高數(shù)作業(yè)及課堂練習

1、高數(shù)作業(yè)及課堂練習注意：（1）沒有布置的習題，請利用課余時間自行完成；（2）總習題一定要自行練習。第一章：函數(shù)與極限第一節(jié) 映射與函數(shù)1、試求下列各題中的表達式： （1） （2）答案： （1） （2）2、設滿足方程： ，求。答案：3、 設 ，求。答案：4、設是以為周期的函數(shù)，證明：是以為周期的函數(shù)。5、設函數(shù)的圖形關于對稱（），證明： 是周期函數(shù)，并求其周期。提示：，于是 所以，是周期函數(shù)，其周期6、設 ，求。答案：“用分析法” 7、設 ，求。答案：“用圖示法” 第二節(jié) 數(shù)列的極限第三節(jié) 函數(shù)的極限1、證明：不存在。第四節(jié) 無窮小與無窮大第五節(jié) 極限的運算法則1、確定下列各題中的常數(shù)： 設 ：

2、 （答案：） 設 ： （答案：）2、求極限： （答案：）3、求極限： （答案：）4、求函數(shù)極限： （1） （2）（答案：（1）（2）5、求極限： （答案：）第六節(jié) 極限存在準則 兩個重要極限1、求極限：。（答案：不存在）2、求極限：。（答案：）3、求極限：。（答案：）第七節(jié) 無窮小的比較1、求極限： （答案：）第八節(jié) 函數(shù)的連續(xù)性與間斷點1、討論： 的連續(xù)性。提示： 所以，函數(shù)在連續(xù)2、討論函數(shù)的連續(xù)性。提示： 所以，函數(shù)連續(xù)3、求函數(shù)： 的間斷點，并指出類型。提示： 4、求函數(shù)： 的間斷點，并指出類型。 提示： 5、研究函數(shù) 的連續(xù)性。 6、設函數(shù) 處處連續(xù)，求的值。（答案：） 7、求常數(shù)的

3、值，使在處連續(xù)。（答案：）8、 證明：若函數(shù)是連續(xù)的，則函數(shù)也連續(xù)，其中是常數(shù)。（提示：可以利用“”定義來證明）第九節(jié) 連續(xù)函數(shù)的運算與初等函數(shù)的連續(xù)性第十節(jié) 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)1、設在上連續(xù)，且，證明在上至少存在一點，使得。2、設在上連續(xù)，且，則方程在內(nèi)至少有一個實根。3、證明：三次多項式至少有一個實根。4、試證：方程至少有一個不超過的正根，其中。5、試證：方程至少有一個小于1的正根。6、設在上連續(xù)，且，證明：至少存在一點，使得。7、設函數(shù)和均在上連續(xù)，且，證明：至少存在一點，使得。8、設函數(shù)在上連續(xù)，且，證明：至少存在一點，使得。第一章：函數(shù)與極限第一節(jié) 微分中值定理1 、求函數(shù)在上滿

4、足拉格朗日中值定理中的。2 、驗證拉格朗日中值定理對于函數(shù)在上的正確性。3 、設函數(shù)在上連續(xù)，在上可導，且，試證：在內(nèi)至少存在一點，使得。4 、設函數(shù)都在上連續(xù)，在上可導，且，試證：在內(nèi)至少存在一點，使得。5 、設函數(shù)在上連續(xù)，在上可導，證明：在內(nèi)至少存在一點，使得成立。6 、設函數(shù)在上連續(xù)，在上可導，證明：在內(nèi)至少存在一點，使得。7 、函數(shù)的一階導數(shù)在內(nèi)為單調(diào)遞減函數(shù)，且，證明：對任何，有。8 、設函數(shù)在上連續(xù)，在上可導，且，證明：存在，使。9 、設函數(shù)在上連續(xù)，在上可導，且，證明：在內(nèi)至少存在一點，使得成立。10、設函數(shù)可導，試證，在的兩個零點之間，一定有的零點。11、設函數(shù)在上連續(xù)，在上

