工程力學(xué)例題集

1、例1求圖示桿各段的內(nèi)力并繪軸力圖例1圖別離體圖.州軸力圖解(1)采用截面法,分別解出各段內(nèi)力.Ni=4KN拉N|=1KN拉iii=-2KN壓(2)繪制軸力圖例2圖示桿的A、B、C、D點(diǎn)分別作用著大小為5P、8P、4P、P的力,yoABCD索IPAPBPCPD方向如圖,試畫出桿的軸力圖.CAB解:PAPBPCD-1-PDX0FN1PAPBPCPD0FN15P8P4PP0求OA段內(nèi)力FN：設(shè)置截面如圖FN12P同理,求得AB、FN2一BC、CD段內(nèi)力分PBPCPD別為:FN2=TPFN3.CMFN3=5PPCFN4=FN4PDDPD軸力圖如右圖FN2Prrrn+715P例3一懸掛桿件長(zhǎng)l,橫截面面

2、積為A,單位體積重量為試求桿件在自重作用下內(nèi)力沿桿軸的變化并繪出軸力圖.例3圖當(dāng)x=L時(shí),為軸力最大處,其值為NmaxAlNxqxAx例4圖不一等直鋼桿,材料的彈性模量每段的伸長(zhǎng)；2每段的線應(yīng)變；5kN圖b.2求各段伸長(zhǎng)設(shè)立坐標(biāo)如圖,在任意位置究對(duì)象.根據(jù)平衡條件x0,x處截取一段別離體作為研可得：E=210GPa.試計(jì)算：1全桿總伸長(zhǎng).D3工0mm(a)5kN軸力圖5kN1求出各段軸力,并作軸力圖AB段的伸長(zhǎng)：1ABBC段的伸長(zhǎng)：0.607mm46.07104m510329%10210-21010910kN10kN2m2m2m42101095103_2,0.000607m0.607mm102

3、106FNBClBCEA9解1內(nèi)力沿桿軸的分布首先將桿的自重簡(jiǎn)化成沿桿軸均勻分布的荷載.VQVAlAqAXllA5kNBCFNABlABEAmb別離體圖CD段的伸長(zhǎng)：FNCDlCDAlCDCDEA510322101096.07104m0.607mm(3)AB段的線應(yīng)變ABlAB0.00060723.03510BC段的線應(yīng)變EBCAlBCBClBC0.0006073.0352104CD段的線應(yīng)變lCDlCD0.0006073.035104(4)全桿總伸長(zhǎng)lADAlABlBClCD0.6070.6070.6070.607mm1-6例1軸向拉壓桿系結(jié)構(gòu),桿AB為直徑d=25mm的圓截面鋼桿；桿AC由

4、兩根等邊角鋼構(gòu)成2.756*10-4m2,兩根桿的的自重,試求結(jié)構(gòu)的允許載荷,每根橫截面積為120MPa,a200不計(jì)桿P.2.求各桿的允許軸力(由拉壓強(qiáng)度條件NABAAB58.9NAC66.1AACkN422.7561043.求允許載荷方法：使各桿的允許軸力)kNCB比擬后得結(jié)構(gòu)的允許載荷為NABNAB,2.92P58.9kN20.2 kNNACNAC,2.75P66.1kNP=20.2kND=400mm,氣壓q=1.2MPa,缸蓋用M206121040062mm50621210400214.818401-7例1求圖示兩端固定等直桿的約束反力解：解除約束,以方向約束反力代替螺栓與汽缸聯(lián)接,d

5、2=18mm,2=40MPa.求：活塞桿直徑活塞桿許用應(yīng)力bd1和螺栓個(gè)數(shù)no1=50MPa,螺栓RAEAEA平衡方程B為得到變形協(xié)調(diào)方程所謂“根本靜定系約束反力產(chǎn)生的P多余約束幾何方程RB:RARBP0,解除多余約束,形成分別考慮外力和多余位移疊加.設(shè)B為多余約束物理方程B處的RBfl-Ah解得：RB代入平衡方程解得PaEA,實(shí)際位移必須為0或:PaabRAlRBRB(ab)1RBPbab例2壓縮機(jī)汽缸直徑n=15解：1.缸蓋和活塞桿的壓力2.活塞桿和螺栓的面積DON3.求活塞桿直徑A4P4.求螺栓數(shù)目N所以A2A2PqAd：4d；4這個(gè)例題雖然簡(jiǎn)單,但是其求解方法具有一般性,由此可歸納出：

