《經濟數學》-第二章導數與微分

1、經濟數學-第二章導數與微分定義定義 設設y=f(x)在點在點x0的某鄰域內有定義，的某鄰域內有定義， 屬于該鄰域，記屬于該鄰域，記 若若存在，則稱其極限值為存在，則稱其極限值為y = f (x)在點在點x0 處的導數，記為處的導數，記為xx0),()(00 xfxxfy xyx0limxxfxxfx )()(lim000.|dd,|dd,|)(0000 xxxxxxxfxyyxf或或或.)()(limlim)(00000 xxfxxfxyxfxx 或或2.1 導數的概念導數的概念導數定義與下面的形式等價：導數定義與下面的形式等價：.)()(lim)(0000 xxxfxfxfxx 若若y =f

2、 (x)在在x= x0 的導數存在，則稱的導數存在，則稱y=f(x)在點在點x0 處可導，反之稱處可導，反之稱y = f (x)在在x = x0 不可導，此時意不可導，此時意味著不存在味著不存在.左導數與右導數左導數與右導數 左導數左導數: :.)()(lim)(0000 xxfxxfxfx 右導數右導數:.)()(lim)(0000 xxfxxfxfx顯然可以用下面的形式來定義左、右導數顯然可以用下面的形式來定義左、右導數,)()(lim)(0000 xxxfxfxfxx .)()(lim)(0000 xxxfxfxfxx 定理定理3.1 y = f (x)在在x =x0可導的充分必要條件是

3、可導的充分必要條件是y = f (x)在在x=x0 的左、右導數存在且相等的左、右導數存在且相等.導數的幾何意義導數的幾何意義 當自變量當自變量 從變化到從變化到 時，曲線時，曲線y=f(x)上的點由上的點由 變到變到).(,(00 xxfxxM此時此時 為割線兩端點為割線兩端點M0，M的橫坐標之差，而的橫坐標之差，而 則為則為M0，M 的縱坐標之差，的縱坐標之差，所以所以 即為過即為過M0，M兩點的兩點的割線的斜率割線的斜率.0 x).(,(000 xfxMxyxyxx0M0M0 xxx0 曲線曲線y = f (x)在點在點M0處的切線即為割線處的切線即為割線M0M當當M沿曲沿曲線線y=f(

4、x)無限接近無限接近 時的極限位置時的極限位置M0P，因而當因而當 時，割線斜率的極限值就是切線的斜率時，割線斜率的極限值就是切線的斜率.即：即：0 0 xD D00()limlimtantanxyfxkx 所以，導數所以，導數 的幾何意義的幾何意義是曲線是曲線y = f (x) 在點在點M0(x0,f(x0)處的切線斜率處的切線斜率.)(0 xf M0M0 xxx0P P0 0M 設函數設函數y=f(x)在點處可導，則曲線在點處可導，則曲線y=f(x)在點處在點處的切線方程為：的切線方程為： 而當而當 時時,曲線曲線 在在 的切線方程為的切線方程為0001()().()yf xxxfx 0

5、xx (即法線平行y軸).0 xx 000()()().yf xfxxx 當當 時時,曲線曲線 在在 的法線方程為的法線方程為0()0fx ( )f x0M而當而當 時時,曲線曲線 在在 的法線方程為的法線方程為0()0fx ( )f x0M0()fx ( )f x0M例例1 1 求函數求函數 的導數的導數解解: (1): (1)求增量求增量: : (2)(2)算比值算比值: : (3)(3)取極限取極限: : 同理可得同理可得: :特別地特別地, . , . 2xy ()( )yf xxf x 222()2()xxxx xx xxxy2xxxxyyxx2)2(limlim00為正整數）nnx

6、xnn()(111( )()xn 例例2 2 求曲線求曲線 在點在點 處的切線與法線方程處的切線與法線方程. .解解: :因為因為 , ,由導數幾何意義由導數幾何意義, ,曲線曲線 在點在點 的切線與法線的斜率分別為的切線與法線的斜率分別為: : 于是所求的切線方程為于是所求的切線方程為: :即即法線方程為法線方程為: :3xy )8 , 2(233)(xx3xy )8 , 2(1211,12)3(122221kkxykxx)2(128xy01612 yx)2(1218xy即09812yx2.1.2 2.1.2 可導性與連續(xù)性的關系可導性與連續(xù)性的關系定理定理2 若函數若函數y = f (x)

7、在點在點x0處可導，處可導，則則f(x)在點在點x0 處連續(xù)處連續(xù).例3 證明函數 在x=0處連續(xù)但不可導.|yx 證證 因為因為0lim| 0 xx 所以所以 在在x =0=0連續(xù)連續(xù)|yx 00(0)limlim1xxyxfxx 1limlim)0(00 xxxyfxx而而即函數即函數 在在x=0處左右導數不相等處左右導數不相等,從而在從而在|yx x=0不可導不可導.由此可見，函數在某點連續(xù)是函數在該點可由此可見，函數在某點連續(xù)是函數在該點可導的必要導的必要條件，但不是充分條件條件，但不是充分條件即可導定連續(xù)即可導定連續(xù), ,連續(xù)不一定可導連續(xù)不一定可導. . 設函數設函數u(u(x)

