大學(xué)物理實驗教材

1、大學(xué)物理實驗數(shù)學(xué)專業(yè)用緒論 （1）實驗1伏安法測電阻 （14）實驗2電表的改裝及多用表的使用 （17）實驗3橫波在弦線上傳播的研究 （21）實驗4用電流場模擬靜電場 （23）實驗5牛頓環(huán) （26）實驗6用落球法測液體的粘滯系數(shù) （29）附：實驗報告樣板 （35）緒論大學(xué)物理實驗課是高等院校理科的一門必修基礎(chǔ)課程，是對學(xué)生進(jìn)行科學(xué)實驗基本訓(xùn)練，提高學(xué)生分 析問題和解決問題能力的重要課程。它與物理理論課具有同等重要的地位。這里主要介紹測量誤差理論、實驗數(shù)據(jù)處理、實驗結(jié)果表述等初步知識，這是進(jìn)入大學(xué)物理實驗前必 備的基礎(chǔ)。物理實驗可分三個環(huán)節(jié)：1）課前預(yù)習(xí)，寫預(yù)習(xí)報告。2）課堂實驗，要求親自動手，認(rèn)

2、真操作，詳細(xì)記錄。3）課后進(jìn)行數(shù)據(jù)處理，完成實驗報告。其中：預(yù)習(xí)報告的要求：1）實驗題目、實驗?zāi)康摹嶒炘恚勺鳛檎綀蟾娴那鞍氩糠?）。2）畫好原始數(shù)據(jù)表格（單獨用一張紙）。實驗報告內(nèi)容：（要用統(tǒng)一的實驗報告紙做）1）實驗題目；2）實驗?zāi)康模?）實驗原理：主要公式和主要光路圖、電路圖或示意圖，簡單扼要 的文字?jǐn)⑹觯?）主要實驗儀器名稱、規(guī)格、編號5）實驗步驟：寫主要的，要求簡明扼要；6）數(shù)據(jù)處理、作圖（要用坐標(biāo)紙）、誤差分析。要保留計算過程，以便檢查；7）結(jié)論：要寫清楚，不要淹沒在處理數(shù)據(jù)的過程中；8）思考題、討論、分析或心得體會；9）附：原始數(shù)據(jù)記錄。測量誤差及數(shù)據(jù)處理誤差分析和數(shù)據(jù)處理

3、是物理實驗課的基礎(chǔ)，是一切實驗結(jié)果中不可缺少的內(nèi)容。實驗中的誤差分析， 其目的是對實驗結(jié)果做出評定，最大限度的減小實驗誤差，或指出減小實驗誤差的方向，提高測量結(jié)果的 可信賴程度。對低年級大學(xué)生，重點放在幾個重要概念及最簡單情況下的誤差處理方法。一、測量與誤差1、測量：把待測量與作為標(biāo)準(zhǔn)的量（儀器）進(jìn)行比較，確定出待測量是標(biāo)準(zhǔn)量的多少倍的過程稱為測量。測量得到的實驗數(shù)據(jù)應(yīng)包含測量值的大小和單位。2、測量的分類按照測量結(jié)果獲得的方法來分，可分為直接測量 和間接測量 兩類；而從測量條件是否相同來分，又可分為等精度測量和非等精度測量。直接測量 就是把待測量與標(biāo)準(zhǔn)量直接比較得出結(jié)果。如用米尺測量物體的長

4、度， 用電流表測量電流等。間接測量是 借助函數(shù)關(guān)系由直接測量的結(jié)果計算出的物理量。例如已知了路程和時間，根據(jù)速度、時 間和路程之間的關(guān)系求出的速度就是間接測量。一個物理量能否直接測量不是絕對的。隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，測量儀器的改進(jìn)，很多原來只能間接測 量的量，現(xiàn)在可以直接測量了。等精度測量 是指在相同條件下進(jìn)行的多次測量，即：同一個人，用同一臺儀器，每次測量時周圍環(huán)境 條件相同，所取參數(shù)相同。等精度測量每次測量的可靠程度相同。注意：重復(fù)測量必須是重復(fù)進(jìn)行測量的整個操作過程，而不是僅僅重復(fù)讀數(shù)。物理實驗中大多采用等 精度測量。反之，若每次測量時的條件不同，如測量儀器改變，或測量方法條件改變，或不同

5、的人。這樣所進(jìn)行 的一系列測量叫做非等精度測量。3、描述儀器性能的基本概念描述儀器性能的基本概念有儀器精密度、準(zhǔn)確度和量程等。儀器精密度：是指儀器能分辨的物理量的最小值，一般是儀器的最小分度值。儀器最小的分度越小， 儀器精密度就越高，所測量物理量的精密度也越高。對測量讀數(shù)最小一位的取值，一般在儀器最小分度范 圍內(nèi)再估讀一位數(shù)字。如米尺的最小分度為毫米，其精密度就是1毫米，應(yīng)估讀到毫米的十分位。儀器準(zhǔn)確度：是指儀器測量讀數(shù)的可靠程度。一般標(biāo)在儀器上或?qū)懺趦x器說明書上。如電學(xué)儀表所標(biāo) 示的級別就是該儀器的準(zhǔn)確度。對不同的儀器準(zhǔn)確度是不一樣的，如對測量長度的常用儀器：米尺、游標(biāo) 卡尺和螺旋測微器，它

6、們的儀器準(zhǔn)確度依次提高。量程：是指儀器所能測量的物理量最大值和最小值之差，即儀器的測量范圍（有時也將所能測量的最 大值稱量程）。測量過程中，超過儀器量程使用儀器是不允許的，輕則儀器準(zhǔn)確度降低，使用壽命縮短， 重則損壞儀器。4、誤差與偏差在一定條件下，任何物理量的大小都有一個客觀存在的真實值，稱為 真值。測量的目的就是為了得到被測物理量所具有的客觀真實數(shù)據(jù)，但由于受測量方法、測量儀器、測量條 件以及觀測者水平等多種因素的限制，只能獲得該物理量的近似值，即測量值x與真值a之間總是存在著一定的差值，這種差值稱為 測量誤差，即& =x- a顯然誤差£有正負(fù)之分，常稱為 絕對誤差。注意

