高考數(shù)學(xué)指導(dǎo)：點(diǎn)擊線性規(guī)劃問題中的參數(shù)

1、高考數(shù)學(xué)指導(dǎo)：點(diǎn)擊線性規(guī)劃問題中的參數(shù)一、目標(biāo)函數(shù)中的參數(shù)1.目標(biāo)函數(shù)中y的系數(shù)為參數(shù)例1已知平面區(qū)域D由以A(1,3),B(5,2),C(3,1)為頂點(diǎn)的三角形內(nèi)部和邊界組成。若在區(qū)域D上有無(wú)窮多個(gè)點(diǎn)(x,y)可使目標(biāo)函數(shù)z=x+my取得最小值，則mA.2解：依題意，令z=0,可得直線x+my=0的斜率為工，結(jié)合可行域可知當(dāng)直線x+mym=0與直線AC平行時(shí)，線段AC上的任意一點(diǎn)都可使目標(biāo)函數(shù)z=x+my取得最小值，而直線AC的斜率為1,所以m=1,選C點(diǎn)評(píng)：首先應(yīng)根據(jù)圖形特征確定最優(yōu)解怎樣才是無(wú)窮個(gè)，其次考慮最小值可能在何處取道。2.目標(biāo)函數(shù)中x的系數(shù)為參數(shù)例2已知變量x,y滿足約束條件1

2、<x+y<4,-2<x-y<2.若目標(biāo)函數(shù)z=ax+y(其中a>0)僅在點(diǎn)(3,1)處取得最大值，則a的取值范圍為.解析：變量x,y滿足約束條件1xy4,2xy2.在坐標(biāo)系中畫出可行域，如圖為四邊形ABCD其中A(3kAD1«ab1,目標(biāo)函數(shù)zaxy（其中a0）z表示斜率為一a的直線系中的截距的大小,若僅在點(diǎn)處取得最大值，則斜率應(yīng)小于1,a的取值范圍為(1,+8)。點(diǎn)評(píng)：根據(jù)圖形特征要確定怎樣才能保證僅在點(diǎn)(3,1)出去的最大值。3.目標(biāo)函數(shù)中的x、y的系數(shù)均含參數(shù)x3y4例3已知約束條件x2y13xy800且目標(biāo)函數(shù)只有(2,2),則a的取值范圍是(2

3、_2zax(a2a)y取得最小值的最優(yōu)解分析：根據(jù)條件可作出可行域，根據(jù)圖形確定最小值在何處取到，且最優(yōu)解唯一。2解析：目標(biāo)函數(shù)za2x（a2a2）y的斜率2a0aa2由題意知使目標(biāo)函數(shù)取得最小值的最優(yōu)解只有個(gè)，a2為（2,2）,故有0-vaa2a21174點(diǎn)評(píng)：最優(yōu)解只有一個(gè)，意味著目標(biāo)函數(shù)所對(duì)應(yīng)的斜率介于兩條線的斜率之間。練習(xí)1:已知變量x , y滿足約束條件x 2y 3 0x 3y 3 0。若目標(biāo)函數(shù)z ax y （其中a 0）y 1 0僅在點(diǎn)（3,0）處取得最大值，則 a的取值范圍為 答案：a?12二、約束條件中的參數(shù)y 0 一，,例6在約束條件 y下，當(dāng)3 x 5時(shí),y x sy 2

4、x 4目標(biāo)函數(shù)z 3x 2y的最大值的變化范圍是A. 6,15 B. 7,15 C. 6,8 D. 7,81.17,即為a的范圍。4xysx4s解析：由y交點(diǎn)為A(0,2),B(4s,2s4),C(0,s),C(0,4),其y2x4y2s4可行域如圖(1)當(dāng)3s4時(shí)可行域是四邊形OABC此時(shí)，7z8(2)當(dāng)4s5時(shí)可行域是OAC此時(shí)，zmax8,故選d.點(diǎn)評(píng)：本題只要抓住考慮參數(shù)對(duì)可行域的影響，從而進(jìn)行分類討論xy5>,練習(xí)2：若不等式組y>a,表示的平面區(qū)域是一個(gè)三角形，則a的取值范圍是()0<x<2A.a5b.a>7c.5<a7D.a5或a>7答案

