數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)之?dāng)?shù)學(xué)建模教學(xué)案例

1、數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)之?dāng)?shù)學(xué)建模教學(xué)案例1引言：新修訂的高中數(shù)學(xué)課程提出，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)課程目標(biāo)的集中體現(xiàn)，是具有數(shù)學(xué)基本特征、適應(yīng)個(gè)人終身發(fā)展和社會(huì)發(fā)展需要的必備品格與關(guān)鍵能力。高中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)主要包括：數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象、數(shù)據(jù)分析。其中，對于數(shù)學(xué)建模，詳細(xì)描述為數(shù)學(xué)建模是對現(xiàn)實(shí)問題進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象，用數(shù)學(xué)語言表達(dá)問題、用數(shù)學(xué)知識與方法構(gòu)建模型解決問題的過程。主要包括：在實(shí)際情境中從數(shù)學(xué)的視角發(fā)現(xiàn)問題、提出問題，分析問題、構(gòu)建模型，求解結(jié)論，驗(yàn)證結(jié)果并改進(jìn)模型，最終解決實(shí)際問題。數(shù)學(xué)模型構(gòu)建了數(shù)學(xué)與外部世界的橋梁，是數(shù)學(xué)應(yīng)用的重要形式。數(shù)學(xué)建模是應(yīng)用數(shù)學(xué)解決實(shí)際問題的基本

2、手段，也是推動(dòng)數(shù)學(xué)發(fā)展的動(dòng)力。在數(shù)學(xué)建模核心素養(yǎng)的形成過程中，積累用數(shù)學(xué)解決實(shí)際問題的經(jīng)驗(yàn)。學(xué)生能夠在實(shí)際情境中發(fā)現(xiàn)和提出問題；能夠針對問題建立數(shù)學(xué)模型；能夠運(yùn)用數(shù)學(xué)知識求解模型，并嘗試基于現(xiàn)實(shí)背景驗(yàn)證模型和完善模型；能夠提升應(yīng)用能力，增強(qiáng)創(chuàng)新意識。特級教師張思明提出 “我們通過數(shù)學(xué)建模的教與學(xué)要為學(xué)生創(chuàng)設(shè)一個(gè)學(xué)數(shù)學(xué)、用數(shù)學(xué)的環(huán)境，為學(xué)生提供自主學(xué)習(xí)、自主探索、自主提出問題、 自主解決問題的機(jī)會(huì)。 近年來，數(shù)學(xué)建模應(yīng)用題的數(shù)量和分值在高考中逐步增加，可見在命題中已經(jīng)在轉(zhuǎn)變傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)學(xué)科體系觀念，旨在引導(dǎo)學(xué)生關(guān)心社會(huì)、關(guān)心未來，實(shí)現(xiàn)高考命題改革與中學(xué)教育、教學(xué)觀念改革的結(jié)合。2.中學(xué)數(shù)學(xué)模型的教

3、學(xué)2.1中學(xué)數(shù)學(xué)中常見的數(shù)學(xué)模型分類：（1）與函數(shù)的最值相關(guān)問題。工程中的用料最省、利潤最大，列出所求量的函數(shù)解析式，利用代數(shù)工具解函數(shù)最大值。（2）線性回歸直線、非線性回歸直線；如中學(xué)生身高和體重的關(guān)系，紅鈴蟲產(chǎn)卵數(shù)與溫度的關(guān)系。（3）與周期有關(guān)的三角函數(shù)模型建立。電路信號，音頻震動(dòng)，潮水漲落周期。（4）線性規(guī)劃問題。關(guān)于求解含有多個(gè)約束條件的，目標(biāo)函數(shù)的最有解問題。（5）抽樣統(tǒng)計(jì)調(diào)查類，獨(dú)立性假設(shè)檢驗(yàn)。2.2數(shù)學(xué)建模的課堂陷入幾個(gè)誤區(qū)。（1）數(shù)學(xué)建模課堂，教師陷入了對數(shù)學(xué)建模理論的講解，而數(shù)學(xué)建模的基本步驟是什么，介紹集中常見的數(shù)學(xué)建模工具，里面有大量的數(shù)學(xué)公式推到，學(xué)生對數(shù)學(xué)建模的思想領(lǐng)