7、，絕對誤差不是誤差的絕對值！設(shè)某個物理量真值為 a ,進(jìn)行n次等精度測量，測量值分別為 xi, x2,xn,（不考慮系統(tǒng)誤差）（ 可證明其算術(shù)平均值為最佳估計值：n_ xix（i）n當(dāng)測量次數(shù)n00時，x a ,即x為測量值的 近似真實值。為了估計誤差，定義測量值與近似真實值的差值為偏差。即xi xi（。測量中真值是未知的，因此誤差也無法知道，而測量的偏差可以準(zhǔn)確知道，實驗誤差分析中常用偏差來描述測量結(jié)果的精確程度。5、系統(tǒng)誤差與隨機(jī)誤差根據(jù)誤差的性質(zhì)和產(chǎn)生的原因，可分為系統(tǒng)誤差和隨機(jī)誤差。1）系統(tǒng)誤差是指在一定條件下多次測量的結(jié)果總是向一個方向偏離，其數(shù)值一定或按一定規(guī)律變化。系統(tǒng)誤差的特征

8、是具有一定的規(guī)律性。系統(tǒng)誤差的來源有以下幾個方面：（1）儀器誤差。由于儀器本身的缺陷或沒有按規(guī)定條件使用儀器而造成的誤差；例如，用秒表測量運(yùn)動物體通過某一段路程所需要的時間，若秒表走時偏快，即使測量多次，測量的時間t總是偏大為一個固定的數(shù)值，這是儀器不準(zhǔn)確造成的誤差。（2）理論誤差。由于測量所依據(jù)的理論公式本身的近似性，或?qū)嶒灄l件不能達(dá)到理論公式所規(guī)定的要求，或測量方法等所帶來的誤差；（3）觀測誤差。由于觀測者本人生理或心理特點造成的誤差。通常與觀測者反應(yīng)和觀察習(xí)慣有關(guān)，它因人而異，并與觀測者當(dāng)時的精神狀態(tài)有關(guān)。例如，按秒表時習(xí)慣提前或滯后。在任何一項實驗工作和具體測量中，必須要想盡一切辦法，

9、最大限度的消除或減小一切可能存在的系統(tǒng)誤差，或者對測量結(jié)果進(jìn)行修正。以下介紹幾種常用的方法。（1）檢定修正法：指將儀器、量具送計量部門檢驗取得修正值，以便對某一物理量測量后進(jìn)行修正。（2）替代法：指測量裝置測定待測量后，在測量條件不變的情況下，用一個已知標(biāo)準(zhǔn)量替換被測量 來減小系統(tǒng)誤差。（3）異號法：指對實驗時在兩次測量中出現(xiàn)符號相反的誤差，采取平均值后消除的一種方法。例如在外界磁場作用下，儀表讀數(shù)會產(chǎn)生一個附加誤差，若將儀表轉(zhuǎn)動180。再進(jìn)行一次測量，外磁場將對讀數(shù)產(chǎn)生相反的影響，引起負(fù)的附加誤差。 兩次測量結(jié)果平均， 正負(fù)誤差可以抵消， 從中可以減小系統(tǒng)誤差。2）隨機(jī)誤差是指在實際測量條件

10、下，多次測量同一量時，誤差時大時小、時正時負(fù)，以不可預(yù)定方 式變化著的誤差叫做隨機(jī)誤差，也叫偶然誤差。當(dāng)測量次數(shù)很多時，隨機(jī)誤差就顯示出明顯的規(guī)律性。實踐和理論都已證明，隨機(jī)誤差服從一定的統(tǒng)計規(guī)律（正態(tài)分布，如圖絕對值小的誤差出現(xiàn)的概率比絕對值大的誤差出現(xiàn)的概率大（單峰性）；絕對值相等的正負(fù)誤差出現(xiàn)的概率相同（對稱性）；絕對值很大的誤差出現(xiàn)的概率趨于零（有界性）；誤差的算術(shù)平均值隨著測量次數(shù)的增加而趨于零（抵償性）。因此，增加測量次數(shù)可以減小隨機(jī)誤差，但不能完全消除。引起隨機(jī)誤差的原因很多， 它與儀器精密度和觀察者感官靈敏度 有關(guān)。如儀器顯示數(shù)值的估計讀數(shù)位偏大和偏??；測量環(huán)境擾動變化以及其它

11、不能預(yù)測不能控制的因素，如空間電磁場的干擾等。由于測量者過失、實驗方法不合理、用錯儀器、操作不當(dāng)、讀錯是一種人為的過失誤差， 不屬于測量數(shù)值或記錯數(shù)據(jù)等引起的誤差, 誤差。過失誤差是可以避免的。6、隨機(jī)誤差的估算設(shè)在等精度測量中，一組n次測量的值分別為：x1，x2,Xn,這組測量值稱為測量列。誤差理論歡迎下載3證明，測量列中某次測量值的標(biāo)準(zhǔn)偏差為X其意義表示某次測量值的隨機(jī)誤差在x之間的概率為68.3%。（2）式稱為 貝塞爾公式。7、算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)偏差當(dāng)測量次數(shù)n有限，其算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)偏差為Xip 表不，即 p= 0.683 。類似地，待測量的真值在2 x x 2 -范圍內(nèi)的概率為8、t分

12、布由于在實際工作中，測量次數(shù)n不可能趨于無窮。當(dāng)測量次數(shù)較少時，隨機(jī)誤差服從的規(guī)律不是正態(tài)分布，而是 t分布。 t分布的曲線比正態(tài)分布的要平坦，兩者的分布函數(shù)不同，n較小時，t分布偏離正態(tài)分布較多，n較大時，趨于正態(tài)分布。如 圖2所示。對t分布，只在公式 （3）的基礎(chǔ)上乘以一個t因子，即t X(4)ASx(5)95.4%,此時的置信度 p = 0.954。圖2(3)其意義是 測量平均值的隨機(jī)誤差 在 - 1之間的概 率為68.3%。或者說，待測 量的真 值在X x X x范圍內(nèi)的概率為 68.3%。這個概率叫置信概率，也叫置信度，用X是反映了平均值接近真值的程度。但不要誤認(rèn)為真值一定就會落在t