6、I求解靜不定問題的一般方法例2木制短柱的四角用四個(gè)40404的等邊角鋼加固,角鋼和木材的許用應(yīng)力分別為1=160MPa和2=12MPa,彈性模量分別為E1=200GPa和E2=10GPa；求許用載荷P.解：平衡方程：Y4N1N2P0幾何方程L1L2物理方程及補(bǔ)充方程：N1L1N2L2L1E1A1E2A2PIAI1/0.07308.6160/0.07705.4kN1.畫受力圖,列平衡方程,判斷靜不定次數(shù)；2.根據(jù)結(jié)構(gòu)的約束條件畫變形圖,找變形協(xié)調(diào)關(guān)系,列幾何方程；3.由力與變形或溫度與變形的物理關(guān)系,列物理方程；4.聯(lián)立幾何方程與物理方程建立補(bǔ)充方程5.補(bǔ)充方程與平衡方程聯(lián)立解全部未知力衡方程幾

7、何方程物理方程補(bǔ)充方程解平衡方程和補(bǔ)充方程,得N1E1A14E1AlE2A2E2A24E1AlE2A20.07P0.72P求結(jié)構(gòu)的許可載荷:N10.07PA11角鋼面積由型鋼表查得A1=3.086cm2同理：N20.72PA22P2A22/0.72250212/0.721042kNPmin:PI,P2705.4kN例3:圖示懸吊結(jié)構(gòu)ABC梁剛性,各桿EA相同,求各桿內(nèi)力i.平衡方程MA0,2.幾何方程3.物理方程N(yùn)iNiaN22N2lili2a2P2aN2lEA補(bǔ)充方程與平衡方程聯(lián)立解得NiP；N2空55例4.求圖示兩端固定等直桿的約束反力解：解除約束,以方向約束反力代替平衡方程RA為得到變形

8、協(xié)調(diào)方程EARB2P0,解除多余約束,系.分別考慮外力和多余約束反力產(chǎn)生的多余約束.形成所謂“根本靜定位移疊加.物理方程N(yùn)_iliE一A二1PPaEARB(aP(ab)EA2b)多余約束B處的實(shí)際位移必須為0幾何方程：l0或:1RBA解得：RB代入平衡方程解得:RA2aba2b3bPa2b例5:輸熱管道AB長(zhǎng)為L(zhǎng),橫截面積A,材料的彈性模量E,熱膨脹系數(shù)為a,試求：當(dāng)溫度升高AToC時(shí)管內(nèi)的應(yīng)力.解：1.平衡方程共線力系X0,RARB0得：RARB一次靜不定2.幾何方程LT溫度變形LR再次變形3 .物理方程LRBLLLR,LTEA4.補(bǔ)充方程aRBLEALT補(bǔ)充方程與平衡方程聯(lián)立解得RARBa

9、EAT5.溫度應(yīng)力RATAaEAT例6:圖示懸吊結(jié)構(gòu)AB梁剛性,各桿求各桿裝配應(yīng)力N2NiAN3BEA相同,桿3短解:1.平衡方程0,NIN2N30MA0,N2aN32a02.幾何方程(l1l2)l3選擇題：1、危險(xiǎn)截面是C所在的截面.A.最大面積；B.最小面積；C.最大應(yīng)力；D.最大內(nèi)力2、低碳鋼整個(gè)拉伸過程中,材料只發(fā)生彈性變形的應(yīng)力范圍是超過A.%；B.ffe;C.(rp;D.?3、沒有明顯屈服平臺(tái)的塑性材料,其破壞應(yīng)力取材料的BA.比例極限(TpB.名義屈服極限(T0.2C.強(qiáng)度極限cbD.根據(jù)需要確定4、用截面法時(shí)必須保存桿件CA.位于截面左邊的局部；C.位于截面左、右兩邊哪一局部都

10、可以；5、由均勻、連續(xù)性假設(shè),可以認(rèn)為C、D、EA、構(gòu)件內(nèi)各點(diǎn)應(yīng)力、內(nèi)力均相等；B、構(gòu)件內(nèi)各點(diǎn)變形、位移均相等；C、構(gòu)件內(nèi)的應(yīng)力、變形和位移可用點(diǎn)坐標(biāo)的連續(xù)函數(shù)來表示D、材料的強(qiáng)度在各點(diǎn)都相等E、材料的彈性模量在各點(diǎn)是相同的6、各向同性的假設(shè)是指材料在各個(gè)方向A、CA、彈性模量具有相同的值；B、變形相等；C、具有相同的強(qiáng)度；D、應(yīng)力相等；E、受力和位移是相同的.7、根據(jù)小變形條件,可以認(rèn)為DoA、構(gòu)件不變形C、構(gòu)件只發(fā)生彈性變形B、構(gòu)件不破壞D、構(gòu)件的變形遠(yuǎn)小于原始尺寸B.位于截面右邊的局部；D.統(tǒng)一的某一局部.第二章解：為保證接頭強(qiáng)度,需作出三方面的校核.?(1)怫釘?shù)募羟袕?qiáng)度校核F-3FS

