組合和二項(xiàng)式定理

1、.莆薆膅罿蚄薆襖芅薀薅羇肈蒆薄聿芃莂薃蝿肆羋螞袁芁薇蟻羃肄蒃蝕肆芀葿蝕裊肅蒞蠆羈莈芁蚈肀膁薀蚇螀莆蒆蚆袂腿莁螅羄蒞芇螄肇膇薆螄螆羀薂螃羈膆蒈螂肁聿莄螁螀芄芀螀袃肇蕿蝿羅節(jié)蒅袈肇肅莁袈螇芁芇袇衿肅蚅袆肂荿薁裊膄膂蕆襖襖莇莃蒁羆膀艿蒀肈蒞薈蕿螈膈蒄薈袀莄莀薇羃膇莆薆膅罿蚄薆襖芅薀薅羇肈蒆薄聿芃莂薃蝿肆羋螞袁芁薇蟻羃肄蒃蝕肆芀葿蝕裊肅蒞蠆羈莈芁蚈肀膁薀蚇螀莆蒆蚆袂腿莁螅羄蒞芇螄肇膇薆螄螆羀薂螃羈膆蒈螂肁聿莄螁螀芄芀螀袃肇蕿蝿羅節(jié)蒅袈肇肅莁袈螇芁芇袇衿肅蚅袆肂荿薁裊膄膂蕆襖襖莇莃蒁羆膀艿蒀肈蒞薈蕿螈膈蒄薈袀莄莀薇羃膇莆薆膅罿蚄薆襖芅薀薅羇肈蒆薄聿芃莂薃蝿肆羋螞袁芁薇蟻羃肄蒃蝕肆芀葿蝕裊肅蒞蠆羈莈芁蚈肀

2、膁薀蚇螀莆蒆蚆袂腿莁螅羄蒞芇螄肇膇薆螄螆羀薂螃羈膆蒈螂肁聿莄螁螀芄芀螀袃肇蕿蝿羅節(jié)蒅袈肇肅莁袈螇芁芇袇衿肅蚅袆肂荿薁裊膄膂蕆襖襖莇莃蒁羆膀艿蒀肈蒞薈蕿螈膈蒄薈袀莄莀薇羃膇莆薆膅罿蚄薆襖芅薀薅羇肈蒆薄聿芃莂薃蝿肆羋螞袁芁薇蟻羃肄蒃蝕肆芀葿蝕裊 排列、組合和二項(xiàng)式定理1.兩個(gè)原理.（1）分類計(jì)數(shù)原理和分步計(jì)數(shù)原理是排列組合的基礎(chǔ)和核心，既可用來(lái)推導(dǎo)排列數(shù)、組合數(shù)公式，也可用來(lái)直接解題。它們的共同點(diǎn)都是把一個(gè)事件分成若干個(gè)分事件來(lái)進(jìn)行計(jì)算。只不過(guò)利用分類計(jì)算原理時(shí)，每一種方法都可能獨(dú)立完成事件；如需連續(xù)若干步才能完成的則是分步。利用分類計(jì)數(shù)原理，重在分“類”，類與類之間具有獨(dú)立性和并列性；利用分步計(jì)

3、數(shù)原理，重在分步；步與步之間具有相依性和連續(xù)性。比較復(fù)雜的問(wèn)題，常先分類再分步,分類相加，分步相乘. （2）一個(gè)模型： 影射個(gè)數(shù) 若A有年n個(gè)元素，B有m個(gè)元素，則從A到B能建立個(gè)不同的影射n件不同物品放入m個(gè)抽屜中，不限放法，共有多少種不同放法？ （解：種）四人去爭(zhēng)奪三項(xiàng)冠軍，有多少種方法？從集合A=1，2，3到集合B=3，4的映射f中滿足條件f（3）=3的影射個(gè)數(shù)是多少？求一個(gè)正整數(shù)的約數(shù)的個(gè)數(shù)（3）含有可重元素的排列問(wèn)題.對(duì)含有相同元素求排列個(gè)數(shù)的方法是：設(shè)重集S有k個(gè)不同元素a1，a2,.an其中限重復(fù)數(shù)為n1、n2nk，且n = n1+n2+nk , 則S的排列個(gè)數(shù)等于. 如：已知數(shù)