13、值是與測量次數(shù)等有關(guān)的，如下表是當(dāng)p=0.95的t值:n3456789101520> 100t4.303.182.782.572.452.362.312.262.142.09< 1.97t/2.481.591.2041.05.9260.8340.7700.7150.5530.467< 0.139由上表可知，當(dāng)5W nW 10時，t/而 接近1,由（5）式可知Aa=Sx。對教學(xué)實驗，測量次數(shù)一般取510次，所以可用（2）式作為估算偏差的公式。9、異常數(shù)據(jù)的剔除剔除測量列中異常數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)有幾種，有3 x準(zhǔn)則、肖維準(zhǔn)則、格拉布斯準(zhǔn)則等。下面是 3 x準(zhǔn)則:統(tǒng)計理論表明，測量值的偏差

14、超過3 x的概率已小于1%。因此，可以認(rèn)為偏差超過3 x的測量值是 其他因素或過失造成的，為異常數(shù)據(jù)，應(yīng)當(dāng)剔除。剔除的方法是將多次測量所得的一系列數(shù)據(jù)，算出各測量值的偏差 Xi和標(biāo)準(zhǔn)偏差 x,把其中最大的Xj與3 x比較，若 Xj>3 x,則認(rèn)為第j個測量值是異常數(shù)據(jù)，舍去不計。剔除 Xj后，對余下的各測量值 重新計算偏差和標(biāo)準(zhǔn)偏差，并繼續(xù)審查，直到各個偏 差均小于3 x為止。二、測量結(jié)果的評定和不確定度（一）、不確定度的含義在物理實驗中，因真值得不到，測量誤差也就不能肯定。為此，1992年國際計量大會以及四個國際組織制定了測量不確定度表達(dá)指南 。1993年此指南經(jīng)國際理化等組織批準(zhǔn)實施

15、。對一個物理實驗的具體數(shù)據(jù)來說，不確定度是指測量值（近真值）附近的一個范圍，測量值與真值之 差（誤差）可能落于其中。它是對誤差的一種量化估計，是對測量結(jié)果可信賴程度的具體評定。不確定度 小，測量結(jié)果可信賴程度高；不確定度大，測量結(jié)果可信賴程度低。所以用不確定度的概念對測量數(shù)據(jù)做 出評定比用誤差來描述更合理。（二）、測量結(jié)果的表示和不確定度1、測量結(jié)果的不確定度在做物理實驗時，要求表示出測量的最終結(jié)果。即X X（單位）（6）式中X為待測量；X是測量的近似真實值， 是總的不確定度，三者的數(shù)量級、單位要相同。簡單起見， 不確定度一般保留一位有效數(shù)字 ，多余的位數(shù)一律進(jìn)位。X的末尾數(shù)與不確定度的所在位

16、數(shù)對齊 。這種表達(dá)形式反應(yīng)了三個基本要素：測量值、不確定度和單位，缺一不可，否則就不能全面表達(dá)測 量結(jié)果。2、相對不確定度相對不確定度定義為E = 100%（7）X有時候還需要將測量結(jié)果與公認(rèn)值或理論值進(jìn)行比較（百分偏差）：X X理E0 100%（8）X理X理可以是公認(rèn)值，或高一級精密儀器的測量值。相對不確定度一般取2位有效數(shù)字。3、測量結(jié)果在物理實驗中，直接測量時若不需要對被測量進(jìn)行系統(tǒng)誤差的修正，一般就取多次測量的算術(shù)平均值X作為近似真實值；若在實驗中有時只需測一次或只能測一次，該次測量值就被認(rèn)為是測量的近似真實值。如果要求對被測量值進(jìn)行一定系統(tǒng)誤差的修正，通常是將一定系統(tǒng)誤差（即絕對值和

17、符號都確定的可 估計出的不確定度分量）從算術(shù)平均值X或一次測量值中減去，從而求得被修正后的直接測量結(jié)果的近似真實值。例如，用螺旋測微器來測量長度時，從被測量結(jié)果中減去螺旋測微器的零點讀數(shù)。4、測量結(jié)果的表示表示測量運(yùn)后結(jié)果時，一般要求絕對和相對的不確定度同時表示出，即“XX（單位）LX X理E = 100% 或 E0 100%XX理（三）、不確定度的兩類分量在不確定度的合成問題中，主要是從系統(tǒng)誤差和隨機(jī)誤差等方面進(jìn)行綜合考慮的，將各種來源的誤差按計算方法分為兩類： 統(tǒng)計不確定度（A類）和非統(tǒng)計不確定度（B類）?？偟牟淮_定度 是由兩類分量（A 類和B類）求“方和根”計算而得。為使問題簡化，此處只

18、討論簡單情況下（即 A類、B類分量保持各自 獨立變化，互不相關(guān)）的不確定度的合成。歡迎下載5A類不確定度（統(tǒng)計不確定度）是指可以采用統(tǒng)計方法（即具有隨機(jī)誤差性質(zhì)）計算的不確定度，即 是前面所說的偶然誤差，可以用（5）式或（2）式計算，用Aa表示。B類不確定度（非統(tǒng)計不確定度）是指用非統(tǒng)計方法求出或評定的不確定度，為系統(tǒng)誤差。如實驗室中的測量儀器不準(zhǔn)確，量具磨損老化等等，用B表不。歡迎下載7本書對B類不確定度的估計作簡化處理,只考慮儀器不確定度。 所以因儀器不準(zhǔn)確對應(yīng)的 B類不確定度為 I為儀器不確定度。一般的儀器說明書中都以某種方式注明儀器不確定度，由制造廠或計量檢定部門給 定。物理實驗教學(xué)中

19、，可由實驗室提供。儀器不確定度一般可分兩種情況處理：已知儀器準(zhǔn)確度時， 這時以其準(zhǔn)確度作為不確定度大小。如一個量程150mA，準(zhǔn)確度0.2級的電流表，測某一次電流，讀數(shù)為131.2mA?？晒浪愠鲎畲蠼^對不確定度為 =量程X級別%= 150X 0.2 % = 0.3mA,因而 該次測量的結(jié)果可寫成 I =131.2±0 .3mA。其相對不確定度為Ei = 0.3/131.2=0.23% ,大于0.2 %。因此，測量值越接近量程，相對不確定度越小。對于沒有標(biāo)明準(zhǔn)確度的儀器，因在制造儀器時，其最小的分度數(shù)值是受儀器準(zhǔn)確度約束的。所以，對 連續(xù)讀數(shù)的儀器，最大讀數(shù)不確定度可取儀器最小刻度值的

