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1、一一. 機(jī)械振動(dòng):機(jī)械振動(dòng):物體在一定位置(平衡位置)物體在一定位置(平衡位置)附近作重復(fù)往返運(yùn)動(dòng)稱為機(jī)械振動(dòng)。附近作重復(fù)往返運(yùn)動(dòng)稱為機(jī)械振動(dòng)。物體受到回復(fù)力作用以及物體具有慣性。物體受到回復(fù)力作用以及物體具有慣性。第二節(jié)第二節(jié) 簡(jiǎn)諧振動(dòng)簡(jiǎn)諧振動(dòng)一、簡(jiǎn)諧振動(dòng)的定義式一、簡(jiǎn)諧振動(dòng)的定義式(或或:簡(jiǎn)諧振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程簡(jiǎn)諧振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程)kmoxX二二.機(jī)械振動(dòng)的原因:機(jī)械振動(dòng)的原因:第一節(jié)第一節(jié) 振動(dòng)的一般概念振動(dòng)的一般概念振動(dòng)振動(dòng))tcos(A) t (xmoxXX(t)為質(zhì)點(diǎn)離開(kāi)平衡位置的位移;物體為質(zhì)點(diǎn)離開(kāi)平衡位置的位移;物體所受合外力為零的位置定為平衡位置。所受合外力為零的位置定為平衡位
2、置。1. 振幅振幅A(米)米):表示質(zhì)點(diǎn)離開(kāi)平衡位置的表示質(zhì)點(diǎn)離開(kāi)平衡位置的最大位移的絕對(duì)值。最大位移的絕對(duì)值。A. 振動(dòng)周期振動(dòng)周期T(秒)(秒):完成一次全振動(dòng)所完成一次全振動(dòng)所需時(shí)間。需時(shí)間。二二.描述簡(jiǎn)諧振動(dòng)的三個(gè)重要物理量描述簡(jiǎn)諧振動(dòng)的三個(gè)重要物理量2. 振動(dòng)的周期頻率圓頻率振動(dòng)的周期頻率圓頻率B. 頻率頻率 (赫茲)(赫茲) :?jiǎn)挝粫r(shí)間內(nèi)完單位時(shí)間內(nèi)完成全振動(dòng)的次數(shù)。成全振動(dòng)的次數(shù)。1C. 圓頻率圓頻率 (弧度(弧度/秒)。秒)。 2A. 位相位相 :它是反映質(zhì)點(diǎn)在它是反映質(zhì)點(diǎn)在t時(shí)刻時(shí)刻振動(dòng)狀態(tài)的物理量。(振動(dòng)狀態(tài)的物理量。(相同的振動(dòng)狀態(tài)對(duì)相同的振動(dòng)狀態(tài)對(duì)應(yīng)相位差為應(yīng)相位差為
3、的整數(shù)倍。)的整數(shù)倍。) t2B. 初位相初位相 : t0 時(shí)刻的位相。時(shí)刻的位相。三、簡(jiǎn)諧振動(dòng)的速度和加速度三、簡(jiǎn)諧振動(dòng)的速度和加速度3. 位相和初位相位相和初位相 ) 2 tcos(v) 2 tcos(A)tsin(Adtdxvm1. 速度速度 叫速度振幅其中 Av m速度的位相比位移超前速度的位相比位移超前22. 加速度加速度) tcos(a) tcos(A) tcos(Adtdvam22叫加速度振幅其中 Aa 2m0 2222xdtxdxa簡(jiǎn)諧振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)特征簡(jiǎn)諧振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)特征加速度的位相比位移超前或落后加速度的位相比位移超前或落后 ( (或或與位移反相與位移反相) )0 x, v,
4、 a t四、簡(jiǎn)諧振動(dòng)的矢量圖表示法(四、簡(jiǎn)諧振動(dòng)的矢量圖表示法(旋轉(zhuǎn)矢量法旋轉(zhuǎn)矢量法)# 逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)為正角。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)為正角。# 順時(shí)針旋轉(zhuǎn)為負(fù)角。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)為負(fù)角。旋轉(zhuǎn)矢量的端點(diǎn)在旋轉(zhuǎn)矢量的端點(diǎn)在X軸上的投影點(diǎn)的坐標(biāo)為軸上的投影點(diǎn)的坐標(biāo)為)tcos(A) t (x0AA t&1、2象限象限 v0 。 xOXOX1A2AOX1A2AOX2AO1A反相反相同相同相O t(s)X(m)0.04-0.0412例例1 1:一簡(jiǎn)諧振:一簡(jiǎn)諧振動(dòng)曲線如圖所動(dòng)曲線如圖所示,則以余弦示,則以余弦函數(shù)表示的振函數(shù)表示的振動(dòng)方程為什么動(dòng)方程為什么樣?樣?振動(dòng)振動(dòng)2比振動(dòng)比振動(dòng)1超前超前例例2:一物體沿:一
