二重積分的計(jì)算(習(xí)題課)

1、二重積分的計(jì)算二重積分的計(jì)算習(xí)題課習(xí)題課 二重積分的計(jì)算方法是累次積分法，化二重二重積分的計(jì)算方法是累次積分法，化二重積分為累次積分的步驟是：積分為累次積分的步驟是：作出積分區(qū)域的草圖作出積分區(qū)域的草圖選擇適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系選擇適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系選定積分次序，定出積分限選定積分次序，定出積分限1. 關(guān)于坐標(biāo)系的選擇關(guān)于坐標(biāo)系的選擇 這要從積分區(qū)域的形狀和被積函數(shù)的特點(diǎn)這要從積分區(qū)域的形狀和被積函數(shù)的特點(diǎn)兩個(gè)方面來(lái)考慮兩個(gè)方面來(lái)考慮一、主要內(nèi)容一、主要內(nèi)容被積函數(shù)呈被積函數(shù)呈 )(),(22xyfyxf 常用極坐標(biāo)常用極坐標(biāo)其它以直角坐標(biāo)為宜其它以直角坐標(biāo)為宜2. 關(guān)于積分次序的選擇關(guān)于積分次序的選擇選序原

2、則選序原則能積分，能積分，少分片，少分片，計(jì)算簡(jiǎn)計(jì)算簡(jiǎn)3. 關(guān)于積分限的確定關(guān)于積分限的確定二重積分的面積元二重積分的面積元 )( rdrdddxdyd 為正為正確定積分限時(shí)一定要保證下限小于上限確定積分限時(shí)一定要保證下限小于上限積分區(qū)域?yàn)榉e分區(qū)域?yàn)閳A形、扇形、圓環(huán)形圓形、扇形、圓環(huán)形看圖定限看圖定限 穿越法定限穿越法定限 和和不等式定限不等式定限先選序，后定限先選序，后定限直角坐標(biāo)系直角坐標(biāo)系.先先 y 后后 x ，過(guò)任一過(guò)任一x a , b ,作平行于作平行于 y 軸的直線(xiàn)軸的直線(xiàn)穿過(guò)穿過(guò)D的內(nèi)部的內(nèi)部從從D的下邊界曲線(xiàn)的下邊界曲線(xiàn))(1xy 穿入穿入 內(nèi)層積分的下限內(nèi)層積分的下限從上邊界

3、曲線(xiàn)從上邊界曲線(xiàn))(2xy 穿出穿出內(nèi)層積分的上限內(nèi)層積分的上限.先先 x 后后 y過(guò)任一過(guò)任一 y c , d 作平行于作平行于 x 軸的直線(xiàn)軸的直線(xiàn)定限定限左邊界左邊界 )(1yx 內(nèi)層積分的下限內(nèi)層積分的下限右邊界右邊界 )(2yx 內(nèi)層積分的上限內(nèi)層積分的上限則將則將D分成若干個(gè)簡(jiǎn)單區(qū)域分成若干個(gè)簡(jiǎn)單區(qū)域再按上述方法確定每一部分的上下限再按上述方法確定每一部分的上下限分片計(jì)算，結(jié)果相加分片計(jì)算，結(jié)果相加極坐標(biāo)系極坐標(biāo)系積分次序一般是積分次序一般是 后先r過(guò)極點(diǎn)過(guò)極點(diǎn)O作任一極角為作任一極角為 ),( 的射線(xiàn)的射線(xiàn)從從D的邊界曲線(xiàn)的邊界曲線(xiàn) )(1 r穿入穿入,從從 )(2 r穿出穿出.

4、如如D須分片須分片)(1 r內(nèi)下限內(nèi)下限)(2 r內(nèi)上限內(nèi)上限具體可分為三種情況具體可分為三種情況)()(,21 rrr 極點(diǎn)在極點(diǎn)在D的邊界上的邊界上)()(,21 rrr 是邊界在極點(diǎn)處的切線(xiàn)的極角是邊界在極點(diǎn)處的切線(xiàn)的極角 ,)(1 r絕大多數(shù)情況下為絕大多數(shù)情況下為0極點(diǎn)在極點(diǎn)在D的內(nèi)部的內(nèi)部)(0 ,20 rr 化累次積分后化累次積分后外限是常數(shù)外限是常數(shù)內(nèi)限是外層積分變量的函數(shù)或常數(shù)內(nèi)限是外層積分變量的函數(shù)或常數(shù)極坐標(biāo)系下勿忘極坐標(biāo)系下勿忘 r極點(diǎn)在極點(diǎn)在D的外部的外部4. 關(guān)于對(duì)稱(chēng)性關(guān)于對(duì)稱(chēng)性 利用對(duì)稱(chēng)性來(lái)簡(jiǎn)化重積分的計(jì)算是十分有效的，利用對(duì)稱(chēng)性來(lái)簡(jiǎn)化重積分的計(jì)算是十分有效的，它