20、1/10、1/5、1/2或最小刻度，具體可根據(jù)所用儀器的精密度、儀器靈敏度、測試者感覺器官的分辨能力，以及觀測時的環(huán)境條件等因素來考慮。而無法 進(jìn)行估計的非連續(xù)讀數(shù)的儀器，如數(shù)字式儀表，可簡單取其最末位數(shù)的1作為儀器不確定度。（若末位或末兩位不穩(wěn)定，可記錄穩(wěn)定的數(shù)值加一位不穩(wěn)定的，或根據(jù)其變化規(guī)律，四舍五入到穩(wěn)定的那位。儀器不 確定度則取穩(wěn)定位的1,或根據(jù)不穩(wěn)定位變化的程度來取。）合成不確定度為 A類不確定度和B類不確定度的合成(9)在計算總的不確定度中求“方和根”時，若某一平方值小于另一平方值的1/9 ,則這一項就可以略去不計。這一結(jié)論叫做微小誤差準(zhǔn)則。在進(jìn)行數(shù)據(jù)處理時，利用微小誤差準(zhǔn)則可減

21、少不必要的計算。對于單次測量，一般是以最大不確定度進(jìn)行估計。可用儀器不確定度作為合成不確定度，即:（四）、直接測量的不確定度直接測量的不確定度的合成，用（5）式或（2）式計算A類不確定度。對 B類不確定度，主要討論儀器的不確定度。例1.用感量為0.1g的物理天平稱量某物體的質(zhì)量，其讀數(shù)值為35.41g，求物體質(zhì)量的測量結(jié)果。（感量：在儀器上有標(biāo)出，一般為最小分度值）解:用物理天平稱物體的質(zhì)量，重復(fù)測量讀數(shù)值往往相同，故一般只須進(jìn)行單次測量即可。單次測 量的讀數(shù)即為近似真實值，m= 35.41g。對物理天平通常取感量的1/2,作為儀器不確定度，即B A = 0.05（g）測量結(jié)果為m= 35.4

22、1 ±0.05 （g）I因為是單次測量，總的不確定度A 2中Aa無法估算，所以 =B。但是這個結(jié)論并不表明單次測量的 就小，因為n=1時，Sx是發(fā)散的。例2.用螺旋測微器測量小鋼球的直徑，五次的測量值分別為d (mm)11.92211.92311.92411.92111.920螺旋測微器的最小分度數(shù)值為0.01mm試寫出測量結(jié)果的標(biāo)準(zhǔn)式。解:(1)求直徑d的算術(shù)平均值111.92211.92311.92411.92111.92051 5 d d in 1=11.922 (mm)(2)計算B類不確定度螺旋測微器的儀器不確定度(取最小刻度值的1/2)為i =0.005 (mm)B I =

23、 0.005 ( mm)(3)計算A類不確定度d i d1n( n 1 )222.78=0.002(mm)11.922 11 .92211.923 11.922|5(5 1)(4)合成不確定度1; 2d B40.0022 0.0052 =0.006(mm)(5)相對不確定度：e = 100%= 0.006 100% = 0.050% x11.922(6)測量結(jié)果：d d 11.922 0.006 mmE= 0.050%測量不確定度表達(dá)涉及到深廣的知識領(lǐng)域和誤差理論問題。因此，在保證科學(xué)性的前提下，在教學(xué)中 盡量把方法簡化，為初學(xué)者易于接受。以后在工作需要時，可以參考有關(guān)文獻(xiàn)繼續(xù)深入學(xué)習(xí)。三、有

24、效數(shù)字及其運(yùn)算法則(一)、有效數(shù)字的概念1、有效數(shù)字的定義若用最小分度值為1mm的米尺測量某物體的長度，讀數(shù)為 56.3mm o其中5和6這兩個數(shù)字是從米尺 的刻度上準(zhǔn)確讀出的，可以認(rèn)為是準(zhǔn)確的，叫做可靠數(shù)字。末尾數(shù)字3是從米尺最小分度值上估計出來的，是不準(zhǔn)確的，叫做欠準(zhǔn)數(shù)(或稱 可疑數(shù)字)。顯然有一位可疑數(shù)字，使測量值更接近真實值，更能反映客 觀實際。因此，測量值保留到這一位是合理的，即使估計數(shù)是0,也不能舍去。故測量數(shù)據(jù)的有效數(shù)字定義為幾位可靠數(shù)字加上一位可疑數(shù)字 稱為有效數(shù)字，有效數(shù)字?jǐn)?shù)字的個數(shù)叫做有效數(shù)字的位數(shù)。注意：有 效數(shù)字的位數(shù)不要與小數(shù)點后的位數(shù)混淆。如上述的56.3mm稱為3

25、位有效數(shù)字，但小數(shù)后只有 1位。有效數(shù)字的位數(shù)與十進(jìn)制單位的變換無關(guān)，即與小數(shù)點的位置無關(guān)。因此，用以表示小數(shù)點位置的0不是有效數(shù)字。當(dāng) 0不是用作表示小數(shù)點位置時，0和其它數(shù)字具有同等地位，都是有效數(shù)字，即有效數(shù)字中間與末尾的 0,均應(yīng)算作有效位數(shù)。如 0.0135 m和1.05cm及13.0mm都是三位有效數(shù)字。從有效數(shù)字的另一面也可以看出測量用具的最小刻度值，如0.0135m是用最小刻度為毫米的尺子測量的，而1.030m是用最小刻度為厘米的尺子測量的。2、結(jié)果的表示由于最后一位可疑位是不確定的，即是不確定度所在位。 所以，若把測量結(jié)果寫成 542.817±0.5 (mm)是錯誤

26、的，由不確定度 0.5 （mm）可以得知，數(shù)據(jù)的小數(shù)0.8已不可靠，把它后面的數(shù)字也寫出來沒有多大意義，正確的寫法應(yīng)當(dāng)是：542.8±0.5 （mm）。即，結(jié)果的 尾數(shù)應(yīng)與不確定度的所在位對齊，后面的位數(shù)可以簡單地四舍五入。（二）、直接測量的有效數(shù)字記錄物理實驗中通常儀器上顯示的數(shù)字均為有效數(shù)字（包括最后一位估計讀數(shù)）都應(yīng)讀出，并記錄下來。儀器上顯示的最后一位數(shù)字是0時，此0也要記錄。儀器不確定度在哪一位發(fā)生，測量數(shù)據(jù)的可疑位就記錄到哪一位。對于有分度式的儀表，讀數(shù)要根據(jù)人眼的分辨能力讀到最小分度的十分之幾。例如，測出物體長為 52.4 mm與52.40 mm是不同的兩個測量值，也是