5、物體沿X軸作簡(jiǎn)諧振動(dòng),振幅為軸作簡(jiǎn)諧振動(dòng),振幅為0.12m,周期為,周期為2s 。當(dāng)。當(dāng) t=0 時(shí)位移為時(shí)位移為0.06m,且向,且向X軸正方向運(yùn)動(dòng)。求:軸正方向運(yùn)動(dòng)。求:(1)初相,)初相,(2)在在 x=0.06m 處,且向處,且向X軸負(fù)方向運(yùn)動(dòng)時(shí),軸負(fù)方向運(yùn)動(dòng)時(shí),物體的速度和加速度,以及從這一位置回到平衡位置所需物體的速度和加速度,以及從這一位置回到平衡位置所需的時(shí)間。的時(shí)間。解題思路:解題思路:作旋轉(zhuǎn)矢量圖作旋轉(zhuǎn)矢量圖1X(m)t(s)22 2o例例3: 求振動(dòng)方程求振動(dòng)方程解題思路:解題思路:作旋轉(zhuǎn)矢量圖作旋轉(zhuǎn)矢量圖例例4.一質(zhì)點(diǎn)在一質(zhì)點(diǎn)在x軸上作簡(jiǎn)諧振動(dòng),振輻軸上作簡(jiǎn)諧振動(dòng),振輻
6、A=4 cm,周期,周期T= 2 s,其平衡位置取作坐標(biāo)原,其平衡位置取作坐標(biāo)原點(diǎn)若點(diǎn)若t = 0時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)第一次通過(guò)時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)第一次通過(guò)x = -2 cm處,且向處,且向x軸負(fù)方向運(yùn)動(dòng),則質(zhì)點(diǎn)第二次通軸負(fù)方向運(yùn)動(dòng),則質(zhì)點(diǎn)第二次通過(guò)過(guò)x = -2 cm處的時(shí)刻為處的時(shí)刻為 (A) 1 s (B) (2/3) s (C) (4/3) s (D) 2 s 第三節(jié)第三節(jié) 無(wú)阻尼自由振動(dòng)、諧振子無(wú)阻尼自由振動(dòng)、諧振子一、彈簧振子:一、彈簧振子:f= -f= - k kx xx xm mk kama=ma=故彈簧振子的無(wú)阻尼自故彈簧振子的無(wú)阻尼自由振動(dòng)是簡(jiǎn)諧振動(dòng)。由振動(dòng)是簡(jiǎn)諧振動(dòng)。 mk f=-kxf=-k
7、x為諧振動(dòng)的動(dòng)力學(xué)特征為諧振動(dòng)的動(dòng)力學(xué)特征kmoxXfkm 2T 仍做簡(jiǎn)諧振動(dòng)仍做簡(jiǎn)諧振動(dòng);圓頻率仍為圓頻率仍為 mk x x22lg結(jié)論結(jié)論:?jiǎn)螖[的小角度擺動(dòng)振動(dòng)是簡(jiǎn)諧振動(dòng)。:?jiǎn)螖[的小角度擺動(dòng)振動(dòng)是簡(jiǎn)諧振動(dòng)。角頻率角頻率, ,振動(dòng)的周期分別為:振動(dòng)的周期分別為:glT22當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí) sin sinmglM 1.1.單擺單擺二、微振動(dòng)的簡(jiǎn)諧近似二、微振動(dòng)的簡(jiǎn)諧近似2mlmgl擺球?qū)[球?qū) C點(diǎn)的力矩點(diǎn)的力矩 mglM lg /gmTCO復(fù)擺復(fù)擺:繞不過(guò)質(zhì)心的水平固定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的剛體:繞不過(guò)質(zhì)心的水平固定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的剛體2Imgh結(jié)論結(jié)論:復(fù)擺的小角度擺動(dòng)振動(dòng)是簡(jiǎn)諧振動(dòng)。:復(fù)擺的小角度擺動(dòng)振動(dòng)是簡(jiǎn)諧振
8、動(dòng)。 sin當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí)gmhCOImghImghcos0Ax sin0AV22020VxA00 xVtg三三. 已知簡(jiǎn)諧振動(dòng)的初始條件已知簡(jiǎn)諧振動(dòng)的初始條件(x0 、v0),求,求A和和 (最好最好求出求出A A后,再作旋轉(zhuǎn)矢量圖,由后,再作旋轉(zhuǎn)矢量圖,由x x0 0 、v v0 0畫(huà)出旋轉(zhuǎn)矢量的位置而求出初位相)畫(huà)出旋轉(zhuǎn)矢量的位置而求出初位相)第四節(jié)、簡(jiǎn)諧振動(dòng)的能量第四節(jié)、簡(jiǎn)諧振動(dòng)的能量) t(sinkA21mv21E222k動(dòng)能動(dòng)能:) t(coskA21kx21E222p2pkkA21EEE勢(shì)能勢(shì)能: :簡(jiǎn)諧振動(dòng)能量簡(jiǎn)諧振動(dòng)能量:EpkpEE otEEkE=(1/2)kAE=(1/2)k
