推廣的F-展開法在求解BBM方程精確解中的應(yīng)用

1、-2021年度本科生畢業(yè)論文設(shè)計推廣的F-展開法在求解BBM方程準(zhǔn)確解中的應(yīng)用院 系： 數(shù)學(xué)學(xué)院專 業(yè)： 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)年 級： 2021級 學(xué)生： 唐榮貴 學(xué) 號： 5 導(dǎo)師及職稱： 紹林副教授 2021年6月 2021Annual Graduation Thesis (Project) of the College UndergraduateThe application ofF-e*pansion method for solving the e*act traveling wave solutions of BBM equationDepartment: College of Math

2、ematicsMajor:Mathematics and Applied MathematicsGrade: 2021Students Name: Tang RongguiStudent No.:5Tutor:Li Shaolin( Associate Professor )June, 2021畢業(yè)論文設(shè)計原創(chuàng)性聲明本人所呈交的畢業(yè)論文設(shè)計是我在導(dǎo)師的指導(dǎo)下進(jìn)展的研究工作及取得的研究成果。據(jù)我所知，除文中已經(jīng)注明引用的容外，本論文設(shè)計不包含其他個人已經(jīng)發(fā)表或撰寫過的研究成果。對本論文設(shè)計的研究做出重要奉獻(xiàn)的個人和集體，均已在文中作了明確說明并表示意。 作者簽名： 日期：畢業(yè)論文設(shè)計授權(quán)使用說明

3、本論文設(shè)計作者完全了解紅河學(xué)院有關(guān)保存、使用畢業(yè)論文設(shè)計的規(guī)定，學(xué)校有權(quán)保存論文設(shè)計并向相關(guān)部門送交論文設(shè)計的電子版和紙質(zhì)版。有權(quán)將論文設(shè)計用于非贏利目的的少量復(fù)制并允許論文設(shè)計進(jìn)入學(xué)校圖書館被查閱。學(xué)?？梢怨颊撐脑O(shè)計的全部或局部容。的論文設(shè)計在解密后適用本規(guī)定。 作者簽名： 指導(dǎo)教師簽名：日期： 日期：唐榮貴 畢業(yè)論文設(shè)計辯論委員會(辯論小組)成員職稱單位備注芮偉國教授紅河學(xué)院數(shù)學(xué)學(xué)院組長紹林副教授紅河學(xué)院數(shù)學(xué)學(xué)院何振華副教授紅河學(xué)院數(shù)學(xué)學(xué)院林 羽講師紅河學(xué)院數(shù)學(xué)學(xué)院. z-摘要本文利用推廣的F展開法，通過引入三個輔助方程對BBM方程進(jìn)展了研究，得到方程的一些準(zhǔn)確行波解.這些準(zhǔn)確解的類型主

4、要包括：有理函數(shù)，三角函數(shù)，指數(shù)函數(shù)，Jacobi橢圓函數(shù)，雙曲函數(shù)和Weierstrass橢圓函數(shù)六種類型.為了解這些準(zhǔn)確解的性質(zhì)，利用數(shù)學(xué)軟件Mathematica對局部準(zhǔn)確解進(jìn)展圖象模擬.關(guān)鍵詞：BBM方程；推廣的F展開法；輔助方程；準(zhǔn)確解. z-ABSTRACT Using e*tend F-e*pansion method and introducing three au*iliary equations,the nonlinear partial differential BBM equation is studied,some e*act traveling wave solut

5、ions are obtained.According to function types,these e*act solutions are classified as the following si* types:the rational type,triangular type,e*ponential type,Jacobi elliptic type,hyperbolic type and Weierstrass elliptic type.Understanding the properties of the e*act traveling wave solution,the im

