動態(tài)幾何問題思考策略解題方法

1、-動態(tài)幾何問題思考策略與解題方法以運動的觀點探究幾何圖形局部規(guī)律的問題，稱之為動態(tài)幾何問題.動態(tài)幾何問題充分表達了數(shù)學中的"變與"不變的和諧統(tǒng)一，其特點是圖形中的*些元素點、線段、角等或*局部幾何圖形按一定的規(guī)律運動變化，從而又引起了其它一些元素的數(shù)量、位置關(guān)系、圖形重疊局部的面積或*局部圖形等發(fā)生變化，但是圖形的一些元素數(shù)量和關(guān)系在運動變化的過程中卻互相依存，具有一定的規(guī)律可尋.一、動態(tài)幾何問題涉及的幾種情況動態(tài)幾何問題就其運動對象而言，有：1、點動有單動點型、多動點型.2、線動主要有線平移型、旋轉(zhuǎn)型。線動實質(zhì)就是點動，即點動帶動線動，進而還會產(chǎn)生形動，因而線動型幾何問題

2、可以通過轉(zhuǎn)化成點動型問題來求解.3、 形動就其運動形式而言，有平移、旋轉(zhuǎn)、翻折、滾動二、解決動態(tài)幾何問題的根本思考策略與分析方法：動態(tài)型問題綜合了代數(shù)、幾何中較多的知識點,解答時要特別注意以下七點:1、把握運動變化的形式及過程；2、思考運動初始狀態(tài)時幾何元素的關(guān)系，以及可求出的幾何量；3、動中取靜：最重要的一點要善于在"動中取"靜讓圖形和各個幾何量都"靜下來，抓住變化中的"不變量和不變關(guān)系為"向?qū)?，求出相關(guān)的常量或者以含有變量的代數(shù)式表示相關(guān)的幾何量;4、找等量關(guān)系：利用面積關(guān)系、相似三角形的性質(zhì)、勾股定理、特殊圖形等的幾何性質(zhì)及相互關(guān)系，找出

3、根本的等量關(guān)系式;5、列方程：將相關(guān)的常量和含有變量的代數(shù)式代入等量關(guān)系建立方程或函數(shù)模型；(*些幾何元素的變化會帶來其它幾何量的變化，所以在求變量之間的關(guān)系時，通常建立函數(shù)模型或不等式模型求解。在解決有關(guān)特殊點、特殊值、特殊位置關(guān)系問題時常結(jié)合圖形建立方程模型求解)6、是否分類討論：將變化的幾何元素按題目指定的運動路徑運動一遍，從動態(tài)的角度去分析觀察可能出現(xiàn)的情況，看圖形的形狀是否改變，或圖形的有關(guān)幾何量的計算方法是否改變，以明確是否需要根據(jù)運動過程中的特殊位置分類討論解決，7、確定變化分界點：假設(shè)需分類討論，要以運動到達的特殊點為分界點，畫出與之對應(yīng)情況相吻合的圖形，找到情況發(fā)生改變的時刻

4、，確定變化的圍分類求解。例：如圖，有一邊長為5cm的正方形ABCD和等腰三角形RQR，PQ=PR=5cm，QR=8cm，點B、C、Q、R在同一條直線上，當C、Q兩點重合時開場，t秒后正方形ABCD與等腰PQR重合局部的面積為Scm.解答以下問題：1當t=3秒時，求S的值； 2當t=5秒時，求S的值；3當5秒t8秒時，求S與t的函數(shù)關(guān)系式，并求出S的最大值.ABQCRPD分析：當?shù)妊黀QR從C、Q兩點重合開場，以1cm/秒的速度沿直線向左勻速運動時，正方形ABCD與等腰PQR重合局部圖形的形狀在改變，因此，我們需要根據(jù)運動過程中的特殊位置分類討論解決。運動過程中有四個特殊位置點,它們分別是點B、

5、C、R和等腰PQR底邊的中點E,這四個特殊位置點就是分類討論問題的"分界點.因為正方形ABCD的邊長為5cm，等腰三角形RQR的底邊QR=8cm，1所以當t4秒時，QE逐漸地與與BC完全重合，則S是QCG的面積，所以，當t=3秒時，S是QCG的面積如圖一的"靜態(tài)；2當4秒t5秒時，即在點E落在線段上到點Q與點B重合，S是四邊形QCGP的面積如圖二的"靜態(tài)；CB 圖一AQRPDGE(圖一)3當5秒t8秒時，點Q、R都在線段BC外，點E在BC上，S是一個五邊形BCGPH的面積如圖三的"靜態(tài).RABCDQPEG(圖二)ABCDPQREHG(圖三)即1、運動規(guī)律