27、屬于不同儀器測量的兩個值， 從這兩個值可以看出測量前者的儀器精度低，測量后者的儀器精度高出一個數(shù)量級。在記錄直接測量的有效數(shù)字時，常用科學(xué)表達(dá)式。如 0.0451 m或45.1 mm,可表示為4.51 X 10 2mo （三）、有效數(shù)字的運(yùn)算法則測量結(jié)果的有效數(shù)字，只能允許保留一位可疑數(shù)字。根據(jù)這一原則，為了簡化有效數(shù)字的運(yùn)算，約定 卜列規(guī)則：1 .加法或減法運(yùn)算若干個數(shù)進(jìn)行加法或減法運(yùn)算，其和或者差的結(jié)果的可疑數(shù)字的位置與參與運(yùn)算各個量中的可疑數(shù)字的位置最高者相同。因此，幾個數(shù)進(jìn)行加法或減法運(yùn)算時，可先將多余數(shù)修約（四舍五入），將應(yīng)保留的可疑數(shù)字的位數(shù)多保留一位進(jìn)行運(yùn)算，最后結(jié)果按保留一位可

28、疑數(shù)字進(jìn)行取舍。2 .乘法和除法運(yùn)算有效數(shù)字進(jìn)行乘法或除法運(yùn)算時，乘積或商的結(jié)果的有效數(shù)字的位數(shù)，一般與參與運(yùn)算的各個量中有效數(shù)字的位數(shù)最少者相同，或多一位。實際運(yùn)算過程，可比參與運(yùn)算的位數(shù)最少者多取一位，最后由結(jié)果 的不確定度決定。如：7.65+8.268=15.927.658.26815. 9183.841X 4.42=9.303.8 4 1X 2. 4 27 6 8 21 5 3 6工7 6 829.2 9 5 2 23.841 X 8.42=32.343.8 4 1X 8. 4 27 6 8 21 5 3 6 43 0 7 2_83 2.3 4 0 2 2式中有下劃線的表示可疑數(shù)字。3

29、 .乘方和開方運(yùn)算(7.325)2 53.66. 32.8 5.73乘方和開方運(yùn)算的有效數(shù)字的位數(shù)與其底數(shù)的有效數(shù)字的位數(shù)相同。4、三角函數(shù)：一般取四位有效位數(shù)。例：sin30°07' = sin30.12 o=0.50185、指數(shù)：結(jié)果的有效數(shù)字，與指數(shù)小數(shù)點后的位數(shù)相同。例：105.75 = 5.6 X 105; 10°.°75=1.196、對數(shù)：結(jié)果的有效數(shù)字，其尾數(shù)（小數(shù)點后的位數(shù)）與真數(shù)的位數(shù)相同，或多取一位。例：ln1.550=0.43837、對任意函數(shù)：可將數(shù)值末位改變1,運(yùn)算后，看結(jié)果是哪位變化了，就保留到開始變化那位。例：ln1.550=

30、0.43825 ，末位改變 1: ln1.551=0.43890 ，所以，可取小數(shù)后4 位：0.4383。8、自然數(shù)1,2,3,4,不是測量而得，因此，可以視為無窮多位有效數(shù)字的位數(shù)，書寫也不必寫出后面的 歡迎下載0,如D = 2R, D的位數(shù)僅由 R的位數(shù)決定。9、無理常數(shù)兀，/, J3,的位數(shù)也可以看成很多位有效數(shù)字。例如L = 2tiR若測量值R 2.35 101(m)時，兀應(yīng)比參加運(yùn)算的最少位數(shù)多取一位，取為3.142。即L 2 342 2.35 10 2 1.48 10 1(m)。用計算器計算，可直接輸入兀。上述規(guī)定和方法，是為了簡化有效數(shù)字的運(yùn)算，及作為不需算不確定度時，有效位數(shù)取

31、值的參考，但并非完全準(zhǔn)確。在實際的不確定度估算時，作為中間過程，可比上述規(guī)定取多12位，最后由結(jié)果的不確定度決定有效位數(shù)。四、間接測量結(jié)果的不確定度間接測量的近似真實值和不確定度是由直接測量結(jié)果通過函數(shù)式計算出來的，既然直接測量存在不確 定度，那么間接測量也必有不確定度，這就是不確定度的傳遞。由直接測量值及其不確定度來估算間接測 量值的不確定度之間的關(guān)系式稱為不確定度的傳遞公式。設(shè)間接測量的函數(shù)式為N=F (x , y , z,)N為間接測量的量，它有 K個直接測量的物理量 x , y , z ,，各直接觀測量的測量結(jié)果分別為xx x，yy y，zz z，。(1)若將各個直接測量量的近似真實值

32、x代入函數(shù)表達(dá)式中，即可得到間接測量的近似真實值。N F x, y, z,(2)求間接測量的不確定度，由于不確定度均為微小量，相似于數(shù)學(xué)中的微小增量，對函數(shù)式N=F(x , y , z,)求全微分，即得dN - dx dy - dz x y z式中dN , dx , dy , dz , 均為微小量，dN的變化由各自變量的變化決定 ，_F _F _F 為函數(shù)對自變量的 ,x y z偏導(dǎo)數(shù)，將上面全微分式中的微分符號d改寫為不確定度符號，并將微分式中的各項求 “方和根”，即為間接測量的合成不確定度N A- x)2 (- y)2 (- z)2( 10)xyz這里x , y , z, 各量應(yīng)相互獨立。

33、當(dāng)間接測量的函數(shù)表達(dá)式為積和商(或含和差的積商形式)時，為了使運(yùn)算簡便起見，可以先將函數(shù) 式兩邊同時取自然對數(shù)，然后再求全微分。即dN lnF , lnF , ln F , - dx dy dzN xyz同樣改寫微分符號為不確定度符號，再求其“方和根” ，即為間接測量的相對不確定度En,即222NlnFln Fln F4xyzNxyzN(11)歡迎下載13已知En、N,由(11)式可以求出不確定度N N En(12)今后在計算間接測量的不確定度時，對函數(shù)表達(dá) 式僅為“和差”形式，可以直接利用(10)式，求出間接測量的不確定度 N,若函數(shù)表達(dá)式為積和商(或 積商和差混合)等較為復(fù)雜的形式， 可直

