正交向量組及正交矩陣

1、15.3.2 正交向量組及正交矩陣正交向量組及正交矩陣 Rn 中一個向量組中不含零向量，若其中任意兩個中一個向量組中不含零向量，若其中任意兩個向量都正交，則稱該向量組為向量都正交，則稱該向量組為正交向量組。正交向量組。 若正交向量組中每個向量都是單位向量，則稱該若正交向量組中每個向量都是單位向量，則稱該向量組為向量組為標準正交向量組。標準正交向量組。例如例如 設向量組設向量組12( , , ) ,( , ) ,( , ,) TTT31 1 111 01 12為一個正交向量組。把它的每個向量單位化，就得到為一個正交向量組。把它的每個向量單位化，就得到標準的正交向量組：標準的正交向量組：12(,)

2、 ,(, ) ,(,) TTT3111111120333226662證：證：innii ex ex ex eex1122(1), 為為Rn 的一個標準的一個標準正交基正交基,定理定理5.2 設設 neee12, ,為為V 中任意向量，設中任意向量，設nnx yx yx y1122(2), nxxx22212(3) nnxyxyxy2221122(4)()()() iiiixeye(1), 則則nnx ex ex e1 122, nny ey ey e1122, 3nnxxx2212(3), nnnnx ex ex ey ey ey e1 1221 122, nnnnx ey ex ey ex

3、ey e1 11 12222 ，nnx yx yx y1122 ,)2(性質：性質：正交系必是線性無關的向量組。正交系必是線性無關的向量組。證：證：設設 n21, 為正交系，則為正交系，則 ji , 0ji, ,2iji4令令nkkk12,，使使nnkkk11220 n21, 故故線性無關。線性無關。iiii k , k0 , in,01,2, innikkk1122,00 用用i 與兩邊作內積，則與兩邊作內積，則 定義定義 （正交矩陣）（正交矩陣）如果實方陣如果實方陣A 滿足滿足AAT = ATA = I，或或A-1 = AT, 則稱則稱A為為正交矩陣。正交矩陣。如如cossin,sinco

4、s 1000101/21/21001/21/2都是正交矩陣。都是正交矩陣。5 定理定理5.3 方陣方陣A 為正交矩陣的充要條件是為正交矩陣的充要條件是 A的列的列 (行行) 向量組為標準的正交向量組。向量組為標準的正交向量組。 證證 必要性必要性 設設A為為n階正交矩陣，階正交矩陣，A的按列分塊為的按列分塊為 12nA則有則有 12nTTT12nTAAI即即 TTT11121nTTT21222nTTTn1n2nn1000100016比較兩邊的對應的元素，得比較兩邊的對應的元素，得, Tijij1 ij0 ij這表明這表明A的列向量組的列向量組 是標準的正交向量組。是標準的正交向量組。, 12n

5、充分性充分性 將以上證明過程倒過來即可。將以上證明過程倒過來即可。 定義定義 設設A為為n階正交矩陣，則稱階正交矩陣，則稱Rn 到到 Rn 的線性變換的線性變換nyAx xR, 為為Rn為上的一個為上的一個線性變換線性變換。定理定理5.4 Rn上的線性變換上的線性變換 y = Ax 有如下性質：有如下性質：保持內積不變，即保持內積不變，即保持長度不變，即保持長度不變，即保持夾角不變，即保持夾角不變，即212n122Ax Ax = x ,x, Axx x xRAx Axx x111211,cos(,)cos(,) 75.3.3 Gram-Schmidt正交化方法正交化方法證證 (1) TTTT2

6、212112Ax Ax = AxAxxA A x =x x = x ,x 121,() ()() (2) 在（在（1）中?。┲腥?x1=x2 即可。即可。22AxAxxxAxAxxxAxAxxx1212111212,cos(,)cos(,) (3) 線性無關向量組未必是正交向量組，而正交向量組線性無關向量組未必是正交向量組，而正交向量組又是十分重要，所以，現在的問題是能否從一組線性又是十分重要，所以，現在的問題是能否從一組線性無關的向量組無關的向量組 出發(fā)，來構造出一組標準出發(fā)，來構造出一組標準的正交向量組的正交向量組 ？ 12naaa,12neee,而且還要求而且還要求 和和 是等價的？是等

7、價的？ 12ne ee,12na aa, 定理定理5.5 設設 為線性無關的向量組，則必能為線性無關的向量組，則必能構造出一組與其等價的標準正交的向量組構造出一組與其等價的標準正交的向量組 。 12na aa,12ne ee,8。則則 , 1111222 , ,k 1112 令令*證：證：12211 k , 令令11212 ,k, 使使, ,k,01112 331122 令令 kk ,22211323 ,kk,12211313 ,kk, 使使, ,k11131 , ,k,011113 , ,k22232 , ,k,022223 , , 222231111333 即即O1 2 2 1 k9這樣就

8、可使這樣就可使 ji,ji,iji02即即 n, 21是一個正交基。是一個正交基。GramSchmidt 這這種種構構造造正正交交基基正正交交的的方方法法稱稱為為化化方方法法。以此類推，可得以此類推，可得iikiikkkk in 1111,1,2,1, 則則就是一個標準正交基。就是一個標準正交基。nnn e e , e121212, 再再令令 neee12,10 因為只能找到一個線性無關的特征向量，所以，因為只能找到一個線性無關的特征向量，所以，A不不能對角化。能對角化。 xIA kx120111000 將將代代入入，得得， 所所以以 對于一般的對于一般的n階方陣不一定都能對角化階方陣不一定都