5、與利用奇偶性來(lái)簡(jiǎn)化定積分的計(jì)算是一樣的，不它與利用奇偶性來(lái)簡(jiǎn)化定積分的計(jì)算是一樣的，不過(guò)重積分的情況比較復(fù)雜，在運(yùn)用對(duì)稱(chēng)性是過(guò)重積分的情況比較復(fù)雜，在運(yùn)用對(duì)稱(chēng)性是要兼顧要兼顧被積分函數(shù)和積分區(qū)域兩個(gè)方面，被積分函數(shù)和積分區(qū)域兩個(gè)方面，不可誤用不可誤用對(duì)對(duì) DdxdyyxfI),(若若D關(guān)于關(guān)于 x 軸對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng)時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)),(),() 1 (yxfyxf 0 I時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)),(),() 2(yxfyxf 2),(2DdxdyyxfI 0,),(2 yDyxD若若D關(guān)于關(guān)于 y 軸對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng)時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)),(),() 1 (yxfyxf 0 I時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)),(),()2(yxfyxf 1),(2Ddxdy

6、yxfI 0,),( ),(1 xDyxyxD若若D關(guān)于關(guān)于原點(diǎn)原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)對(duì)稱(chēng)時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)),(),() 1(yxfyxf 0 I時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)),(),() 2(yxfyxf 3),(2DdxdyyxfI 0, 0,),(3 yxDyxD 奇函數(shù)關(guān)于對(duì)稱(chēng)域的積分等于奇函數(shù)關(guān)于對(duì)稱(chēng)域的積分等于0 0，偶函，偶函數(shù)關(guān)于對(duì)稱(chēng)域的積分等于對(duì)稱(chēng)的部分區(qū)域數(shù)關(guān)于對(duì)稱(chēng)域的積分等于對(duì)稱(chēng)的部分區(qū)域上積分的兩倍，完全類(lèi)似于對(duì)稱(chēng)區(qū)間上奇上積分的兩倍，完全類(lèi)似于對(duì)稱(chēng)區(qū)間上奇偶函數(shù)的定積分的性質(zhì)偶函數(shù)的定積分的性質(zhì). .對(duì)于變量對(duì)于變量x,yx,y來(lái)說(shuō)，可以簡(jiǎn)述為來(lái)說(shuō)，可以簡(jiǎn)述為 “你你對(duì)稱(chēng)，我對(duì)稱(chēng)，我奇偶奇偶”、簡(jiǎn)單地說(shuō)就是：

7、簡(jiǎn)單地說(shuō)就是： 1. 設(shè)積分區(qū)域設(shè)積分區(qū)域 D 關(guān)于關(guān)于 x 軸對(duì)稱(chēng)，軸對(duì)稱(chēng)，D1 是是 D 中對(duì)應(yīng)于中對(duì)應(yīng)于 y 0 的部分。的部分。(1) ( , ) f x yy若被積函數(shù)關(guān)于是偶函數(shù)，即( ,)( , ).f xyf x y1 ( , ) 2( , ) .DDf x y df x y d則(2) ( , ) f x yy若被積函數(shù)關(guān)于是奇函數(shù)，即( ,)( , ).f xyf x y ( , ) 0.Df x y d則對(duì)稱(chēng)性的證明則則證證（1）積分區(qū)域如圖：）積分區(qū)域如圖： ).()(,:21xyyxybxaD由積分區(qū)域由積分區(qū)域 D 關(guān)于關(guān)于 x 軸對(duì)稱(chēng)性軸對(duì)稱(chēng)性).()(21xyx