6、；2、思考初始；3、動中取靜；4、找等量關(guān)系; 5、列方程；6、是否分類討論：7、確定分界點。三、 典型例題2006如圖1所示，一三角形紙片ABC，ACB=90°,AC=8,BC=6.沿斜邊AB的中線CD把這紙片剪成和兩個三角形如圖2所示.將紙片沿直線AB方向平移點始終在同一直線上，當點于點B重合時，停頓平移.在平移過程中，與交于點E,與分別交于點F、P.(1) 當平移到如圖3所示的位置時，猜測圖中的與的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜測；(2) 設(shè)平移距離為，與重疊局部面積為，請寫出與的函數(shù)關(guān)系式，以及自變量的取值圍；3對于2中的結(jié)論是否存在這樣的的值，使重疊局部的面積等于原面積的.假設(shè)存在

7、，求*的值；假設(shè)不存在，請說明理由.PEFAD1BD2C1C2圖2圖1圖3分析：1、把握運動變化的形式及過程：題目條件：將沿直線AB方向平移點始終在同一直線上，當點于點B重合時，停頓平移.所以這是一個圖形的平移運動2、思考初始；找出初始位置時*些幾何元素的數(shù)量和關(guān)系：1因為在中，所以由勾股定理，得2因為，CD是斜邊上的中線，所以，即.3，.第1問："動中取"靜：讓圖形和各個幾何量都"靜下來。因為是平移，所以，所以.所以，所以，.同理：.又因為，所以.所以第2問：1是求變量之間的關(guān)系，則建立函數(shù)模型。2按題目指定的運動路徑運動一遍，重疊局部圖形的形狀不發(fā)生改變，則不

8、需要分類討論解決。3找等量關(guān)系式：用面積割補法知道4"動中取"靜，求出相關(guān)的常量或者以含有自變量的代數(shù)式表示相關(guān)的幾何量。為便于求其面積，注意選擇三角形的底和高。三角形BD1E的底為BD1，需求高。需求直角三角形C2OF的底和高。我們視自變量為"不變量，以為"向?qū)デ蟪鋈切蔚牡缀透摺、的面積等于面積的一半，等于12.B、又因為，所以，所以，由得，又的邊上的高，為.設(shè)的邊上的高為，所以.所以.C、又因為，所以.在直角三角形PFC2中，C2F=*，又因為，.所以 ，而所以第3問：是求特殊值問題，則建立方程模型求解；存在. 當時，即整理，得解得，.即當或時

9、，重疊局部的面積等于原面積的.解析 1.因為，所以.又因為，CD是斜邊上的中線，所以，即所以，所以所以，.同理：.又因為，所以.所以2因為在中，所以由勾股定理，得即又因為，所以.所以在中，到的距離就是的邊上的高，為.設(shè)的邊上的高為，由探究，得，所以.所以.又因為，所以.又因為，.所以 ，而所以(3) 存在. 當時，即整理，得解得，.即當或時，重疊局部的面積等于原面積的.2006如圖，有兩個形狀完全一樣的直角三角形ABC和EFG疊放在一起點A與點E重合，AC8cm，BC6cm，C90°，EG4cm，EGF90°，O是EFG斜邊上的中點如圖，假設(shè)整個EFG從圖的位置出發(fā)，以1c

10、m/s 的速度沿射線AB方向平移，在EFG 平移的同時，點P從EFG的頂點G出發(fā)，以1cm/s 的速度在直角邊GF上向點F運動，當點P到達點F時，點P停頓運動，EFG也隨之停頓平移設(shè)運動時間為*s，F(xiàn)G的延長線交 AC于H，四邊形OAHP的面積為ycm2)不考慮點P與G、F重合的情況1當*為何值時，OPAC "2求y與* 之間的函數(shù)關(guān)系式，并確定自變量*的取值圍3是否存在*一時刻，使四邊形OAHP面積與ABC面積的比為1324.假設(shè)存在，求出*的值；假設(shè)不存在，說明理由參考數(shù)據(jù)：1142 12996，1152 13225，1162 13456或4.42 19.36，4.52 20.2

11、5，4.62 21.16分析：1、把握運動變化的形式及過程：題目條件：假設(shè)整個EFG從圖的位置出發(fā)，以1cm/s 的速度沿射線AB方向平移，在EFG 平移的同時，點P從EFG的頂點G出發(fā)，以1cm/s 的速度在直角邊GF上向點F運動，當點P到達點F時，點P停頓運動，EFG也隨之停頓平移1整個EFG從圖的位置出發(fā)，以1cm/s 的速度沿射線AB方向平移；2點P從EFG的頂點G出發(fā)，以1cm/s 的速度在直角邊GF上向點F運動；0"*"3.2、思考初始；1注意參考數(shù)據(jù)運用于計算平方、平方根或估算。2找出初始位置時*些幾何元素的數(shù)量和關(guān)系；RtEFGRtABC ，F(xiàn)G3cmEGA

