精品初中數(shù)學(xué)競賽專題講解最短路徑問題(最全資料)

1、初中數(shù)學(xué)競賽專題講解最短路徑問題【問題概述】 最短路徑問題是圖論研究中的一個經(jīng)典算法問題，旨在尋找圖由結(jié)點和路徑組成的中兩結(jié)點之間的最短路徑算法具體的形式包括： 確定起點的最短路徑問題 -即起始結(jié)點，求最短路徑的問題. 確定終點的最短路徑問題 -與確定起點的問題相反，該問題是終結(jié)結(jié)點，求最短路徑的問題. 確定起點終點的最短路徑問題-即起點和終點，求兩結(jié)點之間的最短路徑. 全局最短路徑問題 -求圖中所有的最短路徑.【問題原型】“將軍飲馬，“造橋選址，“費馬點.【涉及知識】“兩點之間線段最短，“垂線段最短，“三角形三邊關(guān)系，“軸對稱，“平移 【出題背景】 角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圓、

2、坐標(biāo)軸、拋物線等.【解題思路】 找對稱點實現(xiàn)“折轉(zhuǎn)“直，近兩年出現(xiàn)“三折線轉(zhuǎn)“直等變式問題考查.【十二個根本問題】【問題1】作法圖形原理AAl連AB,與丨交點即為P.><Pl兩點之間線段最短. lbXFA + PB最小值為AB.在直線丨上求一點 P，使BPA+PB值最小.【問題2】“將軍飲馬作法圖形原理AABl作B關(guān)于丨的對稱點B/兩點之間線段最短.連A B /,與丨交點即為P .lPA+PB最小值為A B，.在直線丨上求一點 P，使PB'PA+PB值最小.【問題3】作法圖形原理liP'll/-/ 1/分別作點 P關(guān)于兩直線/兩點之間線段最短./P的對稱點P /和P

3、 ，連P /Zl/PPM +MN + PN的最小值為l2P與兩直線交點即為M ,z_vLl線段PP，的長.在直線11、l2上分別求點N.上！l2N ，:M、N,使厶PMN的周長最p"小.【問題4】作法圖形原理liQ' / *分別作點Q、P關(guān)于直/ Q/*P兩點之間線段最短.Zl線li、I2的對稱點Q，和Zp四邊形PQMN周長的最小l2P/連Q/巴 與兩直線交點Zl2值為線段PP/的長.在直線li、12上分別求點即為M , N .N :M、N,使四邊形PQMN的P'周長取小.【問題5】“造橋選址作法圖形原理AM1m將點A向下平移MN的長AS、1nA'*,M兩點之

4、間線段最短.N度單位得A /,連A/B,交nBmAM +MN + BN的最小值為于點N，過N作NM丄mn直線m / n，在m、n ,上AB+MN.于M .B分別求點M、N，使MN丄m ,且AM+MN+BN的值最小.【問題6】作法圖形原理AAA'B將點A向右平移a個長度 單位得A/,作A，關(guān)于1兩點之間線段最短.M a Nyl的對稱點A ，連A B，交M ： NAM +MN + BN的最小值為在直線1上求兩點M、NM直線1于點N，將N點向-,8 0AB+MN .在左，使MN a，并使左平移a個單位得M .A"AM + MN + NB的值最小.【問題7】作法圖形原理li/P.li

5、 /P作點P關(guān)于11的對稱點/j>P點到直線，垂線段最短./ |p/,作PB丄丨2于B,交丨2PA+AB的最小值為線段 P12于A.B的長.在11上求點A，在l2上求點Bl2B，使PA+AB值最小.【問題8】作法圖形原理B' a F.a i'1: - l2作點A關(guān)于12的對稱點 /h liMBA，作點B關(guān)于li的對兩點之間線段最短.%工稱點B /連A，B，交a于AM +MN + NB 的最小值為 線段A，B，的長.A為li上一定點，B為l2上疋點，在12上求點 M，M,交li于N .jMB l2在li上求點 N，A'使AM + MN + NB的值最小.【問題9】作

