機(jī)械振動(dòng)講義連續(xù)系統(tǒng)

1、 1 引言引言力學(xué)模型的組成力學(xué)模型的組成 連續(xù)系統(tǒng)的力學(xué)模型由具有分布質(zhì)量、分布彈性和分布阻尼元件連續(xù)系統(tǒng)的力學(xué)模型由具有分布質(zhì)量、分布彈性和分布阻尼元件組成。組成。連續(xù)系統(tǒng)與離散系統(tǒng)的關(guān)系連續(xù)系統(tǒng)與離散系統(tǒng)的關(guān)系連續(xù)系統(tǒng)連續(xù)系統(tǒng)離散系統(tǒng)離散系統(tǒng)簡(jiǎn)化、離散化簡(jiǎn)化、離散化自由度自由度n 趨向于無(wú)窮趨向于無(wú)窮連續(xù)系統(tǒng)與離散系統(tǒng)的區(qū)別連續(xù)系統(tǒng)與離散系統(tǒng)的區(qū)別 連續(xù)系統(tǒng)連續(xù)系統(tǒng)離散系統(tǒng)離散系統(tǒng)自由度自由度連續(xù)系統(tǒng)與離散系統(tǒng)是連續(xù)系統(tǒng)與離散系統(tǒng)是同一物理系統(tǒng)同一物理系統(tǒng)的的兩個(gè)數(shù)學(xué)模型兩個(gè)數(shù)學(xué)模型。描述系統(tǒng)的變量描述系統(tǒng)的變量有限個(gè)有限個(gè)無(wú)窮多個(gè)無(wú)窮多個(gè)時(shí)間時(shí)間時(shí)間和空間位置時(shí)間和空間位置微分方程微分

2、方程二階常微分方程組二階常微分方程組偏微分方程組偏微分方程組方 程 消 去 時(shí)方 程 消 去 時(shí)間變量后間變量后代數(shù)方程組代數(shù)方程組微分方程的邊值問(wèn)題微分方程的邊值問(wèn)題 2 弦振動(dòng)弦振動(dòng)振動(dòng)微分方程振動(dòng)微分方程 由離散系統(tǒng)方程導(dǎo)出由離散系統(tǒng)方程導(dǎo)出將連續(xù)的弦作離散系統(tǒng)考慮，即由無(wú)質(zhì)量的弦連將連續(xù)的弦作離散系統(tǒng)考慮，即由無(wú)質(zhì)量的弦連接接n個(gè)離散的質(zhì)量個(gè)離散的質(zhì)量m i 。每個(gè)質(zhì)量上所受的力為。每個(gè)質(zhì)量上所受的力為F i質(zhì)量質(zhì)量m i的受力分析如圖。的受力分析如圖。對(duì)質(zhì)量對(duì)質(zhì)量m i在在y方向的受力和方向的受力和加速度運(yùn)用牛頓第二定律：加速度運(yùn)用牛頓第二定律：221111ddtymFxyyTxyy

3、Tiiiiiiiiiii), 2, 1(ni由于弦兩端固定，因此有由于弦兩端固定，因此有0)()(10tytyn設(shè)設(shè)111iiiiiiyyyyyy，), 2, 1(ni2211ddtymFxyTxyTiiiiiiiii或或), 2, 1(ni22ddtymFxyTiiiiii 2 弦振動(dòng)弦振動(dòng)振動(dòng)微分方程振動(dòng)微分方程 由離散系統(tǒng)方程導(dǎo)出由離散系統(tǒng)方程導(dǎo)出或或), 2, 1(ni22ddtymFxyTiiiiii或兩邊除以或兩邊除以 xi), 2, 1(ni22ddtyxmxFxyTxiiiiiiiii當(dāng)質(zhì)量數(shù)無(wú)窮多時(shí)，當(dāng)質(zhì)量數(shù)無(wú)窮多時(shí)， xi趨近于零，方程可寫(xiě)成趨近于零，方程可寫(xiě)成Lxttxy