12、C第1問：1是特殊位置關(guān)系問題，建立方程模型求解。2"動中取"靜，讓圖形和各個幾何量都在特殊位置關(guān)系OPAC"靜下來，畫出與對應(yīng)情況相吻合的圖形。O是EFG斜邊上的中點當P為FG的中點時，OPEG ，EGAC ，OPAC * ×31.5s當*為1.5s時，OPAC 第2問：1是求變量之間的關(guān)系，則建立函數(shù)模型。2題目明確了是求四邊形OAHP的面積，則不需要分類討論解決。3找等量關(guān)系式：用面積割補法知道Y=S四邊形OAHP SAFH SOFP4"動中取"靜，求出相關(guān)的常量或者以含有自變量的代數(shù)式表示相關(guān)的幾何量。為便于求其面積，選擇OF

13、D的底為FP，需求邊FP上的高。我們視自變量為"不變量，以PG=*為"向?qū)デ蟪鯫FD的底和高。在RtEFG中，由勾股定理得：EF5cmEGAH ，EFGAFH AH * 5，F(xiàn)H*5過點O作ODFP ，垂足為 D 點O為EF中點，ODEG2cmFP3* ，S四邊形OAHP SAFH SOFP·AH·FH·OD·FP·*5·*5×2×3* *2*3 0*3第3問：是求特殊值問題，則建立方程模型求解；假設(shè)存在*一時刻*，使得四邊形OAHP面積與ABC面積的比為1324則S四邊形OAHP×

14、SABC*2*3××6×86*285*2500 計算時注意參考數(shù)據(jù)的運用解得 *1， *2 舍去0*3，當*s時，四邊形OAHP面積與ABC面積的比為1324解析 1RtEFGRtABC ，F(xiàn)G3cm 當P為FG的中點時，OPEG ，EGAC ， * ×31.5s當*為1.5s時，OPAC 2在RtEFG 中，由勾股定理得：EF5cmEGAH ，EFGAFH AH * 5，F(xiàn)H*5過點O作ODFP ，垂足為 D 點O為EF中點，ODEG2cmFP3* ，S四邊形OAHP SAFH SOFP·AH·FH·OD·FP&

15、#183;*5·*5×2×3* *2*3 0*33假設(shè)存在*一時刻*，使得四邊形OAHP面積與ABC面積的比為1324則S四邊形OAHP×SABC*2*3××6×86*285*2500解得 *1， *2 舍去0*3，當*s時，四邊形OAHP面積與ABC面積的比為13242006如圖，在RtABC中，C90°，AC12，BC16，動點P從點A出發(fā)沿AC邊向點C以每秒3個單位長的速度運動，動點Q從點C出發(fā)沿CB邊向點B以每秒4個單位長的速度運動P，Q分別從點A，C同時出發(fā)，當其中一點到達端點時，另一點也隨之停頓運動在運

16、動過程中，PCQ關(guān)于直線PQ對稱的圖形是PDQ設(shè)運動時間為t秒1設(shè)四邊形PCQD的面積為y，求y與t的函數(shù)關(guān)系式；2t為何值時，四邊形PQBA是梯形.3是否存在時刻t，使得PDAB.假設(shè)存在，求出t的值；假設(shè)不存在，請說明理由；APCQBD4通過觀察、畫圖或折紙等方法，猜測是否存在時刻t，使得PDAB.假設(shè)存在，請估計t的值在括號中的哪個時間段0t1；1t2；2t3；3t4；假設(shè)不存在，請簡要說明理由 分析：1、把握運動變化的形式及過程：題目條件：動點P從點A出發(fā)沿AC邊向點C以每秒3個單位長的速度運動，動點Q從點C出發(fā)沿CB邊向點B以每秒4個單位長的速度運動P，Q分別從點A，C同時出發(fā)，當其

