二次函數(shù)的應(yīng)用(利潤(rùn)問(wèn)題)

1、二次函數(shù)的應(yīng)用一一利潤(rùn)問(wèn)題例1:求下列二次函數(shù)的最值：(1)求函數(shù)y x2 2x 3的最值.解：y (x 1)2 4當(dāng)x 1時(shí)，y有最小值 4 ,無(wú)最大值.(2)求函數(shù)y x2 2x 3的最值.(0 x 3)解：y (x 1)2 4 0 x 3,對(duì)稱軸為x 1當(dāng)x 0時(shí)y有最小值 3;當(dāng)x 35ty有最大值12.例2：某商品現(xiàn)在的售價(jià)為每件 60元，每星期可賣出 300件，市場(chǎng)調(diào)查反映：每漲價(jià) 1 元，每星期少賣出10件；每降價(jià)1元，每星期可多賣出 20件，已知商品的進(jìn)價(jià)為每件 40 元，如何定價(jià)才能使利潤(rùn)最大？解：設(shè)漲價(jià)(或降價(jià))為每件 x元，利潤(rùn)為y元， y1為漲價(jià)時(shí)的利潤(rùn)，、2為降價(jià)時(shí)的

2、利潤(rùn)則:y1(60 40 x)(300 10x)10(x2 10x 600)10(x 5)2 6250當(dāng)x 5,即：定價(jià)為65元時(shí)，ymax 6250 (元)y2 (60 40 x)(300 20x) 20(x 20)( x 15) 20(x 2.5)2 6125當(dāng) x 2.5, IP：定價(jià)為 57.5 元時(shí)，ymax 6125 (元)綜合兩種情況，應(yīng)定價(jià)為 65元時(shí)，利潤(rùn)最大.練習(xí):1.某商店購(gòu)進(jìn)一批單價(jià)為20元的日用品，如果以單價(jià) 30元銷售，那么半個(gè)月內(nèi)可以售出400件.根據(jù)銷售經(jīng)驗(yàn)，提高單價(jià)會(huì)導(dǎo)致銷售量的減少，即銷售單價(jià)每提高1元，銷售量相應(yīng)減少 20件.如何提高售價(jià)，才能在半個(gè)月內(nèi)獲

3、得最大利潤(rùn)？解：設(shè)每件價(jià)格提高 x元，利潤(rùn)為y元，則：y (30 x 20)(400 20x)20(x 10)(x 20) 20(x 5)2 4500 當(dāng) x 5, ymax 4500 (元)答：價(jià)格提高5元，才能在半個(gè)月內(nèi)獲得最大利潤(rùn).2.某旅行社組團(tuán)去外地旅游，30人起組團(tuán)，每人單價(jià) 800元.旅行社對(duì)超過(guò)30人的團(tuán)給予優(yōu)惠，即旅行團(tuán)每增加一人，每人的單價(jià)就降低10元.你能幫助分析一下，當(dāng)旅行團(tuán)的人數(shù)是多少時(shí)，旅行社可以獲得最大營(yíng)業(yè)額？解：設(shè)旅行團(tuán)有x人（x 30）,營(yíng)業(yè)額為y元, 貝U： y x800 10（x 30）10x（x10（x當(dāng) x 55 , ymax 答：當(dāng)旅行團(tuán)的人數(shù)是11

4、0）55）2 3025030250 （元）55人時(shí)，旅行社可以獲得最大營(yíng)業(yè)額.例3:某產(chǎn)品每件成本10元，試銷階段每件產(chǎn)品的銷售x （元）152030y （件）252010價(jià)x （元）與產(chǎn)品的日銷售量 y （件）之間的關(guān)系如下表：若日銷售量y是銷售價(jià)x的一次函數(shù).求出日銷售量 y （件）與銷售價(jià)x（元）的函數(shù)關(guān)系式;要使每日的銷售利潤(rùn)最大，每件產(chǎn)品的銷售價(jià)應(yīng)定為多少元？此時(shí)每日銷售利潤(rùn)是多少元？解：設(shè)一次函數(shù)表達(dá)式為 y kx b .皿 15k b 25,k 1則解得，？2kb 20 b 40即一次函數(shù)表達(dá)式為 y x 40 . 設(shè)每件產(chǎn)品的銷售價(jià)應(yīng)定為x元，所獲銷售利潤(rùn)為w元w （x 10）