11、420010T92ASd0.02444159.15MPa?(2)韌釘?shù)臄D壓強(qiáng)度校核上、下側(cè)鋼板與每個(gè)佛釘之間的擠壓力均為Fbs=F/4,由于上、下側(cè)鋼板厚度相同,所以只校核下側(cè)鋼板與每個(gè)佛釘之間的擠壓強(qiáng)度,根據(jù)擠壓強(qiáng)度條件式得FFbs4Absdt312.5MPa?(3)鋼板的抗拉強(qiáng)度校核由于上、 下側(cè)鋼板厚度相同,故驗(yàn)算下側(cè)鋼塊即可,畫出它的受力圖及軸力圖(圖c,d).對(duì)于截面m-m：Abndt0.220.020.00812.8104m2FN2001033/44A12.8104117.2106Pa117.2MPaa滿足抗拉強(qiáng)度條件.滿足剪切強(qiáng)度條件.4 一 4 一44210.020.00814

12、.4104m2138.9106Pa138.9MPa可.F/4d二F,4M4mnT(c)3F/4F/4ET(d)例題2-2圖示為受拉力F=150kN作用的對(duì)接接頭,其中主板寬度b=170mm、厚度t=10mm,上下蓋板的厚度(b)例題2-2圖對(duì)于截面n-(TFNA20010314.41040.2滿足抗拉強(qiáng)度條件.綜上所述,該接頭是平安的.t2=6mm.材料的許用拉應(yīng)力為(T=160MPa,許用切應(yīng)力為0bs尸300MPar=100MPa,許用擠壓應(yīng)力為試確定韌釘?shù)闹睆紽F解：對(duì)接口一側(cè)有3個(gè)釧釘由剪切強(qiáng)度條件FSTAS工空-HI7td/417.81021501036100103/cm17.8mm

13、42)校核擠壓強(qiáng)度bbsFbsAbs150F/ndt1310/33317.8101010628010Pa280MPa6KbsJ(b)例題2-2圖?對(duì)于截面第三章例題3-1如圖a所示的傳動(dòng)軸,主動(dòng)輪輸入的功率為=500kW,三個(gè)從動(dòng)輪輸出的功率分別為P2=P3=150kW,P4=200kW,軸的轉(zhuǎn)速為300r/min,試作出軸的扭矩圖.解：按公式計(jì)算外力偶矩:一3一一一6.3710Nm6.37kNmMe1P9550n50095503001.59一4一一10Nm15.9kNmMe2Me395501504.87300103Nm4.87kNm.(3)鋼板的抗拉強(qiáng)度校核兩塊蓋板的厚度之和大于主板的厚度,

14、故只要校核主板的抗拉強(qiáng)度即可,主板的受力和軸力圖如圖?對(duì)于截面m-m:15.2,4410m0.1710.01820.01FF/3nF/U2tszFNA315010398.715.210106Pa98.7MPaCTF口口,2F/3ihim(c)例題2-2圖A0.1713.4FNA74.620.0180.014210m1501032/313.4104106Pa74.6MPa(T鋼板滿足抗拉強(qiáng)度條件.最終選擇加釘直徑為P1Me42009550300mm18mm.(b)n(C)例題2-2圖用截面法即可計(jì)算出各段的扭矩:(b)c)Me4Me2Me4Me1,Me2Me3二一-Me4Me1Me115.9kN

15、mMe34.87kNm6.37kNm(d)Y(dk-xAB段：在截面I由平衡條件Mx0-I處將軸截開,取左段為脫離體,如T1M40Me4xM46.37kNm如圖BC段：在截面n由平衡條件Mx0T2-n處將軸截開,取左段為脫離體,Me4T2M4MM4M1041(d)16.3715.99.53Me1-4_皿與2BK+(3如圖CD段：在截面田由平衡條件-出處將軸截開,取右段為脫離體,x(e)其扭矩圖如圖T3M34.87DxMe3f所示,由圖可知,最大扭矩在BC段內(nèi),其值等于9.53kN-m.24d9.53kNm(f)imraiiu4.78kNmlUlUUlIHTWI6.37kNm例2電機(jī)的傳動(dòng)軸直徑

16、d=40mm,軸傳遞的功率P=30kW,轉(zhuǎn)速n=1400r/min.材料的許用切應(yīng)力=40MPa,切變模量G=80GPa單位長(zhǎng)度的許用扭轉(zhuǎn)角=1o/mo試校核此軸的強(qiáng)度和剛度.解：(1)計(jì)算傳動(dòng)軸的扭矩PTMe95509550n(2)強(qiáng)度校核TmaxT16204axWPd3/160.043由此可見,此軸分別滿足強(qiáng)度條件和剛度條件的要求例3圖a所示為裝有四個(gè)皮帶輪的一根實(shí)心圓軸的計(jì)算簡(jiǎn)圖.：Me1=1.5kN-m,Me2=3kNm,Me3=9kNm,Me4=4.5kN-m；材料的切變模量G=80GPa,許用切應(yīng)力T=80MPa,單位長(zhǎng)度許可扭轉(zhuǎn)角=0.005rad/mo(1)設(shè)計(jì)軸的直徑D;(2