6、ages of some e*act solutions are simulated by the mathematical software- Mathematica.Keyword:BBMequation;E*tend F-e*pansion method;Au*iliary equation;E*act solution. z-目錄第一章引言1第二章預(yù)備知識32.1 預(yù)備知識一32.2 預(yù)備知識二52.3 預(yù)備知識三6第三章 BBM方程的準(zhǔn)確行波解83.1 結(jié)合輔助方程2.1求解BBM方程的準(zhǔn)確行波解83.2結(jié)合輔助方程2.2求解BBM方程的準(zhǔn)確行波解123.3 結(jié)合輔助方程2.3求解B

7、BM方程的準(zhǔn)確行波解143.4 圖象模擬16第四章小結(jié)18參考文獻(xiàn)19致21. z-第一章 引言一個系統(tǒng)，如果輸出與輸入不成正比，則它是非線性的，在實(shí)際現(xiàn)象中，彈簧受力伸長產(chǎn)生位移，當(dāng)位移較小時，力與位移成正比，力與位移的關(guān)系為線性關(guān)系，即Hooke定律，當(dāng)位移很大時，Hooke定律失效，彈簧變?yōu)榉蔷€性振子；又如一個介電晶體，當(dāng)輸入光強(qiáng)不再與輸出光強(qiáng)成正比時，都是非線性的.眾所周知，自然科學(xué)或社會科學(xué)幾乎所有的系統(tǒng)，當(dāng)輸入較大時，都是非線性的.因此，非線性系統(tǒng)遠(yuǎn)比線性系統(tǒng)多得多.可以說，客觀世界本來就是非線性的，線性只是一種近似.描述這些非線性系統(tǒng)行為的方式就是非線性微分方程，非線性方程很多，

8、如非線性常微分方程組，非線性偏微分方程組，函數(shù)方程與差分方程(組)等. 非線性偏微分方程是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的一個重要分支，無論在理論中還是在實(shí)際應(yīng)用中，非線性偏微分方程均被用來描述力學(xué)、控制過程、生態(tài)與經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)、化工循環(huán)系統(tǒng)及流行病學(xué)等領(lǐng)域的問題.利用非線性偏微分方程描述上述問題并充分考慮到空間、時間等因素的影響，因而更能準(zhǔn)確的反映實(shí)際.20世紀(jì)60年代以來，非線性科學(xué)得到了飛速的開展，在非線性偏微分方程中一方面研究偏微分方程解的存在性1，準(zhǔn)確解2，穩(wěn)定性3，唯一性4等；另一方面研究非線性偏微分方程的求解方法，探索解的不同構(gòu)造與演化規(guī)律是非線性研究中的重要容.在此期間專家學(xué)者在求解非線性開展方程的準(zhǔn)確

9、解方面做了大量而有效的工作，構(gòu)造了很多有效的求解方法，如指數(shù)展開法5-6，Jacobi橢圓函數(shù)展開法7-8，Hirota 方法9,齊次平衡法10-11，F(xiàn)展開法11-13等. 但由于非線性方程的復(fù)雜性，這些方法都只適用*些類型的方程，沒有一種方法能求解普遍的非線性偏微分方程，所以尋找更加行之有效的解法 ，成為人們關(guān)注的熱點(diǎn)問題.本文將研究如下的非線性偏微分方程，即Benjamin- Bona-Mahony方程14簡稱為BBM方程.該方程由Benjamin，Bona和Mahony于1972年研究非線性水波時建立的,他們的研究結(jié)果說明KdV方程作為流體中長波單向傳播模型方程的缺點(diǎn),進(jìn)而提出了另一.