5、y （x 10）（ x 40）x2 50x 400（x 25）2 225當(dāng) x 25, ymax 225 （元）答：產(chǎn)品的銷售價(jià)應(yīng)定為 25元時(shí)，每日獲得最大銷售利潤(rùn)為225元.【點(diǎn)評(píng)】解決最值問(wèn)題應(yīng)用題的思路與一般應(yīng)用題類似，也有區(qū)別，主要有兩點(diǎn):在“當(dāng)某某為何值時(shí)， 什么最大（或最小、最省）”的設(shè)問(wèn)中，“什么”要設(shè)為函數(shù)；求解方法是依靠配方法或最值公式，而不是解方程.3. （2006十堰市）市“健益”超市購(gòu)進(jìn)一批20元/千克的綠色食品，如果以 30?元/千克y （千克）？與銷售單價(jià)H千克0 10 20 30 40 50 工，元銷售，那么每天可售出400千克.由銷售經(jīng)驗(yàn)知，每天銷售量x（元）

6、（x 30）存在如下圖所示的一次函數(shù)關(guān)系式.試求出y與x的函數(shù)關(guān)系式；設(shè)“健益”超市銷售該綠色食品每天獲得利潤(rùn)P元，當(dāng)銷售單價(jià)為何值時(shí)，每天可獲得最大利潤(rùn)？最大利潤(rùn)是多少？根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查，該綠色食品每天可獲利潤(rùn)不超過(guò)4480元，？現(xiàn)該超市經(jīng)理要求每天利潤(rùn)不得低于4180元，請(qǐng)你幫助該超市確定綠色食品銷售單價(jià)x的范圍（?直接寫出一下載可編輯答案）.解：設(shè)y=kx+b由圖象可知,30k b 40040k b 200,k解之得： b201000即一次函數(shù)表達(dá)式為 y P （x 20） y20x1000 (30 x 50).(x 20)( 20x 1000)20x2 1400x 20000a 20 0*

7、14003 x P有最大值.2 ( 20)35 時(shí)，Pmax 4500 (元)（或通過(guò)配方, 答：當(dāng)銷售單價(jià)為418020（x 35）2 4500 ,也可求得最大值）35元/千克時(shí)，每天可獲得最大利潤(rùn)4500元.20（x 35）2 4500 44801 (x.-31<x<3435)2或1636WxW39.作業(yè)布置：1 231 . 一次函數(shù) y x x 1 ,當(dāng)x=-1 : _時(shí)，y有-_小_值，這個(gè)值是.2 .某一拋物線開口向下，且與 x軸無(wú)交點(diǎn)，則具有這樣性質(zhì)的拋物線的表達(dá)式可能為2y x 1（只寫一個(gè)），此類函數(shù)都有"值（填“最大” “最小”）.3 .不論自變量x取什

8、么實(shí)數(shù)，二次函數(shù)y=2x26x+m的函數(shù)值總是正值，你認(rèn)為m的取值92范圍是m 一,此時(shí)關(guān)于一元二次方程2x 6x+n=0的解的情況是2或“無(wú)解”)3 29斛：y 2(x) m223、2c.9 c911 2(x -)0 ,要使 y 0 ,只有 m - 0 . m 一有解（填“有解”222194 .小明在某次投籃中，球的運(yùn)動(dòng)路線是拋物線y x 3 5的一部分，如圖所示，若5命中籃圈中心，則他與籃底的距離L是4.5米.1 2解：當(dāng) y 3.05 時(shí)，y-x2 3.5 3.055x25 0.45, x 1.5或x 1.5 (不合題意，舍去)5 .在距離地面 2m高的某處把一物體以初速度V。(m/s)