4、xtxfxtxyxTx0),()(),(),()(22其中，其中，0),(), 0(,)(,)(),(limlim00tLytyxmxxtFtxfiixiixii由于用由于用x替換了變量替換了變量xi ，因此對(duì)時(shí)間的全導(dǎo)數(shù)轉(zhuǎn)換成偏導(dǎo)數(shù)，而增量，因此對(duì)時(shí)間的全導(dǎo)數(shù)轉(zhuǎn)換成偏導(dǎo)數(shù)，而增量比用對(duì)比用對(duì)x的偏導(dǎo)數(shù)表示。的偏導(dǎo)數(shù)表示。 2 弦振動(dòng)弦振動(dòng)振動(dòng)微分方程振動(dòng)微分方程 從連續(xù)系統(tǒng)直接導(dǎo)出從連續(xù)系統(tǒng)直接導(dǎo)出 設(shè)長(zhǎng)度為設(shè)長(zhǎng)度為L(zhǎng) 、兩端固定的弦上受均布載荷、兩端固定的弦上受均布載荷f (x, t) ，弦上弦上x(chóng)處的張力與單位長(zhǎng)度質(zhì)量密度分別為處的張力與單位長(zhǎng)度質(zhì)量密度分別為T(mén) (x)和和 (x)。xt

5、xfxtxyxTxxtxyxtxyxxxTxTd),(),()(d),(),(d)()(22 根據(jù)牛頓定律，任一瞬時(shí)作用在微弦段上根據(jù)牛頓定律，任一瞬時(shí)作用在微弦段上y 方向的力與微弦段的加速度有如下關(guān)系方向的力與微弦段的加速度有如下關(guān)系 質(zhì)量為質(zhì)量為 A dx的微段的微段dx，隔離體受力分析圖，隔離體受力分析圖22),(d)(ttxyxx展開(kāi)、消去相關(guān)的項(xiàng)、略去展開(kāi)、消去相關(guān)的項(xiàng)、略去dx的二次項(xiàng)，然后兩邊除以的二次項(xiàng)，然后兩邊除以dx 得得LxttxyxtxfxtxyxTxtxyxxT0),()(),(),()(),()(2222或或LxttxyxtxfxtxyxTx0),()(),(),

6、()(22 2 弦振動(dòng)弦振動(dòng)自由振動(dòng)自由振動(dòng) 特征值問(wèn)題特征值問(wèn)題方程方程LxttxyxxtxyxTx0),()(),()(220),(), 0(tLyty邊界條件邊界條件用分離變量法，設(shè)：用分離變量法，設(shè)：)()(),(tFxYtxy代入方程：代入方程：)(d)(d)()(d)(d)(dd22xYttFxtFxxYxTx兩邊同除以?xún)蛇呁訷 (x) (x) F (t)22d)(d)(1d)(d)(dd)()(1ttFtFxxYxTxxYx上述方程兩邊分別依賴(lài)于變量上述方程兩邊分別依賴(lài)于變量x 和和 t ，因此兩邊都等于常數(shù)。設(shè)常數(shù)為，因此兩邊都等于常數(shù)。設(shè)常數(shù)為- w w 2：0)(d)(

7、d222tFttFwLxxYxxxYxTx0),()(d)(d)(dd2w 2 弦振動(dòng)弦振動(dòng)自由振動(dòng)自由振動(dòng) 特征值問(wèn)題特征值問(wèn)題0)(d)(d222tFttFw)()(d)(d)(dd2xYxxxYxTxw從關(guān)于時(shí)間的方程從關(guān)于時(shí)間的方程 從關(guān)于位置從關(guān)于位置x 的方程可以確定位移的形狀的方程可以確定位移的形狀Y (x) ，它必須在區(qū)間，它必須在區(qū)間0 xL 滿(mǎn)足方程及邊界條件滿(mǎn)足方程及邊界條件Y (0) =Y (L) = 0。解得解得 F (t)(cos)(wtCtF 上式為包含未知常數(shù)上式為包含未知常數(shù)w w 2的二階常微分齊次方程，非平凡解的二階常微分齊次方程，非平凡解Y (x)存在，

8、存在，且解中有兩個(gè)積分常數(shù)，而已知邊界條件只有兩個(gè)。且解中有兩個(gè)積分常數(shù)，而已知邊界條件只有兩個(gè)。 從方程可以看出，如果從方程可以看出，如果 Y (x)是偏微分方程的解，那么是偏微分方程的解，那么a a Y (x) （ a a是是任意常數(shù)）也是方程的解。任意常數(shù)）也是方程的解。 這意味著，求解滿(mǎn)足邊界條件的偏微分方程，就是要找到滿(mǎn)足方程這意味著，求解滿(mǎn)足邊界條件的偏微分方程，就是要找到滿(mǎn)足方程的未知常數(shù)的未知常數(shù)w w i 和對(duì)應(yīng)的函數(shù)和對(duì)應(yīng)的函數(shù)Y i (x) 。與離散系統(tǒng)對(duì)應(yīng)，。與離散系統(tǒng)對(duì)應(yīng)， w w i 2稱(chēng)為特征值稱(chēng)為特征值（即系統(tǒng)的固有圓頻率平方），而（即系統(tǒng)的固有圓頻率平方），而

