保險精算學-習題課

1、習習 題題 課課利息理論與確定年金利息的度量利息的度量按照計息時刻劃分：按照計息時刻劃分：期末計息：利率期末計息：利率期初計息：貼現(xiàn)率期初計息：貼現(xiàn)率按照積累方式劃分按照積累方式劃分線性積累線性積累 （1 1）單利計息）單利計息 （2 2）單貼現(xiàn)計息）單貼現(xiàn)計息指數(shù)積累指數(shù)積累 （1 1）復利計息）復利計息 （2 2）復貼現(xiàn)計息）復貼現(xiàn)計息1. 一年轉(zhuǎn)換一次：實質(zhì)利率（實質(zhì)貼現(xiàn)率）一年轉(zhuǎn)換一次：實質(zhì)利率（實質(zhì)貼現(xiàn)率）2. 一年轉(zhuǎn)換一年轉(zhuǎn)換m次：名義利率（名義貼現(xiàn)率）次：名義利率（名義貼現(xiàn)率）3. 連續(xù)計息（一年轉(zhuǎn)換無窮次）：利息效力連續(xù)計息（一年轉(zhuǎn)換無窮次）：利息效力 按照利息轉(zhuǎn)換頻率劃分按照

2、利息轉(zhuǎn)換頻率劃分-ti 1 ti 11i 11 1 21i -2-10t21金額金額時間時間 211i ti 1 復利下的現(xiàn)值和累計值復利下的現(xiàn)值和累計值d 11-t0t 1(1-d)t 1-d-11td)1(1 金額金額時間時間復利下的現(xiàn)值和累計值復利下的現(xiàn)值和累計值 名義利率名義利率1i1i141)4(i 2)4(41 i3)4(41 i4)4(41 i)(miimimm 11)(實際利率實際利率名義貼現(xiàn)率名義貼現(xiàn)率 1d 1d 141)4(d 2)4(41 d3)4(41 d4)4(41 d)(mddmdmm 11)(實質(zhì)利率與實際貼現(xiàn)率實質(zhì)利率與實際貼現(xiàn)率初始值初始值利息利息積累值積累

3、值11ii1d111）（idvv確定性年金公式推導確定性年金公式推導211(1)1111(1)1(1)(1)11(1)(1)1(1)1(1)(1)(1)(1)11limlim11limlimnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnvvvavvvvivavvi adiisiiiiisiii sdvaaiivaadd din1)1( 例例1：某君每月初存款：某君每月初存款50元，共存了元，共存了10年，年，設年利率為設年利率為9%（不是名義利率）（不是名義利率）. 問：如問：如果按復利計算，則果按復利計算，則10年末能得多少元？年末能得多少元？ 例例1、確定、確定500元以季度轉(zhuǎn)換元以季度

4、轉(zhuǎn)換8%年利率投資年利率投資5年的積累值。年的積累值。420(4)0.081500 1742.9744niP2、如以、如以6%年利，按半年為期年利，按半年為期預付預付及轉(zhuǎn)換，及轉(zhuǎn)換，到第到第6年末支付年末支付1000元，求其現(xiàn)時值。元，求其現(xiàn)時值。84.693206. 01100021122)2(0 nndAA3、確定季度轉(zhuǎn)換的名義利率，使其等于月、確定季度轉(zhuǎn)換的名義利率，使其等于月度轉(zhuǎn)換度轉(zhuǎn)換6%名義貼現(xiàn)率。名義貼現(xiàn)率。%0605. 611206. 014121413)4(12)12(4)4( idi4變額年金的計算變額年金的計算5某公司決定用五年時間建立一筆專用基金，辦法如下：某公司決定用