10、 z-個更適宜的非線性色散介質(zhì)中長波單向傳播的模型方程BBM方程15.對于BBM方程的研究，據(jù)查閱文獻(xiàn)，王明亮16通過給出Lagrange密度函數(shù),由變分原理引出了BBM方程,解析地研究了該方程的孤立波解及其互相作用.尚亞東，鈕鵬程17用行波方法研究了BBM方程,求出了方程的一些準(zhǔn)確孤立波解.黃正洪，夏莉18利用橢圓函數(shù)積分法求出了BBM方程的橢圓余弦波解等準(zhǔn)確解.尚亞東19研究了一類廣義BBM方程的根本守恒律.在文獻(xiàn)20，21和22的根底上，我們應(yīng)用推廣的F-展開法結(jié)合三個輔助方程來求解BBM方程.接下來的容里，我們作如下安排，在第二章中介紹本文需要用到的三個輔助方程及輔助方程解的情況；在第

11、三章中具體利用推廣F-展開法并結(jié)合三個輔助方程對BBM方程進(jìn)展求解，借助于數(shù)學(xué)軟件Mathematica對方程的局部行波解的圖像進(jìn)展模擬；最后對我們所做的工作做了小結(jié)，并提出了一些可以進(jìn)一步深入研究的方面. z-第二章 預(yù)備知識在本章中，我們介紹一下在論文中所需要的三個輔助方程20-22，2.1， 2.2，2.3其中，.2.1預(yù)備知識一文獻(xiàn)20中，當(dāng)，取不同的值時，2.1具有如下解： 1當(dāng)時，2.1有雙曲函數(shù)解，三角函數(shù)解和有理函數(shù)解:，,. 2.4 ，,. 2.5，,. 2.62當(dāng)，時，2.1有雙曲函數(shù)解，三角函數(shù)解和有理函數(shù)解:，,. 2.7，,. 2.8，,. 2.93當(dāng)時，2.1有三種

12、Jacobi橢圓函數(shù)：，. 2.10. z-，. 2.11 ，. 2.12其中是Jacobi橢圓函數(shù)2.10、2.11、2.12的模，且Jacobi橢圓函數(shù)有下面的關(guān)系：，.當(dāng)時，.當(dāng)時，.4當(dāng)時，2.1有雙曲函數(shù)解，三角函數(shù)周期解和有理函數(shù)解：，. 2.13，. 2.14，. 2.155當(dāng)，時，2.1有Weierstrass 橢圓函數(shù)解：，. 2.166當(dāng)時，2.1具有如下解：，. 2.17，. 2.187當(dāng)時，2.1具有如下有理函數(shù)和指數(shù)函數(shù)解：. z-，. 2.19，. 2.208當(dāng)時，2.1具有如下指數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)、雙曲函數(shù)解：，. 2.21，. 2.22，. 2.23，. 2.24

13、，. 2.259當(dāng)，時，2.1具有如下形式的解：，.2.26，. 2.27，. 2.282.2預(yù)備知識二據(jù)文獻(xiàn)21，輔助方程2.2式的解有以下幾種情況：1當(dāng)，時，. 2.292當(dāng)，時，. z-. 2.303當(dāng)，時， ，或.2.314當(dāng)，時，或. 2.325當(dāng)，時，或. 2.336當(dāng)，時，或. 2.347當(dāng)，時，. 2.368當(dāng)，時，. 2.379當(dāng)，時，. 2.382.3預(yù)備知識三據(jù)文獻(xiàn)22，輔助方程2.3的準(zhǔn)確行波解有如下五種情況：1當(dāng)，時，. 2.392當(dāng)，時，. 2.403當(dāng)，時，. z-. 2.414當(dāng)，時，. 2.425當(dāng)時，. 2.43. z-第三章 BBM方程的準(zhǔn)確行波解3.1

14、結(jié)合輔助方程2.1求解BBM方程的準(zhǔn)確行波解考慮如下BBM方程，3.1其中，為任意常數(shù).引入行波變換，令，則方程3.1可以轉(zhuǎn)換為，3.2)其中，為常數(shù)，表示行波的波速.假設(shè)3.2的解為， 3.3其中，且滿足如下的輔助方程，3.4其中和都為待定的正整數(shù).根據(jù)齊次平衡法，平衡3.2中最高階非線性項與最高階線性項，得.取定不同的，由上式即可確定相應(yīng)的取值.結(jié)合預(yù)備知識一，特別地取，相應(yīng)地，則3.3可化為， 3.53.4可化為. 3.6把3.5和3.6代入3.2，將3.2轉(zhuǎn)化為關(guān)于的多項式，令的各次冪系數(shù)為零，得到如下的方程組：. z- 3.7求解3.7，得到如下三組解：3.8 3.9 3.101把3