9、Y i (x)稱(chēng)為特征函數(shù)（稱(chēng)為特征函數(shù)（ 主振型主振型）。）。 2 弦振動(dòng)弦振動(dòng)自由振動(dòng)自由振動(dòng) 特征值問(wèn)題特征值問(wèn)題 同樣地，與離散系統(tǒng)對(duì)應(yīng)，若特征函數(shù)同樣地，與離散系統(tǒng)對(duì)應(yīng)，若特征函數(shù)Y i (x) 經(jīng)正則化處理，則它們經(jīng)正則化處理，則它們關(guān)于質(zhì)量密度和張力正交：關(guān)于質(zhì)量密度和張力正交：), 2, 1,(d)()()(0jixxYxYxjijLi), 2, 1,(dd)(dd)(d)(20jixxxYxxYxTjiijLiw對(duì)初始擾動(dòng)的響應(yīng)對(duì)初始擾動(dòng)的響應(yīng) 與離散系統(tǒng)類(lèi)似，利用正交的正則化特征函數(shù)集與離散系統(tǒng)類(lèi)似，利用正交的正則化特征函數(shù)集Y i (x) （i = 1, 2, ）的線(xiàn)性組

10、合，可以表示連續(xù)系統(tǒng)在初始擾動(dòng)下的響應(yīng)。的線(xiàn)性組合，可以表示連續(xù)系統(tǒng)在初始擾動(dòng)下的響應(yīng)。1)()(),(iiitxYtxy 代入方程，兩邊左乘代入方程，兩邊左乘Y i (x)，并對(duì)整個(gè)區(qū)間，并對(duì)整個(gè)區(qū)間 0, L 積分，利用特征積分，利用特征函數(shù)的正交性：函數(shù)的正交性：),2, 1(0)()(2 ittiiiw解為解為),2, 1()(cos)(itCtiiiiw常數(shù)常數(shù)C i 和和 i 由初始條件得到。由初始條件得到。 2 弦振動(dòng)弦振動(dòng)自由振動(dòng)自由振動(dòng)例例 1 圖示均勻弦兩端固定，弦中的張力為常圖示均勻弦兩端固定，弦中的張力為常數(shù)，求解系統(tǒng)的特征值問(wèn)題，畫(huà)出系統(tǒng)前四數(shù)，求解系統(tǒng)的特征值問(wèn)題，

11、畫(huà)出系統(tǒng)前四個(gè)特征函數(shù)，并驗(yàn)證正交性。個(gè)特征函數(shù)，并驗(yàn)證正交性。解解 由題意，系統(tǒng)的由題意，系統(tǒng)的T 和和 為常數(shù)，因此系統(tǒng)滿(mǎn)足如下方程：為常數(shù)，因此系統(tǒng)滿(mǎn)足如下方程：LxxYxxY00)(d)(d222Tw22其中：其中：0)(, 0)0(LYY且有且有從方程可知從方程可知Y (x)是是x的簡(jiǎn)諧函數(shù)，一般可寫(xiě)的簡(jiǎn)諧函數(shù)，一般可寫(xiě)xBxAxYcossin)(由邊界條件由邊界條件Y (0) 0 可得可得B = 0, 則則xAxYsin)(由邊界條件由邊界條件Y (L) 0 可得可得0sin)(LALY由于由于A 不為零，必有不為零，必有0sinL特征方程特征方程特征值為特征值為), 2, 1(i

12、iLi或或), 2, 1(2iLTiTiiw), 2, 1(sin)(iLxiAxYii特征函數(shù)為特征函數(shù)為)(1xY)(2xY)(3xY)(4xY自由振動(dòng)自由振動(dòng)例例 1 圖示均勻弦兩端固定，弦中的張力為常圖示均勻弦兩端固定，弦中的張力為常數(shù)，求解系統(tǒng)的特征值問(wèn)題，畫(huà)出系統(tǒng)前四數(shù)，求解系統(tǒng)的特征值問(wèn)題，畫(huà)出系統(tǒng)前四個(gè)特征函數(shù)，并驗(yàn)證正交性。個(gè)特征函數(shù)，并驗(yàn)證正交性。), 2, 1(sin)(iLxiAxYii特征函數(shù)為特征函數(shù)為正交性驗(yàn)證正交性驗(yàn)證), 2, 1(12d2cos121dsin202022iLAxLxiAxLxiAiLiLi), 2, 1(sin2)(iLxiLxYi由正則化要