5、可導，且，試證：在內(nèi)至少存在唯一的，使得。12、證明：方程在區(qū)間內(nèi)只有一個實根。微分中值定理中的釋疑解惑：1 、在費馬引理中，若函數(shù)在可導并取得極值，則，這兩個條件缺一，費馬引理就不一定成立。例：。因此，我們有駐點不一定為函數(shù)的極值點；是可導函數(shù)在點取得極值的必要條件，并非充分條件。2 、在羅爾（Rolle）定理中，“函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，在開區(qū)間上可導”這兩個條件是否可以合并成“在閉區(qū)間上可導”一個條件，這樣不是更簡單嗎？答：函數(shù)“在閉區(qū)間上可導”不僅包含了函數(shù)“在閉區(qū)間上連續(xù)，在開區(qū)間上可導” 這兩個條件，還包含著函數(shù)在閉區(qū)間兩端點的右導數(shù)和左導數(shù)也存在。這樣條件增強了，就使得應用范圍縮小了

6、。 例如：函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，在開區(qū)間上可導，且，滿足羅爾（Rolle）定理中的條件。但在處的導數(shù)都不存在，可見，如果將羅爾（Rolle）中值定理中的三條件合并成“在閉區(qū)間上可導，”兩條件，那么這個函數(shù)在閉區(qū)間上羅爾（Rolle）定理就不適用了，縮小了定理的應用范圍，所以寧愿將條件寫成三條。在研究數(shù)學命題時，通?？偸橇η蟀衙}的條件減弱，以擴大其適應范圍。3 、應用羅爾（Rolle）定理證題的題型是什么？應用羅爾（Rolle）定理證題的步驟是什么？舉例說明。 答：A：若題目給出的條件是閉區(qū)間上連續(xù)，開區(qū)間上可導，結論是導函數(shù)方程根存在性的問題，自然想到應用羅爾（Rolle）定理證明； B：應用

7、羅爾（Rolle）定理證題時，一般有如下四個步驟：從所證問題的結論中，猜出輔助函數(shù)；確定輔助函數(shù)成立的區(qū)間；驗證定理的條件；應用定理的結論。 C：上面的第五題：設函數(shù)在上連續(xù)，在上可導，證明：在內(nèi)至少存在一點，使得成立。4 、應用拉格朗日（Lagrange）中值定理證題的題型是什么？應用拉格朗日（Lagrange）中值定理證題的步驟是什么？并舉例說明。 答：A：若題目給出的條件是閉區(qū)間上連續(xù)，開區(qū)間上可導，結論是函數(shù)值在兩點的差的形式，一般要考慮應用拉格朗日（Lagrange）中值定理來證明； B：應用拉格朗日（Lagrange）中值定理證題時，一般有如下四個步驟：從所證問題的結論中，構造出輔

8、助函數(shù)；確定輔助函數(shù)成立的區(qū)間；驗證定理的條件；應用定理的結論。 C：上面的第六題：設函數(shù)在上連續(xù)，在上可導，證明：在內(nèi)至少存在一點，使得。上面的第七題：函數(shù)的一階導數(shù)在內(nèi)為單調(diào)遞減函數(shù)，且，證明：對任何，有。5 、應用柯西（Cauchy）中值定理證題的題型是什么？應用柯西（Cauchy）中值定理證題的步驟是什么？并舉例說明。 答：A：若題目給出的條件是閉區(qū)間上連續(xù)，開區(qū)間上可導，結論是兩個函數(shù)在兩點的差商的形式，一般要考慮應用柯西（Cauchy）中值定理來證明； B：應用柯西（Cauchy）中值定理證題時，一般有如下四個步驟：從所證問題的結論中，構造出輔助函數(shù)；確定輔助函數(shù)成立的區(qū)間；驗證定

9、理的條件；應用定理的結論。 C：上面的第八題：設函數(shù)在上連續(xù)，在上可導，且，證明：存在，使。6 、在柯西（Cauchy）中值定理中，是不可缺少的。例如，在上連續(xù)，在上可導，但，在內(nèi)找不到（即不存在），使得。第二節(jié) 洛必達法則1 、可以用多種方法求函數(shù)極限：A： B： C：2 、可以多次利用洛必達法則求函數(shù)極限： 3 、不能使用洛必達法則求函數(shù)極限： 4 、數(shù)列極限轉(zhuǎn)化為求函數(shù)極限： 應用結論：存在且等于5 、洛必達法則失效：每用一次洛必達法則得到類似的極限，循環(huán)往復。 6 、洛必達法則總結：A、適用范圍為 ，其他類型（）要轉(zhuǎn)化成這兩種基本類型（見下面7、），方能使用洛必達法則，對于型未定型，可