9、豎直向上拋出，？在不計(jì)空氣阻力的情況下，其上升高度 s (項(xiàng)與拋出時(shí)間t (s)滿足：S=V>t- gt2 (其中g(shù)是常數(shù)，2通常取10m/s2),若Vo=10m/s,則該物體在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中最高點(diǎn)距離地面_7_m解：s5t2 10t5(t 1)2 5當(dāng)t 1時(shí)，smax 5,所以，最高點(diǎn)距離地面 5 2 7(米).6 .影響剎車距離的最主要因素是汽車行駛的速度及路面的摩擦系數(shù).有研究表明，晴天12在某段公路上行駛上，速度為V (km/h)的汽車的剎車距離 S (m)可由公式S=V210012確定；雨天行駛時(shí)，這一公式為SmV2.如果車行駛的速度是 60km/h, ?那么在雨天行駛和晴天行駛

10、相比，剎車距離相差 36 米.7 .將進(jìn)貨單價(jià)為 70元的某種商品按零售價(jià) 100元售出時(shí)，每天能賣出 20個(gè).若這種商 品的零售價(jià)在一定范圍內(nèi)每降價(jià)1元，其日銷售量就增加了 1個(gè)，為了獲得最大利潤(rùn)，則應(yīng)降價(jià)5元,最大利潤(rùn)為 625元.解：設(shè)每件價(jià)格降價(jià) x元，利潤(rùn)為y元，則:y (100 70 x)(20 x)x2 10x 600(x 5)2 625當(dāng) x 5, ymax 625 (元)答：價(jià)格提高5元，才能在半個(gè)月內(nèi)獲得最大利潤(rùn).8 .如圖，一小孩將一只皮球從A處拋出去，它所經(jīng)過(guò)的路線是某個(gè)二次函數(shù)圖象的一部分，如果他的出手處 A距地面的距離 OA為1 m,球路的最高點(diǎn) B(8, 9),則

11、這個(gè)二次函 數(shù)的表達(dá)式為 ，小孩將球拋出了約 米(精確到0.1 m).1斛：設(shè)y a(x 8)9,將點(diǎn)a(0,1)代入，得a -8121 2y (x 8)9 x 2x 188i i 1令 y 0,得 y 1(x 8)2 9 08一 2 一一(x 8)8 9x 8 6亞 C(8 6短0), .OC 8 8 6亞 24.5(米)9. （2006年青島市）在2006年青島嶗山北宅櫻桃節(jié)前夕，？某果品批發(fā)公司為指導(dǎo)今年的櫻桃銷售，對(duì)往年的市場(chǎng)銷售情況進(jìn)行了調(diào)查統(tǒng)計(jì)，得到如下數(shù)據(jù):銷售價(jià)x （元/千克）25242322銷售量y （千克）2000250030003500（1）在如圖的直角坐標(biāo)系內(nèi)，作出各組

12、有序數(shù)對(duì)（ x, y）所對(duì)應(yīng)的點(diǎn).連接各點(diǎn)并 觀察所得的圖形，判斷 y與x之間的函數(shù)關(guān)系，并求出 y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）若櫻桃進(jìn)價(jià)為13元/千克，試求銷售利潤(rùn) P （元）與銷售價(jià) x （元/千克）之間的函數(shù)關(guān)系式，并求出當(dāng)x取何值時(shí)，P的值最大?解：（1）由圖象可知，y是x的一次函數(shù)，設(shè) y=kx+b, ? 點(diǎn)（?25 , 2000）, （24, 2500）在圖象上，2000 25k bk 500 ,解得：2500 24k bb 14500 .y=-500x+14500 .(2) P=(x-13) y=(x-13) (-500x+14500)500(x 13)(x 29) 2_ 500

13、(x42x377)500(x2 42x 441 441 377)=-500(x-21) 2+32000 . P 與 x 的函數(shù)關(guān)系式為 P=-500x2+21000x-188500 ,當(dāng)銷售價(jià)為21元/千克時(shí)，能獲得最大利潤(rùn)，最大利潤(rùn)為32000元.10.有一種螃蟹，從海上捕獲后不放養(yǎng)，最多只能存活兩天.如果放養(yǎng)在塘內(nèi)，可以延長(zhǎng) 存活時(shí)間，但每天也有一定數(shù)量的蟹死去.假設(shè)放養(yǎng)期內(nèi)蟹的個(gè)體質(zhì)量基本保持不變，現(xiàn)有一經(jīng)銷商，按市場(chǎng)價(jià)收購(gòu)這種活蟹1000 kg放養(yǎng)在塘內(nèi)，此時(shí)市場(chǎng)價(jià)為每千克30元，據(jù)測(cè)算，此后每千克活蟹的市場(chǎng)價(jià)每天可上升1元，但是，放養(yǎng)一天需支出各種費(fèi)用為400元，且平均每天還有 10

