傳熱學(xué)-第三章

1、3-1 非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱的基本概念1. 定義：物體的溫度隨時間而變化的導(dǎo)熱過程稱為非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱， 2. 分類第三章非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱第三章非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱)(，rft 瞬態(tài)非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱：物體的溫度隨時間的推移逐漸趨近于恒定值；如鋼坯在爐內(nèi)的加熱 周期性非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱：物體的溫度隨時間做周期性的變化；如室式熱處理爐爐壁的導(dǎo)熱著重討論瞬態(tài)非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱3. 溫度分布：4. 兩個不同的階段 非正規(guī)狀況階段(不規(guī)則情況階段) 正規(guī)狀況階段(正常情況階段)溫度分布主要取決于邊界溫度分布主要取決于邊界條件及物性條件及物性溫度分布主要受初始溫度溫度分布主要受初始溫度分布控制分布控制 非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱過程總會經(jīng)歷：非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱非正規(guī)狀況階段非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)

2、熱過程總會經(jīng)歷：非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱非正規(guī)狀況階段（起始階段）、正規(guī)狀況階段、新的穩(wěn)態(tài)（起始階段）、正規(guī)狀況階段、新的穩(wěn)態(tài)5. 熱量變化1 板左側(cè)導(dǎo)入的熱流量2 板右側(cè)導(dǎo)出的熱流量12006. 學(xué)習(xí)非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱的目的(2) 非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱的導(dǎo)熱微分方程式(3) 求解方法),(f(zyxft ; )()()(ztzytyxtxtc分 析 解 法：分離變量法、積分變換、拉普拉斯變換近似分析法：集總參數(shù)法、積分法數(shù) 值 解 法：有限差分法、蒙特卡洛法、有限元法、 分子動力學(xué)模擬(1) 溫度分布和熱流量分布隨時間和空間的變化規(guī)律高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)數(shù)值分析數(shù)值分析數(shù)理方程數(shù)理方程7. 畢渥數(shù)本章以第三類邊界條件為重點(diǎn)。(

3、1) 問題的分析 如圖所示，存在兩個換熱環(huán)節(jié)： 流體與物體表面的對流換熱 物體內(nèi)部的導(dǎo)熱t(yī)fhtfhxt 0 tfhxt 0hrh1rhhrrBih1(2) 畢渥數(shù)的定義：物理意義：固體內(nèi)部導(dǎo)熱熱阻與其界面上換熱熱阻之比hhrrBih1無量綱數(shù)無量綱數(shù)當(dāng)Bi時，r rh ；因此，可以忽略對流換熱熱阻當(dāng)Bi0 時，r t,固體與流體間的表面?zhèn)鳠嵯禂?shù)h，固體的物性參數(shù)均保持常數(shù)。 求：根據(jù)集總參數(shù)法確定物體溫度隨時間的依變關(guān)系 解： 建立非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱數(shù)學(xué)模型 方法一：椐非穩(wěn)態(tài)有內(nèi)熱源的導(dǎo)熱微分方程： 物體內(nèi)部導(dǎo)熱熱阻很小，忽略不計。 物體溫度在同一瞬間各點(diǎn)溫度基本相等，即t僅是的一元函數(shù)，而與坐標(biāo)x

4、、y、z無關(guān)，即： 可視為廣義熱源，而且熱交換的邊界不是計算邊界（零維無任何邊界）。 cztytxtct2222220222222ztytxt(a) cddt則有： 界面上交換的熱量應(yīng)折算成整個物體的體積熱源，即： tot物體被冷卻， 應(yīng)為負(fù)值 由（a），（b）式得： 這就是瞬時時刻導(dǎo)熱微分方程式。方法二：根據(jù)能量守恒原理，建立物體的熱平衡方程，即物體與環(huán)境的對流散熱量=物體內(nèi)能的減少量(b) )(ttAhV)(ttAhddtcV)(ttAhddtcV. 物體溫度隨時間的依變關(guān)系ddtVctthA-)(dVchAd方程式改寫為：令= tt，則有00)0(ttddVchA-初始條件初始條件控制方