34、接采用(11) 式，先求出相對不確定度，再求出不確定度n。附表為常用函數(shù)的不確定度傳遞公式， 可直接應(yīng)用。(注 意應(yīng)用附表時，要求各變量是 相互獨立的)函數(shù)關(guān)系式不確定度傳遞公式N ax byNJ(a *)2 (b Q2N axyJ_N|x 2y 2En N (x)(y)xNa yEn1(米、2(¥、2ENN 又) ( y)bN kxa zEn J(ar)2 (b )2 (c)2 x xyz附表：常用函數(shù)的不確定度傳遞公式例1.已知電阻 R1 = 50.2 ±0.5 (Q) , R2=149.8±0.5 (),求它們串聯(lián)的電阻 R和不確定度R解:串聯(lián)電阻的阻值為R

35、= R- R2 =50.2+ 149.8=200.0 ()由附表第一行公式求得不確定度為r12 *0?052 0.7()相對不確定度Err -0 100% 0.35%R 200.0測量結(jié)果為R=200.0± 0.7 (Q)注意：不確定度保留一位有效數(shù)字，相對不確定度保留2位有效數(shù)字。例2.測量金屬環(huán)的內(nèi)徑 D1= 28.80±0.04 (mm),外徑 D2= 36.00± 0.04 (mm),厚度 h= 25.75±0.04 (mm)。試求環(huán)的體積 V。解:(1)環(huán)體積的近似真實值為993 141699QV -h(D； D12) 25.75 (36.00

36、2 28.802) 9436(mm3)44(2)首先將環(huán)體積公式兩邊同時取自然對數(shù)后，再求全微分lnV ln(-) ln h ln( D22D12)dV 0 dh 2D2dD2 2D1dD1 1_ dhV h Df D12h2D222Df D12dD22D122D2D12dD1則相對不確定度為上(h)2(2D2D2)2(2D1D 2(,)(22 )(22 )V V h D2 D1D2 D11z 0.04.2 (2 36.00 0.04.2 , 2 28.80 0.04.2 2.()(22)(22)=0.81%25.7536.002 28.80236.002 28.802(3)合成不確定度為V

37、V Ev39436 0.00819 10(mm3)(4)環(huán)體積的測量結(jié)果為V= ( 9449) X 10 (mm)3Ev=0.81%注意：結(jié)果的末尾數(shù)與不確定度的所在位對齊。五、數(shù)據(jù)處理方法物理實驗中測量得到的許多數(shù)據(jù)需要處理后才能表示測量的最終結(jié)果。數(shù)據(jù)處理是指從獲得數(shù)據(jù)起到 得出結(jié)果為止的加工過程。數(shù)據(jù)處理包括記錄、整理、計算、分析、擬合等多種處理方法，常用有列表法、 作圖法、圖解法、最小二乘法等。（一）、列表法列表法是記錄數(shù)據(jù)的基本方法。是記錄的最好方法。設(shè)計記錄表格要求：1 .列表要簡單明了，利于記錄、運(yùn)算處理數(shù)據(jù)和檢查處理結(jié)果，便于一目了然地看出有關(guān)量之間的關(guān)系。2 .表中各欄中的物

38、理量都要用符號標(biāo)明，并寫出數(shù)據(jù)所代表物理量的單位及量值的數(shù)量級。單位寫在符號標(biāo)題欄，不要重復(fù)記在各個數(shù)值上 。3 .記錄的數(shù)據(jù)，應(yīng)正確反映測量結(jié)果的有效數(shù)字。一般記錄表格還有序號和名稱。例如：要求測量圓柱體的體積，圓柱體高 H和直徑D的記錄如下：測柱體高H和直徑D記錄表測量次數(shù)i12345平均Hi (mm)35.3235.3035.3235.3435.3035.326D i (mm)8.1358.1378.1368.1338.1328.1347（二）、作圖法用作圖法處理實驗數(shù)據(jù)是數(shù)據(jù)處理的常用方法之一，它能直觀地顯示物理量之間的對應(yīng)關(guān)系，揭示物 理量之間的聯(lián)系。作圖法是在現(xiàn)有的坐標(biāo)紙上用圖形描

39、述各物理量之間的關(guān)系，將實驗數(shù)據(jù)用幾何圖形表 示出來，叫做作圖法。在作圖時要注意以下幾點：1 .作圖一定要用坐標(biāo)紙。當(dāng)決定了作圖的參量以后，根據(jù)函數(shù)關(guān)系選用直角坐標(biāo)紙，單對數(shù)坐標(biāo)紙， 雙對數(shù)坐標(biāo)紙，極坐標(biāo)紙等，本教材主要要求學(xué)會用直角坐標(biāo)紙。2 .坐標(biāo)紙的大小及坐標(biāo)軸的比例。應(yīng)當(dāng)根據(jù)所測得的有效位數(shù)和結(jié)果的需要來確定，原則上數(shù)據(jù)中的可靠數(shù)字在圖中應(yīng)當(dāng)標(biāo)出，數(shù)據(jù)中可靠位的最后一位在圖中應(yīng)是整數(shù)格。除特殊需要外，數(shù)值的起點一般不必從0開始，X軸和Y軸的比例可以采用不同的比例，使作出的圖形大體上能充滿整個坐標(biāo)紙，圖形布局美觀、合理。3 .標(biāo)明坐標(biāo)軸。對直角坐標(biāo)系，一般是自變量為橫軸，因變量為縱軸，采

40、用粗實線描出坐標(biāo)軸，并用 箭頭表示出方向，注明所示物理量的名稱，單位。坐標(biāo)軸上標(biāo)的量值的有效位數(shù)應(yīng)與測量值的有效位數(shù)相 同，且標(biāo)整數(shù)。4 .描點。根據(jù)測量數(shù)據(jù)，用直尺和筆尖使其函數(shù)對應(yīng)的實驗點準(zhǔn)確地落在相應(yīng)的位置，一張圖紙上畫上幾條實驗圖線時。每條圖線應(yīng)用不同的標(biāo)記如“X”、“ + ”等符號標(biāo)出，以免混淆。5 .連線。根據(jù)不同函數(shù)關(guān)系對應(yīng)的實驗數(shù)據(jù)點分布，把點連成直線或光滑的曲線或折線，連線必須用直尺或曲線板，校準(zhǔn)曲線中的數(shù)據(jù)點則連成折線。由于每個實驗數(shù)據(jù)都有一定的不確定度，所以將實驗數(shù) 據(jù)點連成直線或光滑曲線時，繪制的圖線不一定通過所有的點，應(yīng)讓多數(shù)實驗點落在曲線上，其余的點均勻分布在曲線的

