機械振動講義連續(xù)系統(tǒng)

1、 1 引言引言力學模型的組成力學模型的組成 連續(xù)系統(tǒng)的力學模型由具有分布質量、分布彈性和分布阻尼元件連續(xù)系統(tǒng)的力學模型由具有分布質量、分布彈性和分布阻尼元件組成。組成。連續(xù)系統(tǒng)與離散系統(tǒng)的關系連續(xù)系統(tǒng)與離散系統(tǒng)的關系連續(xù)系統(tǒng)連續(xù)系統(tǒng)離散系統(tǒng)離散系統(tǒng)簡化、離散化簡化、離散化自由度自由度n 趨向于無窮趨向于無窮連續(xù)系統(tǒng)與離散系統(tǒng)的區(qū)別連續(xù)系統(tǒng)與離散系統(tǒng)的區(qū)別 連續(xù)系統(tǒng)連續(xù)系統(tǒng)離散系統(tǒng)離散系統(tǒng)自由度自由度連續(xù)系統(tǒng)與離散系統(tǒng)是連續(xù)系統(tǒng)與離散系統(tǒng)是同一物理系統(tǒng)同一物理系統(tǒng)的的兩個數學模型兩個數學模型。描述系統(tǒng)的變量描述系統(tǒng)的變量有限個有限個無窮多個無窮多個時間時間時間和空間位置時間和空間位置微分方程微分

2、方程二階常微分方程組二階常微分方程組偏微分方程組偏微分方程組方 程 消 去 時方 程 消 去 時間變量后間變量后代數方程組代數方程組微分方程的邊值問題微分方程的邊值問題 2 弦振動弦振動振動微分方程振動微分方程 由離散系統(tǒng)方程導出由離散系統(tǒng)方程導出將連續(xù)的弦作離散系統(tǒng)考慮，即由無質量的弦連將連續(xù)的弦作離散系統(tǒng)考慮，即由無質量的弦連接接n個離散的質量個離散的質量m i 。每個質量上所受的力為。每個質量上所受的力為F i質量質量m i的受力分析如圖。的受力分析如圖。對質量對質量m i在在y方向的受力和方向的受力和加速度運用牛頓第二定律：加速度運用牛頓第二定律：221111ddtymFxyyTxyy

3、Tiiiiiiiiiii), 2, 1(ni由于弦兩端固定，因此有由于弦兩端固定，因此有0)()(10tytyn設設111iiiiiiyyyyyy，), 2, 1(ni2211ddtymFxyTxyTiiiiiiiii或或), 2, 1(ni22ddtymFxyTiiiiii 2 弦振動弦振動振動微分方程振動微分方程 由離散系統(tǒng)方程導出由離散系統(tǒng)方程導出或或), 2, 1(ni22ddtymFxyTiiiiii或兩邊除以或兩邊除以 xi), 2, 1(ni22ddtyxmxFxyTxiiiiiiiii當質量數無窮多時，當質量數無窮多時， xi趨近于零，方程可寫成趨近于零，方程可寫成Lxttxy

4、xtxfxtxyxTx0),()(),(),()(22其中，其中，0),(), 0(,)(,)(),(limlim00tLytyxmxxtFtxfiixiixii由于用由于用x替換了變量替換了變量xi ，因此對時間的全導數轉換成偏導數，而增量，因此對時間的全導數轉換成偏導數，而增量比用對比用對x的偏導數表示。的偏導數表示。 2 弦振動弦振動振動微分方程振動微分方程 從連續(xù)系統(tǒng)直接導出從連續(xù)系統(tǒng)直接導出 設長度為設長度為L 、兩端固定的弦上受均布載荷、兩端固定的弦上受均布載荷f (x, t) ，弦上弦上x處的張力與單位長度質量密度分別為處的張力與單位長度質量密度分別為T (x)和和 (x)。xt

