小學(xué)奧數(shù)專題排列組合

1、排列問題題型分類：1 .信號問題2 .數(shù)字問題3 .坐法問題4 .照相問題5 .排隊問題組合問題題型分類：1 .幾何計數(shù)問題2 .加乘算式問題3 .比賽問題4 .選法問題常用解題方法和技巧1 .優(yōu)先排列法2 .總體淘汰法3 .合理分類和準確分步4 .相鄰問題用捆綁法5 .不相鄰問題用插空法6 .順序問題用“除法”7 .分排問題用直接法8 .試驗法9 .探索法10 .消序法11 .住店法12 .對應(yīng)法13 .去頭去尾法14 .樹形圖法15 .類推法16 .幾何計數(shù)法17 .標數(shù)法18 .對稱法分類相加，分步組合,有序排列，無序組合基礎(chǔ)知識（數(shù)學(xué)概率方面的基本原理）.力口法原理：做一件事情，完成它

2、有N類辦法，在第一類辦法中有 M中不同的方法，在第二類辦法中有 M中不同的方法，在第N類辦法中有M種不同的方法，那么完成這件事情共有 M+M+M種不同的方法。.乘法原理：如果完成某項任務(wù)，可分為k個步驟,完成第一步有ni種不同的方法，完成第二步有n2種不同的方法，完成第k步有n k種不同的方法，那么完成此項任務(wù)共有n 1 X n 2 XX n k種不同的方法。.兩個原理的區(qū)別做一件事，完成它若有n類辦法，是分類問題,每一類中的方法都是 獨立的，故用加法原理。 每一類中的每一種方法都可以獨立完成此任務(wù)；兩類不同辦法中的具體方法，互 不相同（即分類丕重）；完成此任務(wù)的任何一種方法，都屬于某一類（即

3、分類丕漏.） 做一件事，需要分n個步驟，步與步之間是連續(xù)的,只有將分成的若干個互相聯(lián)系的步 驟，依次相繼完成，這件事才算完成，因此用乘法原理.任何一步的一種方法都不能完成此任務(wù), 必須且只須連續(xù)完成這n步才能完成此 任務(wù)；各步計數(shù)相互獨立；只要有一步中所采取的方法不同，則對應(yīng)的完成此事 的方法也不同這樣完成一件事的分“類”和“步”是有本質(zhì)區(qū)別的，因此也將兩個原理區(qū)分開來.四.排列及組合基本公式1 .排列及計算公式從n個不同元素中，任取m(mc n)個元素按照一定的順序排成一列，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個排列；從n個不同元素中取出m(mc n)個元素的所有排列的個數(shù),叫做從n個不同元

4、素中取出m個元素的排列數(shù)，用符號Pmn表示.Pmn =n(n-1)(n- 2)(n-m+1)(規(guī)定 0!=1).n!一(n-m)!2 .組合及計算公式從n個不同元素中，任取m(mc n)個元素并成一組，叫做從n個不同元素中取出m個元素 的一個組合；從n個不同元素中取出m(m n)個元素的所有組合的個數(shù)，叫做從 n個不同 元素中取出m個元素的組合數(shù).用符號cn表示.cn = p mn /m!=n!(n-m)! x m!一般當(dāng)遇到m比較大時(常常是m>0.5n時)，可用Cmn = C n-mn來簡化計算 規(guī)定：Cnn=1, C0n=1.3 . n的階乘(n!)n個不同元素的全排列Pnn=n!