5、五年時間建立一筆專用基金，辦法如下：每年初存入一筆款，數(shù)量為逐年等額遞減每年初存入一筆款，數(shù)量為逐年等額遞減 2萬元。萬元。從第六年開始每年末提取從第六年開始每年末提取1萬元作為獎金。萬元作為獎金。假如年利率為假如年利率為3%，求第一年初的存款額。求第一年初的存款額。解：設第一年存款額為解：設第一年存款額為 X 萬元。萬元。分解與平衡分解與平衡0 1 2 3 4 5 6 7 . . . . .X X-2 X-4 X-6 X-8 0 1 1. 分分解解X X X X X0 -2 -4 -6 -81 1.平衡點平衡點選選 擇擇平衡關系式：平衡關系式：收入現(xiàn)金流的終值收入現(xiàn)金流的終值 = 支出現(xiàn)金流

6、的現(xiàn)值支出現(xiàn)金流的現(xiàn)值%3%34%35)(2asIsX 1、某君每月初存款、某君每月初存款100元，共存了元，共存了5年，年，設年利率為設年利率為5%，問：如果按復利計算，問：如果按復利計算，則則5年末能得多少元？年末能得多少元？)(100)1(%51|0612isXi ，練練 習習2 2、某單位每年末存入銀行、某單位每年末存入銀行2020萬元，年利率萬元，年利率按按5%5%計算。計算。5 5年后，每年末取出一部分作為專年后，每年末取出一部分作為專項獎勵基金發(fā)放，共發(fā)放項獎勵基金發(fā)放，共發(fā)放8 8年，每年發(fā)放金額年，每年發(fā)放金額相等，若年利率按相等，若年利率按3%3%計算，求每年能發(fā)放的計算，

7、求每年能發(fā)放的最大金額。最大金額。)(20%3 | 8%5 | 5axS 0 1 2 3 4 5 6 7 A A A B B B B5%7%3、如圖所示，考慮一個兩階段的年初付的變額年金：、如圖所示，考慮一個兩階段的年初付的變額年金：第一階段：第一階段：13年，金額年，金額 A =100 元，年利率元，年利率=5% ；第二階段：第二階段：47年，金額年，金額 B = 200元，年利率元，年利率=7%。按復利計算此年金的現(xiàn)值及終值。按復利計算此年金的現(xiàn)值及終值。%7 |44%5 |33%7 |4%5 |3200%)71 (100200100SSaa 終值現(xiàn)值解4 4、有一項年金，第一年初支付、有

8、一項年金，第一年初支付100100元，以后元，以后每年遞增每年遞增100100元，直至永遠，如果年利率為元，直至永遠，如果年利率為3%3%，求其現(xiàn)值。，求其現(xiàn)值。%3 |)(100aI 現(xiàn)值解4 4、有一項年金，第一年初支付、有一項年金，第一年初支付100100元，以后元，以后每年遞增每年遞增100100元，直至永遠，如果年利率為元，直至永遠，如果年利率為3%3%，求其現(xiàn)值。，求其現(xiàn)值。 假如該年金規(guī)定假如該年金規(guī)定1010年后可以按新的年利率年后可以按新的年利率等額支付，仍為永續(xù)年金，假設新的利率等額支付，仍為永續(xù)年金，假設新的利率為為5%5%，在原有基金的基礎上，求，在原有基金的基礎上，求

9、1010年后每年后每年的支付額。年的支付額。10%5 |%3 | 01%3 |)(100)(100)2(axaIaI 解4 4、有一項年金，第一年初支付、有一項年金，第一年初支付100100元，以后元，以后每年遞增每年遞增100100元，直至永遠，如果年利率為元，直至永遠，如果年利率為3%3%，求其現(xiàn)值。，求其現(xiàn)值。 假如該年金規(guī)定假如該年金規(guī)定1010年后改為年后改為5 5年定期等年定期等額年金，年利率為額年金，年利率為5%5%，求每年的支付額。，求每年的支付額。10%5 | 5%3 | 01%3 |)(100)(100) 3(axaIaI 5 5、有一項特殊年金，第一年末支付、有一項特殊年