5、xfxtxyxTxxtxyxtxyxxxTxTd),(),()(d),(),(d)()(22 根據牛頓定律，任一瞬時作用在微弦段上根據牛頓定律，任一瞬時作用在微弦段上y 方向的力與微弦段的加速度有如下關系方向的力與微弦段的加速度有如下關系 質量為質量為 A dx的微段的微段dx，隔離體受力分析圖，隔離體受力分析圖22),(d)(ttxyxx展開、消去相關的項、略去展開、消去相關的項、略去dx的二次項，然后兩邊除以的二次項，然后兩邊除以dx 得得LxttxyxtxfxtxyxTxtxyxxT0),()(),(),()(),()(2222或或LxttxyxtxfxtxyxTx0),()(),(),

6、()(22 2 弦振動弦振動自由振動自由振動 特征值問題特征值問題方程方程LxttxyxxtxyxTx0),()(),()(220),(), 0(tLyty邊界條件邊界條件用分離變量法，設：用分離變量法，設：)()(),(tFxYtxy代入方程：代入方程：)(d)(d)()(d)(d)(dd22xYttFxtFxxYxTx兩邊同除以兩邊同除以Y (x) (x) F (t)22d)(d)(1d)(d)(dd)()(1ttFtFxxYxTxxYx上述方程兩邊分別依賴于變量上述方程兩邊分別依賴于變量x 和和 t ，因此兩邊都等于常數。設常數為，因此兩邊都等于常數。設常數為- w w 2：0)(d)(

7、d222tFttFwLxxYxxxYxTx0),()(d)(d)(dd2w 2 弦振動弦振動自由振動自由振動 特征值問題特征值問題0)(d)(d222tFttFw)()(d)(d)(dd2xYxxxYxTxw從關于時間的方程從關于時間的方程 從關于位置從關于位置x 的方程可以確定位移的形狀的方程可以確定位移的形狀Y (x) ，它必須在區(qū)間，它必須在區(qū)間0 xL 滿足方程及邊界條件滿足方程及邊界條件Y (0) =Y (L) = 0。解得解得 F (t)(cos)(wtCtF 上式為包含未知常數上式為包含未知常數w w 2的二階常微分齊次方程，非平凡解的二階常微分齊次方程，非平凡解Y (x)存在，

8、存在，且解中有兩個積分常數，而已知邊界條件只有兩個。且解中有兩個積分常數，而已知邊界條件只有兩個。 從方程可以看出，如果從方程可以看出，如果 Y (x)是偏微分方程的解，那么是偏微分方程的解，那么a a Y (x) （ a a是是任意常數）也是方程的解。任意常數）也是方程的解。 這意味著，求解滿足邊界條件的偏微分方程，就是要找到滿足方程這意味著，求解滿足邊界條件的偏微分方程，就是要找到滿足方程的未知常數的未知常數w w i 和對應的函數和對應的函數Y i (x) 。與離散系統(tǒng)對應，。與離散系統(tǒng)對應， w w i 2稱為特征值稱為特征值（即系統(tǒng)的固有圓頻率平方），而（即系統(tǒng)的固有圓頻率平方），而

9、Y i (x)稱為特征函數（稱為特征函數（ 主振型主振型）。）。 2 弦振動弦振動自由振動自由振動 特征值問題特征值問題 同樣地，與離散系統(tǒng)對應，若特征函數同樣地，與離散系統(tǒng)對應，若特征函數Y i (x) 經正則化處理，則它們經正則化處理，則它們關于質量密度和張力正交：關于質量密度和張力正交：), 2, 1,(d)()()(0jixxYxYxjijLi), 2, 1,(dd)(dd)(d)(20jixxxYxxYxTjiijLiw對初始擾動的響應對初始擾動的響應 與離散系統(tǒng)類似，利用正交的正則化特征函數集與離散系統(tǒng)類似，利用正交的正則化特征函數集Y i (x) （i = 1, 2, ）的線性組