5、=n X(n-1) x(n-2)3X2X1五.兩個基本計數(shù)原理及應(yīng)用1 .首先明確任務(wù)的意義【例1】 從1、2、3、20這二十個數(shù)中任取三個不同的數(shù)組成等差數(shù)列，這樣的不同等差數(shù)列有個。分析：首先要把復(fù)雜的生活背景或其它數(shù)學(xué)背景轉(zhuǎn)化為一個明確的排列組合問題。設(shè)a,b,c成等差2b=a+c,可知b由a,c決定，又; 2b是偶數(shù)，.二a,c同奇或同偶，即：從1, 3, 5,，19或2, 4, 6, 8,，20這十個數(shù)中選出兩個數(shù)進行排列，由此就可確定等差數(shù)列，如：a=1, c =7,則b=4 (即每一組a,c必對應(yīng)唯一的b,另外1、4、7和7、4、1按同 一種等差數(shù)列處理).&0= 10X

6、9 = 90,同類(同奇或同偶)相加，即本題所求 =2X 90=180。【例2】 某城市有4條東西街道和6條南北的街道，街道之間的間距相同，如圖若規(guī)定只能向東或向北兩個方向沿圖中路線前進, 則從M到N有多少種不同的走法？分析：對實際背景的分析可以逐層深入（一） 從M到N必須向上走三步，向右走五步，共走八步。（二）每一步是向上還是向右，決定了不同的走法。（三）事實上，當(dāng)把向上的步驟決定后，剩下的步驟只能向右。從而，任務(wù)可敘述為：從八個步驟中選出哪三步是向上走，就可以確定走法數(shù), 本題答案為：038=56。2 .注意加法原理與乘法原理的特點，分析是分類還是分步，是排列還是組合。采用加法原理首先要做

7、到分類不重不漏，如何做到這一點？分類的標準必須前后統(tǒng)一。注意排列組合的區(qū)別與聯(lián)系：所有的排列都可以看作是先取組合，再做全排列；同樣，組合如補充一個階段（排序）可轉(zhuǎn)化為排列問題?！纠?】 在一塊并排的10壟田地中，選擇二壟分別種植 A, B兩種作物，每種種植一壟，為有利于作物生長，要求 A, B兩種作物的間隔不少于 6壟，不同的選法共有 種。分析：條件中“要求A、B兩種作物的間隔不少于6壟”這個條件不容易用一個包含排列 數(shù)，組合數(shù)的式子表示，因而采取分類的方法。第一類：A在第一壟，B有3種選擇；第二類：A在第二壟，B有2種選擇；第三類：A在第三壟，B有1種選擇，同理A、B位置互換，共12種?！镜?/p>

8、型問題】第昌吊“華羅庚金杯”少年敕學(xué)邇請賽夏春第13跑1 .恰好能標6, 7, 8, 9整底向五位藪有多少個？【分析與解】6、7、8、9的最小公倍數(shù)是 504,五位數(shù)中，最小的是 10000,最大為99999.因為 10000+ 504: 19424, 99999+ 504=198207.所以，五位數(shù)中，能被 504整除的數(shù)有198-19=179個.所以恰女?能被6, 7, 8, 9整除的五位數(shù)有179個.級地的津y ；I無京市弟九屆“迎春忙敷學(xué)竟鎏決賽第二題第9題2 .小明的兩個衣服口袋中各有13張卡片，每張卡片上分別寫著1, 2, 3,，13.如果從這兩個口袋中各拿出一張卡片來計算它們所寫

9、兩數(shù)的乘積，可以得到許多不相等的乘積. 那么，其中能被6整除的乘積共有多少個 ？【分析與解】這些積中能被6整除的最大一個是13X12=26X 6,最小是 6.但在l X 626X6之間的6的倍數(shù)并非都是兩張卡片上的乘積， 其中有 25X6, 23X6, 21X6, 19X6, 17X6 這五個不是. .二所求的積共有26-5=21個.命魅級黜*3 . 1,2, 3, 4, 5, 6這6個數(shù)中，選3個數(shù)使它們的和能被 3整除.那么不同的選法有幾種【分析與解】被3除余1的有1, 4;被3除余2的有2,5 ;能被3整除的有3, 6.從這6個數(shù)中選出3個數(shù)，使它們的和能被 3整除，則只能是從上面3類中