4、會(huì)很少。（2）數(shù)學(xué)建模能力的評價(jià)中，教師“編好”試驗(yàn)中的數(shù)據(jù)，或者抽樣統(tǒng)計(jì)好的數(shù)據(jù)，學(xué)生只需分析問題，套用計(jì)算。而沒有讓學(xué)生經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)問題，3數(shù)學(xué)建模案例教學(xué)設(shè)計(jì)本人從學(xué)生的實(shí)際認(rèn)知特點(diǎn)出發(fā)，探索出基于案例教學(xué)的數(shù)學(xué)建模能力培養(yǎng)的一種教學(xué)模式。我們在課堂上重現(xiàn)一些現(xiàn)實(shí)生活中的一些場景，學(xué)生把自己投入到案例場景，通過討論研究，改進(jìn)自己處理問題的各個(gè)步驟，最終達(dá)到增強(qiáng)能力的效果。 生活背景：新學(xué)期，學(xué)校教務(wù)處又到了采購粉筆的時(shí)候了，教務(wù)處工作人員在網(wǎng)上瀏覽，發(fā)現(xiàn)新上市了一種正六棱柱的粉筆，價(jià)格和以往采購的傳統(tǒng)的圓柱形粉筆價(jià)格相同。請嘗試建立數(shù)學(xué)模型，給教務(wù)處工作人員粉筆購買的建議。模型的分析和建立的

5、過程。師：你站在學(xué)校教務(wù)處的角度想想，在購買粉筆的時(shí)候，最應(yīng)該考慮的問題是什么呢？生：粉筆的質(zhì)量，比如粉筆是不是容易斷，粉筆寫起來是否流暢，粉筆對人是否更環(huán)保，對人更少的傷害。師：很好，這個(gè)同學(xué)從粉筆的質(zhì)量談了很多自己的想法。除了質(zhì)量之外，作為一個(gè)學(xué)校大批量采購粉筆的用戶，我們還考慮什么？生：價(jià)格。師：我們肯定都是希望，用最少的錢，辦最大的事。我們都感覺到這個(gè)問題非常的困難了啊，所以，我們要要在建立基本的數(shù)學(xué)模型之前，做一些基本的假設(shè)。生：感覺考慮的因素太多了。師：我們想想，粉筆是否易斷，能夠很快做出評價(jià)嗎？讓你比較兩支粉筆，那個(gè)書寫起來更流暢，采用什么方法進(jìn)行比較呢？生：我們采用隨即抽樣的方

6、法試試，讓學(xué)校書法社團(tuán)的人同一個(gè)人在一個(gè)黑板上書寫，也許可以大概估計(jì)，哪種粉筆質(zhì)量更好。師：每個(gè)人都開動(dòng)腦經(jīng)，找到了自己的方法，但是，讓人去判斷，主觀性還是很大的。生：可是每個(gè)人感覺是否流暢和是否這段，也跟每個(gè)人的書寫習(xí)慣有關(guān)吧。教室陷入了激烈的討論中。師：那我們能否可以假設(shè)兩種粉筆出自同一條生產(chǎn)線，質(zhì)量水平近乎相似，只是形狀的差別。生：那我們只需要對每盒粉筆的價(jià)格分析就可以了。師：可是現(xiàn)在，我們兩盒粉筆的價(jià)格是相同的啊，怎么辦呢？生：那我們可以看看，同樣是畫直線，看哪一盒粉筆畫的長，那么誰的性價(jià)比就高？師：這個(gè)同學(xué)提的這個(gè)思路非常正確，假設(shè)，一盒粉筆，總是不會(huì)被折斷，一根全部用完之后，再用下