8、y oxyab)(1xyy )(2xyy 1D21( )( )( , ) ( , ) byxayxDf x y ddxf x y dy22( )( ) ( , )byxayxf x y dydx222( )( )( )0 ( , ) 2( , ) yxyxyxfyf x y dyf x y dy關(guān)于是偶函數(shù)于是于是 dyxfD ),( 22( )( ) ( , )byxayxf x y dydx2( )02 ( , )byxaf x y dydx dyxfD ),(2 1 （2）積分區(qū)域如圖：）積分區(qū)域如圖： ).()(,:21xyyxybxaD由積分區(qū)域由積分區(qū)域 D 關(guān)于關(guān)于 x 軸對(duì)稱(chēng)性

9、軸對(duì)稱(chēng)性).()(21xyxy 21( )( ) ( , ) ( , )byxayxDf x y ddxf x y dyoxyab)(1xyy )(2xyy 1D22( )( ) ( , )byxayxf x y dydx22( )( ) ( , ) 0 yxyxfyf x y dy關(guān)于是奇函數(shù)于是于是 dyxfD ),( 22( )( ) ( , )byxayxf x y dydx2 00badx二、例題分析二、例題分析例例. 交換下列積分順序22802222020d),(dd),(dxxyyxfxyyxfxI解解: 積分域由兩部分組成:,200:2211xxyD822 yx2D22yxo2

10、1D221xy 222280:22xxyD21DDD將:D視為Y型區(qū)域 , 則282yxy20 yDyxyxfIdd),(282d),(yyxyxf20dy解解axy2 22xaxy 22yaax 原式原式= ayaaaydxyxfdy02222),( aayaadxyxfdy0222),(.),(2222 aaaaydxyxfdya2aa2a例例 計(jì)算計(jì)算 DxyyxyDdxdyxy1, 2,:,22解解D 211yyxyY型型I = 21122yydxxydy 若先若先 y 后后 x 由于由于D的下邊界曲線(xiàn)在的下邊界曲線(xiàn)在 x 的不同范的不同范圍內(nèi)有不同的表達(dá)式，圍內(nèi)有不同的表達(dá)式， 須分

11、片積分，計(jì)算較麻煩。須分片積分，計(jì)算較麻煩。 213249)(dyyyy212121解解 dxexy不不能能用用初初等等函函數(shù)數(shù)表表示示先先改改變變積積分分次次序序.原原式式 xxxydyedxI22112xy xy 121)(dxeexx.2183ee 例例 計(jì)算計(jì)算 DxyxyDdxdyxxy2,:,1) 1sin(2解解根據(jù)積分區(qū)域的特點(diǎn)根據(jù)積分區(qū)域的特點(diǎn)14-12應(yīng)先對(duì)應(yīng)先對(duì) x 后對(duì)后對(duì) y 積分積分dxxxydyIyy 21221) 1sin(但由于但由于 1) 1sin( xx對(duì)對(duì) x 的積分求不出，無(wú)法計(jì)算，的積分求不出，無(wú)法計(jì)算，須改變積分次序。須改變積分次序。先先 x 后后

12、 y 有有dyxxydxxx 4121) 1sin(dxxxxx1)1sin()2(210241 dxxxxx 4121)1sin()45(21 41)1sin()4(21dxxx)3sin3(21 dyxxydxIxx 101) 1sin(奇函數(shù)奇函數(shù)解解03 xy32 yyx422 sin4 r03 yx61 yyx222 sin2 rdxdyyxD)(22 36sin4sin22rdrrd).32(15 例例 計(jì)算計(jì)算 Ddyx )(222242:xyxxD 解解積分區(qū)域由不等式給出積分區(qū)域由不等式給出在不等式中取等號(hào)所得的曲線(xiàn)是兩個(gè)半圓在不等式中取等號(hào)所得的曲線(xiàn)是兩個(gè)半圓但它們圍不成區(qū)

13、域但它們圍不成區(qū)域224,2xxx 要要使使都有意義都有意義必須限制必須限制 2 , 0 x因此因此D只能在只能在x=0 ， x=2 之間之間確定了積分區(qū)域后，再看被積函數(shù)結(jié)合積分區(qū)域的確定了積分區(qū)域后，再看被積函數(shù)結(jié)合積分區(qū)域的特點(diǎn)，化成極坐標(biāo)計(jì)算較為簡(jiǎn)單特點(diǎn)，化成極坐標(biāo)計(jì)算較為簡(jiǎn)單20 顯然顯然 r 呢？呢？極點(diǎn)在極點(diǎn)在D的邊界上，所以的邊界上，所以20 r 那就錯(cuò)了那就錯(cuò)了不能以為極點(diǎn)不能以為極點(diǎn)O在區(qū)域的邊界上在區(qū)域的邊界上就誤以為對(duì)就誤以為對(duì) r 積分的下限為積分的下限為0定定 r 的積分限，應(yīng)先固定的積分限，應(yīng)先固定2, 0 以原點(diǎn)為起點(diǎn)作射線(xiàn)以原點(diǎn)為起點(diǎn)作射線(xiàn)這射線(xiàn)和兩個(gè)半圓相交