10、各選一個，因為每類中的選擇是相互獨立的，共有2X2X 2=8種不同的選法.殿殿級姊*4 .同時滿足以下條件的分數(shù)共有多少個？11分母是兩位數(shù).大于1 ,并且小于1 ;分子和分母都是質(zhì)數(shù);65【分析與解】由知分子是大于1,小于20的質(zhì)數(shù). 2, 2 2 .如果分子是2,那么這個分數(shù)應(yīng)該在 一與一之間，在這之間的只有 一符合要求.31710811如果分子是3,那么這個分數(shù)應(yīng)該在 W與旦之間，15與18之間只有質(zhì)數(shù)17,所以分數(shù)是1518同樣的道理，當(dāng)分子是 5, 7, 11, 13, 17, 19時可以得到下表.分子分數(shù)2211331755293 7737 41分子分數(shù)11 1111,59 611

11、3 13 1313,一,一67 71 7317 1717,一89 97191997于是，同時滿足題中條件的分數(shù)共13個.皴麴級數(shù)：*"； ；"=一 .：" j_h . 一,. _Bli.5. 一個六位數(shù)能被11整除，它的各位數(shù)字非零且互不相同的.將這個六位數(shù)的6個數(shù)字重新排列，最少還能排出多少個能被11整除的六位數(shù)？【分析與解】設(shè)這個六位數(shù)為 abcdef，則有（a c e）、（b d f）的差為?；?1的倍數(shù).且a、b、c、d、e、f均不為0,任何一個數(shù)作為首位都是一個六位數(shù).先考慮a、c、e偶數(shù)位內(nèi)，b、d、f奇數(shù)位內(nèi)的組內(nèi)交換，有P33 x P3 =36種順

12、序；再考慮形如badcfe這種奇數(shù)位與偶數(shù)位的組間調(diào)換，也有IP,3 x p3=36種順序.所以，用均不為 。的a、b、c、d、e、f最少可以排出36+36=72個能被11整除的數(shù)（包含原來的abcdef）.所以最少還能排出 72-1=71個能被11整除的六位數(shù).級蜘:*北京市第一屆“迎春杯,去竽競蹇，刊賽第35題（有改動）6. 在大于等于1998,小于等于8991的整數(shù)中，個位數(shù)字與十位數(shù)字不同的數(shù)共有多少個2【分析與解】先考慮20008999之間這7000個數(shù)，個位數(shù)字與十位數(shù)字不同的數(shù)共有7X10X耳。=6300.但是1998, 89928998這些數(shù)的個位數(shù)字與十位數(shù)字也不同，且 19

13、98在19988991內(nèi)，89928998這7個數(shù) 不在19988991之內(nèi).所以在19988991之內(nèi)的個位數(shù)字與十位數(shù)字不同的有6300+1-7=6294個.級數(shù)六* *.!' ," <a . i I- -7. 個位、十位、百位上的 3個數(shù)字之和等于12的三位數(shù)共有多少個 ？ 【分析與解】 12 = 0 + 6 + 6 = 0 + 5 + 7 = 0 + 4 + 8 = 0 + 3 + 9 = 1 + 5 + 6= 1 + 4 + 7=1 + 3 + 8 = 1 + 2 + 9 = 2 + 5 + 5 = 2 +4 + 6 = 2 + 3 + 7 = 2 + 2 +

14、 8 =3 + 4 + 5 = 3 + 3 + 6 = 4 + 4 + 4.其中三個數(shù)字均不相等且不含0的有7組，每組有P33種排法，共7X P33=42種排法；其中三個數(shù)字有只有 2個相等且不含0的有3組，每組有P33+2種排法，共有3xF33 + 2=9種排法;其中三個數(shù)字均相等且不含0的只有1組，每組只有1種排法；在含有0的數(shù)組中，三個數(shù)字均不相同的有3組，每組有2F22種排法，共有3X 2X P2=12種排法；在含有0的數(shù)組中，二個數(shù)字相等的只有 1組，每組有2 P2+2種排法，共有2種排法.所以，滿足條件白三位數(shù)共有42 + 9 + 1 + 12 + 2 = 66 個.8. 一個自然