17、)假設(shè)軸的直徑DO105mm,試計(jì)算全軸的相對(duì)扭轉(zhuǎn)角.根據(jù)剛度條件:Tmax0.103m103mm根據(jù)上述強(qiáng)度計(jì)算和剛度計(jì)算的結(jié)果30204Nm140016.2106Pa16.2MPamax(3)剛度校核TmaxTGIpGd4/32p32204180810100.0440.58o/m解：(1)畫軸的扭矩圖,如圖由扭矩圖可知,圓軸中的最大扭矩發(fā)生在b所示.AB和BC段,其絕對(duì)值為4.5kNm(2)設(shè)計(jì)軸的直徑根據(jù)強(qiáng)度條件:TmaxTmaxTmaxWPD3/16T可以得到軸的直徑為3D16Tmax3一-一3801060.066 m66mmTmaxmax可以得到軸的直徑為GIp一一4一GD/32(b

18、)例題3-3圖324.5103801090.005可知,該軸的直徑應(yīng)選用D=103mm.(3)全軸的相對(duì)扭轉(zhuǎn)角的計(jì)算假設(shè)選用軸的直徑D0=105mm,其極慣性矩為IpD040.105411908410m3232TCCD1.51031.23,CD91.89103radGIP8010119010TBC3IBC4.5101347310radBC9iauGIP80101190103TABlAB4.5100.83.AB93.7810radGIP8010119010全軸的相對(duì)扭轉(zhuǎn)角為:CD段最大剪應(yīng)力為:因此,7.4cmmax1max2TWpM0.8d316TWPTmax2WP2M_d316M30.8d1

19、6顯然,max1max2故危險(xiǎn)截面在AC段.為保證軸的平安,必有:max132Md3AD31.89104.733103.781032.8410rad例4圖示階梯軸,軸的轉(zhuǎn)速為80GPa,的強(qiáng)度確定60r/minT=80,等效施加力偶AC段直徑為d的最小值;角DB解：(1)ACMPa,Md,CD段直徑為右端輸入功率為材料的剪切彈性模量0.8d.試:(2)求此時(shí)D截面相對(duì)于該階梯軸的扭矩圖如以下圖所示.P20954995493183n60段最大剪應(yīng)力為：max1WP2Md31620kW,(1)根據(jù)軸B截面相對(duì)扭轉(zhuǎn)G=AD3231833.148010632Md(2)計(jì)算相對(duì)扭轉(zhuǎn)角DBDCCBTDCl

20、DCDCGIpMIDC40.8d32801096.5110TCBCB因此,DB注：面向3231830.2RA3.143rad0.80.373lcBGIpDCCB_4_87.410o順時(shí)針lcBd4320.5964DCD截面觀察時(shí),轉(zhuǎn)角0.40960.222DB5kN0,Fs2q1RB0,O0,M2RB1例2:求梁的剪力方程,彎矩方程;并作Fs、M圖.解：(1)列Fs、M方程0,Fs(x)qx0,Fs(x)qx0,0,M(x)q2x2q2x2作Fs(x)0,l0,Fsmaxql1Mmax3M2MMTMD2MDC逆時(shí)針順時(shí)針為順時(shí)針方向.Fs2q12ql22-2截面的右側(cè)研究3KN0,M4KNmq

21、rrrmvrrM(x)Fs(x)Fsql122qlAC段FsRAP/2,x(0,i)2MRAXPx/2,x0,gCB段Fs(x)RBP2,x(；,1)M(x)RB1xP1x2,x；,1Fs,M方程；畫Fs,M圖.解：(1)支反力RARBm1(2)歹UFs、M方程AC段FsRA曳,x0,)12m1、MRAxx,x0,)12CB段例3:作Fs、M圖.解：1支反力RAPA;7BRAIl/2Il/21RBAC段,.M(x)f=PRAxFs(x)CB段M(x)RBP2Fs兇1xRB(2)列Fs、M方程AC段丫0,RAFs(x)0,Fs(x)RAP2,xM0,RAxM0,MRAxPx2,xCB段Fs(x)

22、RBP/2,1M(x)RB1xP1x1(0.2)2,FstP/2+P/2FsP2MmaxP14在集中力作用處,剪力圖有突變.FsRBm1,x1(2,1MRB1xm11xx(2,1(3)作Fs、M圖例4:梁,m,1.列AB段FsRAmm-,x(0,l)AC段MRAxx,x0,-)l2mCB段MRBlxlxlx(2,lFslmaxm/l,|MImaxm/2m/2一一在集中力偶作用處,彎矩圖有突變.例5:簡(jiǎn)支梁,q,L,試列Fs,延程；畫Fs,M圖.解：(1)支反力RARBq2(2)歹UFs、M方程qlFsx-qx,x(0,l)Mxq-x更x,x0,l22(3)作Fs、M圖Mql28Fsmaxql2