10、合，可以表示連續(xù)系統(tǒng)在初始擾動下的響應。的線性組合，可以表示連續(xù)系統(tǒng)在初始擾動下的響應。1)()(),(iiitxYtxy 代入方程，兩邊左乘代入方程，兩邊左乘Y i (x)，并對整個區(qū)間，并對整個區(qū)間 0, L 積分，利用特征積分，利用特征函數的正交性：函數的正交性：),2, 1(0)()(2 ittiiiw解為解為),2, 1()(cos)(itCtiiiiw常數常數C i 和和 i 由初始條件得到。由初始條件得到。 2 弦振動弦振動自由振動自由振動例例 1 圖示均勻弦兩端固定，弦中的張力為常圖示均勻弦兩端固定，弦中的張力為常數，求解系統(tǒng)的特征值問題，畫出系統(tǒng)前四數，求解系統(tǒng)的特征值問題，

11、畫出系統(tǒng)前四個特征函數，并驗證正交性。個特征函數，并驗證正交性。解解 由題意，系統(tǒng)的由題意，系統(tǒng)的T 和和 為常數，因此系統(tǒng)滿足如下方程：為常數，因此系統(tǒng)滿足如下方程：LxxYxxY00)(d)(d222Tw22其中：其中：0)(, 0)0(LYY且有且有從方程可知從方程可知Y (x)是是x的簡諧函數，一般可寫的簡諧函數，一般可寫xBxAxYcossin)(由邊界條件由邊界條件Y (0) 0 可得可得B = 0, 則則xAxYsin)(由邊界條件由邊界條件Y (L) 0 可得可得0sin)(LALY由于由于A 不為零，必有不為零，必有0sinL特征方程特征方程特征值為特征值為), 2, 1(i

12、iLi或或), 2, 1(2iLTiTiiw), 2, 1(sin)(iLxiAxYii特征函數為特征函數為)(1xY)(2xY)(3xY)(4xY自由振動自由振動例例 1 圖示均勻弦兩端固定，弦中的張力為常圖示均勻弦兩端固定，弦中的張力為常數，求解系統(tǒng)的特征值問題，畫出系統(tǒng)前四數，求解系統(tǒng)的特征值問題，畫出系統(tǒng)前四個特征函數，并驗證正交性。個特征函數，并驗證正交性。), 2, 1(sin)(iLxiAxYii特征函數為特征函數為正交性驗證正交性驗證), 2, 1(12d2cos121dsin202022iLAxLxiAxLxiAiLiLi), 2, 1(sin2)(iLxiLxYi由正則化要

13、求由正則化要求正則化的特征函數正則化的特征函數自由振動自由振動例例 1 圖示均勻弦兩端固定，弦中的張力為常圖示均勻弦兩端固定，弦中的張力為常數，求解系統(tǒng)的特征值問題，畫出系統(tǒng)前四數，求解系統(tǒng)的特征值問題，畫出系統(tǒng)前四個特征函數，并驗證正交性。個特征函數，并驗證正交性。正交性驗證正交性驗證LjLixLxjLxiLxxYxY00dsinsin2d)()(三角函數積化和差三角函數積化和差LxLxjiLxjiL0dcoscos212)(1)(0sinsin0jijiLxjijiLxjijiL積分積分自由振動自由振動例例 1 圖示均勻弦兩端固定，弦中的張力為常圖示均勻弦兩端固定，弦中的張力為常數，求解系

14、統(tǒng)的特征值問題，畫出系統(tǒng)前四數，求解系統(tǒng)的特征值問題，畫出系統(tǒng)前四個特征函數，并驗證正交性。個特征函數，并驗證正交性。正交性驗證正交性驗證LjLixLxjLxiLjiTxxxYxxYT030dcoscos2dd)(dd)(d三角函數積化和差三角函數積化和差積分積分LLjixLxijixLxjiLxjiLjiT003)(d2cos121)(dcoscos212)()(0)(22)(sin1sin1230jijijiLLiTjiLxjijiLxjijiLjiTiLw), 2, 1(2iLTiTiiw 3 桿的縱向桿的縱向振動振動振動微分方程振動微分方程 從連續(xù)系統(tǒng)直接導出從連續(xù)系統(tǒng)直接導出 設長度