15、數(shù)，如果它順著看和倒過來看都是一樣的，那么稱這個數(shù)為“回文數(shù)” 例如1331, 7, 202都是回文數(shù)，而 220則不是回文數(shù).問：從一位到六位的回文數(shù)一共有多少個？其中的第1996個數(shù)是多少？【分析與解】我們將回文數(shù)分為一位、二位、三位、六位來逐組計算.所有的一位數(shù)均是“回文數(shù)”，即有9個；在二位數(shù)中，必須為aa形式的，即有9個（因為首位不能為0,下同）；在三位數(shù)中，必須為aba（a、b可相同，在本題中，不同的字母代表的數(shù)可以相同）形式的,-13 - / 14即有9X10 =90個;在四位數(shù)中，必須為abba形式的，即有9X 10 個;在五位數(shù)中，必須為在六位數(shù)中，必須為abcba形式的，即

16、有 9x 10X 10=900個;abccba形式的，即有 9X10X10=900 4".所以共有 9 + 9 + 90 + 90 + 900 + 900 = 1998 個，最大的為 999999,其次為998899,再次為 997799.而第1996個數(shù)為倒數(shù)第3個數(shù)，即為997799.所以，從一位到六位的回文數(shù)一共有1998個，其中的第1996個數(shù)是997799.嫌魅級蜘：*9. 一種電子表在6時24分30秒時的顯示為6:24 30,那么從8時到9時這段時間里，此表的5個數(shù)字都不相同的時刻一共有多少個？【分析與解】設(shè)A：BCDE是滿足題意的時刻，有A為8,B、D應(yīng)從0,1,2,3

17、,4,52這6個數(shù)字中選擇兩個不同的數(shù)字，所以有P6種選法，而C、E應(yīng)從剩下的7個數(shù)字中222選擇兩個不同的數(shù)字，所以有 P7種選法，所以共有P6 X P7 =1260種選法，即從8時到9時這段時間里，此表的 5個數(shù)字都不相同的時刻一共有1260個.級數(shù)丁:*10.有些五位數(shù)的各位數(shù)字均取自1, 2, 3, 4, 5,問這樣的五位數(shù)共有多少個？并且任意相鄰兩位數(shù)字（大減?。┑牟疃际?.【分析與解】如下表，我們一一列出當(dāng)首位數(shù)字是5, 4, 3時的情況.首位數(shù)字所 有 滿 足 題55 4433321的 數(shù) 字 列 表5 45 453 45 444432343221 2滿足題意的數(shù)字個數(shù)55 43

18、5443332135433322131 2112因為對稱的緣故，當(dāng)首位數(shù)字為1時的情形等同與首位數(shù)字為 5時的情形,首位數(shù)字為2時的情形等同于首位數(shù)字為4時的情形.所以，滿足題意白五位數(shù)共有6 + 9 + 12 + 9 + 6 = 42 個.11 .用數(shù)字1, 2組成一個八位數(shù)，其中至少連續(xù)四位都是 1的有多少個？【分析與解】當(dāng)只有四個連續(xù)的 1時，可以為11112 * * *,211112 * * ,* 211112 *,* *211112 , * * * 21111,因為*號處可以任意填寫 1或2,所以這些數(shù)依次有 23, 22, 22, 22, 23個，共28個；當(dāng)有五個連續(xù)的 l 時，

19、可以為 111112 * *, 2111112 * , *2111112 , * * 211111 ,依次有22 , 2 , 2 , 22個，共12個；當(dāng)有六個連續(xù)的 1時，可以為 1111112 * , 21111112, * 2111111 ,依次有 2, 1 , 2個，共 5個;當(dāng)有七個連續(xù)的 1時，可以為11111112, 21111111 ,共2個：當(dāng)有八個連續(xù)的l時，只能是11111111,共1個.所以滿足條件白八位數(shù)有28 + 12 + 5 + 2 + 1=48 個.酸雷級數(shù)：*12 .在1001, 1002,，2000這1000個自然數(shù)中，可以找到多少對相鄰的自然數(shù)，滿足它們相