23、Mmaxql2Fsx,Mx方程此題：假設(shè)分別對(duì)求一階導(dǎo)數(shù),得:dMxdxdFsxdxFsqLqL2qLx2,FsxqxFsqxx這個(gè)微分關(guān)系是偶然?必然？(3)作Fs、M圖m例1試畫以下各梁的剪力、彎矩圖5-5qMqa22ADBPa2P=qaqa解：(1)支反力RA2qaqa22a45qaRBqaRA4(2)作剪力圖、彎矩圖Fs|maxqaMmaxqa22解：(1)支反力RARBP2(2)作剪力圖、彎矩圖IFP2smaxMPa/2max.解：(1)支反力RAqa2RB5qa2(2)作剪力圖、彎矩圖Fs3qa.2smaxMmaxqa2解：(1)支反力RARBqa(2)作剪力圖、彎矩圖Fsmaxq

24、a例5試畫以下梁的剪力、彎矩圖max2qaORAq0.40.2100.40.2RB例6試畫以下梁的剪力、彎矩圖.RA0.2100NARARB50N例7試畫以下梁的剪力、彎矩圖q2aaRA1a234qaRARB94qaq2a例8試畫以下梁的剪力、彎矩圖2RB3aqaq3aFs圖(kN)RB136qa*RA56qa試畫以下梁的剪力、彎矩圖.q=1kN/mm=6kN.mRA4m2mP=3kNBI3mRB2.53/2：IiD5/2E；5rHBMlWIM圖(kN.m)3.525/8：11Fs7/6M1/62.5a05/6qO|5/6qa13/72解：求約束反力RB一RA2.5(kN)RB6.5(kN)例

25、10簡(jiǎn)支梁剪力圖,試畫出梁的荷載圖和彎矩圖,注:梁上無集中力偶.3kN5kN5kNFs圖丁3kN5kN2m2m2m6kNFs圖4m4kNm4kNmM圖4m5kN3kNF4kN第五章120TTK,I1用TXM圖10kNm8kNm4kNm例1:求圖示平面圖形的形心坐標(biāo).z10I.y1(VC,Zj120矩形I：A112010yc15(mm)矩形II：1200(2mm)Zc160(mm)A2單位:mmyc2Zc210形心:701010705(mm)700(45(mmmm卜y1()c,ZjVcA1yc1A2yc2Z1.II-10yA1A21200570045單位:mmZcy2A1Zc1A2Zc21200

26、60A1A2120070019.7(mm)7005120070039.7(mm)例2:求圖示T形截面的形心坐標(biāo).解：建參考坐標(biāo)系,y軸為對(duì)稱軸20Fio將T形截面看成由兩個(gè)矩形組成.A=A1+A2=20100+10020=4000mm2Sz1=A1yc1=2000Sz2=A2yc2=2000100z-z(100+10)=2.2105mm3(100/2)=1105mm320Sz=Sz1+Sz2=3.210mm3yc=Sz/A=80mmZC=O慣性矩和慣性半徑1.慣性矩對(duì)原點(diǎn)量綱:Iz對(duì)z、y軸慣性矩2AydA,.的極慣性矩長(zhǎng)度4;例3:計(jì)算矩形截面對(duì)其形心軸的慣性矩解：對(duì)z軸dA=bdyAy2d

27、A2z2dAA同理對(duì)軸2IyAZdA矩形截面慣性矩符號(hào):,2.bydydAhdzb/22hzdzb/22dA(Q2z2)正不能為零3bh12h/2h/2dyb/2b/23hb12h/2h/2高312yzb/2b/2例4:計(jì)算圓形對(duì)形心軸的慣性矩.解:D432IyIz2.慣性半徑在材料力學(xué)計(jì)算中,為方便起見,.可以把慣性矩寫成圖形的面積A與某長(zhǎng)度i的平方的乘積形式:注意：一般地,慣性半徑并無法給出明確的幾何解釋.特殊地,圓形截面的慣性半徑等于四分之一圓的直徑值慣性積慣性積：量綱：長(zhǎng)度4；符號(hào)：可正、可負(fù)可為零.特點(diǎn)：關(guān)干對(duì)一軸的慣性積為零IpIyIz21y2IzD464稱:慣性半徑IyzAyzd

28、AA2,、2.AydA(yca)dAAA22ycdA2aycdAadAAAA2,Izc2aSzcaASzc0(對(duì)形心軸白靜矩)IzIzca2Azzc2IyIycb2A例5:圖示三角形截面.13：Izbh12求：Iz?解：IziIzh2(hb)2(1)先求過形心軸的軸慣矩IzIzc(3)22bh(2)再次利用平行移軸公式22IziIzc(h)3131313Izcbhbhbh121836113(hb)bh24例6:計(jì)算圖示圓孔截面的形心和對(duì)形心軸的慣性矩9216平行移軸公式解:用負(fù)面積法SySy1zcIzcSyAD64D3D24A)6424264D216D4D416D64315IycIyD4Az2