13、求由正則化要求正則化的特征函數(shù)正則化的特征函數(shù)自由振動(dòng)自由振動(dòng)例例 1 圖示均勻弦兩端固定，弦中的張力為常圖示均勻弦兩端固定，弦中的張力為常數(shù)，求解系統(tǒng)的特征值問(wèn)題，畫(huà)出系統(tǒng)前四數(shù)，求解系統(tǒng)的特征值問(wèn)題，畫(huà)出系統(tǒng)前四個(gè)特征函數(shù)，并驗(yàn)證正交性。個(gè)特征函數(shù)，并驗(yàn)證正交性。正交性驗(yàn)證正交性驗(yàn)證LjLixLxjLxiLxxYxY00dsinsin2d)()(三角函數(shù)積化和差三角函數(shù)積化和差LxLxjiLxjiL0dcoscos212)(1)(0sinsin0jijiLxjijiLxjijiL積分積分自由振動(dòng)自由振動(dòng)例例 1 圖示均勻弦兩端固定，弦中的張力為常圖示均勻弦兩端固定，弦中的張力為常數(shù)，求解系

14、統(tǒng)的特征值問(wèn)題，畫(huà)出系統(tǒng)前四數(shù)，求解系統(tǒng)的特征值問(wèn)題，畫(huà)出系統(tǒng)前四個(gè)特征函數(shù)，并驗(yàn)證正交性。個(gè)特征函數(shù)，并驗(yàn)證正交性。正交性驗(yàn)證正交性驗(yàn)證LjLixLxjLxiLjiTxxxYxxYT030dcoscos2dd)(dd)(d三角函數(shù)積化和差三角函數(shù)積化和差積分積分LLjixLxijixLxjiLxjiLjiT003)(d2cos121)(dcoscos212)()(0)(22)(sin1sin1230jijijiLLiTjiLxjijiLxjijiLjiTiLw), 2, 1(2iLTiTiiw 3 桿的縱向桿的縱向振動(dòng)振動(dòng)振動(dòng)微分方程振動(dòng)微分方程 從連續(xù)系統(tǒng)直接導(dǎo)出從連續(xù)系統(tǒng)直接導(dǎo)出 設(shè)長(zhǎng)度

15、為設(shè)長(zhǎng)度為L(zhǎng) 、兩端固定的桿上受均布軸向、兩端固定的桿上受均布軸向力力f (x, t) ，桿上，桿上x(chóng)處的軸向剛度與單位長(zhǎng)度質(zhì)量處的軸向剛度與單位長(zhǎng)度質(zhì)量分別為分別為E A (x) 和和m (x) 。 根據(jù)材料力學(xué)，任一瞬時(shí)作用在桿微段兩端根據(jù)材料力學(xué)，任一瞬時(shí)作用在桿微段兩端的軸向內(nèi)力與軸向應(yīng)變成正比的軸向內(nèi)力與軸向應(yīng)變成正比 取桿的微段取桿的微段dx，隔離體受力分析圖，隔離體受力分析圖或或LxttxuxmtxfxtxuxEAx0),()(),(),()(22xtxuxEAtxP),()(),( 根據(jù)牛頓定律，任一瞬時(shí)作用在桿微段上的軸向力與桿微段的加速度有如根據(jù)牛頓定律，任一瞬時(shí)作用在桿微

16、段上的軸向力與桿微段的加速度有如下關(guān)系下關(guān)系xttxuxmxtxfxxtxPd),()(d),(d),(22自由振動(dòng)自由振動(dòng) 特征值問(wèn)題特征值問(wèn)題方程方程LxttxuxmxtxuxEAx0),()(),()(220),(), 0(tLutu邊界條件邊界條件用分離變量法，設(shè)：用分離變量法，設(shè)：)()(),(tFxUtxu代入方程：代入方程：)(d)(d)()(d)(d)(dd22xUttFxmtFxxUxEAx兩邊同除以?xún)蛇呁訳 (x) m (x) F (t)22d)(d)(1d)(d)(dd)()(1ttFtFxxUxEAxxUxm上述方程兩邊分別依賴(lài)于變量上述方程兩邊分別依賴(lài)于變量x 和