5、程控制方程00dVchAdVchA ln0dVchAd 積分 VchAetttt00其中的指數(shù)：vvFoBiAVaAVhcVAAhVcVhA222)()(2)()(AVaFoAVhBivvFov是傅立葉數(shù)vFovBiVchAee0物體中的溫度呈指數(shù)分布方程中指數(shù)的量綱：sJwkgKJmmkgmKmwVchA13322%8 .361e 0即與 的量綱相同，當(dāng) 時，則1hAVc1VchA此時上式表明：當(dāng)傳熱時間等于 時，物體的過余溫度 已經(jīng)達(dá)到了初始過余溫度的36.8。稱 為時間常數(shù)，用 表示。hAVchAVcc%8.36e10cvvFoBi 36.8%0 如果導(dǎo)熱體的熱容量(cV)小、換熱條件好

6、(h大)，那么單位時間所傳遞的熱量大、導(dǎo)熱體的溫度變化快，時間常數(shù) ( cV / hA) 小。 對于測溫的熱電偶節(jié)點(diǎn)，時間常數(shù)越小、說明熱電偶對流體溫度變化的響應(yīng)越快。這是測溫技術(shù)所需要的(微細(xì)熱電偶、薄膜熱電阻)%83. 1 40時，當(dāng)hAVc工程上認(rèn)為=4 cV / hA時，導(dǎo)熱體已達(dá)到熱平衡狀態(tài)3. 瞬態(tài)熱流量導(dǎo)熱體在時間 0 內(nèi)傳給流體的總熱量： 當(dāng)物體被加熱時當(dāng)物體被加熱時(tt，流體與板面間的表面?zhèn)鳠嵯禂?shù)h為一常數(shù)。 求：在非穩(wěn)態(tài)過程中板內(nèi)的溫度分布。平板非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱微分方程：導(dǎo)熱微分方程xtat22)0,0(xcztytxtct22222200 xxtxtthxt)( (對稱性對稱

7、性) )邊界條件00tt初始條件引入變量過余溫度令txtx),(),(xhxxxxxa0000,0022方程可化為：用分離變量法可得其解析解為：eFonnnnnnn210cossincossin2),(x式中2aFo n為超越方程 的根nnBitan2. 無限長圓柱的分析解已知：半徑為R的實(shí)心圓柱，初溫為t0，初始瞬間將其放于溫度為t的流體中，而且t0t，流體與板面間的表面?zhèn)鳠嵯禂?shù)h為一常數(shù)。 求：在非穩(wěn)態(tài)過程中圓柱內(nèi)的溫度分布。圓柱非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱微分方程：導(dǎo)熱微分方程rtrrrat)0,0(Rr00rrtRrtthrt)(邊界條件00tt初始條件ztztrrtrrrtc)()(1)(12eFon

8、nnnnnnJJJJ2121200102),(Rr式中2RaFon為超越方程 的根nnnBiJJ01用分離變量法可得其解析解為：3. 圓球的分析解已知：半徑為R的實(shí)心球，初溫為t0，初始瞬間將其放于溫度為t的流體中，而且t0t，流體與板面間的表面?zhèn)鳠嵯禂?shù)h為一常數(shù)。 求：在非穩(wěn)態(tài)過程中圓球的溫度分布。 0222!21mmmvmvmvmxxJ第一類 v 階貝塞爾函數(shù)trtrrtrrrtc)sin(sin1)(sin1)(122222圓球非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱微分方程：導(dǎo)熱微分方程rtrrrat22)0,0(Rr00rrtRrtthrt)(邊界條件00tt初始條件eFonnnnnnnnnn210cossinc

9、ossinsin2),(Rr式中2RaFon為超越方程 的根Binncos1用分離變量法可得其解析解為：對于一維非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題，其解均可表述為, 0,0BiFf4. 非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱正規(guī)狀況階段解的簡化 數(shù)值計算表明，當(dāng)Fo數(shù)大于0.2時，取無窮級數(shù)的首項(xiàng)，其計算誤差小于1%eF021)cos(cossinsin2),(111110eFm021111100cossinsin2)(),0(對于平板)cos()(),(1m與時間無關(guān)與時間無關(guān)10)(),(Jm與時間無關(guān)與時間無關(guān)對于圓柱eFoJJJJ211211201011102),(eFomJJJ211211201110211sin)(),(m對于圓