29、(ID2644119D46416y1A2(D424(1441024D364D12415D41024zc)2)D2D2心J)2)163z例1：求C截面k點(diǎn)正應(yīng)力:1.5kN,a解:(1)0.18m,b截面彎矩CPa1.5(2)慣性矩_bhIz石(3)k點(diǎn)應(yīng)力5-3h/2zh/2一0.12m,y0.06m1032一一 33103(Nm)0.583100.120.181231030.5831040.063.09106(N/m2)例1一矩形截面簡(jiǎn)支木梁如下圖,q=2kN/m,彎曲時(shí)木材的許用正應(yīng)力4,4、(m)3.09MPa(拉)l=4m,b=140mm,h=210mm,b=10Mpa,校核該梁的強(qiáng)度

30、.解：先畫梁的彎矩圖由梁的彎矩圖可以看出,梁中最大彎矩應(yīng)發(fā)生在跨中截面上,其值為121Mmaxql288彎曲截面系數(shù)為103424103N.m1一0.1460.2120.103102m由于最大正應(yīng)力應(yīng)發(fā)生在最大彎矩所在截面上,所以有max3Mmax410323.88Wz0.10310106Pa3.88MPa例2形截面的外伸梁如下圖.：b=30mm,c=80mm,F1=24kN,F2=9kN許用壓應(yīng)力bc=90Mpa,試校核梁的強(qiáng)度.解：(1)先畫出彎矩圖(圖b)(2)確定截面形心C的位置y10.110.0380.072m0.110.030.0150.030.080.07y20.110.030.

31、030.080.038m(3)截面對(duì)中性軸的慣性矩540.57310m(4)強(qiáng)度校核因材料的抗拉與抗壓強(qiáng)度不同,而且截面關(guān)于中性軸不對(duì)稱,所以需對(duì)最大拉應(yīng)力與最大壓應(yīng)力分別進(jìn)行校核.校核最大拉壓力.由于截面對(duì)中性軸不對(duì)稱,而正、負(fù)彎矩又都存在,因此,最大拉應(yīng)力不一定發(fā)生在彎矩絕對(duì)值最大的截面上.應(yīng)該對(duì)最大正彎矩和最大負(fù)彎矩兩個(gè)截面上的拉應(yīng)力進(jìn)行分析比擬.最大正彎矩的C截面上,最大拉應(yīng)力發(fā)生在截面的下邊緣,其值為2.71030.0386517.91106Pa17.91MPa0.573105在最大負(fù)彎矩的B截面上,最大拉應(yīng)力發(fā)生在截面的上邊緣,其值為MB1.81030.0726Oi,max-By1

32、522.5106Pa22.5MPa.Iz0.573105由以上分析知該梁滿足強(qiáng)度要求.Iz(30.110.03120.110.030.0232)30.030.0812一一一_2、0.030.080.032)l=600mm,a=110mm,材料的許用拉應(yīng)力bt=30MPaV2校核最大壓應(yīng)力首先確定最大壓應(yīng)力發(fā)生在哪里.與分析最大拉應(yīng)力一樣,要比擬C、B兩個(gè)截面.C截面上最大壓應(yīng)力發(fā)生在上邊緣,因MC和丫1分別大于上,即：B截面上的最大壓應(yīng)力發(fā)生在下邊緣.MB與y2,所以最大壓應(yīng)力應(yīng)發(fā)生在C截面c,maxMCIzy1_3_2.7100.0726cr,733.910Pa33.9MPan0.57310

33、5例3:梁的橫截面為工字鋼,試按要求選擇工字鋼型號(hào).第六章用,試求梁的撓曲線方程,并求最大撓度及最大轉(zhuǎn)角.解：建立坐標(biāo)系并寫出彎矩方程M(x)F(lx)寫出微分方程并積分應(yīng)用位移邊界條件求積分常數(shù)C1=,C2=0求最大撓度和最大轉(zhuǎn)角.在自由端處,有Fl2Fl2Fl2max2EIEI2EI順時(shí)針333FlFlFlwmax6EI2EI3EI向卜17kNPI:l/3l/334(3)計(jì)算Wz19kN38圖(kN-m)WzMmaxn(4)查表：P329選20a,PIl解:(1)(2)15kN,P221kN6m170MPa計(jì)算約束反力畫彎矩圖,確定Mmax竺_10.22310-3(m3)223(cm3)1

34、701063Wz237cm3計(jì)算值例1:圖示一彎曲剛度為EI的懸臂梁,在自由端受一集中力EIwM(x)FxFlEIwFx3Flx2Cix62C2EIw12_Fx2FlxC12寫出轉(zhuǎn)角方程及撓曲線方程EI21Fx2Flxw11Fx3EI62Flx2P2l/3例2:圖示一彎曲剛度為EI的簡(jiǎn)支梁,在C點(diǎn)處受一集中力F作用,試求梁的撓曲線方程,并求C截面撓度及A截面轉(zhuǎn)角.解：建立坐標(biāo)系并寫出彎矩方程AC段彎矩方程為：MiBC段彎矩方程為：M2FRAX1x(0Xa)FbxF(xa)(axl)1寫出微分方程并積分_bAC段：EIwiFx(0 xElwiFb-x2Ci21Fb3ElwixCixDi61JBc