10、以通過取對數(shù)或利用公式變形后，化為或型； B、極限計算中要盡量化簡，并與以前學過的方法相結合，綜合應用；C、求數(shù)列極限可以轉(zhuǎn)化為求相應的連續(xù)函數(shù)的極限；應用結論：存在且等于D、洛必達法則不是萬能的，要靈活使用。7 、其他類型（）轉(zhuǎn)化成基本類型（）舉例：A、 型：B、型：C、型： D、型： E、型： 第三節(jié) 泰勒公式應用泰勒（Taylor）中值定理證題應注意些什么？ 答：從泰勒（Taylor）中值定理的形式可知，當研究函數(shù)與其高階導數(shù)的關系時，一般可考慮應用泰勒（Taylor）中值定理。具體地說，如果已知函數(shù)在一點的函數(shù)值和各階導數(shù)值等信息，或所給題目的條件涉及二階導數(shù)或二階以上導數(shù)，而欲證的結

11、論是函數(shù)值間或函數(shù)值與各階導數(shù)間的等式或不等式，一般要用泰勒（Taylor）中值定理。應用泰勒（Taylor）中值定理證題時，應全力分析出下面三個要素： （1）展開成幾階的泰勒（Taylor）公式；（2）在何處展開，即為何值；（3）展開后取何值。1、設，且，證明：。提示：因為，所以，可得，又因為，所以，可考慮在點展開，且只能展開到二階，即，可得，。2、設函數(shù)在內(nèi)有，是內(nèi)相異的三個點，證明：。（利用泰勒（Taylor）公式）3、設函數(shù)在上具有三階連續(xù)導數(shù)，且證明：在開區(qū)間內(nèi)至少存在一點，使得。（提示：泰勒（Taylor）公式在點展開到三階）4、用泰勒（Taylor）公式計算： 5、用泰勒（Tay

12、lor）公式計算： 第四節(jié) 函數(shù)單調(diào)性與曲線的凹凸性1、設函數(shù)在內(nèi)有，是內(nèi)相異的兩個點，證明：。（利用a、單調(diào)性；b、泰勒（Taylor）公式；c、拉格朗日（Lagrange）中值定理）2、利用函數(shù)單調(diào)性證明不等式：當時，。3、證明不等式：當時，。關于單調(diào)性、極值、凹凸性和拐點的說明：1 、應當明確指出，凹凸性及拐點的概念都是對于曲線提出來的，而單調(diào)性和極值的概念則是對于函數(shù)而言的，正確的說法是，函數(shù)的單調(diào)性和極值，曲線的凹凸性及拐點；2、學會利用函數(shù)單調(diào)性證明某些不等式（是證明不等式的重要方法之一）證明步驟：確定（構造）函數(shù)，一般是通過移項，將待證不等式的一端變成零，另一端設為函數(shù)，并給出定

13、義范圍；求出導數(shù)，利用其符號來確定函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性；考察在區(qū)間端點上的連續(xù)性及函數(shù)值；利用單調(diào)性與端點的函數(shù)值作比較。 例如，若、在上連續(xù)，在上可導，要證明在內(nèi)，可設輔助函數(shù)，若能證得在內(nèi)且，則，則有。3、求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的步驟：求出函數(shù)的定義域；求出使的點或不存在的點；上述若干點將定義域分成若干個小區(qū)間，判別在各小區(qū)間的符號；利用判定定理，得出各小區(qū)間上函數(shù)的單調(diào)性。4、求曲線凹凸區(qū)間和拐點的步驟：求出函數(shù)的定義域；求出，并求出的所有點及不存在的點；上述若干點將定義域分成若干個小區(qū)間，在這些小區(qū)間上判斷的符號；由凹凸性及拐點的充分條件（第一充分條件）可得凹凸區(qū)間及拐點。5、一階導數(shù)在函數(shù)的

14、單調(diào)性和極值的研究中起著關鍵的作用，而在凹凸性及拐點的研究中起著關鍵作用的則是二階導數(shù)。對這兩者作些比較是非常有益的，我們將會發(fā)現(xiàn)兩者在概念、研究方式及結論等方面都非常相似；函數(shù)的單調(diào)性由的符號決定：若，則函數(shù)單調(diào)增加；若，則函數(shù)單調(diào)減少； 曲線的凹凸性由的符號決定：若，則曲線上凹；若，則曲線上凸；函數(shù)單調(diào)性區(qū)間的端點為的點，或不存在的點； 曲線凹凸性區(qū)間的端點為的點，或不存在的點；函數(shù)的極值點為單調(diào)性變化的轉(zhuǎn)折點（即該點兩側的單調(diào)性相異）； 曲線的 拐點為凹凸性變化的轉(zhuǎn)折點（即該點兩側的凹凸性相異）；為函數(shù)極值點的必要條件為，或不存在； 為曲線拐點的必要條件為，或不存在；為函數(shù)極值點的第一充