10、球eFo21111111110cossincossinsin2),(eFom211111110cossincossin2與時間無關(guān)與時間無關(guān)若令Q為0，內(nèi)所傳遞熱量00001)(),(ttcVdVxttcQQVeFvdVV)(1111110021cossinsin2sin1考察熱量的傳遞Q0 非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱所能傳遞的最大熱量)(00ttcVQ5. 非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱的熱量計算時刻 的平均過余溫度對于平板此處此處的A，B及函數(shù)f(1)見P127表3-1 及 可用一通式表達(dá)0無限大平板長圓柱體及球22RaFohRBiRraFohBix對無限大平板，長圓柱體及球1210expfFAoBFAQQo210exp16

11、. 正規(guī)熱狀況的實(shí)用計算方法擬合公式法對上述公式中的A，B， 1 ，J0 可用下式擬合式中常數(shù)a，b，c見P128表3-2 a，b，c，d見P128表3-3320121)(1)1()(xdxcxbaxJbBicBiaBebaABibacBi),()cos(cossinsin2),(111110021xBiFofxxeF7. 正規(guī)熱狀況的實(shí)用計算方法線算圖法諾謨圖：工程技術(shù)中，為便于計算，采用按分析解的級數(shù)第一項(xiàng)繪制的一些圖線，叫諾模圖。 三個變量，因此，需要分開來畫以無限大平板為例，F(xiàn)00.2 時，取其級數(shù)首項(xiàng)即可(1) 先畫),(cossinsin202111110BiFofeFm海斯勒圖：

12、諾模圖中用以確定溫度分布的圖線，稱海斯勒圖。 (2) 再根據(jù)公式(3-28) 繪制其線算圖),()cos()(),(1xBifxxm(3) 于是，平板中任一點(diǎn)的溫度為00mm同理，非穩(wěn)態(tài)換熱過程所交換的熱量也可以利用(331)和(333)繪制出。解的應(yīng)用范圍 (1) 第三類邊界條件 (2) 一側(cè)絕熱，另一側(cè)為第三類邊界條件 (3) 兩側(cè)均為第一類邊界條件，且維持相同的溫度 F00.2例：一火箭發(fā)動機(jī)噴管，壁厚為9mm，初始溫度為30。在進(jìn)行靜推力試驗(yàn)時，溫度為1750的高溫燃?xì)馑腿朐搰姽?，燃?xì)馀c壁面間的表面?zhèn)鳠嵯禂?shù)為1950W/(m2K)。噴管材料的密度=8400kg/m3，導(dǎo)熱系數(shù)=24.6

13、W/(mK)，c=560J/(kgK)。假設(shè)噴管因直徑與厚度之比較大而可視為平壁，且外側(cè)可作絕熱處理，試確定：(1) 為使噴管的最高溫度不超過材料允許溫度(1000)而允許的運(yùn)行時間；(2) 在所允許時間的終了時刻，壁面中的最大溫差；(3) 在上述時刻壁面中的平均溫度梯度與最大溫度梯度。解：本題可視為為厚度為2=29mm的平板兩側(cè)突然受第三類邊界條件時的非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題。先判斷Bi數(shù)。1 . 07134. 06 .24009. 01950hBi不滿足集總參數(shù)法條件，采用擬合公式計算7692. 07134. 09188. 04022. 0111Biba0777. 1)1 (2575. 00101.

14、 1)1 (7134. 04271. 0eebaAcBi9023. 07134. 05475. 017134. 03483. 00063. 11bBicBiaB1009. 0009. 0 x7700. 0) 17692. 0cos()cos()(11f根據(jù)過余溫度的表達(dá)式77. 00777. 11750301750100027692. 00Foe2 . 00877. 1Fo根據(jù)s 8 .166 .245608400009. 00877. 1222cFoaFo壁面中心溫度5662. 010777. 117503017500877. 127692. 00etmm/m 8 .24877009. 09

15、 .223xt在上述時刻壁面的平均溫度梯度 1 .7765662. 0)175030(1750mt/m 2 .59451)17501000(6 .241950)()(fbfbtthxttthxt 9 .2231 .7761000maxt由于外表面絕熱，溫度梯度為零，故最大溫度梯度在內(nèi)壁面。根據(jù)第三類邊界條件例例 一直徑為100mm，長為1000mm的圓鋼，初始溫度為30，今將其置于1300的加熱爐中。求加熱半小時后圓鋼表面溫度與中心溫度的差。取表面?zhèn)鳠嵯禂?shù)的平均值為232w/(m2K)，圓鋼的導(dǎo)熱系數(shù)為40.5w/(mK)，熱擴(kuò)散率為0.62510-5m2/s。解：解：對于2R=100mm的無