17、和 t ，因此兩邊都等于常數(shù)。設(shè)常數(shù)為，因此兩邊都等于常數(shù)。設(shè)常數(shù)為- w w 2：0)(d)(d222tFttFwLxxUxmxxUxEAx0),()(d)(d)(dd2w自由振動(dòng)自由振動(dòng) 特征值問(wèn)題特征值問(wèn)題0)(d)(d222tFttFw)()(d)(d)(dd2xUxmxxUxEAxw從關(guān)于時(shí)間的方程從關(guān)于時(shí)間的方程 從關(guān)于位置從關(guān)于位置x 的方程可以確定位移的形狀的方程可以確定位移的形狀U (x) ，它必須在區(qū)間，它必須在區(qū)間0 xL 滿(mǎn)足方程及邊界條件滿(mǎn)足方程及邊界條件U (0) =U (L) = 0。解得解得 F (t)(cos)(wtctF)()(d)(d)(dd2xYxxxY

18、xTxw與弦振動(dòng)的特征值問(wèn)題作比較與弦振動(dòng)的特征值問(wèn)題作比較結(jié)論結(jié)論只要把弦振動(dòng)特征值問(wèn)題中的只要把弦振動(dòng)特征值問(wèn)題中的Y (x) 、T (x)和和 (x)換作換作U (x) 、EA (x) 和和m (x) 就得到桿作縱向振動(dòng)的特征值問(wèn)題表達(dá)式。就得到桿作縱向振動(dòng)的特征值問(wèn)題表達(dá)式。自由振動(dòng)自由振動(dòng) 特征值問(wèn)題特征值問(wèn)題例例 2 圖示均勻桿兩端固定，桿的拉伸剛度為常數(shù)，圖示均勻桿兩端固定，桿的拉伸剛度為常數(shù)，求解系統(tǒng)的特征值問(wèn)題。求解系統(tǒng)的特征值問(wèn)題。解解 由題意，系統(tǒng)的由題意，系統(tǒng)的EA 和和m為常數(shù)，因此系統(tǒng)滿(mǎn)足如下方程：為常數(shù)，因此系統(tǒng)滿(mǎn)足如下方程：LxxUxxU00)(d)(d222E

19、Am22w其中：其中：0)(, 0)0(LUU且有且有從方程可知從方程可知U (x)是是x的簡(jiǎn)諧函數(shù)，一般可寫(xiě)的簡(jiǎn)諧函數(shù)，一般可寫(xiě)xbxaxUcossin)(由邊界條件由邊界條件U (0) 0 可得可得b = 0, 則則xaxUsin)(由邊界條件由邊界條件U (L) 0 可得可得0sin)(LaLU由于由于a 不為零，必有不為零，必有0sinL特征方程特征方程特征值為特征值為), 2, 1(iiLi或或), 2, 1(2iLmEAimEAiiw), 2, 1(sin)(iLxiaxUii特征函數(shù)為特征函數(shù)為自由振動(dòng)自由振動(dòng) 特征值問(wèn)題特征值問(wèn)題例例 3 圖示均勻桿兩端自由，桿的拉伸剛度為常圖

20、示均勻桿兩端自由，桿的拉伸剛度為常數(shù)，求解系統(tǒng)的特征值問(wèn)題。數(shù)，求解系統(tǒng)的特征值問(wèn)題。解解 由題意，系統(tǒng)的由題意，系統(tǒng)的EA 和和m為常數(shù)，因此系統(tǒng)滿(mǎn)足如下方程：為常數(shù)，因此系統(tǒng)滿(mǎn)足如下方程：LxxUxxU00)(d)(d222EAm22w其中：其中：0)(dd, 0)0(ddLxUxU且有且有從方程可知從方程可知U (x)是是x的簡(jiǎn)諧函數(shù)，一般可寫(xiě)的簡(jiǎn)諧函數(shù)，一般可寫(xiě)xbxaxUcossin)(由由 x = 0 處的邊界條件處的邊界條件可得可得a = 0, 則則xbxUcos)(由由x = L 處的處的邊界條件可得邊界條件可得0sind)(dLbxLU由于由于b 不為零，必有不為零，必有0s