41、兩側(cè)，即盡可能使曲線兩側(cè)所有點到直線的距離之和最小并且接近相等，個別偏離很大的 點應(yīng)當(dāng)應(yīng)用異常數(shù)據(jù)的剔除中介紹的方法進(jìn)行分析后決定是否舍去，原始數(shù)據(jù)點應(yīng)保留在圖中。6 .寫圖名。作完圖后，在圖紙下方或空白的明顯位置處，寫上圖的名稱、作者和作圖日期，有時還要 附上簡單的說明，如實驗條件等，使讀者一目了然。作圖時，一般將縱軸代表的物理量寫在前面，橫軸代 表的物理量寫在后面，中間用“一”聯(lián)接。7 .最后將圖紙貼在實驗報告的適當(dāng)位置，便于教師批閱實驗報告。(三)、圖解法在物理實驗中，實驗圖線做出以后， 可以由圖線求出經(jīng)驗公式。 圖解法就是根據(jù)實驗數(shù)據(jù)作好的圖線, 用解析法找出相應(yīng)的函數(shù)形式。實驗中經(jīng)常

42、遇到的圖線是直線、拋物線、雙曲線、指數(shù)曲線、對數(shù)曲線。圖3某金屬絲電阻一溫度曲線特別是當(dāng)圖線是直線時，采用此方法更為方便。8 .由實驗圖線建立經(jīng)驗公式的一般步驟：(1)根據(jù)解析幾何知識判斷圖線的類型；(2)由圖線的類型判斷公式的可能特點；(3)利用半對數(shù)、對數(shù)或倒數(shù)坐標(biāo)紙，把原曲線改為直線；(4)確定常數(shù)，建立起經(jīng)驗公式的形式，用實驗數(shù)據(jù)來檢驗所得公 式的準(zhǔn)確程度。9 .用直線圖解法求直線的方程如果做出的實驗圖線是一條直線，則經(jīng)驗公式應(yīng)為直線方程y=kx+b(13)要建立此方程，由實驗直接求出k (斜率)和b (截距)，一般有兩種方法。可用斜率截距法和端值求解法。其中斜率截距法：在圖線上選取兩

43、點Pi ( xi, yi )和P2 ( x2, y2 ),其坐標(biāo)值最好是整數(shù)值，或橫坐標(biāo)取整數(shù)值。用特定的符號表示所取的點，與實驗點相區(qū)別。一般不要取原實驗點。所取的兩點在實驗范圍內(nèi)應(yīng)盡量彼此分開一些，以減小不確定度。根據(jù)兩點的坐標(biāo)求出斜率k為k紅上(14)X2 X1其截距b為x=0時的y值；若原實驗中所繪制的圖形并未給出x=0段直線，可將直線用虛線延長交y軸，則可量出截距。如果起點不為零，也可以由式(15)x?y1 x1y2X2x1R= f (T)和電阻溫度系數(shù)。求出截距，求出斜率和截距的數(shù)值代入方程中就可以得到經(jīng)驗公式。溫度(C)19.125.030.136.040.045.150.0電阻

44、(科)76.3077.8079.7580.8082.3583.9085.10例：金屬導(dǎo)體的電阻隨著溫度變化的測量值為下表所示，試求經(jīng)驗公式根據(jù)所測數(shù)據(jù)繪出 RT圖求出直線的斜率和截距k 8.00 0.296(W Q/C)27.0b= 72.00 (W)于是得經(jīng)驗公式R= 72.00+0.296T該金屬的電阻溫度系數(shù)為1 黑今11 1°i)10 曲線改直，曲線方程的建立在實驗工作中，許多物理量之間的關(guān)系并不都是線性的，由曲線圖直接建立經(jīng)驗公式一般是比較困難 的，但仍可通過適當(dāng)?shù)淖儞Q而成為線性關(guān)系，即把曲線變換成直線，再利用建立直線方程的辦法來解決問 題。這種方法叫做曲線改直。例如：pv

45、=c,式中C為常量，要變換成 p=qi/v), p是i/v的線性函數(shù)，斜率為 C。1 .指出下列各量是幾位有效數(shù)字？(1) 63.74 cm; (2) 0.302 cm;(3) 0.0100 cm ;(4) 12.61s ;2 .試用有效數(shù)字運(yùn)算法則計算出下列結(jié)果(1) 107.50 2.5; (2) 273.5+0.100; (3) 1.50X 0.500; (4)8.04216.0384.03430.9，3 . 一圓柱體， 已知高 h = 4.120± 0.001 (cm),直徑 d= 2.040±0.001 (cm) , m= 149.18± 0.05 (g

46、)。求 V 和 密度p的測量結(jié)果。4 .改正下列錯誤，寫出正確答案(1) L= 0.01040 (km)的有效數(shù)字是五位；(2) d= 12.435±0.02 (cm );(3) h= 27.3X 10 4± 2000 (km);(4) R=6371 km = 6371000m = 637100000 (cm);(5) t=8.50 ± 0.452s(6) e =60 ±2'。5 .單位變換(1)將 L=4.25±0.05 (cm)的單位變換成m , mm , m , km 。(2)將 m= 1.750 ±0.001 (kg)

47、的單位變換成g , mg , t 。6 .利用單擺測重力加速度g,當(dāng)擺角e<5°時，T=2n JL,式中擺長L= 97.69±0.02 (cm),周期T= 1.9842 ±0.0002 (s)。求g和a ,并寫出結(jié)果的標(biāo)準(zhǔn)式。 g7 .準(zhǔn)確度等級為0.5級，量程為10mA的電流表，使用時可能產(chǎn)生的儀器不確定度為mA, 若要求測量的相對不確定度不超過1%,則被測電流應(yīng)不小于mA 。8 .現(xiàn)有兩只伏特表甲和乙，分別為 0.5級0300V和1.0級0100V,欲測100V左右的電壓，宜選用 表。9 .下列說法中正確的有 ()。A.可用儀器最小分度或最小分度的一半作