9、能對角化. . 例如例如 1011A IA211(1)0,01 , 1211 IA1101 5.3.4 正交矩陣與實對稱矩陣的對角化正交矩陣與實對稱矩陣的對角化11然而，對于實的對稱矩陣，有然而，對于實的對稱矩陣，有 定理定理5.6 實對稱矩陣必能對角化。（證明從略）實對稱矩陣必能對角化。（證明從略） 我們知道實矩陣的特征值可能為實數也可能為復數，我們知道實矩陣的特征值可能為實數也可能為復數， 然而，對于對稱矩陣，有下列重要性質然而，對于對稱矩陣，有下列重要性質 ：定理定理5.7 實對稱矩陣的特征值都是實數。實對稱矩陣的特征值都是實數。 證證 反證法反證法 若若 （復數）為復數）為的特征值，相

10、應的特征向量為的特征值，相應的特征向量為 xA Axx 則則兩邊取共軛兩邊取共軛 xxAxxAxAx 兩邊取轉置兩邊取轉置 TTTTxxxAAx )()(TTx x Axx x 用用 右右乘乘得得 12TTT xxx x x x()0即，即，Tnnxx x xx xxx1212(,) 而而nnnx xx xx xxx22112210 0 ， 即即， 所所以以 為為實實數數。注意注意 :由此定理可知實對稱矩陣的特征值均為實數，因而由由此定理可知實對稱矩陣的特征值均為實數，因而由 求出的非零解（特征向量）也必為實向量。求出的非零解（特征向量）也必為實向量。 IA x()0 對于實對稱矩陣對于實對稱

11、矩陣A ，一般希望用一般希望用 “正交矩陣正交矩陣” 使之對使之對角化。角化。13定義定義 正交矩陣是指這個矩陣按列分塊所得的正交矩陣是指這個矩陣按列分塊所得的n個個向量是標準正交系，即向量是標準正交系，即n個向量都是兩兩正交，而且每個向量都是兩兩正交，而且每個向量的范數都為單位個向量的范數都為單位1.這件事不難做到，根據上述定理：這件事不難做到，根據上述定理： (1)先求出先求出n個特征值；個特征值； (2)對于單重特征值，我們取出標準化（單位化）對于單重特征值，我們取出標準化（單位化）的特征向量的特征向量； (3)對于多重特征值，如對于多重特征值，如s重特征值，它的特征向量重特征值，它的特

12、征向量的全體是的全體是S維線性空間，維線性空間，s個個“基礎解系基礎解系”的向量是線性的向量是線性 無關的，因而可以按無關的，因而可以按Schmidt方法將其正交化和標準方法將其正交化和標準化，得到化，得到s個標準正交系。個標準正交系。14定理定理5.6 設設 為實對稱矩陣為實對稱矩陣A的不同的特征值的不同的特征值， 21, xx xx 121212, 分分別別為為的的特特征征向向量量，則則。21 Txx120 niii xxa b121,0 即即 xx , xx 1212 與與正正交交。Axx ,111 Axx222 證證 設設nnababx xab112212， ， 兩邊取轉置兩邊取轉置

13、TTxAx111, TT xxxx ,122112 即即T xx2112()0 或或TT x xAxxx212112 右右乘乘得得15把上述兩個情況所得出的把上述兩個情況所得出的n個標準正交向量組個標準正交向量組 nxxx12,按列排列即得相似變換的矩陣：按列排列即得相似變換的矩陣： nPxxx ,12, nPAPD121 成對角矩陣。成對角矩陣。 A220212020 , ,求正交矩陣求正交矩陣P , 使使P -1AP解解IA220212(2)(1)4402 2(1)(28)(1)(4)(2)0 123 1 , 4 , 2 。例例5.10 設設16A222254245 , ,求正交矩陣求正交

14、矩陣P ,使其對角化。使其對角化。 P AP1142 Px xx ,123221333122(,)333212333 從從 0)( xAI 中分別求出中分別求出 相應的單位化的特征向量相應的單位化的特征向量 i , 3231321 x, 3132322 x. 3232313 x例例5.11 設設17時時，當當 1 IA xxxx 123()220 IA122()244244 000000221xxkkx12123221001 xkkxk ,xk112213222 通通解解為為0)10()1(2 解解 542452222AI 542110222 123 1 , 10 。18適當取適當取 k k1

15、2,，使這兩個特解正交化。，使這兩個特解正交化。 k k 12,1 令令，kk , kk12121202211 令令kkkk121212,( 22) 00 kk120 k k 121 ,1 不不妨妨取取，, 114 2 則則這時這時 21 ，然后再標準化得，然后再標準化得 T T2e , e1114110223 23 23 219 IA x(10)0 令令變?yōu)樽優(yōu)?xxxx13231020 x x k ,x1231/2,11 3/23/23/1e 3取取單單位位向向量量3xk x kx k1212 令令000990542 0001102/101IA822(10)254245 5429901818010 當當 時時，20 Peee ,12341033 2112323 2112323 2 PAP11110 121232210,01xxkkx 另另解解為為221,00112 2222,1,01,0101211122111854455 21PAPD1111 , ,使使解解P實對稱矩陣必能對角化，所以若能找出實對稱矩陣必能對角化，所以若能找出則必可求出則必可求出A。 T 11 1 0 為為 1 所對應的特征向量，試求矩陣所對應的特征向量，試求矩陣 A? 設設3階實對稱矩陣階實對稱矩陣A的特征值為的特征值為 , 1, 1