4、字3、2、2，求其排列個(gè)數(shù)又例如：數(shù)字5、5、5、求其排列個(gè)數(shù)？其排列個(gè)數(shù). 2.排列數(shù)中、組合數(shù)中.(1)排列數(shù)公式 ；。如（1）1！+2！+3！+n?。ǎ┑膫€(gè)位數(shù)字為 （答：3）；（2）滿足的 （答：8）(2)組合數(shù)公式；規(guī)定，.如已知，求 n，m的值（答：mn2）(3)排列數(shù)、組合數(shù)的性質(zhì)：；從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素后就剩下n-m個(gè)元素，因此從n個(gè)不同元素中取出 n-m個(gè)元素的方法是一一對(duì)應(yīng)的，因此是一樣多的就是說(shuō)從n個(gè)不同元素中取出n-m個(gè)元素的唯一的一個(gè)組合.（或者從n+1個(gè)編號(hào)不同的小球中，n個(gè)白球一個(gè)紅球，任取m個(gè)不同小球其不同選法，分二類，一類是含紅球選法有一類是不含紅球的

5、選法有）根據(jù)組合定義與加法原理得；在確定n+1個(gè)不同元素中取m個(gè)元素方法時(shí)，對(duì)于某一元素，只存在取與不取兩種可能，如果取這一元素，則需從剩下的n個(gè)元素中再取m-1個(gè)元素，所以有C，如果不取這一元素，則需從剩余n個(gè)元素中取出m個(gè)元素，所以共有C種，依分類原理有. ；.(4)常用的證明組合等式方法. 裂項(xiàng)求和法. 如：（利用）n.n!=(n+1)!-n! 導(dǎo)數(shù)法. 數(shù)學(xué)歸納法. 倒序求和法. 一般地：已知等差數(shù)列an的首項(xiàng)a1，公差為d，a1Ca2Ca3Can1C=（2a1nd)·2n-1 遞推法（即用遞推）如：. 構(gòu)造二項(xiàng)式. 如： 證明：這里構(gòu)造二項(xiàng)式其中的系數(shù)，左邊為，而右邊.更一

6、般地：ACBD3.解排列組合問(wèn)題的依據(jù)是：分類相加（每類方法都能獨(dú)立地完成這件事，它是相互獨(dú)立的，一次的且每次得出的是最后的結(jié)果，只需一種方法就能完成這件事），分步相乘（一步得出的結(jié)果都不是最后的結(jié)果，任何一步都不能獨(dú)立地完成這件事，只有各個(gè)步驟都完成了，才能完成這件事，各步是關(guān)聯(lián)的），有序排列，無(wú)序組合如（1）將5封信投入3個(gè)郵筒，不同的投法共有 種（答：）；（2）從4臺(tái)甲型和5臺(tái)乙型電視機(jī)中任意取出3臺(tái)，其中至少要甲型與乙型電視機(jī)各一臺(tái)，則不同的取法共有 種（答：70）；（3）從集合和中各取一個(gè)元素作為點(diǎn)的坐標(biāo)，則在直角坐標(biāo)系中能確定不同點(diǎn)的個(gè)數(shù)是_（答：23）；（4）72的正約數(shù)（包括1

7、和72）共有 個(gè)（答：12）；（5）的一邊AB上有4個(gè)點(diǎn)，另一邊AC上有5個(gè)點(diǎn)，連同的頂點(diǎn)共10個(gè)點(diǎn)，以這些點(diǎn)為頂點(diǎn)，可以構(gòu)成_個(gè)三角形（答：90）； （6）用六種不同顏色把右圖中A、B、C、D四塊區(qū)域分開(kāi)，允許同一顏色涂不同區(qū)域，但相鄰區(qū)域不能是同一種顏色，則共有 種不同涂法（答：480）；（7）同室4人各寫(xiě)1張賀年卡，然后每人從中拿1張別人送出的賀年卡，則4張賀年卡不同的分配方式有 種（答：9）；（8）是集合到集合的映射，且，則不同的映射共有 個(gè)（答：7）；（9）滿足的集合A、B、C共有 組（答：）3.解排列組合問(wèn)題的方法有：一般先選再排，即先組合再排列，先分再排。弄清要完成什么樣的事件是