20、加時不進位【分析與解】設(shè)1bcd, xyzw為滿足條件的兩個連續(xù)自然數(shù)，有xyzw=1bcd +1.我們只用考察1bcd的取值情況即可.我們先不考慮數(shù)字 9的情況（因為d取9,則w為0,也有可能不進位），則 d 只能取 0, 1,2, 3, 4; C只能取 0, 1, 2, 3, 4; b 只能取 0, 1, 2, 3, 4;對應(yīng)白有5X5X5=125組數(shù).當(dāng)d =9時，有1bC9的下一個數(shù)為1b(c 1)0,要想在求和時不進位，必須 c (c 1) <9, 所以C此時只能取0, 1,2, 3, 4;而b也只能取0, 1, 2, 3, 4;共有5X5=25組數(shù).當(dāng)Cd=99時，有1b99

21、的下一個數(shù)為1(b 1)00,要想在求和時不進位，必須b+(b+1)w9,所以b此時只能取0, 1,2, 3, 4;共有5組數(shù).所以，在1001 , 1002,，2000這1000個自然數(shù)中，可以找到125 + 25 + 5 = 155對相鄰的自然數(shù),滿足它們相加時不進位.額勵級數(shù)二*13 .把1995, 1996, 1997, 1998, 1999這5個數(shù)分別填入圖 20-1中的東、南、西、北、中5個方格內(nèi),使橫、豎3個數(shù)的和相等.那么共有多少種不同填法？小，并且方格內(nèi)的6個數(shù)字互不相同，例如圖20-3為一種填法.那么共有多少種不同的填法【分析與解】顯然只要有“東” + “西”="

22、南” + “北”即可，剩下的一個數(shù)字即為“中”因為題中五個數(shù)的千位、百位、十位均相同，所以只用考慮個位數(shù)字，顯然有 5 + 9 = 6 + 8, 5 + 8 = 6 + 7, 6 + 9 = 7 + 8.先考察5 + 9 = 6 + 8,可以對應(yīng)為“東” + “西”="南” + “北”，因為“東”、“西”可以調(diào)換，“南”、“北”可以對調(diào)，有2X2=4種填法，而“東、西”，“南、北”可以整體對調(diào)，于是有4X2=8種填法.5 + 8 = 6 + 7, 6 + 9 = 7 + 8 同理均有8種填法，所以共有 8X3=24種不同的填法.北京市第十臼曷“迎春杯"教學(xué)競褰?jīng)Q褰第三題第4

23、題14 .在圖20-2的空格內(nèi)各填人一個一位數(shù),使同一行內(nèi)左面的數(shù)比右面的數(shù)大，同一列內(nèi)上面的數(shù)比下面的數(shù)3圖 20-2642753圖 20-3【分析與解】為了方便說明，標上字母：CD2AB3要注意到，A最大，D最小，B、C的位置可以互換.但是，D只能取4, 5, 6,因為如果取7,就找不到3個比它大的一位數(shù)了. 當(dāng)D取4, 5, 6時分別剩下5, 4, 3個一位大數(shù).有 B、C可以互換位置.所有不同的填法共 C53 X 2+C3 X2+C33 X 2=10 X 2+4 X 2+X2=30 種.|補充選講問題(2003年一零一中學(xué)小升初第 12題)將一些數(shù)字分別填入下列各表中，要求每個小格中填