15、.8代入3.5得. 3.11根據(jù)3.8和3.11，為得到BBM方程3.1的非常數(shù)解，輔助方程2.1的參數(shù)須滿足如下：，為任意非零常數(shù).由，可知，.由2.28可知，方程3.1有如下準(zhǔn)確行波解：， 3.12其中.2把3.9代入3.5得. z-. 3.13根據(jù)3.9和3.12，為得到3.1的非常數(shù)解，輔助方程2.1的參數(shù)滿足如下：，為任意非零常數(shù)，為任意常數(shù).由2.4、2.5、2.6可知，方程3.1有如下雙曲函數(shù)解，三角函數(shù)和有理數(shù)解：, 3.14其中,., 3.15其中,., 3.16其中,.根據(jù)3.9和3.13，為得到3.1的非常數(shù)解，輔助方程2.1的參數(shù)滿足如下：，為任意非零常數(shù)，為任意常數(shù).

16、由2.7、2.8、2.9可知，方程3.1有如下雙曲函數(shù)解，三角函數(shù)和有理函數(shù)解：， 3.17其中，.， 3.18其中，.， 3.19其中，.根據(jù)3.9和3.13，為得到3.1的非常數(shù)解，輔助方程2.1的參數(shù)滿足如下：. z-，為任意非零常數(shù).由2.10、2.11、2.12可知，方程3.1具有三種Jacobi橢圓函數(shù)解：， 3.20其中，. ， 3.21其中，.， 3.22其中，. 當(dāng)時，3.20退化為雙曲函數(shù)解3.14，3.21退化為雙曲函數(shù)解3.17.當(dāng)時，3.20和3.22退化為常數(shù)解，3.21退化為，. 3.233把3.10代入3.5得. 3.24根據(jù)3.10和3.24，為得到3.1的非

17、常數(shù)解，輔助方程2.1的參數(shù)滿足如下：，為任意非零常數(shù)，為任意常數(shù).由2.13、2.14、2.15可知，方程3.1具有如下解：，. 3.25，. 3.26. 3.27. z-根據(jù)3.10和3.24，為得到3.1的非常數(shù)解，輔助方程2.1的參數(shù)滿足如下：，為任意非零常數(shù)，為任意常數(shù).由2.16可知，方程3.1具有Weierstrass橢圓函數(shù)解，3.28其中，. 3.2結(jié)合輔助方程2.2求解BBM方程的準(zhǔn)確行波解假設(shè)3.2的解為， 3.29其中，且滿足如下的輔助方程， 3.30其中的和都為正整數(shù).根據(jù)齊次平衡法，平衡3.2中最高階非線性項與最高階線性項，得.取定不同的，由上式即可確定相應(yīng)的取值.

18、結(jié)合預(yù)備知識二，特別地取，相應(yīng)地，則3.29可化為， 3.313.30式可化為. 3.32把3.31和3.32代入3.2，將3.2轉(zhuǎn)化為關(guān)于的多項式，令的各次冪系數(shù)為零，得到如下的方程組： 3.33. z-求解3.33，得到如下解：3.34 把3.34代入3.31得.3.35結(jié)合3.34、3.35和2.29-2.38可知，方程3.1具有如下的準(zhǔn)確解：1當(dāng)，時，.3.362當(dāng)，時，.3.373當(dāng)，時， ，3.38. 3.394當(dāng)，時，3.40. 3.415當(dāng)，時，3.42. 3.436當(dāng)，時， 3.44. 3.45. z-7當(dāng)，時，. 3.468當(dāng)，時，. 3.479當(dāng)，時，. 3.483.3