8、前提，解決這類問(wèn)題通常有三種途徑 (1)以元素為主，應(yīng)先滿足特殊元素的要求，再考慮其他元素 (2)以位置為主考慮，即先滿足特殊位置的要求，再考慮其他位置即采用“先特殊后一般”的解題原則.(3)先不考慮附加條件，計(jì)算出排列或組合數(shù)，再減去不符合要求的排列數(shù)或組合數(shù) 前兩種方式叫直接解法，后一種方式叫間接(剔除)解法 注：數(shù)量不大時(shí)可以逐一排出結(jié)果。如（1）某單位準(zhǔn)備用不同花色的裝飾石材分別裝飾辦公樓中的辦公室、走廊、大廳的地面及樓的外墻，現(xiàn)有編號(hào)為1到6的6種不同花色的石材可選擇，其中1號(hào)石材有微量的放射性，不可用于辦公室內(nèi)，則不同的裝飾效果有_種（答：300）；（2）某銀行儲(chǔ)蓄卡的密碼是一個(gè)4

9、位數(shù)碼，某人采用千位、百位上的數(shù)字之積作為十位個(gè)位上的數(shù)字（如2816）的方法設(shè)計(jì)密碼，當(dāng)積為一位數(shù)時(shí)，十位上數(shù)字選0. 千位、百位上都能取0. 這樣設(shè)計(jì)出來(lái)的密碼共有_種（答：100）；（3）用0，1，2，3，4，5這六個(gè)數(shù)字，可以組成無(wú)重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù)_個(gè)（答：156）；（4）某班上午要上語(yǔ)、數(shù)、外和體育4門課，如體育不排在第一、四節(jié)；語(yǔ)文不排在第一、二節(jié)，則不同排課方案種數(shù)為_(kāi)（答：6）；（5）四個(gè)不同的小球全部放入編號(hào)為1、2、3、4的四個(gè)盒中。恰有兩個(gè)空盒的放法有_種；甲球只能放入第2或3號(hào)盒，而乙球不能放入第4號(hào)盒的不同放法有_種（答：84；96）；（6）設(shè)有編號(hào)為1、2、3、4

10、、5的五個(gè)茶杯和編號(hào)為1、2、3、4、5的5個(gè)杯蓋，將五個(gè)杯蓋蓋在五個(gè)茶杯上，至少有兩個(gè)杯蓋和茶杯的編號(hào)相同的蓋法有_種（答：31）(7)在平面直角坐標(biāo)系中，由六個(gè)點(diǎn)(0,0)，(1,2)，(2,4)，(6,3)，(1,2)，(2,1)可以確定三角形的個(gè)數(shù)為_(kāi)（答：15）。4.常見(jiàn)的題目類型（1）相鄰問(wèn)題捆綁法（把相鄰的若干個(gè)特殊元素“捆綁”為一個(gè)大元素，然后再與其余“普通元素”全排列，最后再“松綁”，將特殊元素在這些位置上全排列）。如（1）把4名男生和4名女生排成一排，女生要排在一起，不同的排法種數(shù)為_(kāi)（答：2880）；（2）某人射擊槍，命中槍，槍命中中恰好有槍連在一起的情況的不同種數(shù)為_(kāi)（

