不等式的概念

1、不等式的概念不等式的概念不等式的性質(zhì)不等式的性質(zhì)重要不等式重要不等式不等式的解法不等式的解法不等式的證明不等式的證明不等式的應(yīng)用不等式的應(yīng)用一一.本章知識結(jié)構(gòu)本章知識結(jié)構(gòu)不等式不等式不等式不等式不等式的性質(zhì):一一.單向性單向性:二二.雙向性雙向性:(傳遞性,注意找中間量)(注意條件為正)(注意乘的數(shù)的正負)(1),(2)(3),0(0)(4),0(0)(5),aboababoab aboababbaab cacbc cab cacbc cab cRacbc(1),(2),(3)0,0(4)0,nnab bcacab cda cb dabcdacbdabnRab 算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)算術(shù)平均數(shù)

2、與幾何平均數(shù)1.如果如果 ,且且 n1 ,那么那么 叫做這叫做這 n 個個正數(shù)的正數(shù)的算術(shù)平均數(shù). 叫做這叫做這n個正數(shù)的個正數(shù)的幾何平均數(shù).2.定理定理:如果如果 ,那么那么 (當且僅當當且僅當 a=b 時時,取取“=”號號) 推論推論:(二元均值不等式二元均值不等式)如果如果a,b是正數(shù)是正數(shù),那么那么 ( 當且僅當當且僅當 a=b 時時,取取“=”號號)12,.,na aaR12.nna aa, a bR222abab2a bab12.naaan重點難點重點難點(1)二元均值不等式具有將二元均值不等式具有將“和式和式”轉(zhuǎn)化為轉(zhuǎn)化為“積式積式”和將和將“積式積式”轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)化為化為“和式和式”的

3、放縮功能的放縮功能.(2)創(chuàng)設(shè)應(yīng)用均值不等式的條件創(chuàng)設(shè)應(yīng)用均值不等式的條件:合理拆分項或配湊因式合理拆分項或配湊因式是常用的解是常用的解題技巧題技巧,而拆與湊成因在于使等號能夠成立而拆與湊成因在于使等號能夠成立.(3)“和定積最大和定積最大,積定和最小積定和最小”,即即2個正數(shù)的和為定值個正數(shù)的和為定值,即可求其積最即可求其積最大值大值;積為定值積為定值,則可求其和的最小值則可求其和的最小值. 應(yīng)用此結(jié)論時應(yīng)用此結(jié)論時注意注意:一正一正(各項或因式非負各項或因式非負);二定二定(和或積和或積為定值為定值);三相等三相等(各項或各因式都能取得相等的值各項或各因式都能取得相等的值).必要必要時要作

4、適當?shù)淖冃螘r要作適當?shù)淖冃?以滿足上述前提以滿足上述前提.不等式的證明不等式的證明:v一.比較法:v(1)差比法:要證ab, 只須證 a-b0.v(2)商比法:要證ab,b0,只須證 a/b1.v步驟:作差 變形 判斷差式的正負v 作商 變形 判斷商式與1的大小.v注意:差比法變形主要是分解多個因式的積(商)或多個式子的平方和,必須分解徹底.v商比法變形主要是通過適當放大或適當縮小從而利用不等式的傳遞性判斷與1的大小.v處理絕對值:(*)由定義討論去掉絕對值符號,(*)利用平方去掉絕對值符號.如:22abab解解: a,b是不相等的正數(shù)是不相等的正數(shù).211GHabab2()0,22ababA

5、GabGA222222222()204242aba bQ Aaba baab ba bA Q HGAQ1.設(shè)a,b是兩個不相等的正數(shù),試比較A,G,H,Q的大小.222,1122ababAGab HQab此題應(yīng)先從特殊的角度去探索,令a=1,b=3,則從而明確了比較方向明確了比較方向.32,3,52AGHQ2ababab()2abababab2()0abababHG例例:已知已知 且且 ,求求4a-2b的范圍的范圍.不少同學采用下面的方法求解不少同學采用下面的方法求解.一個典型題目的典型錯解一個典型題目的典型錯解解解: 由于12ab24ab332a326a023b302b34212ab12ab

6、24ab(1)(2)(1)+(2)得(3)(4)+ (-1)1得2上述解法似乎每一上述解法似乎每一步合情合理步合情合理,實際上實際上是是錯的錯的,先看不等式先看不等式什么什么時候取等號時候取等號,由上述由上述知當知當a=3/2且且b=3/2時才取等號時才取等號,而此時而此時a-b=0,不滿足不滿足(1)式式,故故4a-2b是不能等是不能等于于3的的.423ab同理驗證同理驗證4a-2b也不能等于也不能等于12,原因是原因是“同向不等同向不等式兩邊分別相加所得不等式與原不等式同向式兩邊分別相加所得不等式與原不等式同向“.這一性質(zhì)中這一性質(zhì)中單向單向的的, (-2)得44 用它來做同解變形用它來做

7、同解變形,是非同解變形是非同解變形,上述解法為了求得上述解法為了求得a,b范圍范圍,多次多次應(yīng)用了這一性質(zhì)應(yīng)用了這一性質(zhì) ,必然使所求必然使所求范圍擴大范圍擴大了了,因此是因此是錯誤的錯誤的.因而用因而用“同向不等式相加法則同向不等式相加法則”盡量只用一次盡量只用一次.正確解法正確解法:解法一解法一待定系數(shù)法待定系數(shù)法設(shè)42()()()()aba ba bab 42 解得3112ab又24ab53()()10abab 即54210ab解法二解法二 換元法換元法令,a ba b 則24,12由abab解得22ab424222223ab 而24,3 36,則531054210ab 解法三解法三 數(shù)

8、形結(jié)合法數(shù)形結(jié)合法在坐標平面在坐標平面a0b上上,作出直線作出直線a+b=2,a+b=4.a-b=1,a-b=2,則則 和和 表示平面上的陰影部分表示平面上的陰影部分(包括邊界包括邊界)如圖所示如圖所示,令令4a-2b=m,則則b=2a-m/2,顯然顯然m為直線為直線4a-2b=m在在b軸上截距軸上截距2倍的相反數(shù)倍的相反數(shù),易看出易看出,直線直線4a-2b=m過陰影最左邊的點過陰影最左邊的點A(3/2,1/2)時時,m取取最小值得最小值得;過陰影最右邊的點過陰影最右邊的點C(3,1)時時,m取最大值取最大值10.425,10.ab24a b 12a b baoa-b=1a-b=2a+b=2a

9、+b=4ABCD0lv二二.綜合法綜合法:利用某些已經(jīng)證明過的不等式作為基利用某些已經(jīng)證明過的不等式作為基礎(chǔ)礎(chǔ),再運用不等式的性質(zhì)推導(dǎo)出所要求的不等式再運用不等式的性質(zhì)推導(dǎo)出所要求的不等式.這種證明方法叫做這種證明方法叫做綜合法綜合法. 即即:由因?qū)Ч梢驅(qū)Ч?如證如證 模式為模式為 三三.分析法分析法:從證的不等式出發(fā)從證的不等式出發(fā),分析使這個不等式分析使這個不等式成立的充分條件成立的充分條件,把證明這個不等式的問題轉(zhuǎn)化把證明這個不等式的問題轉(zhuǎn)化這些條件具備的問題這些條件具備的問題.如果能肯定這些條件都具如果能肯定這些條件都具備備,那么就可以判定所證的不等式成立那么就可以判定所證的不等式成立.這種證明這種證明方法叫做方法叫做分析法分析法. 即即:執(zhí)果索因執(zhí)果索因.模式為模式為:AB12nABBBB12nBAAAA222222212