15、分條件為且在兩側鄰近異號（）；為曲線拐點的第一充分條件為且在兩側鄰近異號（）；為函數(shù)極值點的第二充分條件為，；為曲線拐點的第二充分條件為，；第五節(jié) 函數(shù)的極值與最大值最小值1、可導函數(shù)在取得極值處，曲線的切線是水平的，但，曲線上有水平切線的地方，函數(shù)不一定取得極值。例如： ， 在處，但不是的極值點； ， 在處，但不是的極值點2、由費馬引理可知，是可導函數(shù)取得極值的必要條件，而不是充分條件，即可導函數(shù)的極值點必定駐點（），但反過來，函數(shù)的駐點卻不一定是函數(shù)的極值點。例如： ， （在處）3、求函數(shù)極值點和相應的極值的步驟： 求出函數(shù)的定義域； 求出使的點或不存在的點-即，求出可疑點；由第一充分條件

16、判定每個可疑點是否為極值點；求出各極值點的函數(shù)值，就是函數(shù)的全部極值。4、求函數(shù)最大值和最小值的步驟： 求出函數(shù)的可疑點： 即，求出使的點或不存在的點；計算出及兩端點函數(shù)值；最大值 最小值5、函數(shù)的極大值與極小值概念是局部性的。函數(shù)在點取得極大值，在整個定義域內(nèi)未必是最大值；同樣，函數(shù)在點取得極小值，在整個定義域內(nèi)未必是最小值。（A）極值是局部范圍內(nèi)（相對與某個定義域內(nèi)）的最大值，而最值是全局范圍內(nèi)（相對與某個定義域內(nèi)）的最大（?。┲?；（B）極值不一定是最值，反之，最值也不一定是極值，但當最值在定義域內(nèi)部取得時，最值一定是極值。1、設有一塊邊長的正方形鐵皮，從其各角截去同樣的小正方形，作成一個

17、無蓋的方匣，問截去多少，方能使作成的匣子之容積最大？（）2、要制造一個容積為的帶蓋圓柱形桶，問桶的半徑和桶高應如何確定，才能使所用材料最?。浚ǎ┑诹?jié) 函數(shù)圖形的描繪微分作圖法的步驟1、確定函數(shù)的定義域，判斷函數(shù)是否有奇偶性、周期性；2、求出可疑點：求出、，并求處、在定義域內(nèi)的所有點，及、不存在的點；3、這些可疑點將定義域分成若干個小區(qū)間，在各小區(qū)間內(nèi)確定、的符號，由此確定每個區(qū)間上函數(shù)圖象的單調(diào)性、凹凸性、極值點和拐點；4、確定函數(shù)的漸近線；5、求出極值點和拐點的對應縱坐標，必要時，可以再補充一些特殊的點；6、描點并根據(jù)上述結果，給出函數(shù)的圖形。漸近線的定義：1、若曲線在處間斷，若（或），則

18、稱為曲線的垂直漸近線；2、若的定義域是無窮區(qū)間，若（或、或），則稱直線為曲線的水平漸近線；3、設在上有定義，如果存在直線滿足 ，則稱該直線為曲線在時的漸近線；4、設在上有定義，如果存在直線滿足 ，則稱該直線為曲線在時的漸近線；求漸近線的方法：若直線為曲線在時的漸近線 ， 下列極限存在： ， 練習：1、求曲線在時的漸近線。（漸近線：）2、求曲線的漸近線。 （漸近線：）3、求曲線的漸近線。 （漸近線：）第七節(jié) 弧微分公式 1、光滑曲線：如果曲線上每一點都有切線，且切線隨切點的移動而連續(xù)轉(zhuǎn)動。2、弧微分公式：第四章：不定積分第一節(jié) 不定積分的概念與性質(zhì)第二節(jié) 換元積分法第三節(jié) 分部積分法第四節(jié) 有理