11、答：20）；（3）把一同排6張座位編號(hào)為1，2，3，4，5，6的電影票全部分給4個(gè)人，每人至少分1張，至多分2張，且這兩張票具有連續(xù)的編號(hào)，那么不同的分法種數(shù)是_（答：144）（2）不相鄰(相間)問(wèn)題插空法（某些元素不能相鄰或某些元素要在某特殊位置時(shí)可采用插空法，即先安排好沒(méi)有限制元條件的元素，然后再把有限制條件的元素按要求插入排好的元素之間）。如（1）3人坐在一排八個(gè)座位上,若每人的左右兩邊都有空位,則不同的坐法種數(shù)有_種（答：24）；（2）某班新年聯(lián)歡晚會(huì)原定的5個(gè)節(jié)目已排成節(jié)目單，開(kāi)演前又增加了兩個(gè)新節(jié)目。如果將這兩個(gè)節(jié)目插入原節(jié)目單中，那么不同的插法種數(shù)為_(kāi)（答：42）。（3）多排問(wèn)題

12、單排法。如若2n個(gè)學(xué)生排成一排的排法數(shù)為x，這2 n個(gè)學(xué)生排成前后兩排，每排各n個(gè)學(xué)生的排法數(shù)為y，則x,y的大小關(guān)系為_(kāi)（答：相等）；（4）多元問(wèn)題分類法。如（1）某化工廠實(shí)驗(yàn)生產(chǎn)中需依次投入2種化工原料，現(xiàn)有5種原料可用，但甲、乙兩種原料不能同時(shí)使用，且依次投料時(shí)，若使用甲原料，則甲必須先投放. 那么不同的實(shí)驗(yàn)方案共有_種（答：15）；（2）某公司新招聘進(jìn)8名員工，平均分給下屬的甲、乙兩個(gè)部門.其中兩名英語(yǔ)翻譯人員不能同給一個(gè)部門；另三名電腦編程人員也不能同給一個(gè)部門，則不同的分配方案有_種（答：36）；（3）9名翻譯中，6個(gè)懂英語(yǔ)，4個(gè)懂日語(yǔ)，從中選撥5人參加外事活動(dòng)，要求其中3人擔(dān)任英

13、語(yǔ)翻譯，選撥的方法有_種（答：90）；（5）有序問(wèn)題組合法。如（1）書(shū)架上有3本不同的書(shū)，如果保持這些書(shū)的相對(duì)順序不便，再放上2本不同的書(shū)，有 種不同的放法（答：20）；（2）百米決賽有6名運(yùn)動(dòng)A、B、C、D、E、F參賽，每個(gè)運(yùn)動(dòng)員的速度都不同，則運(yùn)動(dòng)員A比運(yùn)動(dòng)員F先到終點(diǎn)的比賽結(jié)果共有_種（答：360）；（3）學(xué)號(hào)為1，2，3，4的四名學(xué)生的考試成績(jī)且滿足，則這四位同學(xué)考試成績(jī)的所有可能情況有_種（答：15）；（4）設(shè)集合，對(duì)任意，有，則映射的個(gè)數(shù)是_（答：）；（5）如果一個(gè)三位正整數(shù)形如“”滿足，則稱這樣的三位數(shù)為凸數(shù)（如120、363、374等），那么所有凸數(shù)個(gè)數(shù)為_(kāi)（答：240）；（6

14、）離心率等于(其中且)的不同形狀的的雙曲線的個(gè)數(shù)為_(kāi)（答：26）。（6）選取問(wèn)題先選后排法。如某種產(chǎn)品有4只次品和6只正品，每只產(chǎn)品均不相同且可區(qū)分，今每次取出一只測(cè)試，直到4只次品全測(cè)出為止，則最后一只次品恰好在第五次測(cè)試時(shí)，被發(fā)現(xiàn)的不同情況種數(shù)是_（答：576）。（7）至多至少問(wèn)題間接法。如從7名男同學(xué)和5名女同學(xué)中選出5人，至少有2名女同學(xué)當(dāng)選的選法有_種（答：596）提醒：亦可分類來(lái)求.（8）相同元素分組可采用隔板法。如（1）10個(gè)相同的球各分給3個(gè)人，每人至少一個(gè)，有多少種分發(fā)？每人至少兩個(gè)呢？（答：36；15）；（2）某運(yùn)輸公司有7個(gè)車隊(duì)，每個(gè)車隊(duì)的車都多于4輛且型號(hào)相同，要從這7

