD（已知）RtNADRtMCD（H.L） 4=C （全等三角形的對應(yīng)角相等） 3+ 4180°（平角定義） A3（已證） A+ C180°（等量代換）4.如圖，AC=DB，PAC與PBD的面積相等求證：OP平分AOB證明：作PMOA于M，PNOB于N ，且 又ACBD PMPN 又PMOA，PNOB OP平分AOB 6.

7、如圖，已知E為正方形ABCD的邊CD的中點，點F在BC上，且DAEFAE求證：AFADCF證明： 作MEAF于M，連接EF 四邊形ABCD為正方形， CDEMA90°又 DAEFAE， AE為FAD的平分線， MEDE在RtAME與RtADE中， RtAMERtADE(HL) ADAM(全等三角形對應(yīng)邊相等)又 E為CD中點， DEEC MEEC在RtEMF與RtECF中， RtEMFRtECF(HL) MFFC(全等三角形對應(yīng)邊相等)由圖可知：AFAMMF， AFADFC(等量代換)二、利用三角形的中線來構(gòu)造全等三角形（中線加倍法）1.已知：如圖，在ABC中，AD是中線，BE交AD

8、于點F，且AEEF求證：AC=BF.圖1GCFBAED簡析由于AD是中線，于是可延長AD到G，使DGAD，連結(jié)BG，則在ACD和GBD中，ADGD，ADCGDB，CDBD，所以ACDGBD（SAS），所以ACGB，CADG，而AEEF，所以CADAFE，又AFE BFG，所以BFGG，所以BFBG，所以ACBF說明要說明線段或角相等，通常的思路是說明它們所在的兩個三角形全等，而遇到中線時又通常通過延長中線來構(gòu)造全等三角形2.已知：如圖所示，CE、CB分別是ABC與ADC的中線，且ACBABC求證：CD2CE證明： 延長CE至F使EFCE，連接BF EC為中線， AEBE在AEC與BEF中， A

9、ECBEF（SAS） ACBF，AFBE（全等三角形對應(yīng)邊、角相等）又 ACBABC，DBCACBA，F(xiàn)BCABCA ACAB，DBCFBC ABBF又 BC為ADC的中線， ABBD即BFBD在FCB與DCB中， FCBDCB（SAS） CFCD即CD2CE三、利用利用平行線構(gòu)造全等三角形1ABC中，ABAC，E是AB上任意一點，延長AC到F，連接EF交BC于M，且EDFD,試說明線段BE與CF相等的理由簡析由于BE與CF的位置較散，故可考慮將線段CF平移到EG，所以過點E作 EGCF，則EGBACB，EGDFCD，由于EDFD，EDGFDC，所以EDGFDCC（AAS），所以EGCF，又因

10、為ABAC，所以BACB，即BEGB，所以EBEG，所以BECF說明這里通過輔助線將較散的結(jié)論相對集中，使求解的難度降低此題的輔助線還可以有如圖所示的其他幾種方法。2. 已知：如圖，ABC中，BAC=60° ，C=40°，AP平分BAC交BC于P，BQ平分ABC交AC于Q，求證：AB+BP=BQ+AQ解答：方法一、證明：延長AB到D，使BD=BP，連接PD，則D=5AP，BQ分別是，的平分線，=60°，ACB=40°，1=2=30°，=180°-60°-40°=80°，3=4=40°=C，=，又D+5=3+4=80°，D=40°在與中，D=C, 2=1，AP=AP,（），AD=AC即AB+BD=AQ+，AB+BP=BQ+AQ方法二、如圖，=12×80°=40°，=ACB，BQ=CQ，BQ+AQ=CQ+AQ=AC，過點P作PDBQ交CQ于點D，則=40°，=ACB=40°，PD=，ADP=CPD+