14、 kg蟹死去，假定死蟹均于當(dāng)天全部銷售出，售價(jià)都是 每千克20元.（1）設(shè)x天后每千克活蟹的市場(chǎng)價(jià)為p元，寫出p關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；（2）如果放養(yǎng)x天后將活蟹一次性出售，并記 1000 kg蟹的銷售總額為 Q元，寫出Q 關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式.(3)該經(jīng)銷商將這批蟹放養(yǎng)多少天后出售，可獲最大利潤(rùn)(利潤(rùn)=Q-收購(gòu)總額)？解：(1)由題意知：p=30+x,(2)由題意知：活蟹的銷售額為 (1000 -10x)(30+x)元， 死蟹的銷售額為 200x元.Q=(1000 10x)(30+x)+200x= 10x2+900x+30000.(3)設(shè)總利潤(rùn)為W元?jiǎng)t：W=Q- 1000 X 30 400x= 1

15、0x2+500x=10(x 2 50x) = 10(x 25) 2+6250.當(dāng)x=25時(shí)，總利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)為6250元.答：這批蟹放養(yǎng)25天后出售，可獲最大利潤(rùn).11. (2008湖北恩施)為了落實(shí)國(guó)務(wù)院副總理李克強(qiáng)同志到恩施考察時(shí)的指示精神，最近， 州委州政府又出臺(tái)了一系列“三農(nóng)”優(yōu)惠政策，使農(nóng)民收入大幅度增加.某農(nóng)戶生產(chǎn) 經(jīng)銷一種農(nóng)副產(chǎn)品，已知這種產(chǎn)品的成本價(jià)為20元/千克.市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，該產(chǎn)品每天的銷售量w (千克)與銷售價(jià)x (元/千克)有如下關(guān)系：w =2x+ 80.設(shè)這種產(chǎn)品 每天的銷售利潤(rùn)為y (元).(1)求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；(2)當(dāng)銷售價(jià)定為多少元時(shí)，每天的銷售利

16、潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少？(3)如果物價(jià)部門規(guī)定這種產(chǎn)品的銷售價(jià)不得高于28元/千克，該農(nóng)戶想要每天獲得150元的銷售利潤(rùn)，銷售價(jià)應(yīng)定為多少元？解：y (x 20)w (x 20)( 2x 80)2(x 20)(x 40)_2_2_2(x60x 800)2(x 30)2002x2 120x 1600當(dāng) x 30, ymax 200 (元)(1) y與x之間的的函數(shù)關(guān)系式為；y 2x2 120x 1600(2)當(dāng)銷售價(jià)定為30元時(shí)，每天的銷售利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是200元.22(3) 2(x 30)200 150, (x 30)25x135 28 (不合題意，舍去)x225答：該農(nóng)戶想要每天獲得150元的銷售利潤(rùn)，銷售價(jià)應(yīng)定為25元.12. (2008河北)研究所對(duì)某種新型產(chǎn)品的產(chǎn)銷情況進(jìn)行了研究，為投資商在甲、乙兩地生產(chǎn)并銷售該產(chǎn)品提供了如下成果：第一年的年產(chǎn)量為x(噸)時(shí)，所需的全部費(fèi)用 y (萬(wàn)元)12與x滿足關(guān)系式y(tǒng) x2 5x 90,投入市場(chǎng)后當(dāng)年能全部售出，且在甲、乙兩地每噸10一下載可編輯的 售 價(jià)萬(wàn) 元） 均 與滿足一次函數(shù)關(guān)系.主：年利潤(rùn)=年銷售額-全部費(fèi)用)(1)成果表明，在甲地生產(chǎn)并銷售時(shí)，請(qǐng)