8、)與與v(v(x) ) 在點在點x處均可導，則處均可導，則: :定理一定理一);()()()()1(xvxuxvxu ),()()()()()()2(xvxuxvxuxvxu uCCuCCxv ) (,()(,則則為為常常數數）特特別別地地2)()()()()()()()3(xvxvxuxvxuxvxu ( )1,u x 2.2.1 2.2.1 函數的和、差、積、商的求導法則函數的和、差、積、商的求導法則2.2 2.2 導數的運算導數的運算特別地特別地,如果如果可得公式可得公式21( ) ( ( )0)( ) ( )v xv xv xv x wvuwvu )(注：法則（注：法則（1）（）（2）

9、均可推廣到有限）均可推廣到有限多個可導函數的情形多個可導函數的情形wuvwvuvwuuvw )(例：設例：設u=u(x),v=v(x),w=w(x)在點在點x處均處均可導，則可導，則)3lnsin(3 xexyx解：解： )3(ln)(sin)()(3 xexxxexxcos32 例例2 設設52,xyxy 求求)(52)(5 xx2xx解：解：)25( xxy2ln25225xxxx yxexyx ，求，求設設3lnsin3例例1)(tan xy)cossin( xx解：解：xxxxx2cos)(cossincos)(sin xxx222cossincos xx22seccos1 即即 2(

10、tan)secxx 2(cot)cscxx 類似可得類似可得例例3 求求y = tanx 的導數的導數基本導數公式表基本導數公式表為為常常數數）CC(0).(1 為為常常數數） ().(21 xxaxxaln1).(log3 14.(ln)xx xxee ).(6xxcos).(sin7 xxsin).(cos8 2.2.2 基本初等函數的導數基本初等函數的導數aaaxxln)(5 . .)sin2()sin2(3222 xxxx)cos4()sin2(322xxxx )sin2(32 xxy解：解：22)cos4()sin2(322 xxxxxxy22)12(6 2,)sin2(32 xyx

11、xy求求設設例例4 定理二定理二)(xu 如果函數如果函數在在x處可導，而函數處可導，而函數y=f(u)在對應的在對應的u處可導，處可導， 那么復合函數那么復合函數)(xfy 在在x處可導，且有處可導，且有dydy dudxdu dx或或xuxyyu對于多次復合的函數，其求導公式類似，對于多次復合的函數，其求導公式類似，此法則也稱鏈導法此法則也稱鏈導法注：注：2.2.3 復合函數的導數復合函數的導數xuxuy)1()(sin2 xu 2cos )1cos(22xx 例例6yxy 求求,2lnsin222lncos22 xxxxxxxy2221212lncos222 解：解：解：解：復復合合而而

12、成成可可看看作作221,sin)1sin(xuuyxy yxy 求求),1sin(2例例51. 隱函數的導數隱函數的導數例例7 求方程求方程 所確定的函數的導數所確定的函數的導數解：解：方程兩端對方程兩端對x求導得求導得0)2(2 xyeyxxyye2.2.5 隱函數的導數隱函數的導數隱函數即是由隱函數即是由 所確定的函數，其求導方法就是把所確定的函數，其求導方法就是把y看成看成x的函數，方程兩端同時對的函數，方程兩端同時對x求導，然后解出求導，然后解出 。 ( , )F x yy 20yxex ye 即即22xeexydxdyyyx )0(2 xey例例8dxdyyxy求求設設),2arct

13、an( 解：解：兩邊對兩邊對x求導得求導得)21()2(112yyxy 1)2(12 yxy得得解出解出,y )()(00 xfxxfy 可以表示為可以表示為定義定義 設函數設函數)(xfy在點在點0 x的某鄰域內有定義，的某鄰域內有定義，處的增量處的增量0 x在點在點)(xf如果函數如果函數),( xoxAy 處的微分，處的微分，0 x)(xfxA 可微，可微，稱為稱為在點在點0 x處處在點在點)(xf高階的無窮小，則稱函數高階的無窮小，則稱函數時時0 x)( xo x其中其中A是與是與無關的常數，無關的常數，是當是當比比x2.3.1 微分的概念微分的概念2.3 2.3 微分微分由微分定義，

14、函數由微分定義，函數f (x)在點在點x0處可微與可導等價，處可微與可導等價，且且0()Afx , ,因而因而)(xf在點在點 x0處的微分可寫成處的微分可寫成00d()x xyf xx00d()dx xyf xx于是函數于是函數通常把通常把x 記為記為，稱自變量的微分，稱自變量的微分，上式兩端同除以自變量的微分，得上式兩端同除以自變量的微分，得d( )dyf xx因此導數也稱為微商因此導數也稱為微商d( )dyfxxf (x)在點在點x0 處的微分又可寫成處的微分又可寫成d xf(x) 在在(a,b)內任一點內任一點x處的微分記為處的微分記為00 d | d |.x xx xyyAx，即即記為記為解：解：0201. 0101. 1)(2222 xxxy例例1 求函數求函數 y=x2 在在 x=1,01. 0 x時的改變量和微分。時的改變量和微分。于是于是 110.010.01d20.02