15、為設長度為L 、兩端固定的桿上受均布軸向、兩端固定的桿上受均布軸向力力f (x, t) ，桿上，桿上x處的軸向剛度與單位長度質量處的軸向剛度與單位長度質量分別為分別為E A (x) 和和m (x) 。 根據材料力學，任一瞬時作用在桿微段兩端根據材料力學，任一瞬時作用在桿微段兩端的軸向內力與軸向應變成正比的軸向內力與軸向應變成正比 取桿的微段取桿的微段dx，隔離體受力分析圖，隔離體受力分析圖或或LxttxuxmtxfxtxuxEAx0),()(),(),()(22xtxuxEAtxP),()(),( 根據牛頓定律，任一瞬時作用在桿微段上的軸向力與桿微段的加速度有如根據牛頓定律，任一瞬時作用在桿微

16、段上的軸向力與桿微段的加速度有如下關系下關系xttxuxmxtxfxxtxPd),()(d),(d),(22自由振動自由振動 特征值問題特征值問題方程方程LxttxuxmxtxuxEAx0),()(),()(220),(), 0(tLutu邊界條件邊界條件用分離變量法，設：用分離變量法，設：)()(),(tFxUtxu代入方程：代入方程：)(d)(d)()(d)(d)(dd22xUttFxmtFxxUxEAx兩邊同除以兩邊同除以U (x) m (x) F (t)22d)(d)(1d)(d)(dd)()(1ttFtFxxUxEAxxUxm上述方程兩邊分別依賴于變量上述方程兩邊分別依賴于變量x 和

17、和 t ，因此兩邊都等于常數。設常數為，因此兩邊都等于常數。設常數為- w w 2：0)(d)(d222tFttFwLxxUxmxxUxEAx0),()(d)(d)(dd2w自由振動自由振動 特征值問題特征值問題0)(d)(d222tFttFw)()(d)(d)(dd2xUxmxxUxEAxw從關于時間的方程從關于時間的方程 從關于位置從關于位置x 的方程可以確定位移的形狀的方程可以確定位移的形狀U (x) ，它必須在區(qū)間，它必須在區(qū)間0 xL 滿足方程及邊界條件滿足方程及邊界條件U (0) =U (L) = 0。解得解得 F (t)(cos)(wtctF)()(d)(d)(dd2xYxxxY

18、xTxw與弦振動的特征值問題作比較與弦振動的特征值問題作比較結論結論只要把弦振動特征值問題中的只要把弦振動特征值問題中的Y (x) 、T (x)和和 (x)換作換作U (x) 、EA (x) 和和m (x) 就得到桿作縱向振動的特征值問題表達式。就得到桿作縱向振動的特征值問題表達式。自由振動自由振動 特征值問題特征值問題例例 2 圖示均勻桿兩端固定，桿的拉伸剛度為常數，圖示均勻桿兩端固定，桿的拉伸剛度為常數，求解系統(tǒng)的特征值問題。求解系統(tǒng)的特征值問題。解解 由題意，系統(tǒng)的由題意，系統(tǒng)的EA 和和m為常數，因此系統(tǒng)滿足如下方程：為常數，因此系統(tǒng)滿足如下方程：LxxUxxU00)(d)(d222E