48、為該儀器的一次測量的不確定度；B.可以用儀器精度等級估算該儀器一次測量的不確定度；C.只要知道儀器的最小分度值，就可以大致確定儀器不確定度的數(shù)量級。D.任何一次測量值Xi落在X X之間的可能性為57.5%;)°N ax bx cz,則 n ,y分別為 10.N(A.N1-2,22一 a x b y c z N; D.;C.22-2222a x b v c z xyz NN22c z11 .用精密天平稱一物體的質(zhì)量m,共稱五次，結(jié)果分別為3.6127克、3.6122克、3.6120克、3.6121克、3.6125克。試求這些數(shù)據(jù)的算術(shù)平均值、不確定度和相對不確定度(不考慮儀器誤差)。1

49、2 .用米尺測得正方形某一邊長為a=200.1mm, a2=200.0mm, a3=200.4mm, a4=198.4mm, a5=197.3mm求正方形的邊長和面積的平均值、不確定度和相對不確定度。m13 .用流體靜力稱衡法測固體密度的公式為m m1測得m =(27.06 =0.02)g,mi=(l7.03比02)g,o(0.9997 0.0003)g/cm3。求 。14 已知 R 6.061 10 4 , Er 01%, d 3.970mm, Ed 01%, L 10.062cm,El 0.02%, Rd2/4L,求一，,E o15 .用圖解法處理數(shù)據(jù)，若實驗圖線為直線，則應(yīng)讓 落在直線上

50、，分布在直線的兩側(cè)。確定直線斜率時，所選的兩點在實驗范圍內(nèi)應(yīng)盡量 , 一般 選用實驗點，而應(yīng)在直線上選兩點。數(shù)據(jù)中的準(zhǔn)確位在圖中應(yīng)是 格。16 .坐標(biāo)軸上標(biāo)的量值的有效位數(shù)應(yīng)與測量值的有效位數(shù) ,且標(biāo)整數(shù)。參考文獻(xiàn)：1、何焰藍(lán)、楊俊才，大學(xué)物理實驗，北京，機(jī)械工業(yè)出版社，2004.52、王銀峰、陶純匡、汪濤等，大學(xué)物理實驗，北京，機(jī)械工業(yè)出版社，2005.9附：習(xí)題答案1. (1) 4 位；(2) 3位；(3) 3 位；(4) 4 位；2. (1) 105.0; (2) 2.74X 103； (3) 0.750; (4) 34.9;33 、.3.V (13.47 0.02)cm , Ev=0.

51、10%；11.08 0.02(g/cm ) , Ep=0.11%； 4. (1) 4 位；(2) d= 12.44+0.02(cm ) ; (3) h= ( 2.73+ 0.02) X 10 5 (km); (4) R= 6371 km = 6.371 X 10 6m= 6.371 X 108cm; ( 5) t=8.5± 0.5s; (6)0=60 00'±2' 5. (1) L= (4.25±0.05) X 10 4M m= (4.25+ 0.05) X 10mm= (4.25+ 0.05) X 10-2m= (4.25+ 0.05)X 10-

52、5km; (2) m= (1.750 + 0.001) X 10 3g=( 1.750 ±0.001 ) X 10 6mg= ( 1.750+ 0.001) X 10 -3 t; 6. g = 979.6 0.3cm/s2, Eg4= 0.029%; 7. 0.05; 5; 8.乙；9. A B C; 10. B, D; 11. m =3.6123g,m 4 104g,Em 0.011%,； 12. S= (3.96±0.08) X 104mm2 , Es 2.0% ; L=796±8mm, El1.0%； 13.=0.007g/cm3; 14. 一 =7.46X

53、 10 8Q m, =2X10-10Q m, E 0.22% ; 15.多數(shù)點，其余點，分開些，不，整數(shù)格 ;16.相同。實驗一伏安法測電阻用伏安法測電阻，就是用電壓表測量加于待測電阻Rx兩端的電壓V,同時用電流表測量通過該電阻的電流強(qiáng)度I,再根據(jù)歐姆定律計算該電阻的阻值。因為電壓的單位為 伏”，電流的單位為 安”，所以這種方法稱為伏安法?！绢A(yù)習(xí)要點】1 .分壓器與限流器的異同。本實驗中的滑線變阻器電阻應(yīng)該用什么接法。2 .伏安法測電阻中電流表內(nèi)接和外接的選擇依據(jù)，及接入的系統(tǒng)誤差。歡迎下載14歡迎下載圖517REE之間，它調(diào)壓的范圍較小,R Rl且是非線性變化。但通過負(fù)載R L的電流的調(diào)節(jié)范

54、圍比較寬。(2)分壓器電路及其變壓范圍圖2所示為分壓器電路，從電路 中可以看出，若 P在B端，R l所得電壓U l=0; P向上滑動的過程中， U L 逐漸增大；當(dāng)P在A端時，U l=Eo不 難看出：Rl兩端電壓的變化范圍在 0E之間。當(dāng)R l >>R時，U L隨著P 的移動基本呈現(xiàn)線性變化。2.伏安法測電阻用伏安法測電阻，可采用圖3所示(a)和(b)兩種電路。但由于電流表的內(nèi)阻為+(V)RVRx(a)Ra,伏特表的內(nèi)阻為種，都存在接入誤差(系統(tǒng)誤差)(1) 電流表內(nèi)接如圖 待測電阻 Rx測,即3 (a)所示的電路，電流表測出的 I是通過待測電阻 Rx的電流Rv,所以上述兩種電路無論哪一Ix,但伏特表測出的V就不只是Rx兩端的電壓 Vx,而是Rx與電流表兩端的電壓之和，即V=Vx+VA,那么測得的待測電阻值為V Vx VaRx測 RxRaI I(1)因此，這種電路測得的電阻值Rx測要比實際值大。如果電流表的內(nèi)阻已知，可用下式進(jìn)行修正V VARx-a-R電流表內(nèi)接給測量帶來的接入誤差Ra(系統(tǒng)誤差)為Rx測RxRx100% RA 100%Rx3.二極管的結(jié)構(gòu)和伏安特性，及與線性電阻的伏安特性有什么不同?！緦嶒?zāi)康摹? .掌握滑線變阻器分壓器與限流器的使用;2 .掌握電壓表、電流表的使