7、一根。那么一盒粉筆的書寫長度主要跟誰有關(guān)呢？生：應(yīng)該是跟一盒粉筆的總體積有很大的關(guān)系吧。師：我們再假設(shè)，裝粉筆的盒子都是邊長為20cm的正方體，那么裝滿兩個(gè)盒子的粉筆，那個(gè)盒子中粉筆的總體積多呢？生：我們可以看圖片發(fā)現(xiàn)，正六棱柱的粉筆，緊緊的靠在一起，沒有任何的縫隙。而圓柱形的粉筆相對而言有較大的空隙，所以，我們斷定，同等價(jià)格下，正六棱柱的粉筆的體積最多。師：分析的非常到位，那么現(xiàn)在問題來了，如果一盒圓柱形粉筆，定價(jià)5元，為了保證兩種粉筆有相同的性價(jià)比，請問正六棱柱粉筆的價(jià)格應(yīng)該定為多少呢？生：性價(jià)比相同，每立方厘米的粉筆，所對應(yīng)的價(jià)格要相同。師：那我們應(yīng)該怎么去判斷呢？生：我們只需讓 總價(jià)格

8、/總體積 都相同，從而我們可以給另外一盒粉筆合理的定價(jià)了。師：那么現(xiàn)在當(dāng)務(wù)之急是干什么呢？生：我們需要計(jì)算兩種規(guī)格的各種粉筆的總體積，師：那么我們按照一個(gè)怎樣的流程去計(jì)算呢？ 生：先構(gòu)建一個(gè)邊長為20cm的正方形，圓柱的半徑是1cm，正六棱柱的地面正六邊形，外接圓恰好是半徑為1cm的圓，看一個(gè)正方形內(nèi)，最多可以放多少個(gè)這樣的圓和多少個(gè)這樣的正六邊形，從而再計(jì)算相應(yīng)的空間的利用率，從而得出，誰的體積更大一些。模型建立：根據(jù)以上所有的基本假設(shè)，畫出粉筆盒中的俯視圖，如圖建立坐標(biāo)系我們根據(jù)兩圓外切的性質(zhì)，建立層數(shù)與圓心所在直線的方程關(guān)系。層數(shù)圓心所在直線1Y=12Y=1+3Y=1+nY=1+(n-1

9、)又由于，邊長為20cm的限制，而且最高層必須為完整的一層，我們確定1+10=18.32。所以，在圓柱形粉筆盒內(nèi)有11層，我們再來觀察第一層和第二層，第一層有10個(gè)圓柱之后，第二層有9個(gè)。層數(shù)中心所在直線1Y=12Y=1+3Y=1+nY=1+(n-1)第二種粉筆盒我們首先建立奇數(shù)列，正六邊形中心所在直線方程。層數(shù)對應(yīng)層中心所在直線1Y=1+2Y=1+3Y=1+nY=1+則奇數(shù)列可以放11層，我們再看偶數(shù)列中心所在直線方程n=11時(shí)，y=19.1865，再加上=0.866 為20.05,考慮到邊界，偶數(shù)列也可以放11層。我們縱向來看。則n=13時(shí)，x=19,考慮到邊界總共可以放13列。列數(shù)對應(yīng)列

10、中心所在直線1X=12X=2.53X=4nX=1.5n-0.5模型計(jì)算：（1）圓柱粉筆計(jì)算總體積：，總共所有的圓柱數(shù)目為，粉筆總共的體積為（2）六棱柱粉筆計(jì)算總體積：邊長，總共的正六棱柱的數(shù)目為總共的粉筆的體積為：模型的結(jié)論與推廣：通過計(jì)算發(fā)現(xiàn)，生產(chǎn)正六棱柱的粉筆盒內(nèi)的粉筆總體積：生產(chǎn)圓柱粉筆盒內(nèi)的粉筆總體積=371:329，所以一盒普通的圓柱形粉筆賣5元話的，為了保證性價(jià)比的同意，正六棱柱的粉筆，可以賣5.63元。師：模型中還有哪些重大問題，沒有考慮呢？生：我們精確的測量數(shù)據(jù)，粉筆盒的實(shí)際長度，與粉筆實(shí)際半徑，已經(jīng)市面上銷售的正六棱柱的粉筆，他們的邊長，跟我們假設(shè)的數(shù)據(jù)，有很大的出入，尺寸的