19、函數(shù)的積分1、有理函數(shù)的定義：由兩個多項式的商所表示的函數(shù)其中，均為非負整數(shù)，均為實數(shù)，且2、假分式：在（1）中，時，稱有理函數(shù)為假分式；3、真分式：在（1）中，時，稱有理函數(shù)為假分式；4、二次質(zhì)因式：在一元二次多項式中，若有，則稱這個一元二次多項式為二次質(zhì)因式。5、利用多項式的除法，總可以將一個假分式化成一個多項式和一個真分式之和，而多項式的積分由基本積分表，很容易求得，因此，考察有理函數(shù)的積分，只要考察真分式的積分。6、化有理真分式為部分分式：由代數(shù)學中的因式分解定理，我們可以得到，多項式在實數(shù)范圍內(nèi)，總能分解為一次因式和二次質(zhì)因式的乘積。即：其中，而且，真分式總可以分解成如下部分分式之和

20、：其中 ， ， ， ， ，均為實數(shù)對于（2）式，我們注意到：A、分母中，如果有因式，那么分解后，有下列個部分分式之和：B、分母中，如果有因式，（其中，），那么分解后，就有下列個部分分式之和：例子：A：總能分解為；B：總能分解為；C：總能分解為；D： 由系數(shù)待定法，可得：E： 由系數(shù)待定法，可得：7、有理函數(shù)的積分：由（2）式可知，要求有理函數(shù)的不定積分，只須求形如及的積分；而的積分利用基本積分表可以查得，很容易得到；而關鍵在于求被積函數(shù)為的積分：由于，又因為為二次質(zhì)因式，所以故，令 于是，當時，當時， 利用遞推公式來求解，參考第五版P209，例9 故，可得，有理函數(shù)的原函數(shù)都是初等函數(shù)。1、將

21、下列真分式分解為部分分式 : 提示與答案：2、求下列不定積分： 提示與答案：（注意本題技巧，按常規(guī)方法較繁）按常規(guī)方法解（此解法較繁 !）:第一步 令比較系數(shù)定 a , b , c , d . 得第二步 化為部分分式 . 即令，比較系數(shù)定 A , B , C , D .第三步 分項積分 3、求下列不定積分： 提示與答案：說明: 通常求含的有理式的積分時,用代換往往更方便 .解法二：令 因被積函數(shù)關于 為奇函數(shù), 可令4、求下列不定積分： 提示與答案： 見P217例6 見P217例85、求不定積分：解：分母次數(shù)較高,宜使用倒代換.令： 則第五章：定積分第一節(jié) 定積分的概念與性質(zhì)1、關于定積分的定

22、義，要注意以下幾個問題：A、一般地，積分和與 對的分法及的取法 有關；在定積分定義中，若積分和的極限存在，其極限值僅僅與被積函數(shù)及積分區(qū)間有關，而與在上的取法無關，即，定積分是一個常數(shù)，它取決于被積函數(shù)及積分區(qū)間。B、定積分與積分變量的記法（符號）無關：這一點在有關定積分問題的證明中經(jīng)常用到。C、由于對區(qū)間分法的任意性，與并不等價，當時，一定有，但反之不一定成立，因為并不能保證使整個區(qū)間無限細分；D、定積分定義中把被積函數(shù)的有界作為前提，若積函數(shù)無界，則和式的極限一定不存在，這也說明被積函數(shù)在積分區(qū)間上有界是 被積函數(shù)在積分區(qū)間上可積的必要條件，不是充分條件；例如：函數(shù)，則在上有界，但，對作任

23、意分法，和式 ，于是由定積分的定義，在上不可積的。2、可積的充分條件：設函數(shù)在區(qū)間上有定義，若滿足下述的條件之一：A、函數(shù)在區(qū)間上是連續(xù)的；B、函數(shù)在區(qū)間上只有有限個間斷點，且有界；C、函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)有界的；則函數(shù)在區(qū)間上是可積的。3、積分的幾何意義A、若 則 就是曲邊梯形的面積；B、若 則 就表示負的曲邊梯形的面積；C、若在區(qū)間上既取正又取負， 則 表示各部分圖形面積的代數(shù)和。練習題：1、設在上連續(xù)， ，且，證明在上。2、設在上連續(xù)， ，不恒為零，則：。3、證明積分第二中值定理：設和在上均連續(xù)，且在上不變號，則：在上至少存在一點使得 。4、設在上連續(xù)，在上可導，且，證明，在內(nèi)存在一點，使