24、入一個數(shù)字，表中的每橫行中從左到右數(shù)字由小到大，每一豎列中從上到下數(shù)字也由小到大排列. 將1至4填入表1中，方法有 種:(2) 將1至6填入表2中，方法有 種; 將1至9填入表3中，方法有 種.【分析與解】(1)2 種：如圖，1和4是固定的，另外兩格任意選取，故有2種;(2)5種：1和6是固定的，其他的格子不確定.有如下 5種:4 5 613 5 63 4 62 5 62 4 6品J t . 一. _- J(3)42種：由(2)的規(guī)律已經(jīng)知道，3X2是5種:mm1、2、3確定后，剩下的6個格子是3X2,為5種.如下:5種，因為第一排右邊的數(shù)限制了其下方的數(shù)字，滿足條件的只有如下幾種:另外，將以

25、上所有情況翻轉(zhuǎn)過來,也是滿足題意的排法，所以共21 X 2=42種.-15 - / 14級熟* * * *北京市第九屆“迎春杯”教學(xué)克穿決賽第二題第舍建15.從1至9這9個數(shù)字中挑出6個不同的數(shù)填在圖 204的6個圓圈內(nèi), 使任意相鄰兩個圓圈內(nèi)數(shù)字之和都是質(zhì)數(shù).那么共能找出多少種不同的挑法（6個數(shù)字相同、排列次序不同的都算同一種.）國 20-4【分析與解】顯然任意兩個相鄰圓圈中的數(shù)一奇一偶，因此，應(yīng)從2、4、6、8中選3個數(shù)填入3個不相鄰的圓圈中.第一種情況| :填入2、4、6,這時3與9不能同日填入（否則總有一個與 6相鄰，和3+6或9+6不是質(zhì)數(shù)）.沒有3、9的有1種；有3或9的，其他3個

26、奇數(shù)l、5、7要去掉1個，因而有2X 3=6種，共1+6= 7種.第二種情況| :填入2、4、8.這時7不能填入（因為7+2, 7+8都不是質(zhì)數(shù)），從其余4個奇數(shù)中選3個，有4種選法，都符合要求.第三種情況卜填入2、6、8.這時7不能填入，而3與9只能任選1個，因而有2種選法.第四種情況：填入4、6、8.這時3與9只能任選1個，1與7也只能任選1個.因而有2X2=4種選法.總共有 7 + 4 + 2 + 4 = 17種選法20. 一個骰子六個面上的數(shù)字分別為0, 1, 2, 3, 4, 5,現(xiàn)在擲骰子，把每次擲出的點數(shù)依次求和，當(dāng)總點數(shù)超過12時就停止不再擲了，這種擲法最有可能出現(xiàn)的總點數(shù)是幾

27、？1. 從甲地到乙地有2種走法，從乙地到丙地有 4種走法，從甲地不經(jīng)過乙地到丙地有3種走法，則從甲地到丙地的不同的走法共有 種.2. 甲、乙、丙3個班各有三好學(xué)生 3, 5, 2名，現(xiàn)準備推選兩名來自不同班的三好學(xué)生去參加校三好學(xué)生代表大會，共有 種不同的推選方法.3. 從甲、乙、丙三名同學(xué)中選出兩名參加某天的一項活動，其中一名同學(xué)參加上午的活動，一名同學(xué)參加下午的活動.有 種不同的選法.4. 從a、b、c、d這4個字母中，每次取出 3個按順序排成一列，共有 種不同的排法.5. 若從6名志愿者中選出 4人分別從事翻譯、導(dǎo)游、導(dǎo)購、保潔四項不同的工作， 則選派的方案有 種.6. 有a, b, c, d, e共5個火車站，都有往返車，問車站間共需要準備 種火車票.7. 某年全國足球甲級聯(lián)賽有 14個隊參加，每隊都要與其余各隊在主、客場分別比賽一場，共進行 場比賽.8. 由數(shù)字1、2、3、4、5、6可以組成 個沒有重復(fù)數(shù)字的正整數(shù).9. 用0到9這10個數(shù)字可以組成 個沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù).10. (1)有5本不同的書，從中選出 3本送給3位同學(xué)每人1本，共有