11、不同，是否會(huì)影響我們的計(jì)算結(jié)果呢？師：這個(gè)同學(xué)提的問題非常的好，那么下來之后，我們同學(xué)在網(wǎng)上購買相同規(guī)格粉筆盒的兩盒不同的粉筆，測量實(shí)際的數(shù)據(jù)，用我們同樣的方法評價(jià)粉筆的性價(jià)比。師：我們能否把我們的研究結(jié)果推廣到其他的地方？生：我們可以把我們的計(jì)算結(jié)果，推廣到，用卡車裝圓柱形的鋼管數(shù)目的多少，香煙盒怎么設(shè)計(jì)，可以裝三層香煙。師：我們能夠?qū)ξ覀冄芯康膯栴}，你還能提出，與我們所研究問題類似的問題呢？生：如果我們還是用硬紙板制作一個(gè)粉筆盒，單位面積的硬紙板，制作成圓柱形的好還是正方體好呢？師：這個(gè)同學(xué)很快把我們研究的問題就可以遷移出去，研究的方法，最終都會(huì)規(guī)則到平面幾何的方法中去。4案例教學(xué)的說明與

12、啟示：在整個(gè)教學(xué)活動(dòng)中，引導(dǎo)學(xué)生的思維，經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)問題，分析問題，基本假設(shè)，模型建立，模型求解，模型結(jié)論，模型推廣的全過程。特別是分析問題的過程，一定要讓學(xué)生積極的參與進(jìn)來，找準(zhǔn)角度建立盡可能簡單的數(shù)學(xué)模型；在基本假設(shè)的探究過程中，根據(jù)我們建立的簡單數(shù)學(xué)模型，基本假設(shè)，需要調(diào)動(dòng)所有學(xué)生的積極性，引導(dǎo)學(xué)生盡可能全面的考慮問題，將復(fù)雜情況簡單化；模型建立的過程中，指導(dǎo)學(xué)生用超級畫板將所研究的問題，圖形化，再引導(dǎo)學(xué)生用函數(shù)思想求解問題，模型求解階段，先提前給出簡單的數(shù)據(jù)，幫助學(xué)生求解，再引導(dǎo)學(xué)生去實(shí)際測量生活中的數(shù)據(jù)，帶入我們建立的模型求解。模型推廣中，讓學(xué)生發(fā)散思維，讓學(xué)生回顧我們所遇到的問題，在工

13、程和社會(huì)生活中還有哪些可以遷移的地方，比如煙盒的設(shè)計(jì)與制作，貨車運(yùn)輸鋼管的模型，改進(jìn)封閉的包裝盒等等，體會(huì)數(shù)學(xué)中模型話解決問題的價(jià)值。5.數(shù)學(xué)模型案例教學(xué)的價(jià)值：高中課堂中滲透數(shù)學(xué)建模案例教學(xué)，應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生，引導(dǎo)學(xué)生積極的解答。鼓勵(lì)學(xué)生獨(dú)立思考。傳統(tǒng)的教學(xué)只告訴學(xué)生怎么去做，怎么去記憶一些程序性的知識，不能夠極大的調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情。案例教學(xué)沒人會(huì)告訴你應(yīng)該怎么辦，而是要自己去思考、去創(chuàng)造，使得數(shù)學(xué)建模的過程變得生動(dòng)活潑，每個(gè)人都可以對老師提出的問題發(fā)表自己的看法。中學(xué)數(shù)學(xué)建模案例教學(xué)正是為此而生并在實(shí)踐的過程中不斷發(fā)展的完善的。傳統(tǒng)的教學(xué)方法是老師講、學(xué)生聽，學(xué)到的都是死知識。而在案例教學(xué)中，學(xué)生拿到案例后，先要進(jìn)行消化，然后查閱必要的理論知識，經(jīng)過縝密地思考，提出解決問題的方案。同時(shí)他的方案隨時(shí)需要教師加以指導(dǎo)，這也促使教師加深思考，根據(jù)不同學(xué)生的不用方案，不斷的去某一特殊案例的教學(xué)設(shè)計(jì)，優(yōu)化問題流程，使教學(xué)進(jìn)入良性的循環(huán)之中。參考文獻(xiàn)1葉其孝.中學(xué)數(shù)學(xué)建