19、Am22w其中：其中：0)(, 0)0(LUU且有且有從方程可知從方程可知U (x)是是x的簡諧函數，一般可寫的簡諧函數，一般可寫xbxaxUcossin)(由邊界條件由邊界條件U (0) 0 可得可得b = 0, 則則xaxUsin)(由邊界條件由邊界條件U (L) 0 可得可得0sin)(LaLU由于由于a 不為零，必有不為零，必有0sinL特征方程特征方程特征值為特征值為), 2, 1(iiLi或或), 2, 1(2iLmEAimEAiiw), 2, 1(sin)(iLxiaxUii特征函數為特征函數為自由振動自由振動 特征值問題特征值問題例例 3 圖示均勻桿兩端自由，桿的拉伸剛度為常圖

20、示均勻桿兩端自由，桿的拉伸剛度為常數，求解系統(tǒng)的特征值問題。數，求解系統(tǒng)的特征值問題。解解 由題意，系統(tǒng)的由題意，系統(tǒng)的EA 和和m為常數，因此系統(tǒng)滿足如下方程：為常數，因此系統(tǒng)滿足如下方程：LxxUxxU00)(d)(d222EAm22w其中：其中：0)(dd, 0)0(ddLxUxU且有且有從方程可知從方程可知U (x)是是x的簡諧函數，一般可寫的簡諧函數，一般可寫xbxaxUcossin)(由由 x = 0 處的邊界條件處的邊界條件可得可得a = 0, 則則xbxUcos)(由由x = L 處的處的邊界條件可得邊界條件可得0sind)(dLbxLU由于由于b 不為零，必有不為零，必有0s

21、inL特征方程特征方程特征值為特征值為), 2, 1(iiLi或或), 2, 1(2iLmEAimEAiiw), 2, 1(cos)(iLxibxUii特征函數為特征函數為自由振動自由振動 特征值問題特征值問題例例 4 圖示一端固定，另一端自由均勻桿的拉伸剛圖示一端固定，另一端自由均勻桿的拉伸剛度為常數，求解系統(tǒng)的特征值問題。度為常數，求解系統(tǒng)的特征值問題。解解 由題意，系統(tǒng)的由題意，系統(tǒng)的EA 和和m為常數，因此系統(tǒng)滿足如下方程：為常數，因此系統(tǒng)滿足如下方程：LxxUxxU00)(d)(d222EAm22w其中：其中：0d)(d, 0)0(xLUU且有且有從方程可知從方程可知U (x)是是x

22、的簡諧函數，一般可寫的簡諧函數，一般可寫xbxaxUcossin)(由邊界條件由邊界條件U (0) 0 可得可得b = 0, 則則xaxUsin)(0cosd)(dLaxLU由于由于a 不為零，必有不為零，必有0cosL特征方程特征方程特征值為特征值為), 2, 1() 1iiLi或或), 2, 1(2) 12(2iLmEAimEAiiw), 2, 1(2) 12(sin)(iLxiaxUii特征函數為特征函數為由由x = L 處的處的邊界條件可得邊界條件可得自由振動自由振動 特征值問題特征值問題討論討論 作縱向振動桿的邊界狀況、頻率方程和振型函數作縱向振動桿的邊界狀況、頻率方程和振型函數邊界

23、狀況邊界狀況頻率頻率振型函數振型函數兩端固定兩端固定兩端自由兩端自由一端固定一端固定一端自由一端自由), 2, 1(2) 12(2iLmEAimEAiiw), 2, 1(2) 12(sin)(iLxiaxUii), 2, 1(2iLmEAimEAiiw), 2, 1(cos)(iLxibxUii), 2, 1(2iLmEAimEAiiw), 2, 1(sin)(iLxiaxUii自由振動自由振動 特征值問題特征值問題例例 5 設圖示推進軸系由長度為設圖示推進軸系由長度為L、單位長度質量為、單位長度質量為m、拉伸剛度為、拉伸剛度為EA的均勻桿和質量為的均勻桿和質量為M 的螺旋槳的螺旋槳組成，軸系