6、法圖形原理A.A,垂直平分上的點到線段兩+B連AB,作AB的中垂線與 直線l的交點即為P .*B端點的距離相等. 11 1:P|pa pb| = o.在直線l上求一點 P，使pA PB|的值最小.【問題10】作法圖形原理AA三角形任意兩邊之差小于B l作直線AB,與直線l的交 點即為P.7一 i第三邊.PA PB< AB .在直線丨上求一點P，使PPA PB的最大值=AB .pA PB的值最大.【問題11】作法圖形原理AA三角形任意兩邊之差小于 l作B關(guān)于l的對稱點B / 作直線A B/,與l交點即為P.B'*B:r- i第三邊.PA PB< AB /.在直線丨上求一點P，

7、使 PBPA PB最大值=ABZ.pA PB的值最大.【問題12】“費馬點作法圖形原理A所求點為“費馬點，即滿DN-./足/ APB = Z BPC = Z厶2APC = 120 ° 以 AB、ACiAExE兩點之間線段最短B C為邊向外作等邊厶ABD、 ACE，連 CD、BE 相交PA+PB+PC最小值=CD . ABC中每一內(nèi)角都小于BC120 °,在厶ABC內(nèi)求一點 P，使FA+PB + PC值最小.于P，點P即為所求.、根底過關(guān)1. 如下列圖，是一個圓柱體，底面周長為10,高為6, 只螞蟻要從外壁的 A處到內(nèi)壁的B處吃一食物，求螞蟻所走的最短程2. 如右圖是一個長方

8、體木塊， AB 3,BC 4,CD 2，假設(shè)一只螞蟻在點 A處，它要沿著木塊側(cè)面爬到點D處，那么螞蟻爬行的最短路徑是 。3. 正方形ABCD的邊長為8，M在DC上，且DM 2，N是AC上的一動點， DN MN的最小值為。4. 在菱形ABCD中，AB 2， BAD 60°，點E是AB的中點，P是對角線AC上的一個動點，那么 PE PB的最小值為5. 如圖，在 ABC中，AC BC 2， ACB 90°，D是BC邊的中點，E是AB邊上一動點，那么EC ED的最小值為 6. AB是。O的直徑,第2題D'B圖AB 2 , OC是OO的半徑，OC AB，點D在AC上,等分點，

9、點P是半徑OC上的一個動點，那么 AP PD的最小值為 7. 如圖，點P關(guān)于OA 0B的對稱點分別為 C、D,連接CD交0A于M交0B于N,假設(shè)CD= 18cm，那么PMN勺周長為8. 如圖，/ AOB= 30°,點 M N分別在邊 OA OB上，且 OM= 1, ON= 3，點P、Q分別在邊 OB OA上，貝UM邱P3 QN的最小值是9.如圖，在銳角厶 ABC中, AB= 4 2，/ BAC= 45°,/ BAC的平分線交 BC于點D, M N分別是 AD和AB上的動點，貝U BM+MN勺最小值是C圖第7題二、例題講解例1:：直線1與y軸交于A,與x軸交于D,拋物線ybx

10、 c與直線交于A、E兩點，與x軸交于B C兩點，且B點坐標(biāo)為 1, 0.1求拋物線的解析式；2動點P在x軸上移動，當(dāng) PAE是直角三角形且以 P為直角頂點時，求點 P的坐標(biāo). 3在拋物線的對稱軸上找一點M使|AM MC |的值最大，求出點 M的坐標(biāo).例2：如圖，拋物線y ax2bx c的頂點P的坐標(biāo)為1,4.33，交x軸于A、B兩點，交y軸于點Co,3 1求拋物線的表達(dá)式.2把厶ABC繞AB的中點E旋轉(zhuǎn)180°，得到四邊形 ADBC 判斷四邊形ADBC勺形狀，并說明理由.3試問在線段 AC上是否存在一點 F,使得 FBD的周長最小, 假設(shè)存在，請寫出點 F的坐標(biāo)；假設(shè)不存在，請說明理