35、x一b.1BC段：Elw21bxF(xa)(aX1)Elw2Elw,Fb2F2x(xa)C2212Fb3F,、3x(xa)C2xD616應(yīng)用位移邊界條件求積分常數(shù)支座約束條件：wix00w2Ix位移連續(xù)條件：wi(a)w2(a),wi(a)w2(a)代入上述撓曲線方程得：一一Fb22_CiC2(1b),DiD2061寫出轉(zhuǎn)角方程及撓曲線方程AC段：(0 xa)Fb1221w1-(lb)x2EIl3Fbx222、w1(lbx)6EIlBC段：(a2W2FbW6EIlxl)Fbl26EIl(l2b2)x求指定截面的位移例3彎曲剛度為EI的簡(jiǎn)支梁受荷載如下圖.試按疊加原理求梁跨中點(diǎn)的撓度和支座處橫截

36、面的轉(zhuǎn)角.例4試按疊加原理,求圖示彎曲剛度為EI的簡(jiǎn)支梁的跨中點(diǎn)C的撓度和支座A、B處橫截面的轉(zhuǎn)角解：此梁上的荷載可視為正對(duì)稱和反對(duì)稱荷載的疊加,rnl/2正對(duì)稱荷載作用下:q/2q/2q/2如下圖.C45(q/2)l384EI3(q/2)l324EI5ql4768EI.3ql48EIA.B上Ca_bb2C截面的撓度：WclxaA截面的轉(zhuǎn)角:Fab(l26EIlFb2(l6EIl.22、ba)b2)qrriAhIIq/2q/2q/2B215度A-例撓/I/方法反對(duì)稱荷載作用下:l/2Wc2所以:Wc1(q/2)(l/2)324EI3ql384EIWC25ql4768EI懸臂梁的剛度Wc.3ql

37、48EI3ql48EI.3ql384EI3ql384EI3ql3128EI7ql3384EIEI,分布載荷集度q,求圖示自由端c的m:ic解：先取微分長(zhǎng)度,形成微集中力dP=qdx查表6-3第3組知:dWcqdxx26EI(6ax)()qqdxrnkic積分Wc2adWca器()ABy.a小a. qLLWq1cal.aWc14q(2a)()8EI47qa/、Wc2WB2B2aL,()24EI43WB2qa()8EIB2qa.)6EI.)WcWc1Wc2WcWciWc2C；-aIa2qa47qa441qa4EI24EI24EI例6簡(jiǎn)支梁AB的彎曲剛度EI為常數(shù),集中力P作用在D處,根據(jù)右側(cè)附圖,

38、求中截面C的撓度Wc.wEItaJPDCH1WBPI33EIPl22EIB/F2aAP/2AJFP/2P/2P/2解：將P力分解為關(guān)于中截面的對(duì)稱和反對(duì)稱力(P/2)之和的形式.顯然,在反對(duì)稱力(P/2)作用下,wc=0對(duì)稱力作用的簡(jiǎn)支梁,的問題.可以等效為懸臂梁受到兩個(gè)力的作用P/2P/2P2CH.B在對(duì)稱力P/2和支座反力可以用如下圖懸臂梁端部的撓度WBP-a33EI32a撓度3EIWCWBP2CH|CHP/2作用下,所求中截面的撓度WB表示.撓度P-a一轉(zhuǎn)角a2EI11Pa312EI11Pa312EIWc例7懸臂梁如下圖,有載荷P沿梁移動(dòng),假設(shè)使移動(dòng)時(shí)總保持相同的高度,試問：應(yīng)將梁軸線預(yù)

39、彎成怎樣的曲線？設(shè)EI=常數(shù).梁變形后恰好與該曲面密合,且曲面不受壓力何種載荷？載荷的大小和方向如何？解：由y=-Ax3得：12y3AxyMxEIyFsxMxqxFsx因此在梁的右端由F產(chǎn)生的彎矩方程為：M=F(l-x)=Fl-6EIAx解：查表Px2w3cx6EI令x=c得C截面載荷作用點(diǎn)PC2Qw3cc6EI的撓度:Pc33EI故：梁軸線預(yù)彎成的曲線方程為:Px3y3EI例8滾輪沿簡(jiǎn)支梁移動(dòng)時(shí),要求滾輪恰好走一水平路徑,試問:需將梁軸線預(yù)彎成怎樣的曲線？設(shè)EI=常數(shù).解：查表6-3第8欄彳導(dǎo)(p.174)AC段的撓曲線方程為：Pbx126EIlb2令x=a得C截面(滾輪接觸點(diǎn))的撓度:Pb