15、個(gè)車隊(duì)中抽出10輛車組成一運(yùn)輸車隊(duì)，每個(gè)車隊(duì)至少抽1輛車，則不同的抽法有多少種？（答：84）*小球入筐型* 5個(gè)小球放入三個(gè)不同的筐子有多少放法每筐至少一個(gè)，有多少放法？小球相同小球不同注意：小球相同還是不同，是至少一個(gè)還是隨便，多元一次方程的不定正整數(shù)（還是非負(fù)整數(shù)）解的個(gè)數(shù)（隔板法）.如的正整數(shù)解的組數(shù)就可建立組合模型將12個(gè)完全相同的球排成一列，在它們之間形成11個(gè)空隙中任選三個(gè)插入3塊摸板，把球分成4個(gè)組.每一種方法所得球的數(shù)目依次為顯然，故（）是方程的一組解.反之，方程的任何一組解，對(duì)應(yīng)著惟一的一種在12個(gè)球之間插入隔板的方式 （如圖所示）故方程的解和插板的方法一一對(duì)應(yīng). 即方程的解

16、的組數(shù)等于插隔板的方法數(shù).注意：若為非負(fù)數(shù)解的x個(gè)數(shù)，即用中等于，有，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為求a的正整數(shù)解的個(gè)數(shù)為 .注：不定方程的解的個(gè)數(shù)方程（）的正整數(shù)解有個(gè). 方程（）的非負(fù)整數(shù)解有 個(gè). 方程（）滿足條件(,)的非負(fù)整數(shù)解有個(gè).方程（）滿足條件(,)的正整數(shù)解有（9）分組問(wèn)題：要注意區(qū)分是平均分組還是非平均分組，平均分成n組問(wèn)題別忘除以n！。如4名醫(yī)生和6名護(hù)士組成一個(gè)醫(yī)療小組，若把他們分配到4所學(xué)校去為學(xué)生體檢，每所學(xué)校需要一名醫(yī)生和至少一名護(hù)士的不同選派方法有_種（答：37440）；（10）“錯(cuò)位問(wèn)題”及其推廣貝努利裝錯(cuò)箋問(wèn)題:信封信與個(gè)信封全部錯(cuò)位的組合數(shù)為.推廣: 個(gè)元素與個(gè)位置,其中至少

17、有個(gè)元素錯(cuò)位的不同組合總數(shù)為提醒: 在求解排列與組合應(yīng)用問(wèn)題時(shí)，應(yīng)(1)把具體問(wèn)題轉(zhuǎn)化或歸結(jié)為排列或組合問(wèn)題；(2)通過(guò)分析確定運(yùn)用分類計(jì)數(shù)原理還是分步計(jì)數(shù)原理；(3)分析題目條件，避免“選取”時(shí)重復(fù)和遺漏；(4)列出式子計(jì)算和作答 5.二項(xiàng)式定理：，其中組合數(shù)叫做第r+1項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)；展開(kāi)式共有n+1項(xiàng)，其中第r+l項(xiàng)稱為二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)，二項(xiàng)展開(kāi)式通項(xiàng)的主要用途是求指定的項(xiàng)（特定項(xiàng)、常數(shù)項(xiàng)、有理項(xiàng)）等有關(guān)問(wèn)題。二項(xiàng)式定理有兩個(gè)特殊形式：在解題時(shí)經(jīng)常用到，且很方便，需熟記。特別提醒：項(xiàng)與項(xiàng)數(shù)、項(xiàng)的系數(shù)與二項(xiàng)式系數(shù)、奇數(shù)項(xiàng)與奇次項(xiàng)、偶數(shù)項(xiàng)與偶次項(xiàng)的區(qū)別分別是不同的兩個(gè)概念，但當(dāng)二項(xiàng)式的兩個(gè)項(xiàng)