24、的一端由推力軸承固定，另一端自由。組成，軸系的一端由推力軸承固定，另一端自由。求解軸系作縱向振動時系統(tǒng)的特征值問題。求解軸系作縱向振動時系統(tǒng)的特征值問題。解解 由題意，系統(tǒng)的由題意，系統(tǒng)的EA 和和m為常數，因此系統(tǒng)滿足如下方程：為常數，因此系統(tǒng)滿足如下方程：LxxUxxU00)(d)(d222EAm22w其中：其中：LxLxttxuMxtxuEA22),(),(或或固定端的邊界條件不變，固定端的邊界條件不變， U (0) 0 ，而自由端有，而自由端有：LxLxttFxUMxxUtFEA22d)(d)(d)(d)(LxLxtFxUMxxUtFEA)(-)(d)(d)(2w代入代入0)(d)(d

25、222tFttFwLxLxxUEAMxxU)(d)(d2w整理得整理得自由振動自由振動 特征值問題特征值問題例例 5 設圖示推進軸系由長度為設圖示推進軸系由長度為L、單位長度質量、單位長度質量為為m、拉伸剛度為、拉伸剛度為EA的均勻桿和質量為的均勻桿和質量為M 的螺旋的螺旋槳組成，軸系的一端由推力軸承固定，另一端自槳組成，軸系的一端由推力軸承固定，另一端自由。求解軸系作縱向振動時系統(tǒng)的特征值問題。由。求解軸系作縱向振動時系統(tǒng)的特征值問題。對于上述超越方程，只要給定系統(tǒng)參數，就能得到系統(tǒng)的特征值對于上述超越方程，只要給定系統(tǒng)參數，就能得到系統(tǒng)的特征值w w i 。特征方程特征方程), 2, 1(

26、sin)(iLxaxUiii由邊界條件由邊界條件U (0) 0 可得可得b = 0, 則則xaxUsin)(從方程可知從方程可知U (x)是是x的簡諧函數，一般可寫的簡諧函數，一般可寫xbxaxUcossin)(LxLxxUEAMxxUU)(d)(d, 0)0(2w邊界條件邊界條件LaEAMLawsincos2由由x L 處的處的邊界條件得邊界條件得EAm22w或或MLmLLtanatan), 2, 1(imAELiiw特征函數為特征函數為U i 為為自由振動自由振動 特征值問題特征值問題討論討論 作縱向振動桿邊界條件的討論作縱向振動桿邊界條件的討論邊界狀況邊界狀況左端左端右端右端固定固定自由

27、自由帶有彈簧帶有彈簧kxtuEAtuk), 0(), 0(0), 0(xtu0), 0(tu0),(tLu帶有集中質量帶有集中質量MxtuEAttuM), 0(), 0(220),(xtLuxtLuEAtLuk),(),(xtLuEAttLuM),(),(22振動微分方程振動微分方程 從連續(xù)系統(tǒng)直接導出從連續(xù)系統(tǒng)直接導出 設長度為設長度為L 、一端固定一端自由的桿上受均、一端固定一端自由的桿上受均布外扭矩布外扭矩M (x, t)與軸的轉角與軸的轉角q q 同向，桿的扭轉剛同向，桿的扭轉剛度與單位長度轉動慣量分別為度與單位長度轉動慣量分別為G IP (x) 和和J (x) 。 根據材料力學，任一

28、瞬時作用在桿微段兩端根據材料力學，任一瞬時作用在桿微段兩端的扭轉內力矩之的扭轉內力矩之 和與軸的剪應變成正比和與軸的剪應變成正比 取桿的微段取桿的微段dx，隔離體受力分析圖，隔離體受力分析圖或或LxttxxJtxMxtxxGIx0),()(),(),()(22PqqxtxxGItxT),()(),(Pq 根據動量矩定律，任一瞬時作用在桿微段上的內外力矩與桿微段的角加根據動量矩定律，任一瞬時作用在桿微段上的內外力矩與桿微段的角加速度有如下關系速度有如下關系xttxxJxtxMxxtxTd),()(d),(d),(22q自由振動自由振動 特征值問題特征值問題方程方程LxttxxJxtxxGIx0)