21、inL特征方程特征方程特征值為特征值為), 2, 1(iiLi或或), 2, 1(2iLmEAimEAiiw), 2, 1(cos)(iLxibxUii特征函數(shù)為特征函數(shù)為自由振動(dòng)自由振動(dòng) 特征值問(wèn)題特征值問(wèn)題例例 4 圖示一端固定，另一端自由均勻桿的拉伸剛圖示一端固定，另一端自由均勻桿的拉伸剛度為常數(shù)，求解系統(tǒng)的特征值問(wèn)題。度為常數(shù)，求解系統(tǒng)的特征值問(wèn)題。解解 由題意，系統(tǒng)的由題意，系統(tǒng)的EA 和和m為常數(shù)，因此系統(tǒng)滿(mǎn)足如下方程：為常數(shù)，因此系統(tǒng)滿(mǎn)足如下方程：LxxUxxU00)(d)(d222EAm22w其中：其中：0d)(d, 0)0(xLUU且有且有從方程可知從方程可知U (x)是是x

22、的簡(jiǎn)諧函數(shù)，一般可寫(xiě)的簡(jiǎn)諧函數(shù)，一般可寫(xiě)xbxaxUcossin)(由邊界條件由邊界條件U (0) 0 可得可得b = 0, 則則xaxUsin)(0cosd)(dLaxLU由于由于a 不為零，必有不為零，必有0cosL特征方程特征方程特征值為特征值為), 2, 1() 1iiLi或或), 2, 1(2) 12(2iLmEAimEAiiw), 2, 1(2) 12(sin)(iLxiaxUii特征函數(shù)為特征函數(shù)為由由x = L 處的處的邊界條件可得邊界條件可得自由振動(dòng)自由振動(dòng) 特征值問(wèn)題特征值問(wèn)題討論討論 作縱向振動(dòng)桿的邊界狀況、頻率方程和振型函數(shù)作縱向振動(dòng)桿的邊界狀況、頻率方程和振型函數(shù)邊界

23、狀況邊界狀況頻率頻率振型函數(shù)振型函數(shù)兩端固定兩端固定兩端自由兩端自由一端固定一端固定一端自由一端自由), 2, 1(2) 12(2iLmEAimEAiiw), 2, 1(2) 12(sin)(iLxiaxUii), 2, 1(2iLmEAimEAiiw), 2, 1(cos)(iLxibxUii), 2, 1(2iLmEAimEAiiw), 2, 1(sin)(iLxiaxUii自由振動(dòng)自由振動(dòng) 特征值問(wèn)題特征值問(wèn)題例例 5 設(shè)圖示推進(jìn)軸系由長(zhǎng)度為設(shè)圖示推進(jìn)軸系由長(zhǎng)度為L(zhǎng)、單位長(zhǎng)度質(zhì)量為、單位長(zhǎng)度質(zhì)量為m、拉伸剛度為、拉伸剛度為EA的均勻桿和質(zhì)量為的均勻桿和質(zhì)量為M 的螺旋槳的螺旋槳組成，軸系

24、的一端由推力軸承固定，另一端自由。組成，軸系的一端由推力軸承固定，另一端自由。求解軸系作縱向振動(dòng)時(shí)系統(tǒng)的特征值問(wèn)題。求解軸系作縱向振動(dòng)時(shí)系統(tǒng)的特征值問(wèn)題。解解 由題意，系統(tǒng)的由題意，系統(tǒng)的EA 和和m為常數(shù)，因此系統(tǒng)滿(mǎn)足如下方程：為常數(shù)，因此系統(tǒng)滿(mǎn)足如下方程：LxxUxxU00)(d)(d222EAm22w其中：其中：LxLxttxuMxtxuEA22),(),(或或固定端的邊界條件不變，固定端的邊界條件不變， U (0) 0 ，而自由端有，而自由端有：LxLxttFxUMxxUtFEA22d)(d)(d)(d)(LxLxtFxUMxxUtFEA)(-)(d)(d)(2w代入代入0)(d)(d