9、A2 2xto22020212121kAmvkx 討論討論 1 1:由初始條件確定常數(shù):由初始條件確定常數(shù)A A2 2、 若彈簧振子豎直懸掛或在光滑斜面上振若彈簧振子豎直懸掛或在光滑斜面上振動(dòng),其動(dòng),其振動(dòng)頻率仍保持不變;只要選擇合適振動(dòng)頻率仍保持不變;只要選擇合適的重力勢(shì)能零點(diǎn),其各能量表達(dá)式也保持不的重力勢(shì)能零點(diǎn),其各能量表達(dá)式也保持不變,此時(shí)勢(shì)能應(yīng)理解為重力勢(shì)能與彈性勢(shì)能變,此時(shí)勢(shì)能應(yīng)理解為重力勢(shì)能與彈性勢(shì)能的和。的和。202020VxA第五節(jié)第五節(jié) 同方向的簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成同方向的簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成一、一、 同方向、同頻率的簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成同方向、同頻率的簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成)cos()(111tA
10、tx)cos()(222tAtx)()()(21txtxtx結(jié)論結(jié)論: :同方向、同頻率的簡(jiǎn)諧振動(dòng)合成后仍然是同方向、同頻率的簡(jiǎn)諧振動(dòng)合成后仍然是同頻率的簡(jiǎn)諧振動(dòng)。同頻率的簡(jiǎn)諧振動(dòng)。)cos(tA2AA1A21X11cosA22cosA11sinA22sinA 旋轉(zhuǎn)矢量法旋轉(zhuǎn)矢量法方法方法)cos(212212221AAAAA22112211cosAcosAsinAsinAtg之間、必在 21|21AAA21AAA重要結(jié)論:重要結(jié)論:, 2, 1, 02 1kk)(, 2, 1, 0) 12(2kk)(振動(dòng)減弱振動(dòng)減弱2A1AX振動(dòng)加強(qiáng)振動(dòng)加強(qiáng)X1A2AAAcos2212221AAAAA 若兩
11、旋轉(zhuǎn)矢量重合若兩旋轉(zhuǎn)矢量重合,則則: = 1= 2 若兩旋轉(zhuǎn)矢量反向若兩旋轉(zhuǎn)矢量反向,則則 與與振幅大的分振動(dòng)的初相相同振幅大的分振動(dòng)的初相相同 二、二、 同方向、不同頻率的簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成同方向、不同頻率的簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成)cos()(22tAtx)cos()(11tAtx利用三角函數(shù)關(guān)系式:利用三角函數(shù)關(guān)系式:2cos2cos2coscos合成振動(dòng)表達(dá)式合成振動(dòng)表達(dá)式:2)(cos2)(cos21212ttAxx xt tx x2 2t tx x1 1t t 兩個(gè)同方向簡(jiǎn)諧兩個(gè)同方向簡(jiǎn)諧振動(dòng)在合成時(shí),由于振動(dòng)在合成時(shí),由于頻率的微小差別而造頻率的微小差別而造成的合振動(dòng)時(shí)而加強(qiáng),成的合振動(dòng)時(shí)而加
12、強(qiáng),時(shí)而減弱的現(xiàn)象叫時(shí)而減弱的現(xiàn)象叫拍。拍。AX2A1A 單位時(shí)間內(nèi)振動(dòng)加強(qiáng)或減弱的次數(shù)叫單位時(shí)間內(nèi)振動(dòng)加強(qiáng)或減弱的次數(shù)叫拍頻拍頻1 拍拍頻2 2拍現(xiàn)象應(yīng)用拍現(xiàn)象應(yīng)用: :給鋼琴調(diào)音給鋼琴調(diào)音; ;結(jié)合多普勒效應(yīng)結(jié)合多普勒效應(yīng)測(cè)車速測(cè)車速例例1:兩個(gè)諧振動(dòng)分別為:兩個(gè)諧振動(dòng)分別為 , 、當(dāng)、當(dāng) 時(shí),合時(shí),合振幅最大;當(dāng)振幅最大;當(dāng) 時(shí),合振幅最小,且時(shí),合振幅最小,且寫(xiě)出它們的合振動(dòng)方程。寫(xiě)出它們的合振動(dòng)方程。cm )43t10cos(5x1cm )t10cos(6x22 2 2思考題思考題1 1: : 一質(zhì)點(diǎn)作簡(jiǎn)諧振動(dòng)一質(zhì)點(diǎn)作簡(jiǎn)諧振動(dòng), ,其運(yùn)動(dòng)速度其運(yùn)動(dòng)速度與時(shí)間的曲線如圖所示。若質(zhì)點(diǎn)的振