5、：C一個(gè)猜想的證明猜想：用線性規(guī)劃知識(shí)易得當(dāng)M1(x1,y1),M2(x2,y2)在直線l:AxByC0的兩側(cè)時(shí)，有(Ax1By1C)(Ax2By2C)0,類比猜想：直線11:AxByC10和直線I2：AxByC20是兩條平行直線，點(diǎn)M(x0,y°)是夾在這兩條平行直線之間的任一點(diǎn),則有(Ax0By0C1)(Ax0By0C2)0?，F(xiàn)證明如下:不妨設(shè)C1C2,點(diǎn)M(x0,y0)到直線l1:AxByC10和直線AxByC20的距離分別是d1A% By。C1,A2 B2和d1Ax。 By° C2,A2 B2;由于點(diǎn)M(x0,y0)不在直線11和12上，故Ax0By0 C1 0;

6、Ax0 By0 C2 0 ()。而兩條平行直線11和I2之間的距C1C2C1 C2,A2 B2,A2 B2是個(gè)常數(shù)題意知：d d1 d2 ,代入得：A% By° C1Ax0 By° C1A% By° C1Ax° By° C1Ax0 By° C1Ax0 By° C1C1 C2A2 B2C1_C2_A2 B2化 簡(jiǎn)得C1C2 ,若(Ax0 By02(Ax0 By°) C1 C2C1)(Ax° By0 C2) 0,C1 C2Ax。 By。C20 （由（）知矛盾）或AX By。Ci| |Axo By。Ci2（Ax

7、。By。）（CiC2）CiC2Ax。By。G0（由（）知矛盾），故（Ax。By0C1）（Ax0By0C2）。參考文獻(xiàn):1 甘志國(guó) 爭(zhēng)鳴134數(shù)學(xué)通訊，2。7 （7）一個(gè)常見圖形的反例功能在立體幾何教材的例題或習(xí)題中，我們發(fā)現(xiàn)一些圖形經(jīng)常出現(xiàn)；若能對(duì)它進(jìn)行挖掘,充分利用，則起到妙不可言的效果。下面就舉一個(gè)圖形并說明它的作用。一、常見圖形如圖1：四邊形ABCD為正方形，PA面ABCD。圖1二、功能作用我們利用此圖可以巧妙的解決立體幾何中師生經(jīng)常出現(xiàn)錯(cuò)誤的四個(gè)問題一一四個(gè)頑癥。頑癥1如果一個(gè)四邊形有三個(gè)角是直角，則此四邊形為矩形分析：這是一個(gè)學(xué)生很容易出錯(cuò)的地方，看圖1,則很容易判斷：在四邊形PBC

8、D中，B,C,D均為直角，而P并非直角，則上述結(jié)論是錯(cuò)誤的，從而如果一個(gè)四邊形有三個(gè)角是直角，則此四邊形不一定為矩形頑癥2如果一個(gè)角的兩邊和另外一個(gè)角的兩邊分別垂直，則這兩個(gè)角互補(bǔ)或相等。分析：由“一個(gè)角的兩邊和另外一個(gè)角的兩邊分別對(duì)應(yīng)平行，則這兩個(gè)角互補(bǔ)或相等”這個(gè)定理進(jìn)行類比，則很多同學(xué)認(rèn)為正確。真的這樣嗎？請(qǐng)看圖形1：BCD和BPD,滿足CBPB,CDPD,即兩邊分別垂直，但是BCD為直角，而BPD不是直角，而且隨著點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)而變化。因此這兩個(gè)角并不滿足相等或互補(bǔ)。故如果一個(gè)角的兩邊和另外一個(gè)角的兩邊分別垂直，則這兩個(gè)角不一定互補(bǔ)或相等。頑癥3如果一個(gè)二面角的兩個(gè)半平面和另外一個(gè)二面角的

9、兩個(gè)半平面分別垂直，則這兩個(gè)二面角的大小相等或互補(bǔ)分析：由“如果一個(gè)二面角的兩個(gè)半平面和另外一個(gè)二面角的兩個(gè)半平面分別平行，則這兩個(gè)二面角的大小相等或互補(bǔ)”這個(gè)結(jié)論類比，很多師生往往認(rèn)為正確。其實(shí)不然。請(qǐng)看圖2:二面角BPCD和二面角BPAD,滿足面PBC面PBA,面PCD面PAD；二面角BPAD的大小為直角，作BHPC，垂足為H,連接HR則不難說明DHPC,則BHD為BPCD的平面角，由于BH<BC,DH<DC,VBCD為直角三角形；故BHD為鈍角。從而這兩個(gè)二面角并不互補(bǔ)或相等。所以，如果一個(gè)二面角的兩個(gè)半平面和另外一個(gè)二面角的兩個(gè)半平面分別垂直，則這兩個(gè)二面角的大小不一定相等