11、由.例3:如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形軸上，OA=3 OB=4 D為邊OB的中點.1點D的坐標(biāo)為;2假設(shè)E為邊OA上的一個動點，當(dāng)OACB的頂點O在坐標(biāo)原點，頂點 A、B分別在x軸、y軸的正半CDE的周長最小時，求點 E的坐標(biāo).例4:如圖，在直角坐標(biāo)系中有四個點，A(-8,3),B(-4,5)C(0n),D(m,0),當(dāng)四邊形ABCD周長最短時，求m。n例5 :有一圓形油罐底面圓的周長為24m高為6m 一只老鼠從距底面 1m的A處爬行到對角B處吃食物,它爬行的最短路線長為多少？練習(xí)1 :桌上有一個圓柱形玻璃杯無蓋，高為12厘米，底面周長18厘米，在杯口內(nèi)壁離杯口 3厘米的 A處有一滴蜜糖，一

12、只小蟲從桌上爬至杯子外壁，當(dāng)它正好爬至蜜糖相對方向離桌面3厘米的B處時，突然發(fā)現(xiàn)了蜜糖。問小蟲至少爬多少厘米才能到達(dá)蜜糖所在的位置。練習(xí)2 :如圖，在一個長為 2米，寬為1米的矩形草地上，如圖堆放著一根長方體的木塊，它的棱長和場地寬AD平行且AD木塊的正視圖是邊長為 0.2米的正方形，一只螞蟻從點A處，到達(dá)C處需要走的最短路程是米.精確到0.01米練習(xí)3 :如圖，一只螞蟻從實心長方體的頂點A出發(fā)，沿長方體的外表爬到對角頂點C處三條棱長如下圖，問怎樣走路線最短？最短路線長為多少？1.占八、A.2.3 B. 2.6 C. 3D. . 6如圖，在邊長為 2的菱形ABCDK/ ABC= 60°

13、;,假設(shè)將 ACD繞點A旋轉(zhuǎn)，當(dāng)AC、AD分別與BC 尸，那么厶CEF的周長的最小值為2.CD交于點EA.C.D. 4四邊形ABCDL/ B=/ / AMN/ ANM勺度數(shù)為A. 120°B . 1303.4.如圖，三角形厶ABC中, ZD= 90°,/ C= 70°,在BC CD上分別找一點 M汕使厶AMN勺周長最小時, OC平分/ AOB點M在OC的延長線上，點 N為邊OA上的點，貝y MAF MN的最小值是三、課后提升如下列圖，正方形 ABCD勺面積為12, ABE是等邊三角形，點 E在正方形 ABCD，在對角線 AC上有 P,使Pt+PE的和最小，那么這個

14、最小值為5A 2, 4、B4, 2. C在y軸上，D在x軸上，那么四邊形 此時C、D兩點的坐標(biāo)分別為 ABCD勺周長最小值為y*一 B6. A 1, 1、B4, 2.1P為x軸上一動點，求 PA+PB的最小值和此時 P點的坐標(biāo);ylA*BaOx2P為x軸上一動點，求 PA PB的值最大時P點的坐標(biāo);y*A3CD為x軸上一條動線段，D在C點右邊且CD= 1,求當(dāng)A&CD-DB的最小值和此時 C點的坐標(biāo);yA/ /B /OC Dx7.點 C 為/ AOB 點.1在OA求作點D, OB上求作點 己，使厶CDE勺周長最小，請畫出圖形；2在1的條件下，假設(shè)/ AOB= 30°, OC= 10，求 CDE周長的最小值和此時/ DCE勺度數(shù).8.