25、222tFttFwLxLxxUEAMxxU)(d)(d2w整理得整理得自由振動(dòng)自由振動(dòng) 特征值問(wèn)題特征值問(wèn)題例例 5 設(shè)圖示推進(jìn)軸系由長(zhǎng)度為設(shè)圖示推進(jìn)軸系由長(zhǎng)度為L(zhǎng)、單位長(zhǎng)度質(zhì)量、單位長(zhǎng)度質(zhì)量為為m、拉伸剛度為、拉伸剛度為EA的均勻桿和質(zhì)量為的均勻桿和質(zhì)量為M 的螺旋的螺旋槳組成，軸系的一端由推力軸承固定，另一端自槳組成，軸系的一端由推力軸承固定，另一端自由。求解軸系作縱向振動(dòng)時(shí)系統(tǒng)的特征值問(wèn)題。由。求解軸系作縱向振動(dòng)時(shí)系統(tǒng)的特征值問(wèn)題。對(duì)于上述超越方程，只要給定系統(tǒng)參數(shù)，就能得到系統(tǒng)的特征值對(duì)于上述超越方程，只要給定系統(tǒng)參數(shù)，就能得到系統(tǒng)的特征值w w i 。特征方程特征方程), 2, 1(

26、sin)(iLxaxUiii由邊界條件由邊界條件U (0) 0 可得可得b = 0, 則則xaxUsin)(從方程可知從方程可知U (x)是是x的簡(jiǎn)諧函數(shù)，一般可寫(xiě)的簡(jiǎn)諧函數(shù)，一般可寫(xiě)xbxaxUcossin)(LxLxxUEAMxxUU)(d)(d, 0)0(2w邊界條件邊界條件LaEAMLawsincos2由由x L 處的處的邊界條件得邊界條件得EAm22w或或MLmLLtanatan), 2, 1(imAELiiw特征函數(shù)為特征函數(shù)為U i 為為自由振動(dòng)自由振動(dòng) 特征值問(wèn)題特征值問(wèn)題討論討論 作縱向振動(dòng)桿邊界條件的討論作縱向振動(dòng)桿邊界條件的討論邊界狀況邊界狀況左端左端右端右端固定固定自由

27、自由帶有彈簧帶有彈簧kxtuEAtuk), 0(), 0(0), 0(xtu0), 0(tu0),(tLu帶有集中質(zhì)量帶有集中質(zhì)量MxtuEAttuM), 0(), 0(220),(xtLuxtLuEAtLuk),(),(xtLuEAttLuM),(),(22振動(dòng)微分方程振動(dòng)微分方程 從連續(xù)系統(tǒng)直接導(dǎo)出從連續(xù)系統(tǒng)直接導(dǎo)出 設(shè)長(zhǎng)度為設(shè)長(zhǎng)度為L(zhǎng) 、一端固定一端自由的桿上受均、一端固定一端自由的桿上受均布外扭矩布外扭矩M (x, t)與軸的轉(zhuǎn)角與軸的轉(zhuǎn)角q q 同向，桿的扭轉(zhuǎn)剛同向，桿的扭轉(zhuǎn)剛度與單位長(zhǎng)度轉(zhuǎn)動(dòng)慣量分別為度與單位長(zhǎng)度轉(zhuǎn)動(dòng)慣量分別為G IP (x) 和和J (x) 。 根據(jù)材料力學(xué)，任一

28、瞬時(shí)作用在桿微段兩端根據(jù)材料力學(xué)，任一瞬時(shí)作用在桿微段兩端的扭轉(zhuǎn)內(nèi)力矩之的扭轉(zhuǎn)內(nèi)力矩之 和與軸的剪應(yīng)變成正比和與軸的剪應(yīng)變成正比 取桿的微段取桿的微段dx，隔離體受力分析圖，隔離體受力分析圖或或LxttxxJtxMxtxxGIx0),()(),(),()(22PqqxtxxGItxT),()(),(Pq 根據(jù)動(dòng)量矩定律，任一瞬時(shí)作用在桿微段上的內(nèi)外力矩與桿微段的角加根據(jù)動(dòng)量矩定律，任一瞬時(shí)作用在桿微段上的內(nèi)外力矩與桿微段的角加速度有如下關(guān)系速度有如下關(guān)系xttxxJxtxMxxtxTd),()(d),(d),(22q自由振動(dòng)自由振動(dòng) 特征值問(wèn)題特征值問(wèn)題方程方程LxttxxJxtxxGIx0)

29、,()(),()(22Pqq0),(, 0), 0(xtLtqq邊界條件邊界條件用分離變量法，設(shè)：用分離變量法，設(shè)：)()(),(tFxtxq代入方程：代入方程：)(d)(d)()(d)(d)(dd22PxttFxJtFxxxGIx兩邊同除以?xún)蛇呁?(x) J (x) F (t)22Pd)(d)(1d)(d)(dd)()(1ttFtFxxxGIxxxJ上述方程兩邊分別依賴(lài)于變量上述方程兩邊分別依賴(lài)于變量x 和和 t ，因此兩邊都等于常數(shù)。設(shè)常數(shù)為，因此兩邊都等于常數(shù)。設(shè)常數(shù)為- w w 2：0)(d)(d222tFttFwLxxxJxxxGIx0),()(d)(d)(dd2Pw自由振動(dòng)自由