10、或互補(bǔ)頑癥4 如果PA 面，E , F,則 EAF> EPF分析：利用圖3直觀判斷師生很容易得出上述結(jié)論成立。其實(shí)不然。請(qǐng)看圖在CD（把點(diǎn)D看成E）上取一點(diǎn)M,使彳導(dǎo)DAM150,在取點(diǎn)N（可看成點(diǎn)F）,可盡量靠近點(diǎn)A,這1¥NPD接近APD,大約接近450,這樣NPDDANDAM,即有EAF<EPF,則頑癥4是錯(cuò)誤的，從而如果PA面，E,F，則EAF與EPF的大小不定。圖4聯(lián)系地址：山東新泰第一中學(xué)新校南區(qū)高三數(shù)學(xué)組271200 徐加華有關(guān)直線與圓解題時(shí)的常見失誤例析直線與圓是解析幾何中的基本內(nèi)容，高考對(duì)此部分的考查大都以基本題目為主，但在解題時(shí)同學(xué)們由于各種原因可能導(dǎo)

11、致解題出現(xiàn)錯(cuò)誤。下面就列舉幾種常見的情形，供同學(xué)們參考。一、求直線方程時(shí)1忽視直線的傾斜角的范圍4例1求過點(diǎn)（1,2）且傾斜角的正弦為f的直線方程。54錯(cuò)斛：由sin5分析：傾斜角的范圍為4x 3y 2 0。4一,從而所求直線334costan-,故所求直線方程為53-、的430.），故sin-cos一tan554萬(wàn)程為y 2-（X1）。2混淆截距和長(zhǎng)度的區(qū)別例2求通過點(diǎn)（2,2）,且與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為1的直線方程。錯(cuò)解：由題意設(shè)3 y a b/ 2 11 ,由已知得a b 得-ab 122,故所求直線方程為1x 2y 2 0。分析：本題處理時(shí)沒有區(qū)分好截距和長(zhǎng)度的概念。截距是有正負(fù)

12、的，而距離不能為負(fù)。正二 21解：a b得a之或a1.b 1b a b11一 一一一 一一,所求直線方程為 x 2y 2 0或2x y 2 023忽視斜率不存在的情況求過點(diǎn)(0,7),向圓x2y2 6x 6y 9 0所作的切線方程。22錯(cuò)解：設(shè)切線萬(wàn)程為：ykx7,帶入圓的萬(wàn)程得(k1)x(8k6)x160,整理得：4(24k7)0k工，從而方程為y工x7。2424分析：過圓外一點(diǎn)作圓的切線應(yīng)該有兩條，顯然漏解了，事實(shí)上忽略了斜率不存在的情況，應(yīng)補(bǔ)上：x04對(duì)兩直線的位置關(guān)系考慮不全面例4求過點(diǎn)P(1,2)且與點(diǎn)A(2,3),B(4,5)距離相等的直線方程。錯(cuò)解：過點(diǎn)P(1,2)作與直線AB平

13、行的直線符合題意。易得直線方程4xy60分析：事實(shí)上過點(diǎn)P(1,2)與線段AB的中點(diǎn)的直線也符合題意，應(yīng)加上此條直線3x2y705忽視點(diǎn)的位置例5求過點(diǎn)(1,1)作圓x2y21的切線方程錯(cuò)解：利用結(jié)論：過圓x2y2r2上一點(diǎn)(x0,y0)的切線方程為：xx°yy°r2。則有：x?1y?11,即：xy1.分析：忽視了結(jié)論中的一個(gè)條件：點(diǎn)(x0,y0)必須在圓x2y2r2上。而此題點(diǎn)(1,1)并不在圓x2y21上，而在圓外；切線應(yīng)有兩條。正確答案：x1和y1。二求參數(shù)時(shí)1忽視隱含條件導(dǎo)致例6已知圓x2y2kx2yk20和定點(diǎn)P(1,1),若過點(diǎn)p作圓的切線有兩條，則k的取值范圍(錯(cuò)解:233由題意知點(diǎn)2.332.33P(1,1)必須在圓的外部,1,從而選A。分析：忽視了一個(gè)隱含條件：必須保證方程在解題時(shí)忽視了，因此不對(duì)則12(1)2kx由題意知點(diǎn)k?12yP(1,2?(1)k20k0k20表示一個(gè)圓，而上述1)必須在圓的外部，22_21(1)k?12?(1)k0或k1,由方程kx2yk2表示一個(gè)圓，得k2224k22、33從而得2忽視變量范圍例7已知圓x22y0,試求y的取值范圍。錯(cuò)解：由題意得：x2(y2)24(:。分析：忽視了題目