17、中一點到達端點時，另一點也隨之停頓運動在運動過程中，PCQ關(guān)于直線PQ對稱的圖形是PDQ所以，這是雙動點P、Q+圖形PCQ翻折的運動。1動點P從點A出發(fā)沿AC邊向點C運動；2動點Q從點C出發(fā)沿CB邊向點B運動；3PCQ關(guān)于直線PQ對稱的圖形是PDQ.2、思考初始；找出初始位置時*些幾何元素的數(shù)量和關(guān)系；在RtABC中，C90°，AC12，BC16，AB=20，第1問：1是求變量之間的關(guān)系，則建立函數(shù)模型。2題目明確了是求四邊形PCQD的面積，則不需要分類討論解決。3找等量關(guān)系式：PCQ與PDQ關(guān)于直線PQ對稱，y=2SPCQ4"動中取"靜，求出相關(guān)的常量或者以含有

18、自變量的代數(shù)式表示相關(guān)的幾何量。為便于求其面積，注意選擇直角PCQ的兩直角邊為底和高。我們視自變量動量為"不變量靜量，則以CQ4t，AP=3t為"向?qū)蟪鯬C123t，SPCQ=PCQ與PDQ關(guān)于直線PQ對稱，y=2SPCQ第2問：1實質(zhì)是特殊位置關(guān)系問題，建立方程模型求解。2"動中取"靜，讓圖形在特殊情況四邊形PQBA是梯形"靜下來，畫出與對應(yīng)情況相吻合的圖形.當四邊形PQBA是梯形時有PQAB.2PQAB時，應(yīng)有，則以此建立方程模型求解.3求出相關(guān)的常量或者以含有自變量的代數(shù)式表示相關(guān)的幾何量。當時，有PQAB，而AP與BQ不平行，這時四邊

19、形PQBA是梯形，CA=12，CB=16，CQ4t， CP123t，解得t2當t2秒時，四邊形PQBA是梯形第3問：題目條件：是否存在時刻t，使得PDAB.假設(shè)存在，求出t的值；假設(shè)不存在，請說明理由；1實質(zhì)是求兩線的特殊位值關(guān)系，則仿照第2問的方法建立比例方程求解.2"動中取"靜，讓圖形在PDAB的情況"靜下來. 畫出與對應(yīng)情況相吻合的圖形.設(shè)存在時刻t，使得PDAB，則延長PD交BC于點M，如以下圖，PDAB，APCQBDM3視"動量為"靜量，求出相關(guān)的常量或者以含有變量t的代數(shù)式表示相關(guān)的幾何量。假設(shè)PDAB，則，QD=CQ=4t，CP=

20、AC-AP=12-3t, AC12，AB=20，QMD=B，QDM=C=90°，RtQMDRtABC，從而，QM= CM=CQ+QM=4t+，解得t當t秒時，PDAB第4問：通過觀察、畫圖或折紙等方法，猜測是否存在時刻t，使得PDAB.假設(shè)存在，請估計t的值在括號中的哪個時間段0t1；1t2；2t3；3t4；假設(shè)不存在，請簡要說明理由 (1)"動中取"靜，讓圖形 "靜下來. 畫出與對應(yīng)情況相吻合的圖形.(2)由第3問知道當秒1t秒時，PDAB應(yīng)有1t，3"動中取"靜，讓圖形"靜下來. 畫出與對應(yīng)情況相吻合的圖形.假設(shè)PDAB

21、于D， AP=3t，CPPD=123t，RtAPDRtABC4t=20-5t ，t=存在時刻t，使得PDAB時間段為：2t3 解析 1由題意知 CQ4t，PC123t，SPCQ=PCQ與PDQ關(guān)于直線PQ對稱，y=2SPCQ 2當時，有PQAB，而AP與BQ不平行，這時四邊形PQBA是梯形，CA=12，CB=16，CQ4t， CP123t，解得t2當t2秒時，四邊形PQBA是梯形（2） 設(shè)存在時刻t，使得PDAB，延長PD交BC于點M，如以下圖，假設(shè)PDAB，則，QD=CQ=4t，CP=AC-AP=12-3t, AC12，AB=20，APCQBDMQMD=B，QDM=C=90°，Rt

22、QMDRtABC，從而，QM= CM=CQ+QM=4t+，解得t當t秒時，PDAB4存在時刻t，使得PDAB 時間段為：2t3 2021年省如圖16，在直角梯形ABCD中，ADBC，AD=6，BC=8，點M是BC的中點點P從點M出發(fā)沿MB以每秒1個單位長的速度向點B勻速運動，到達點B后立刻以原速度沿BM返回；點Q從點M出發(fā)以每秒1個單位長的速度在射線MC上勻速運動在點P，Q的運動過程中，以PQ為邊作等邊三角形EPQ，使它與梯形ABCD在射線BC的同側(cè)點P，Q同時出發(fā)，當點P返回到點M時停頓運動，點Q也隨之停頓設(shè)點P，Q運動的時間是t秒(t0)1設(shè)PQ的長為y，在點P從點M向點B運動的過程中，寫