13、動(dòng)規(guī)與時(shí)間的曲線如圖所示。若質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)規(guī)律用余弦函數(shù)描述,求其初位相。律用余弦函數(shù)描述,求其初位相。o oV(m/s)V(m/s)t(s)vmmv21x(cm)x(cm)思考題思考題2 2: : 圖中(圖中(1 1)和()和(2 2)表示兩個(gè)同方)表示兩個(gè)同方向,同頻率的簡(jiǎn)諧振動(dòng)的振動(dòng)曲線。則(向,同頻率的簡(jiǎn)諧振動(dòng)的振動(dòng)曲線。則(1 1)和(和(2 2)合成振動(dòng)的振幅為)合成振動(dòng)的振幅為,初位相,初位相為為 ,周期為,周期為;試在圖中畫(huà)出合成;試在圖中畫(huà)出合成振動(dòng)的振動(dòng)曲線。振動(dòng)的振動(dòng)曲線。t(s)-0.5-0.5-1-12 21 10 0(1)(1)(2)(2)5 5 波波 動(dòng)動(dòng) 學(xué)學(xué) 基基
14、 礎(chǔ)礎(chǔ)2 2、機(jī)械波產(chǎn)生的條件:彈性介質(zhì)和波源。機(jī)械波產(chǎn)生的條件:彈性介質(zhì)和波源。第一節(jié)第一節(jié) 機(jī)械波的形成和傳播機(jī)械波的形成和傳播一、機(jī)械波的產(chǎn)生一、機(jī)械波的產(chǎn)生1 1、機(jī)械波:振動(dòng)狀態(tài)在彈性面媒質(zhì)中的、機(jī)械波:振動(dòng)狀態(tài)在彈性面媒質(zhì)中的傳播過(guò)程。傳播過(guò)程。&波動(dòng)(或行波波動(dòng)(或行波) )是振動(dòng)狀態(tài)的傳播,是振動(dòng)狀態(tài)的傳播,是能量的傳播,而不是質(zhì)點(diǎn)的傳播。是能量的傳播,而不是質(zhì)點(diǎn)的傳播。&后面質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)規(guī)律與前面質(zhì)點(diǎn)的振后面質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)規(guī)律與前面質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)規(guī)律相同,只是位相上有一個(gè)落后。動(dòng)規(guī)律相同,只是位相上有一個(gè)落后。二、二、縱波和橫波:縱波和橫波:橫波:橫波:振動(dòng)方向與傳播方
15、向垂直振動(dòng)方向與傳播方向垂直, ,如電磁波如電磁波縱波縱波: :振動(dòng)方向與傳播方向相同,如聲波振動(dòng)方向與傳播方向相同,如聲波三、三、波線、波面、波前波線、波面、波前波(射)線:波(射)線:表示波的傳播方向的射線稱表示波的傳播方向的射線稱之為波(射)線之為波(射)線。波面(或相面)波面(或相面): :某時(shí)刻介質(zhì)內(nèi)振動(dòng)相位某時(shí)刻介質(zhì)內(nèi)振動(dòng)相位相同的點(diǎn)組成的面稱為波面。相同的點(diǎn)組成的面稱為波面。波前波前( (波振面):波振面):某時(shí)刻處在最前面的波面。某時(shí)刻處在最前面的波面。波面波面波線波線在各向同性均勻介質(zhì)中,波線與波面垂直在各向同性均勻介質(zhì)中,波線與波面垂直&球面波球面波波振面波振面&a
16、mp;平面波平面波4 4描述波動(dòng)的幾個(gè)物理量描述波動(dòng)的幾個(gè)物理量( (波長(zhǎng)、波的傳播速度、波的周期和頻率波長(zhǎng)、波的傳播速度、波的周期和頻率) )波線波線波面波面波振面波振面uXy12345601 1、波長(zhǎng)、波長(zhǎng) :同一波線上振動(dòng)狀態(tài)完全相同的兩個(gè)同一波線上振動(dòng)狀態(tài)完全相同的兩個(gè)相鄰點(diǎn)之間的距離(對(duì)應(yīng)的位相差為相鄰點(diǎn)之間的距離(對(duì)應(yīng)的位相差為 )22 2、波的周期、波的周期T T:波前進(jìn)一個(gè)波長(zhǎng)的距離所需要的波前進(jìn)一個(gè)波長(zhǎng)的距離所需要的時(shí)間(等于振動(dòng)的周期,由波源決定)時(shí)間(等于振動(dòng)的周期,由波源決定)u3 3、波速、波速 :在波動(dòng)過(guò)程中,某一振動(dòng)狀在波動(dòng)過(guò)程中,某一振動(dòng)狀態(tài)在單位時(shí)間內(nèi)傳播的距
17、離稱為波速態(tài)在單位時(shí)間內(nèi)傳播的距離稱為波速 ,也,也稱之相速。稱之相速。T Tu u &機(jī)械波的傳播速度完全取決于介質(zhì)機(jī)械波的傳播速度完全取決于介質(zhì)。(決(決于介質(zhì)的彈性性質(zhì)和慣性性質(zhì)。即介質(zhì)的彈于介質(zhì)的彈性性質(zhì)和慣性性質(zhì)。即介質(zhì)的彈性模量和介質(zhì)的密度。)性模量和介質(zhì)的密度。)第二節(jié)第二節(jié) 平平 面面 簡(jiǎn)簡(jiǎn) 諧諧 波波 的的 波波 動(dòng)動(dòng) 方方 程程一、平面簡(jiǎn)諧波的波動(dòng)方程的推導(dǎo)一、平面簡(jiǎn)諧波的波動(dòng)方程的推導(dǎo)XypuOx1、右行波右行波的波動(dòng)方程的波動(dòng)方程(1)已知)已知O點(diǎn)振動(dòng)表達(dá)式:點(diǎn)振動(dòng)表達(dá)式:)cos(tAyo(O點(diǎn)不一定是波源)點(diǎn)不一定是波源))(cosuxtAy&將將