29、,()(),()(22Pqq0),(, 0), 0(xtLtqq邊界條件邊界條件用分離變量法，設：用分離變量法，設：)()(),(tFxtxq代入方程：代入方程：)(d)(d)()(d)(d)(dd22PxttFxJtFxxxGIx兩邊同除以兩邊同除以 (x) J (x) F (t)22Pd)(d)(1d)(d)(dd)()(1ttFtFxxxGIxxxJ上述方程兩邊分別依賴于變量上述方程兩邊分別依賴于變量x 和和 t ，因此兩邊都等于常數。設常數為，因此兩邊都等于常數。設常數為- w w 2：0)(d)(d222tFttFwLxxxJxxxGIx0),()(d)(d)(dd2Pw自由振動自由

30、振動 特征值問題特征值問題0)(d)(d222tFttFw)()(d)(d)(dd2PxxJxxxGIxw從關于時間的方程從關于時間的方程 從關于位置從關于位置x 的方程可以確定位移的形狀的方程可以確定位移的形狀 (x) ，它必須在區(qū)間，它必須在區(qū)間0 xL 滿足方程及邊界條件。滿足方程及邊界條件。解得解得 F (t)(cos)(wtctF)()(d)(d)(dd2xYxxxYxTxw與弦振動的特征值問題作比較與弦振動的特征值問題作比較結論結論只要把弦振動特征值問題中的只要把弦振動特征值問題中的Y (x) 、T (x)和和 (x)換作換作 (x) 、GIP (x) 和和J (x) 就得到桿作縱

31、向振動的特征值問題表達式。就得到桿作縱向振動的特征值問題表達式。自由振動自由振動 特征值問題特征值問題例例 6 圖示一端固定，另一端自由均勻桿的扭轉剛圖示一端固定，另一端自由均勻桿的扭轉剛度為常數，求解系統(tǒng)的特征值問題。度為常數，求解系統(tǒng)的特征值問題。解解 由題意，系統(tǒng)的由題意，系統(tǒng)的GIP和和J為常數，因此系統(tǒng)滿足如下方程：為常數，因此系統(tǒng)滿足如下方程：Lxxxx00)(d)(d222P22GIJw其中：其中：0d)(d, 0)0(xL且有且有從方程可知從方程可知 (x)是是x的簡諧函數，一般可寫的簡諧函數，一般可寫xbxaxcossin)(由邊界條件由邊界條件 (0) 0 可得可得b =

32、0, 則則xaxsin)(0cosd)(dLaxL由于由于a 不為零，必有不為零，必有0cosL特征方程特征方程特征值為特征值為), 2, 1() 1iiLi或或), 2, 1(2) 12(2PPiLJGIiJGIiiw), 2, 1(2) 12(sin)(iLxiaxii特征函數為特征函數為由由x = L 處的處的邊界條件可得邊界條件可得自由振動自由振動 特征值問題特征值問題例例 7 設圖示軸系由長度為設圖示軸系由長度為L、單位長度轉動慣量為、單位長度轉動慣量為J、扭轉剛度為、扭轉剛度為GIP的均勻桿和轉動慣量為的均勻桿和轉動慣量為J1和和J1的的剛性薄圓盤組成，整個軸系在扭轉角方向無約束。剛性薄圓盤組成，整個軸系在扭轉角方向無約束。求解軸系作扭轉振動時系統(tǒng)的特征值問題。求解軸系作扭轉振動時系統(tǒng)的特征值問題。解解 由題意，系統(tǒng)的由題意，系統(tǒng)的GIP和和J為常數，因此系統(tǒng)滿足如下方程：為常數，因此系統(tǒng)滿足如下方程：Lxxxx00)(d)(d222pIGJ22w其中：其中：LxLxttxJxtxGI222P),(),(qq或或兩邊的邊界條件為：兩邊的邊界條