16、限長圓柱，有2864. 05 .4005. 0232hRBi5 . 405. 036005 . 010625. 0252RaFo7696. 02864. 04349. 017. 05 . 01采用擬合公式計算0684. 115877. 00042. 12864. 04038. 0eA0334. 09967. 00684. 1)(5 . 47696. 001210efAerFom9967. 000577. 003259. 000354. 09967. 001rf 2 .1265)130030(0274. 01300)(0274. 00ttttb過余溫度比表面和中心溫度為8175. 017696.

17、 00577. 017696. 03259. 017696. 00354. 09967. 01Rrf0274. 08175. 00684. 1)(5 . 47696. 01210efAeRrFob 6 .1257)130030(0334. 01300)(0334. 00ttttm 6 . 76 .12572 .1265mbtt3-4 簡單幾何形狀物體多維非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱的分析解 考察一無限長方柱體(其截面為2122的長方形)，初始溫度為t0，突然將其置于溫度為t的流體中，表面?zhèn)鳠嵯禂?shù)為h，求其溫度分布。00),(tttyxt)(2222yxa10 xyxyhx),(),(11yyxxhy),(),(

18、220),(00 xxyxx0),(00yyyxy12xy0 如果能用兩個一維無限大平板的解來表示該二維問題的解，則可使問題變得簡單),(),(0),(01)0 ,(01022xxxxxxxhxxxxxxxxa其中其中及tttxtx0),(),(),(0),(01)0 ,(022022yyyyyyyhyyyyyyyyatttyty0),(),(),(),(yxyxyx無限長方柱體的解可以表示為兩個無限大平板的解的乘積，即xyyxyx)(假設(shè)(x, y, )=x(x, )y(y, )成立，則2222)(yyyyyyxyxyx 2222)(xxxxxxyxyyx )(2222yxa看控制方程222

19、2xayaxyyxxyyx22222222yaxayxayxxy控制方程成立控制方程成立22yayy22xaxx左側(cè)：右側(cè)：一維控制方程看初始條件111)0 ,()0 ,(0yxyx00),(),(),(),(),(),(11yxhyxhyyxhyxxyxyyxx1x1x1x看邊界條件同理00),(xyhxy2y 證明了x(x，)y(y，)是無限長方柱體導(dǎo)熱微分方程的解，即(x, y, )=x(x, )y(y, )。這樣便可用一維無限大平壁公式、諾謨圖或擬合函數(shù)求解二維導(dǎo)熱問題00),(), 0(),(0yxyxyxyx00),(), 0(),(0 xyxyxyxy初始條件和邊界條件成立初始條

20、件和邊界條件成立適用條件： (1) 一側(cè)絕熱，另一側(cè)三類；(2) 兩側(cè)均為一類；(3) 初始溫度分布必須為常數(shù)；(4) 無內(nèi)熱源 如果用x(x，)P表示無限大平板的解，用x(x，)C 表示無限長圓柱的解，用x(x，)R表示圓球的解，則對于如下的規(guī)則圖形可球出其解。(y,)P2(x,)P1(x, y, )(x,)P1 (y,)P2(r,)C(R,)P(r, )(r,)C (R,)R(r,)C(x,)P(r, x, )(r,)C (x,)P(x, y, z, )(x,)P1 (y,)P2 (z,)P3導(dǎo)熱量的計算二維問題三維問題10201001QQQQQQQQ201030102010011QQQQ

21、QQQQQQQQQQ例例4 一直徑為600mm，長為1000mm的鋼錠，初始溫度為30，今將其置于1300的加熱爐中。求加熱4小時后鋼錠中心的溫度。取表面?zhèn)鳠嵯禂?shù)的平均值為232w/(m2K)，鋼錠的導(dǎo)熱系數(shù)為40.5w/(mK)，熱擴(kuò)散率為0.62510-5m2/s。解：解：對厚度為2=1000mm的無限大平板864. 25 .405 . 0232hBi36. 05 . 03600410625. 0252aFo7557. 1864. 29188. 04022. 05 . 01采用擬合公式計算1917. 112575. 00101. 1864. 24271. 0eA1)cos(101xf過余溫