10、金，第一年末支付10001000元，元，然后每年遞增然后每年遞增500500元，增加到最高值元，增加到最高值1010萬元萬元后，又逐年遞減，每年減少后，又逐年遞減，每年減少1 1萬元，減到萬元，減到5 5萬萬元后保持不變，直至永遠，年利率恒為元后保持不變，直至永遠，年利率恒為5%5%，求其現(xiàn)值。求其現(xiàn)值。 1 1.5 2 100 90 80 70 60 50 50 0.5 1 1.5 99.5 40 30 20 10 0 0 0.5 0.5 0.5 0.5 50 50 50 50 50 50 時間時間總現(xiàn)金流總現(xiàn)金流現(xiàn)金流現(xiàn)金流1現(xiàn)金流現(xiàn)金流2金錢單位：金錢單位：1000元元0 1 2 3 1

11、99 200 201 202 203 204 205 199%5 |199%5 | 4%5 | 919%5 | 91950000)(10000)(500500aDaIaa現(xiàn)值解199%5 |199%5 | 4%5 | 919%5 | 91950000)(10000)(500500aDaIaa現(xiàn)值解生生 存存 年年 金金轉(zhuǎn)換函數(shù)轉(zhuǎn)換函數(shù) 01011.ttxxxxttxxxxxxxMMMRCCCMdvC壽險換算符號如下：壽險換算符號如下： 0101.ttxxxxttxxxxxxxNNNSDDDNlvD下下：生生存存年年金金的的換換算算符符號號如如.110 xxxtxtxxCCMdtDC 即時給付情

12、況下：即時給付情況下：t Ex=則則 有有=Dx+t /Dxt確定性年金與生存年金的確定性年金與生存年金的t年現(xiàn)值年現(xiàn)值生存年金計算一般公式生存年金計算一般公式znDNNz :需要計算價需要計算價值的時間點值的時間點 ：開始支付：開始支付年金的年齡年金的年齡n：支付：支付次數(shù)次數(shù)例例1 計算計算25歲的男性購買歲的男性購買40年期年期10000元純粹元純粹生存險的躉繳純保費。已知生存險的躉繳純保費。已知假定假定i678765825. 02540p78.76578765825. 006. 11000010000402540E解解:X+14 542.壽壽 險險死者保單對全體保單共有財產(chǎn)的分享死者保

13、單對全體保單共有財產(chǎn)的分享 初始人數(shù)每人交的凈保費 t 年末的投資積累 死亡人數(shù)1元賠償壽險現(xiàn)值與終值計算的一般公式壽險現(xiàn)值與終值計算的一般公式zmnxmnxnxDDMMA x : 計算價值計算價值的時間點的時間點 n : 延期年數(shù)延期年數(shù)特別：特別：n = 0m ：定期年數(shù)：定期年數(shù)特別：特別：M = 0雙保險純壽險10例例1 某人現(xiàn)年某人現(xiàn)年30歲，持有定期壽險保單，規(guī)定于第歲，持有定期壽險保單，規(guī)定于第一年死亡時，給付一年死亡時，給付1000元，第二年死亡時，給付元，第二年死亡時，給付1200元，第三年死亡時，給付元，第三年死亡時，給付1400元，等等，共元，等等，共計計20年，求躉繳純

14、保費。年，求躉繳純保費。解解 所求躉繳純保費所求躉繳純保費205.1661920010002001000305050313050301| 91 :301| 02:30 DMRRDMMIAA某人某人30歲投保某一壽險，約定歲投保某一壽險，約定50歲之前死亡給歲之前死亡給付付3000元，若元，若50歲仍生存，則每年末可領取年歲仍生存，則每年末可領取年金額金額960元的終身生存年金。求其躉繳純保費。元的終身生存年金。求其躉繳純保費。解：所求躉繳純保費可看作保額解：所求躉繳純保費可看作保額3000元的元的20年定年定 期壽險躉繳純保費與保額為期壽險躉繳純保費與保額為960元的元的20年延期年延期 終身