19、結(jié)合輔助方程2.3求解BBM方程的準(zhǔn)確行波解假設(shè)3.2的解為， 3.49其中，且滿足如下的輔助方程. 3.50其中和都為待定的正整數(shù).根據(jù)齊次平衡法，平衡3.2中最高階非線性項與最高階線性項，得.取定不同的，由上式即可確定相應(yīng)的取值.結(jié)合預(yù)備知識三，特別地取，相應(yīng)地，考慮到計算時的方便，取，則3.49式化為 ， 3.513.50可化為. 3.52把3.51和3.52代入3.2，將3.2轉(zhuǎn)化為關(guān)于的多項式，令的各次冪系數(shù)為零，得到如下的方程組. z-3.53求解3.51，得到如下解： 3.54把3.54代入3.2得. 3.55結(jié)合3.54、3.55和2.39-2.43可知，方程3.1具有如下的準(zhǔn)

20、確解：1當(dāng)，時，3.56其中.2當(dāng)，時，. 3.573當(dāng)，時，. 3.584當(dāng)，時，. 3.595當(dāng)時， 3.60其中. z-3.4圖象模擬為理解這些準(zhǔn)確行波解的函數(shù)性質(zhì)，我們選取局部準(zhǔn)確解，利用數(shù)學(xué)軟件Mathematica對它們進(jìn)展了圖像的模擬.在圖像模擬的過程中，我們選取如下參數(shù)的取值:圖3-1 中的參數(shù)取為，,.圖3-2到圖3-4中的參取為，.在圖3-5至圖3-8中的參數(shù)取為，.圖3-9中的參數(shù)取為，.圖3-10中取參數(shù)為，.圖3-1 的三維波形圖 圖3-2 的三維波形圖圖3-4 的三維波形圖 圖3-4 的三維波形圖. z-圖3-5的三維波形圖 圖3-6的三維波形圖圖3-7 的三維波形

21、圖 圖3-8的三維波形圖圖3-10的三維波形圖 圖2-11 的三維波形圖. z-第四章 小結(jié)本文利用推廣的F展開法，并結(jié)合以下的三個輔助方程，,得到了BBM方程的33個解.其中有11個雙曲函數(shù)解，11個三角函數(shù)解，6個有理數(shù)解，3個Jacobi橢圓函數(shù)解，1個指數(shù)函數(shù)解，1個Weierstrass 橢圓函數(shù)解.通過對局部準(zhǔn)確行波解所進(jìn)展的圖像模擬，以便于我們進(jìn)一步了解這些行波解的函數(shù)性質(zhì).在本文中，我們認(rèn)為可在以下方面進(jìn)展擴(kuò)展：1擴(kuò)展方程所設(shè)的解3.2為.2輔助方程2.1，2.2，2.3進(jìn)一步擴(kuò)展為，其中，其中，其中，.據(jù)查文獻(xiàn)，上述輔助方程的研究結(jié)果較少，因此，這是一個值得繼續(xù)深入研究的問題

22、.由文中的求解過程不難發(fā)現(xiàn)，輔助方程的形式在求解過程中至關(guān)重要.因此，我們打算把其它方法如指數(shù)函數(shù)法，方法等用于考上述輔助方程的擴(kuò)展形式上，期望得到它們的更多解，以進(jìn)一步豐富F展開法的容. z-參考文獻(xiàn)1 王*,許又軍.一類P-Laplace方程正解的存在性J.數(shù)學(xué)理論與應(yīng)用2007, 27(3):65-69.2 志斌，假設(shè)俠.非線性耦合微分方程組的準(zhǔn)確解析解J.物理學(xué)報，2001，50(11):2062-2066.3從福仲,通.廣義Hamilton系統(tǒng)的有效穩(wěn)定性J.中國科學(xué):A輯，2004，34(4):407-417.4 王定江,非線性年齡構(gòu)造種群開展方程解的存在唯一性J.生物數(shù)學(xué)學(xué)報，1

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