18、 t t 理解為已知點(diǎn)振動(dòng)了的時(shí)間,求理解為已知點(diǎn)振動(dòng)了的時(shí)間,求出任一點(diǎn)實(shí)際振動(dòng)的時(shí)間,以此代替已知出任一點(diǎn)實(shí)際振動(dòng)的時(shí)間,以此代替已知點(diǎn)振動(dòng)方程中的點(diǎn)振動(dòng)方程中的 t t,就可得到任一點(diǎn)的振,就可得到任一點(diǎn)的振動(dòng)方程,即為波動(dòng)方程。動(dòng)方程,即為波動(dòng)方程。&照抄已知點(diǎn)的振動(dòng)方程,再將任一點(diǎn)照抄已知點(diǎn)的振動(dòng)方程,再將任一點(diǎn)振動(dòng)超前于或落后于已知點(diǎn)振動(dòng)的位相振動(dòng)超前于或落后于已知點(diǎn)振動(dòng)的位相補(bǔ)上,就得任一點(diǎn)的振動(dòng)方程,即為波補(bǔ)上,就得任一點(diǎn)的振動(dòng)方程,即為波動(dòng)方程。(超前就動(dòng)方程。(超前就“ ” ,落后就,落后就 “ ” 。)。)(xtAy2 cos或或(2)如圖,已知)如圖,已知 P
19、點(diǎn)的振動(dòng)方程:點(diǎn)的振動(dòng)方程:)tcos(AyPyXpuOx如圖,已知如圖,已知 P P 點(diǎn)的振動(dòng)方程:點(diǎn)的振動(dòng)方程:)tcos(AyPyXpuOx2、左行波、左行波的波動(dòng)方程:的波動(dòng)方程:平面簡(jiǎn)諧波波動(dòng)方程的一般形式平面簡(jiǎn)諧波波動(dòng)方程的一般形式)(cosuxtAy2 cosxtAy或或x前為前為“+”號(hào),表明波向號(hào),表明波向x軸軸負(fù)負(fù)向傳,向傳, x前為前為“-”號(hào),表明波向號(hào),表明波向x軸軸正正向傳。向傳。思考題思考題: 一平面簡(jiǎn)諧波在媒質(zhì)中以速度一平面簡(jiǎn)諧波在媒質(zhì)中以速度u=20m/s自左向右傳播。已知波線上某自左向右傳播。已知波線上某點(diǎn)點(diǎn)A的振動(dòng)表式的振動(dòng)表式 ,D點(diǎn)在點(diǎn)在A點(diǎn)右方點(diǎn)右方
20、9米處。米處。 若取若取x軸方向向左,并以軸方向向左,并以A為坐標(biāo)原點(diǎn),為坐標(biāo)原點(diǎn),試寫(xiě)出波動(dòng)方程并寫(xiě)出試寫(xiě)出波動(dòng)方程并寫(xiě)出D 點(diǎn)的振動(dòng)方程。點(diǎn)的振動(dòng)方程。)(4cos(3SIty結(jié)論:結(jié)論:對(duì)于給定的波動(dòng),其對(duì)于給定的波動(dòng),其波動(dòng)方程波動(dòng)方程與坐與坐標(biāo)原點(diǎn)及坐標(biāo)軸方向的選取標(biāo)原點(diǎn)及坐標(biāo)軸方向的選取有關(guān)有關(guān);但對(duì)于給;但對(duì)于給定點(diǎn)的定點(diǎn)的振動(dòng)方程振動(dòng)方程,卻與坐標(biāo)原點(diǎn)及坐標(biāo)軸方,卻與坐標(biāo)原點(diǎn)及坐標(biāo)軸方向的選取向的選取無(wú)關(guān)無(wú)關(guān)思考:思考:若以若以D為坐標(biāo)原點(diǎn),再寫(xiě)以上方程。為坐標(biāo)原點(diǎn),再寫(xiě)以上方程。 tuyXuO1、t 一定時(shí)的波形圖一定時(shí)的波形圖 t時(shí)刻時(shí)刻 t+ 時(shí)刻時(shí)刻 t二、波動(dòng)方程的物
21、理意義二、波動(dòng)方程的物理意義)(cosuxtAy討論各質(zhì)點(diǎn)在給定時(shí)刻的振動(dòng)方向討論各質(zhì)點(diǎn)在給定時(shí)刻的振動(dòng)方向波線上兩質(zhì)點(diǎn)之間的位相差波線上兩質(zhì)點(diǎn)之間的位相差x1x2)(21221xx 2、x一定時(shí)的振動(dòng)曲線一定時(shí)的振動(dòng)曲線)(cosuxtAyyOt討論質(zhì)點(diǎn)在某一時(shí)刻的振動(dòng)方向討論質(zhì)點(diǎn)在某一時(shí)刻的振動(dòng)方向3 3、質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)速度、質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)速度)ux-(t sinA tyv三三.平面波波動(dòng)方程的微分形式平面波波動(dòng)方程的微分形式222221tyuxy例例1:沿:沿X軸正方向傳播的平面簡(jiǎn)諧波、在軸正方向傳播的平面簡(jiǎn)諧波、在 t=0 時(shí)時(shí)刻的波形如圖,問(wèn):(刻的波形如圖,問(wèn):(1)原點(diǎn))原點(diǎn)O的初相及的