22、度比7245. 011917. 1)(36. 021757. 101210efAexFoPm對于2R=600mm的無限長圓柱72. 15 .403 . 0232hRBi0 . 13 . 03600410625. 0252RaFo5378. 172. 14349. 017. 05 . 01采用擬合公式計算2985. 115877. 00042. 172. 14038. 0eA1216. 09967. 02985. 1)(0 . 125378. 101210efAerFoCm9967. 000577. 003259. 000354. 09967. 001rf 1 .1181)130030(0881

23、. 01300)(0334. 00ttttm短圓柱的中心溫度為0881. 01216. 07245. 0000CmPmm如果將鋼錠看成是無限長圓柱 1 .1145)130030(1216. 01300)(0334. 00ttttm說明短圓柱比無限長圓柱加熱的快，為什么？說明短圓柱比無限長圓柱加熱的快，為什么？3-5 半無限大的物體定義：幾何上是指從x=0的界面開始可以向正的 x方向及其他兩個坐標(biāo)（x，y）方向無限延伸的物體，稱為半無限大物體。 實(shí)際中不存在該物體，但研究物體中非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱的初始階段，可把實(shí)物看為該物體處理。如：有限厚度的平板，起初有均勻溫度，后其側(cè)表面突然受到熱擾動，如 (1)

24、壁溫突然升高到一定值并保持不變 (2) 壁面突然受到恒定的熱流量密度加熱 (3) 壁面受到溫度恒定的流體的加熱或冷卻 當(dāng)擾動的影響只局限在表面附近，而尚未進(jìn)入平板內(nèi)部時，就可視該平板為，“半無限大”物體。xtt0twaxerfdaxe222020 誤差函數(shù)誤差函數(shù) 無量綱變量無量綱變量wtt 引入過余溫度問題的解為如圖所示：已知半無限大物體初始溫度均勻?yàn)閠o，當(dāng)=0時，x=0側(cè)表面溫度突然升高到tw，并保持不變，試確定物體內(nèi)溫度隨時間的變化和在時間間隔0，內(nèi)的熱流量。wttxtxtxtat),0(0)0,(0022第一類邊界條件第一類邊界條件axerfcxqeaqttax22204002002

25、20)0,(0qxtxtxtxtat第二類邊界條件第二類邊界條件余誤差函數(shù)余誤差函數(shù)ahaxerfceaxerfttttahhx222200)0(0)0,(0022，tthxtxtxtxtat第三類邊界條件第三類邊界條件誤差函數(shù)：1)(1)(2)(02xerfxxerfxdvexerfxv有限大小時，)(0erfax4ax2)(erf9953. 09953. 0)2(,20erf時22ax時，該x處的溫度仍等于初始溫度 幾何位置 若 則 時刻x處的溫度可認(rèn)為未變化。對一原為2的平板，若 即可作為半無限大物體來處理 時間 若 ，即 則此時x處的溫度可認(rèn)為完全不變。對于有限大的實(shí)際物體，半無限大物

26、體的概念只適用于物體的非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱的初始階段。 ax42 ax1622 a4兩個重要參數(shù):06. 01612xaFo在0，時間內(nèi)，物體任一點(diǎn)的熱密度：令 即得邊界面上的熱流通量0,時間內(nèi)，流過面積A的總熱量0 x00022ttcAcAdqAQww吸熱系數(shù)吸熱系數(shù)axwxeatterfxxq4200aqw0例例5 某地地下1m處埋有自來水管，冬天來臨時，地表溫度初始為10，后突然受冷空氣侵襲，地表溫度下降到-15，并維持45天不變，試確定此種條件下45天后自來水管是否會被凍。已知土壤的物性為c=1840J/(kgK)，=2050kg/m3，=0.52w/(mK)。解：解：根據(jù)已知條件，計算導(dǎo)溫系數(shù)/sm 10379. 11840205052. 027ca對于第一類邊界條件下的無限大非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱，有3600244510379. 121erf2erf70axttttww68. 0erf0wwtttt66378. 068. 0e