18、的系數(shù)都為1時(shí)，系數(shù)就是二項(xiàng)式系數(shù)。如在的展開(kāi)式中，第項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為，第項(xiàng)的系數(shù)為；而的展開(kāi)式中的系數(shù)就是二項(xiàng)式系數(shù)；當(dāng)n的數(shù)值不大時(shí)往往借助楊輝三角直接寫(xiě)出各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)；審題時(shí)要注意區(qū)分所求的是項(xiàng)還是第幾項(xiàng)？求的是系數(shù)還是二項(xiàng)式系數(shù)？注意展開(kāi)式的逆用，注意展開(kāi)式中的項(xiàng)是否去首、少尾；必須關(guān)注n是正整數(shù)，r是非負(fù)整數(shù)(r=0的情形容易忽視)，且rn。如（1）的展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)是_（答：14）；（2）的展開(kāi)式中的的系數(shù)為_(kāi) （答：330）；（3）數(shù)的末尾連續(xù)出現(xiàn)零的個(gè)數(shù)是_（答：3）；(4)展開(kāi)后所得的的多項(xiàng)式中，系數(shù)為有理數(shù)的項(xiàng)共有_項(xiàng)（答：7）；(5)若的值能被5整除，則的可取值的個(gè)數(shù)有

19、_個(gè)（答：5）；(6)若二項(xiàng)式按降冪展開(kāi)后，其第二項(xiàng)不大于第三項(xiàng)，則 的取值范圍是 （答：）； (7)函數(shù)的最大值是_（答：1024）.（8） 已知等比數(shù)列an的首項(xiàng)為a1，公比為q求和：a1Ca2Ca3Can1C解：a1Ca2Ca3Can1Ca1Ca1qCa1q2Ca1qnCa1(CqCq2CqnC)a1(1q)n6、二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)：（1）對(duì)稱性：與首末兩端“等距離”的兩個(gè)二項(xiàng)式系數(shù)相等，即；（2）增減性與最大值：當(dāng)時(shí)，二項(xiàng)式系數(shù)C的值逐漸增大，當(dāng)時(shí),C的值逐漸減小，且在中間取得最大值。當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，中間一項(xiàng)（第1項(xiàng)）的二項(xiàng)式系數(shù)取得最大值。當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，中間兩項(xiàng)（第和1項(xiàng)）的二項(xiàng)式系數(shù)相

20、等并同時(shí)取最大值。如（1）在二項(xiàng)式的展開(kāi)式中，系數(shù)最小的項(xiàng)的系數(shù)為_(kāi)（答：426）；（2）在的展開(kāi)式中，第十項(xiàng)是二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)，則_（答：17,18或19）。（3）二項(xiàng)式系數(shù)的和：；。如（1）如果，則 （答：128）；（2）化簡(jiǎn)（答：）7、賦值法：應(yīng)用“賦值法”可求得二項(xiàng)展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)和為、“奇數(shù) (偶次)項(xiàng)”系數(shù)和為，以及“偶數(shù) (奇次)項(xiàng)”系數(shù)和為。（4）F(x)=(ax+b)n展開(kāi)式的各項(xiàng)系數(shù)和為f(1);奇數(shù)項(xiàng)系數(shù)和為；偶數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和為；.證明組合恒等式或二項(xiàng)展開(kāi)式系數(shù)求和時(shí)通常用構(gòu)造法和賦值法：構(gòu)造一個(gè)相應(yīng)的二項(xiàng)展開(kāi)式，再對(duì)該二項(xiàng)展開(kāi)式進(jìn)行賦值，或者構(gòu)造同一問(wèn)題的不同解法，通過(guò)變更問(wèn)題解決。如（1）已知，則等于_（答：）；（2），則_（答：2004）；（3）設(shè),則_（答：）。8、系數(shù)最大項(xiàng)的求法：系數(shù)若就是二項(xiàng)式系數(shù)，利用二項(xiàng)式系數(shù)的最大值性質(zhì)來(lái)求，否則設(shè) 的系數(shù)為 ，那么 為最大的必要而不充分的條件是：且（若比商的話，注意的正負(fù)）如（1）求的展開(kāi)式中，系數(shù)的絕對(duì)值最大的項(xiàng)和系數(shù)最大的項(xiàng)。（答：系