22、初相及P點(diǎn)的點(diǎn)的初相各為多大?(初相各為多大?(2)已知)已知A及及 ,寫(xiě)出波動(dòng)方程。,寫(xiě)出波動(dòng)方程。uXy0p解題思路:解題思路: 2、若上圖為、若上圖為t=2s時(shí)刻的波形圖,時(shí)刻的波形圖,重新討論上面各問(wèn)題。重新討論上面各問(wèn)題。思考思考:1、從矢量圖上直接求、從矢量圖上直接求O、P兩點(diǎn)之間的位相差。兩點(diǎn)之間的位相差。例例2:一平面簡(jiǎn)諧波某時(shí)刻的波形圖如下,:一平面簡(jiǎn)諧波某時(shí)刻的波形圖如下,則則OP之間的距離為多少厘米。之間的距離為多少厘米。Xy0p2320cm解題思路:解題思路:解題思路解題思路:思考題思考題 一圓頻率為一圓頻率為 的簡(jiǎn)諧振動(dòng)沿的簡(jiǎn)諧振動(dòng)沿x x軸的正方向軸的正方向傳播傳播
23、,t=0,t=0時(shí)刻的波形如圖所示時(shí)刻的波形如圖所示, ,則畫(huà)出則畫(huà)出t=0t=0時(shí)刻時(shí)刻, x, x軸上各點(diǎn)的振動(dòng)速度軸上各點(diǎn)的振動(dòng)速度v v和和x x坐標(biāo)的關(guān)系圖坐標(biāo)的關(guān)系圖. .uXy01 12 2t=0t=0A A 結(jié)論結(jié)論: :在在t t時(shí)刻時(shí)刻,V,V與與X X關(guān)系曲線與關(guān)系曲線與t+T/4t+T/4時(shí)刻的波形圖相似時(shí)刻的波形圖相似 ( (思考思考) )設(shè)有一行波:設(shè)有一行波: )(cosuxtAy質(zhì)元的速度質(zhì)元的速度: : )uxt (sinAv 質(zhì)量為質(zhì)量為 的媒質(zhì)元其動(dòng)能為:的媒質(zhì)元其動(dòng)能為:dm)uxt (sindVA21vdm21dW2222k第三節(jié)第三節(jié) 波波 的的 能
24、能 量量一、一、媒質(zhì)中單位體積中的能量(波的能量密度)媒質(zhì)中單位體積中的能量(波的能量密度)動(dòng)能密度動(dòng)能密度: : )uxt (sinA21w222k1. 1. 動(dòng)能密度動(dòng)能密度 2. 2. 勢(shì)能密度勢(shì)能密度 lkllESf 楊氏彈性模量楊氏彈性模量E E llSfE S為棒之橫截面積為棒之橫截面積llff 張應(yīng)力張應(yīng)力 張應(yīng)變張應(yīng)變倔強(qiáng)系數(shù)倔強(qiáng)系數(shù)彈性勢(shì)能:彈性勢(shì)能:2)(21dykdWpOxdxSXXyy+dyO22)(21)(21dxdydxESdydxES彈性勢(shì)能密度:彈性勢(shì)能密度:22)(21)(21xyEdxdyEwp 彈性勢(shì)能密度是與媒質(zhì)元的相對(duì)形變彈性勢(shì)能密度是與媒質(zhì)元的相對(duì)形
25、變量的平方成正比,也就是與波形圖上的斜量的平方成正比,也就是與波形圖上的斜率平方成正比。率平方成正比。其勢(shì)能密度為:其勢(shì)能密度為:)(sin222uxtAwwwpk)uxt (sinA21ww222kp2u E Eu)ux-(t sinu1A xy2221Aw 任意時(shí)刻,體元中動(dòng)能與勢(shì)能相等,任意時(shí)刻,體元中動(dòng)能與勢(shì)能相等,即動(dòng)能與勢(shì)能同時(shí)達(dá)到最大或最小。即動(dòng)能與勢(shì)能同時(shí)達(dá)到最大或最小。其能量密度為:其能量密度為:平均能量密度為:平均能量密度為:XY能量極能量極大大能量極大能量極大 能量極小能量極小 能量極小能量極小Suudt二、波的二、波的能流和能流密度能流和能流密度能流能流 電流電流 能量
26、能量 電量電量 能流密度能流密度 電流電流 密度密度 能流能流 單位時(shí)間內(nèi)通過(guò)某一截面單位時(shí)間內(nèi)通過(guò)某一截面的能量稱為波通過(guò)該截面的能流。的能量稱為波通過(guò)該截面的能流。P PSuwdt)dtu (SwdtdWP#S S也可以不和波速垂直,此時(shí)式中的也可以不和波速垂直,此時(shí)式中的S S應(yīng)改應(yīng)改 為為S S垂直垂直。#上式也適用于球面波上式也適用于球面波SuwP#平均能流平均能流2、能流密度或波的強(qiáng)度、能流密度或波的強(qiáng)度 I 通過(guò)垂直于波通過(guò)垂直于波速方向的單位面積的平均能流速方向的單位面積的平均能流uA21uwSPI22垂直波強(qiáng)與振幅的平方成正比波強(qiáng)與振幅的平方成正比解題思路:解題思路:例:如圖