24、得。 提示：應用Rolle定理5、設在上連續(xù)導數(shù)，且，求： 答案：6、柯西不等式：設在上均可積，則提示：考察任意實數(shù)，總有7、設在區(qū)間上，令試從定積分的幾何意義，比較的大小。第二節(jié) 微積分基本公式1 、求下列函數(shù)的導數(shù)： 2 、求3 、設，求：4 、設， 問為何值時，在處可導，并求出。5 、設在上連續(xù)且單調(diào)增加，證明：在上單調(diào)增加。6 、設是上連續(xù)的正值函數(shù)， ，證明：曲線在區(qū)間上向上凹的。7 、求由參數(shù)表達式，所給出的函數(shù)的導數(shù)。8 、求由所確定的隱函數(shù)的導數(shù)。9 、求下列極限： （1）=1，（2）=）10、求定積分： 其中 （1）=4，（2）= ，（3）11、若 ， 求：。 （）12、證明

25、：若，則在上為一常數(shù)。13、已知：，求：常數(shù) （a=4,b=1）*14、設，討論在點的連續(xù)性。*15、設討論的連續(xù)性。16、設在上連續(xù)，且，證明：（1） （2）方程在內(nèi)有且僅有一個根。17、對可微函數(shù)有，其中，證明：至少存在一點，使得18、設連續(xù)，且求：19、求極限： （答案：）提示：20、求極限： （答案：）21、求極限： （答案：）22、設： 則當時， 是的（ ） （A）同階而非等價無窮小 （B）等價無窮小 （C）高階無窮小 （D）低階無窮小23、設函數(shù)： 連續(xù)，確定常數(shù) 。（答案：）24、設，試確定的值。（答案：）25、設，證明：當時，是的等價無窮小。26、求極限： （答案：）27、設：

26、，求極限： （答案：）28、設：連續(xù)，求極限：（答案：）29、設：，其中具有連續(xù)導數(shù)且，試確定常數(shù)使連續(xù)，并討論是否連續(xù)。 （ 答案： ）30、設在上連續(xù)，在內(nèi)可導，又證明：一個，使。 提示：（利用積分中值定理、洛爾定理）31、設在上連續(xù)，且，證明：一個，使。 提示：（利用洛爾定理）作輔助函數(shù)32、確定常數(shù) 的值, 使 （答案：）33、設 求： （答案：）34、求極限：提示：（原式）35、求極限：提示：（原式 ，左邊=右邊）36、證明： 提示：（）37、設在上是單調(diào)遞減的連續(xù)函數(shù)， 試證明:對于任何 都有不等式。提示：（顯然，時，結論成立；當時，有 ， ）38、已知在處連續(xù)，且由方程確定是的函

27、數(shù)，求：。提示：（兩邊對求導：令，得：，再對求導：得故，）39、求可微函數(shù)，使得滿足。提示：（兩邊對求導：，不妨設，則， ，注意到：， ）40、證明恒等式：。提示：（，）41、設在上連續(xù)，且，證至少存在一點使 。提示：（作輔助函數(shù)，）42、設在上連續(xù)，在上可導，且若存在，證明：（1）在內(nèi)，；（2）存在一點使；（3）在內(nèi)存在與點相異的點，使提示：（1）：；（2）：利用柯西定理，設（3）：，代入（2）中）第三節(jié) 定積分的換元法和分部積分法1 、設，試比較的大小。2 、已知求 （答案：2）3 、設連續(xù)，且，求極限： （答案：）4 、設為奇函數(shù)，且當時，令，證明：在上是凸的。提示： 因為為奇函數(shù)5 、

28、 （答案：）6 、設 求： （答案：）7 、證明： ，以 為周期的函數(shù)。提示：8 、設在上有連續(xù)的二階導數(shù)，且證明：9 、設：求：（答案：）第四節(jié) 反常積分第六章：定積分的應用第一節(jié) 定積分的元素法第二節(jié) 定積分在幾何學上的應用一、平面圖形的面積：1、直角坐標情形：設在上連續(xù)曲線位于連續(xù)曲線的上方（即），則由這兩條曲線及直線所圍成平面圖形的面積 ；而對于一般兩連續(xù)曲線及，則平面圖形的面積。設在上連續(xù)曲線位于連續(xù)曲線的右方（即），則由這兩條曲線及直線所圍成平面圖形的面積 ；而對于一般兩連續(xù)曲線及，則平面圖形的面積。2、參數(shù)方程情形：設在上具有連續(xù)導數(shù)，在上連續(xù)，且，則由參數(shù)方程表示的曲邊及直線與軸所圍成曲邊梯形的面積 ；3、極坐標情形：曲線及射線所圍成平面圖形（簡稱為：曲邊扇形）的面積由曲線、及射線所圍成的平面圖形的面積二、體積：1、旋轉(zhuǎn)體的體積：由連續(xù)曲線、直線及軸所圍成曲邊梯形繞軸