14、這射線(xiàn)和兩個(gè)半圓相交 cos2 r穿入穿入;從從從從2 r穿出穿出.積分限如何確定積分限如何確定盡管極點(diǎn)在盡管極點(diǎn)在D的邊界上的邊界上但極角為但極角為 )2, 0( 的射線(xiàn)并不是從極點(diǎn)穿入的射線(xiàn)并不是從極點(diǎn)穿入2cos2 ,20 r 而不是而不是20 ,20 r 202cos22rdrrdI45)221432(4204)cos1616(41d域域D的極坐標(biāo)表示為的極坐標(biāo)表示為 Ddxdyyx)cos(2020: yxD解解例例 計(jì)算計(jì)算2 yxD1D2 12)cos()cos(DDdxdyyxdxdyyxI 2020)cos( xdyyxdx 2022)cos( xdyyxdx 20202si

15、ncossin2sin dxxdxx2 Ddxdyyx 2)sin( yxD0 ,0:三、對(duì)稱(chēng)性的應(yīng)用例舉例例. . (1)22:1.cos0.DD xyxyd則 222(2) , : 4 .Dxy dDxyy及軸圍成的右半閉區(qū)域xyo22224xy1D解解D 區(qū)域關(guān)于區(qū)域關(guān)于 x 軸對(duì)稱(chēng)，且軸對(duì)稱(chēng)，且2 ( , ).f x yxy設(shè)( ,)( , ),f xyf x y1222DDxy dxy d而而2104,:02.xyDy1222DDxy dxy d而而2104,:02.xyDy1222DDxy dxy d因此，因此，64.152242002ydyxy dx2220(4)yydy(3)

16、, : 1.x yDedDxy解：能否用對(duì)稱(chēng)性？解：能否用對(duì)稱(chēng)性？x yDed12x yx yDDeded01111101xxxyxyxxdxe e dydxe e dy 012112110()()xxeedxeedx1.eexyo111 1 xy 11 xyxy 11 xy2D1Do（4） 計(jì)算,dd)1ln(2yxyyxID其中D 由,42xy1,3xxy所圍成.oyx124xyxy32D1D1x解解: 令)1ln(),(2yyxyxf21DDD(如圖所示)顯然,1上在D),(),(yxfyxf,2上在D),(),(yxfyxfyxyyxIDdd)1ln(120yxyyxDdd)1ln(2

17、24(5) 計(jì)算計(jì)算 Ddyxyfx )(1 221, 1,:3 xyxyDD2D1解解 DDdyxxyfxdI )(22 Ddyxxyf0)(22 DDxdxd1 52 I 0133xxdyxdx52 Ddyxx )232(2222:ayxD 解解D關(guān)于關(guān)于 x , y 軸及原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)軸及原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)故故 Ddyx0)32( Ddyx )(2122 DDdydx 22 20043421aadrrd Dad222 故故 Ddyxx ) 232(22424aa （6） 計(jì)算計(jì)算1)(81)(2)()(),(1, 0,),(),(,),(. 12xyDxyCxyBxyAyxfxxyyDdudvvufxy

18、yxfyxfD等于所圍區(qū)域，則是由其中且連續(xù)設(shè)習(xí)題解析習(xí)題解析0)()sincos(4)(2)(sincos2)()sincos() 1, 1() 1 , 1(),1 , 1 (. 21111DdxdyyxxyCxydxdyBydxdyxAdxdyyxxyDDxOyDDDDD在第一象限的部分，則是為頂點(diǎn)的三角形區(qū)域，和平面上以是設(shè)3.arctandDyx圍成的第一象限的區(qū)域0, 4122yxyyx2222sin4.dDxyxy4122yx5.交換積分次序:2202022002),(),(xxdyyxfdxdyyxfdx1)(81)(2)()(),(1, 0,),(),(,),(. 12xyDxyCxyBxyAyxfxxyyDdudvvufxyyxfyxfD等于所圍區(qū)域，則是由其中且連續(xù)設(shè)習(xí)題解答習(xí)