40、a126EIl令a=湍：wPlxx26EIl_22Px2lx3EIl故：梁軸線預(yù)彎成的曲線方程為：yPx2l例9圖示等截面梁,抗彎剛度為3EIlEL設(shè)梁下有一曲面y=-Ax3,欲使6Ax6EIAx6EIAconst0無分布載荷B必有向上的集中力:F=6EIA試問：梁上應(yīng)加故在右端還需附加順時(shí)鐘方向的集中力偶矩：m=Fl=6EIAl例10車床主軸如下圖,切削力FI=2KN,嚙合力F2=1KN;主軸外徑D=80mm,內(nèi)徑d=40mm,l=400mm,a=200mm.C處的許用撓度為0.0001l,B處的許用轉(zhuǎn)角為0.001rad,材料的彈性模量E=210GPa.試校核其剛度.解：計(jì)算變形查表6-3

41、第11欄得(p.175)得F1引起的C端撓度和截面角分別為：F-iWcfla13EI查表6-3第8欄得BF(p.174引起的C端撓度和截面角分別為：BF2其中:F2l216EIIWCF2B的轉(zhuǎn)F1al+3EI)得FB的轉(zhuǎn)BF2al/2nBF2nrrl/2FI64D4d418859410m由疊加法可得C端的總撓度為:WCWCFIWCF20.04040.005060.0353mmB端的總轉(zhuǎn)角為:BBF,BF,0.134710BBF1BF230.02531030.1094103rad(2)校核剛度主軸的許用撓度和許用轉(zhuǎn)角分別為:0.0001l0.0001400mm0.04mm0.001rad故：主軸

42、滿足剛度條件.B端的約束反力.例11求圖示靜不定梁B解：、建立根本靜定系確定超靜定次數(shù),用反力代替多余約束:口口口ITTA:.所得到的結(jié)構(gòu)一一根本靜定系.IIFBZEOB_U、幾何方程一一變形協(xié)調(diào)方程qAWBq+ARBWBWBqWBF01口IIILB、物理方程lAZWBqql48EI變形與力的關(guān)系FBI3WBF3EI第七章口Il口口EBB1R例題 7-1 圖 a 為一平面應(yīng)力狀態(tài)單元體,試求與 x 軸成30角的斜截面上的應(yīng)力.解：由圖可知:外30MPaql48EIFBI33EI0WBq求得：FB3wBF8、補(bǔ)充方程y6y20MPa,那么由公忒及7-4可直接得到該斜截面上的應(yīng)力:3020-302

43、30203020,、cos(230)302T30sin(230)30cos(230可見在qi(b)sin(230MPa30)1.52MPa)19.33MPa令的截面上,正應(yīng)力具有極值最大或者最小二、最大正應(yīng)力和最大剪應(yīng)力主平面主應(yīng)力xysin2axcos2a02兩個(gè)主平面相互垂直,因此,主應(yīng)力也一定互相垂直.a0a090o一ycos2axsin2acos2a0,1tg*22asin2a0tg 2a0cos2a0cos2a01,1tg22a0sir2a0tg2a0co*a.tg2a0maxminsin2aqcos2a用類似的方法,可以討論切應(yīng)力的平面.將式74對(duì)a取導(dǎo)數(shù):還可寫成另外:tan2a

44、01tan2a1這說明2a0與2a1相差90o,即切應(yīng)力極值所在平面與主平面的夾角為45Oo例題7-2試求圖中所示單元體的主應(yīng)力解：由圖可知:x10MPa,y30MPa,x20MPamaxmin10302x10302拉應(yīng)力壓應(yīng)力20242.4MPa-2.4MPa42.40MPa(7-4)a的極值和它們所在d令此導(dǎo)數(shù)等于零,示此值,即dTa(a可求得6P),各桿所用2a(d)Fcr2EI(l)2桿a能夠承受的壓力最小.例2千斤頂為圓截面桿,如下圖,絲杠長(zhǎng)度為徑d=40mm；材料為45號(hào)鋼,s=60,l=375mm,直P=100;中柔度桿臨界應(yīng)力公式為cr=a-b人,其中a=589MPa,b=3.82MPa;最大起重量F=80kN,規(guī)定的穩(wěn)定平安系數(shù)nst=4,試校核其穩(wěn)定性.解：1計(jì)算柔度絲杠可簡(jiǎn)化為下端固定,上端自由的壓桿,長(zhǎng)度系數(shù)取id464d24d4010mm44(b)l2375103T1010一75(a)2選擇計(jì)算臨界應(yīng)力的公式由于sP,屬于中等柔度桿因此:cr5891063.8210675302.5MPaFcrcr4010302.5106380.1kN工作平安系數(shù):FcrF380.1804.75nst故：千斤頂絲杠是穩(wěn)定的.例3空氣壓縮機(jī)活塞桿為圓截面桿,兩端約束均可簡(jiǎn)化為錢支座.桿長(zhǎng)s=350MPa,式為:cr=a-bPmax=41.6KN,l=703mm,直徑d=4