27、,某一點(diǎn)波源發(fā)射功率為例:如圖,某一點(diǎn)波源發(fā)射功率為4040瓦,求該球瓦,求該球面波上通過(guò)的平均能流及能流密度。(介質(zhì)無(wú)吸面波上通過(guò)的平均能流及能流密度。(介質(zhì)無(wú)吸收)收)r r波源波源(1 1)在均勻不吸收能量的媒質(zhì)中傳)在均勻不吸收能量的媒質(zhì)中傳播的平面波在行進(jìn)方向上振幅不變。播的平面波在行進(jìn)方向上振幅不變。 平面波和球面波的振幅平面波和球面波的振幅u1S2S221121SuwSuw PP證明:因?yàn)樽C明:因?yàn)?所以在單位時(shí)間內(nèi)通過(guò)所以在單位時(shí)間內(nèi)通過(guò) 和和1S2S面的能量應(yīng)該相等面的能量應(yīng)該相等21SS 22221212SuA21SuA2121AA 設(shè)距波源單位距離處質(zhì)點(diǎn)的振幅為設(shè)距波源單
28、位距離處質(zhì)點(diǎn)的振幅為A A,則可以,則可以證明證明: :距波源距波源 r r處質(zhì)點(diǎn)的振幅為處質(zhì)點(diǎn)的振幅為 ( (思考思考) )rA(2 2)球面波振幅與它離波源的距離成反比)球面波振幅與它離波源的距離成反比第四節(jié)第四節(jié) 惠更斯原理惠更斯原理 波的疊加和干涉波的疊加和干涉一、一、惠更斯原理:惠更斯原理:波陣面上的每一點(diǎn),都是波陣面上的每一點(diǎn),都是發(fā)射子波的新波源,其后任意時(shí)刻,這些子發(fā)射子波的新波源,其后任意時(shí)刻,這些子波的包絡(luò)面就是新的波陣面。波的包絡(luò)面就是新的波陣面。(1690(1690年年) )二、用惠更斯原理解釋波的傳播行為二、用惠更斯原理解釋波的傳播行為S S2 2t uS S1 1二
29、、二、波的疊加原理(獨(dú)立性原理):波的疊加原理(獨(dú)立性原理):若有幾列波同時(shí)在介質(zhì)中傳播,則它們各若有幾列波同時(shí)在介質(zhì)中傳播,則它們各自將以原有的振幅、頻率和波長(zhǎng)獨(dú)立傳播;自將以原有的振幅、頻率和波長(zhǎng)獨(dú)立傳播;在幾列波相遇處,質(zhì)元的位移等于各列波單在幾列波相遇處,質(zhì)元的位移等于各列波單獨(dú)傳播時(shí)在該處引起的位移的矢量和。獨(dú)傳播時(shí)在該處引起的位移的矢量和。)cos(11010tAy)cos(22020tAy傳播到傳播到 P P 點(diǎn)引起的振動(dòng)為:點(diǎn)引起的振動(dòng)為: )2cos(1111rtAy)2cos(2222rtAy)tcos(Ayyy211r2r1S2Sp三、三、波的干涉波的干涉cos22122
30、21AAAAA )(2)(2112rr )r2cos(A)r2cos(A)r2sin(A)r2sin(Atg2221112221111 1、相干條、相干條件:件:兩波源兩波源應(yīng)滿足:振應(yīng)滿足:振動(dòng)方向相同,動(dòng)方向相同,頻率相同,頻率相同,位相差恒定。位相差恒定。2 2、極值條件、極值條件加強(qiáng)。 AA 221Ak減弱。)( AA 1221Ak. ,2 ,1 ,0k&當(dāng)兩相干波源為同相波源(即當(dāng)兩相干波源為同相波源(即 ) )時(shí)時(shí)21相長(zhǎng)干涉相長(zhǎng)干涉,.2 , 1 , 0,12kkrr相消干涉相消干涉,.2 , 1 , 0,2) 12(12kkrr稱稱 為波程差為波程差&若若S1S
31、2r1r221)r2r2()(221112第五節(jié)第五節(jié) 駐駐 波波一、一、 駐波的產(chǎn)生:駐波的產(chǎn)生:振幅相同振幅相同的兩列的兩列相干波相干波,在同一直線上沿,在同一直線上沿相反相反方向方向傳播,疊加后所形成的波叫駐波。傳播,疊加后所形成的波叫駐波。(駐波是駐波是一種特殊的干涉現(xiàn)象一種特殊的干涉現(xiàn)象)橫駐波演示橫駐波演示所謂所謂波腹波腹位置就是位置就是干涉極大值干涉極大值的位置;的位置;所謂所謂波節(jié)波節(jié)位置就是位置就是干涉極小值干涉極小值的位置。的位置。波腹波腹波節(jié)波節(jié))2cos()2cos(2121 xtAxtAyyy利用三角函數(shù)關(guān)系:利用三角函數(shù)關(guān)系:求出求出駐波的表達(dá)式駐波的表達(dá)式:2co
32、s2cos2coscos 二、二、 駐駐 波方波方 程程)2cos(22 xtAy)2cos(11 xtAy正向正向:負(fù)向負(fù)向:)2 cos()22cos(22121 txAy) cos()2cos(2txAy )cos()(txAy 振振 幅幅 項(xiàng)項(xiàng))2cos(2xA 1. 振幅振幅2.2.波腹和波節(jié)的位波腹和波節(jié)的位置置求出的求出的 x x 即為波腹的位置。即為波腹的位置。(2 2)波節(jié):波節(jié):求出的求出的 x x 即為波節(jié)的位置。即為波節(jié)的位置。(1 1)波腹:波腹: )2,1,0,(k , 2 kx )2,1,0,(k , 2) 12(2 Kx1)2cos(x 令令0)2cos(x 令