15、生存年金躉繳純保費之和。所以終身生存年金躉繳純保費之和。所以 其躉繳純保費其躉繳純保費30|20| 02:3019603000aA 4 設有保額為設有保額為1000元的元的10年限期繳費年限期繳費20年的兩全年的兩全 保險，簽發(fā)年齡為保險，簽發(fā)年齡為30歲，其附加費用如下：歲，其附加費用如下： 傭金：第一年按總保費的傭金：第一年按總保費的25%提取，第二年按提取，第二年按10%，第三年按，第三年按5%，以后均為，以后均為2%; 保費稅：總保費的保費稅：總保費的2%； 管理費及承保費用：第一年管理費及承保費用：第一年5元，第二年以后每年元，第二年以后每年2元，保費繳清后每年元，保費繳清后每年1元

16、。元。試求其年繳總保費。試求其年繳總保費。年齡年齡x=30 x+1 x+2 x+3 x+9 x+10 x+20 躉繳純躉繳純保費保費傭金傭金管理費管理費及承保及承保費用費用0.25G 0.1G 0.05G 0.02G 0.02G 5 2 2 2 2 1 . 保費稅保費稅0.02G 0.02G . 0.02G30:20|1000A費用開支列表：費用開支列表：313230 1030:2030303|710102010000.250.10.050.020.023DDGaAGGGDDG aGaaa ：30：30：30：30：按上表所示的費用開支情況及在簽單時收支平衡的原理，可得練練 習習 對（對（25

17、）購買的保險金額為）購買的保險金額為10萬元的萬元的40年年兩全保險保單，該保單的第一年費用為兩全保險保單，該保單的第一年費用為100元加上毛保費的元加上毛保費的25%，續(xù)年的費用為，續(xù)年的費用為25元元加上毛保費的加上毛保費的10%。發(fā)生死亡給付時的理。發(fā)生死亡給付時的理賠費用為賠費用為100元，生存給付時不發(fā)生理賠費元，生存給付時不發(fā)生理賠費用。求凈均衡年繳保費和毛保費。已知用。求凈均衡年繳保費和毛保費。已知%60811675. 0114592. 0140254025iAA，：常見險種的期末付生存年金常見險種的期末付生存年金 險種險種延付年金精算現(xiàn)值延付年金精算現(xiàn)值終身生存年金終身生存年金

18、n年定期年定期生存年金生存年金m年延期年延期終身生存年金終身生存年金m年延期年延期n年定期年定期生存年金生存年金1xxAai:1xnxnAai:1()xxmxx mxmx mx maaaEaAAi:1()xmxmnxm nxmx mnxmxm naaaE aAAi答案答案45.856033425. 015. 09 . 02575100100000)1 . 025()15. 075(100100000)2(85.7321000001000006422.151) 1 (140:2540:25140:2540:2540:25140:2540:2540:25140:2540:2540:2540:254

19、0:2540:2540:2540:25GAAAaaAAGaGGAAaGaAPdAa %60811675. 0114592. 0140254025iAA，：死亡時刻即刻賠付及連續(xù)死亡時刻即刻賠付及連續(xù)支付生存年金的情形支付生存年金的情形例1設設(x)投保終身壽險，保險金額為投保終身壽險，保險金額為1元元保險金在死亡即刻賠付保險金在死亡即刻賠付簽單時，簽單時，(x)的剩余壽命的密度函數(shù)為的剩余壽命的密度函數(shù)為 計算計算1 , 060(t)600 , Ttf 其它0.90.91(2)( )(3)Pr()0.9.xtAVar zz（）的答案答案0606002260220120602(1)( )1160602( )() 1()6011()12060txTttxxtxAeft dteedtVar zAAedtAee（ ）答案答案0.90.90.90.90.90.960lnln660.90.9(3)Pr()Pr() ln=Pr( lnln)()lnln60ln( )0.960ln6lnttTvzvtvP tvvft dtvve例例2已知個體已知個體(x)的未來生存時間的未來生存時間T的密度為的密度為計算：終身連續(xù)生存年金精算現(xiàn)值及方差計算：終身連續(xù)生存年金精算現(xiàn)值及方差30,05.0,100,00,1)(xtttfT其他)(,30YVara答案答案458.1405. 0277. 011277