30、振動(dòng) 特征值問(wèn)題特征值問(wèn)題0)(d)(d222tFttFw)()(d)(d)(dd2PxxJxxxGIxw從關(guān)于時(shí)間的方程從關(guān)于時(shí)間的方程 從關(guān)于位置從關(guān)于位置x 的方程可以確定位移的形狀的方程可以確定位移的形狀 (x) ，它必須在區(qū)間，它必須在區(qū)間0 xL 滿(mǎn)足方程及邊界條件。滿(mǎn)足方程及邊界條件。解得解得 F (t)(cos)(wtctF)()(d)(d)(dd2xYxxxYxTxw與弦振動(dòng)的特征值問(wèn)題作比較與弦振動(dòng)的特征值問(wèn)題作比較結(jié)論結(jié)論只要把弦振動(dòng)特征值問(wèn)題中的只要把弦振動(dòng)特征值問(wèn)題中的Y (x) 、T (x)和和 (x)換作換作 (x) 、GIP (x) 和和J (x) 就得到桿作縱

31、向振動(dòng)的特征值問(wèn)題表達(dá)式。就得到桿作縱向振動(dòng)的特征值問(wèn)題表達(dá)式。自由振動(dòng)自由振動(dòng) 特征值問(wèn)題特征值問(wèn)題例例 6 圖示一端固定，另一端自由均勻桿的扭轉(zhuǎn)剛圖示一端固定，另一端自由均勻桿的扭轉(zhuǎn)剛度為常數(shù)，求解系統(tǒng)的特征值問(wèn)題。度為常數(shù)，求解系統(tǒng)的特征值問(wèn)題。解解 由題意，系統(tǒng)的由題意，系統(tǒng)的GIP和和J為常數(shù)，因此系統(tǒng)滿(mǎn)足如下方程：為常數(shù)，因此系統(tǒng)滿(mǎn)足如下方程：Lxxxx00)(d)(d222P22GIJw其中：其中：0d)(d, 0)0(xL且有且有從方程可知從方程可知 (x)是是x的簡(jiǎn)諧函數(shù)，一般可寫(xiě)的簡(jiǎn)諧函數(shù)，一般可寫(xiě)xbxaxcossin)(由邊界條件由邊界條件 (0) 0 可得可得b =

32、0, 則則xaxsin)(0cosd)(dLaxL由于由于a 不為零，必有不為零，必有0cosL特征方程特征方程特征值為特征值為), 2, 1() 1iiLi或或), 2, 1(2) 12(2PPiLJGIiJGIiiw), 2, 1(2) 12(sin)(iLxiaxii特征函數(shù)為特征函數(shù)為由由x = L 處的處的邊界條件可得邊界條件可得自由振動(dòng)自由振動(dòng) 特征值問(wèn)題特征值問(wèn)題例例 7 設(shè)圖示軸系由長(zhǎng)度為設(shè)圖示軸系由長(zhǎng)度為L(zhǎng)、單位長(zhǎng)度轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為、單位長(zhǎng)度轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J、扭轉(zhuǎn)剛度為、扭轉(zhuǎn)剛度為GIP的均勻桿和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為的均勻桿和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J1和和J1的的剛性薄圓盤(pán)組成，整個(gè)軸系在扭轉(zhuǎn)角方向無(wú)約束。剛性薄圓盤(pán)組成，整個(gè)軸系在扭轉(zhuǎn)角方向無(wú)約束。求解軸系作扭轉(zhuǎn)振動(dòng)時(shí)系統(tǒng)的特征值問(wèn)題。求解軸系作扭轉(zhuǎn)振動(dòng)時(shí)系統(tǒng)的特征值問(wèn)題。解解 由題意，系統(tǒng)的由題意，系統(tǒng)的GIP和和J為常數(shù)，因此系統(tǒng)滿(mǎn)足如下方程：為常數(shù)，因此系統(tǒng)滿(mǎn)足如下方程：Lxxxx00)(d)(d222pIGJ22w其中：其中：LxLxttxJxtxGI222P),(),(qq或或兩邊的邊界條件為：兩邊的邊界條