33、令v方法一(方法一(若已知駐波方程若已知駐波方程)) cos()2cos(2txAy 結(jié)論結(jié)論: 半個(gè)波長(zhǎng)半個(gè)波長(zhǎng)。2x 2x22相鄰兩個(gè)波腹之間的距離為相鄰兩個(gè)波腹之間的距離為 v方法二方法二( (求出求出X X處質(zhì)點(diǎn)兩分振動(dòng)的位相差處質(zhì)點(diǎn)兩分振動(dòng)的位相差), )2cos(11 xtAy)2cos(22 xtAy (1)波腹位置)波腹位置(為干涉極大值位置)(為干涉極大值位置)1222 x求出的求出的X X即為波腹處即為波腹處. . 22 12 x 2,1,0,k , 2 k(2 2)波節(jié)位置)波節(jié)位置( (為干涉為干涉極小值位置)極小值位置) 2,1.0,k , 12 )(k12x22 求
34、出的求出的X X即為波節(jié)處即為波節(jié)處. .相鄰兩個(gè)波節(jié)之間的距離也為相鄰兩個(gè)波節(jié)之間的距離也為半個(gè)波長(zhǎng)半個(gè)波長(zhǎng). yxo22應(yīng)用應(yīng)用: :可用測(cè)量波腹或波節(jié)間的距離,來(lái)確定波長(zhǎng)可用測(cè)量波腹或波節(jié)間的距離,來(lái)確定波長(zhǎng) 0 )2cos( t 時(shí)當(dāng)x 0 )2cos( t 時(shí)當(dāng)x 結(jié)論:結(jié)論:相鄰兩個(gè)波節(jié)之間的相鄰兩個(gè)波節(jié)之間的各點(diǎn)是同位相的;一個(gè)波節(jié)各點(diǎn)是同位相的;一個(gè)波節(jié)兩側(cè)的點(diǎn)是反相的。兩側(cè)的點(diǎn)是反相的。駐波位相駐波位相動(dòng)畫(huà)動(dòng)畫(huà)3. 3. 位位 相相) cos()2cos(2txAy xA(X)oyxoA BC思考題:思考題:右上圖,某時(shí)刻若右上圖,某時(shí)刻若已知已知A點(diǎn)的位相為點(diǎn)的位相為 /4
35、,則求該則求該時(shí)刻時(shí)刻B點(diǎn)和點(diǎn)和C點(diǎn)的位相。點(diǎn)的位相。21o tcosAy tcosAy例:如圖,若例:如圖,若o、 處分別有兩個(gè)相干波源,處分別有兩個(gè)相干波源,其其振動(dòng)方程分別為:振動(dòng)方程分別為:yox求波腹和波節(jié)的位置。求波腹和波節(jié)的位置。解題思路:解題思路: x0在在范圍內(nèi)形成駐波。范圍內(nèi)形成駐波。駐波駐波右行波右行波左行波左行波對(duì)其中的任一點(diǎn)對(duì)其中的任一點(diǎn) x xx221x波腹 2 k波節(jié)。)( 1k2 , 2 , 1, 0k原則上駐波的能量駐波的能量在在相鄰的波腹和波節(jié)間相鄰的波腹和波節(jié)間不斷地不斷地進(jìn)行動(dòng)能與勢(shì)能的相互轉(zhuǎn)換,而不向外傳播。進(jìn)行動(dòng)能與勢(shì)能的相互轉(zhuǎn)換,而不向外傳播。三三
36、. 駐駐 波波 的的 能量能量2p)(dxyWAB C波波節(jié)節(jié)波波腹腹xx位移最大時(shí)位移最大時(shí)平衡位置時(shí)平衡位置時(shí)動(dòng)能主要集中在波腹動(dòng)能主要集中在波腹附近附近。勢(shì)能主要集中在波節(jié)勢(shì)能主要集中在波節(jié)附近附近。&當(dāng)波當(dāng)波從波疏從波疏媒質(zhì)垂直入媒質(zhì)垂直入射射到波密到波密媒質(zhì)界面上反射媒質(zhì)界面上反射時(shí),時(shí),在反射點(diǎn)在反射點(diǎn),形成形成波節(jié)波節(jié)(固定端固定端)。即反射波在即反射波在分界處較入射波產(chǎn)生了分界處較入射波產(chǎn)生了 的相位躍變的相位躍變(即有半波損即有半波損失失)。)。&當(dāng)波當(dāng)波從波密從波密媒質(zhì)垂直入媒質(zhì)垂直入射到射到波疏波疏媒質(zhì)界面上反射媒質(zhì)界面上反射時(shí),時(shí),在反射點(diǎn)在反射點(diǎn),形成,形成波腹波腹(自由端自由端)。)。即即無(wú)半波損無(wú)半波損失失)。四四. . 半半 波波 損損 失失界面界面波波密密媒媒質(zhì)質(zhì)波波疏疏媒媒質(zhì)質(zhì)u u大大 波波阻阻u u小小波波阻阻界面界面波波密密媒質(zhì)媒質(zhì)波波疏疏媒質(zhì)媒質(zhì)u u大大 波波阻阻u u小小波波阻阻)L2t cos(AyL入解題思路:解題思路:)L2t cos(AyL反)xL2L2t cosAy (反xL4x2t cosAoL疏疏密密例:如圖,已知原點(diǎn)例:如圖,已知原點(diǎn)O處質(zhì)點(diǎn)處質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)
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