23、出y與t之間的函數(shù)關(guān)系式不必寫t的取值圍2當BP=1時，求EPQ與梯形ABCD重疊局部的面積3隨著時間t的變化，線段AD會有一局部被EPQ覆蓋，被覆蓋線段的長度在*個時刻會到達最大值，請答復：該最大值能否持續(xù)一個時段.假設(shè)能，直接寫出t的取值圍；假設(shè)不能，請說明理由MADCBPQE圖1ADCB備用圖M分析：1、把握運動變化的形式及過程：題目條件：點M是BC的中點點P從點M出發(fā)沿MB以每秒1個單位長的速度向點B勻速運動，到達點B后立刻以原速度沿BM返回；點Q從點M出發(fā)以每秒1個單位長的速度在射線MC上勻速運動在點P，Q的運動過程中，以PQ為邊作等邊三角形EPQ，使它與梯形ABCD在射線BC的同側(cè)

24、點P，Q同時出發(fā)，當點P返回到點M時停頓運動，點Q也隨之停頓說明上動的是兩點，實際上由兩點引出的等邊三角形EPQ是運動圖形。題目中點P從點M出發(fā)沿MB向B點勻速運動，到達點B后立刻以原速度沿BM返回；而點Q從點M出發(fā)在射線MC上勻速運動，由于點P的往返運動，且P、Q兩點的運動速度一樣，所以這兩點運動形成的等邊三角形EPQ的特征為：當0t4時，三角形EPQ的大小隨著時間的增加逐漸變大，但PQ邊的中點始終是點M,相當于位似變換；當t>4時，隨著時間的增加，三角形EPQ的大小始終不變，相當于平移變換。這樣的變換非常新穎，但是涉及的變換又是很簡單的2、思考初始；找出初始位置時*些幾何元素的數(shù)量和

25、關(guān)系；在直角梯形ABCD中，ADBC，AD=6，BC=8，點M是BC的中點，則MB=MC=4. CD可求。PCQ與PDQ關(guān)于直線PQ對稱，第1問：在點P從點M向點B運動的過程中，P、Q兩點的運動速度一樣，y=MP+MQ=t+t=2t第2問：1BP=1有點P到達點B點前、后兩種情況，則需分類討論解決。當BP=1時，有兩種情形：如圖2，假設(shè)點P從點M向點B運動，有MB = 4，MP=MQ =3，ADCBPMQE圖2PQ=6現(xiàn)在判斷點E落在梯形ABCD、外的位置，以確定EPQ與梯形ABCD重疊局部的圖形形狀。連接EM，EPQ是等邊三角形，EMPQAB=，點E在AD上EPQ與梯形ABCD重疊局部就是E

26、PQ，其面積為假設(shè)點P從點B向點M運動，由題意得t=4+1=5PQ=BM+MQBP=4+5-1=8，PC=8-1=7(此時點E顯然是在AD上方。"動中取"靜，讓圖形 "靜下來，畫出與對應(yīng)情況相吻合的圖形. 以確定EPQ與梯形ABCD重疊局部的圖形形狀) .ADCBPMQEFHG圖3設(shè)PE與AD交于點F，QE與AD或AD的延長線交于點G，過點P作PHAD于點H，則HP=，AH=1在RtHPF中，HPF=90°-60°=30°，HF=3，PF=6FG=FE=PE-PF=PQ-PF=8-6=2又FD=AD-(AH+HF)=6-(1+3)=2

27、，F(xiàn)G= FD=2，點G與點D重合。如圖3此時EPQ與梯形ABCD的重疊局部就是梯形FPCG，其面積為把握運動變化的全過程，確定EPQ與梯形ABCD重疊關(guān)系是解答此題的關(guān)鍵第3問：求隨著時間t的變化，線段AD被EPQ覆蓋線段的長度能否持續(xù)一個時段到達最大值。因為當t"4時，隨著時間的增加，三角形EPQ的大小始終不變，相當于平移變換。這樣，線段AD被EPQ覆蓋線段的長度到達最大值，且持續(xù)到被覆蓋線段的右端點到達D點，根據(jù)前面的解答知，此時t=5。所以，能4t5解：1y=2t；2當BP=1時，有兩種情形：ADCBPMQE圖2如圖2，假設(shè)點P從點M向點B運動，有MB = 4，MP=MQ =3，PQ=6連接EM，EPQ是等邊三角形，EMPQAB=，點E在AD上EPQ與梯形ABCD重疊局部就是EPQ，其面積為 假設(shè)點P從點B向點M運動，由題意得 PQ=BM+MQBP=8，PC=7設(shè)PE與