集合論的產(chǎn)生

1、遲到的主角集合論的產(chǎn)生是有理數(shù)多，還是實數(shù)多？是直線上的點多，還是平面上的點多？親愛的讀者，你想過上面的問題嗎？為了回答這些問題，我們有必要了解一下集合的概念，了解一下十九世紀著名數(shù)學(xué)家康托爾在100年前完成的一些工作，從中了解集合論發(fā)展的一些情況，了解康托爾是如何回答上面提出的問題的。我們知道角的平分線是所有到角的兩邊距離相等的點的集合；線段的垂直平分線是所有到這條線段的兩端距離相等的點的集合；圓是所有到定點的距離等于定長的點的集合。什么是集合？集合和幾何中的點、線、平面一樣，是一種最原始、最基本的數(shù)學(xué)概念?？墒?，它遲到了幾千年。直到十九世紀下半葉，德國數(shù)學(xué)家康托爾在研究實數(shù)理論的過程中，才

2、形成了世界上第一套集合理論，集合才慢慢進入角色。集合論是關(guān)于無窮集合和超窮數(shù)的數(shù)學(xué)理論。什么是集合，本來有一個定義，意思是說，“把一些確定的可以區(qū)別的對象匯集在一起，形成一個整體，這個整體就是一個集合?！奔热皇恰按_定的”、“可以區(qū)別的”，那么任意一個對象，你應(yīng)該能夠判斷它是否屬于給定的集合。后來因為羅素的“理發(fā)師悖論”給任何集合的定義致命一擊，使得任何人都不敢給集合下一個嚴格的定義，因此，集合就象平面幾何中的點、線、平面一樣不給它們作嚴格的定義了。早在集合論創(chuàng)立之前兩千多年，數(shù)學(xué)家和哲學(xué)家們就已經(jīng)接觸到了大量有關(guān)無窮的問題。古希臘的學(xué)者最先注意并考察了它們。在數(shù)理哲學(xué)中，有兩種無窮方式歷來為數(shù)

3、學(xué)家和哲學(xué)家所關(guān)注，一種是無窮過程，稱為潛在無窮，一種是無窮整體，稱為實在無窮。希臘哲學(xué)家亞里士多德最先提出要把潛在的無窮和實在的無窮加以區(qū)別，這種思想在當今仍有重要意義。亞里士多德認為只存在潛在無窮，對他來說，無窮集合是不存在的。到了中世紀，隨著無窮集合的不斷出現(xiàn)，部分能夠同整體構(gòu)成一一對應(yīng)這個事實也就越來越明顯地暴露出來。近代科學(xué)的開拓者伽利略注意到：兩個不等長的線段上的點可以構(gòu)成一一對應(yīng)。他又注意到：正整數(shù)與它們的平方可以構(gòu)成一一對應(yīng)，這說明無窮大有不同的“數(shù)量級”，不過伽利略認為這是不可能的。他認為，所有無窮大量都一樣，不能比較大小。到了十七世紀，數(shù)學(xué)家把無窮小量引進數(shù)學(xué)，構(gòu)成所謂“無

4、窮小演算”，這就是微積分的最早名稱。由于無窮小量運算的引進，無窮進入數(shù)學(xué)，雖然它給數(shù)學(xué)帶來前所未有的繁榮和進步，它的基礎(chǔ)及其合法性仍然受到許多數(shù)學(xué)家的質(zhì)疑，一批以高斯為代表的數(shù)學(xué)家對無窮心存疑慮。高斯是一個潛在無窮論者，他在1831年7月12日給他的朋友舒馬赫爾的信中說“我必須最最強烈地反對你把無窮作為一個完成的東西來使用，因為這在數(shù)學(xué)中是從來不允許的。無窮只不過是一種談話方式，它是指一種極限，某些比值可以任意地逼近它，而另一些則容許沒有限制地增加?！笨茖W(xué)家們接觸到無窮，卻又無力去把握和認識它，這的確是向人類提出的尖銳挑戰(zhàn)。面對“無窮”的長期挑戰(zhàn)，數(shù)學(xué)家們不會無動于衷，他們?yōu)榻鉀Q無窮問題進行著

5、不懈的努力。第一個為了建立集合的明確理論而作出積極努力的波爾查諾也是一位探索實在無窮的先驅(qū)，他明確談到實在無窮集合的存在，強調(diào)兩個集合等價的概念，也就是后來的一一對應(yīng)的概念。他認為必須接受無窮集合的一個部分或子集可以等價于其整體這個事實。為此，他為無窮集合指定超限數(shù)，使不同的無窮集合，超限數(shù)不同。不過，后來康托爾指出，波爾查諾指定無窮集合的超限數(shù)的具體方法是錯誤的。波爾查諾還提出了一些集合的性質(zhì)，并將他們視為悖論。因此，他關(guān)于無窮研究的哲學(xué)意義大于數(shù)學(xué)意義。應(yīng)該說，波爾查諾是康托爾集合論的先驅(qū)。黎曼在1854年的就職論文關(guān)于用三角級數(shù)表示函數(shù)的可能性中提出“唯一性問題”?？低袪柧褪峭ㄟ^對唯一性

6、問題的研究，認識到無窮集合的重要性，并開始從事無窮集合的一般理論研究的。從1879年到1883年，康托爾寫了六篇系列論文，論文總題目是“論無窮線形點流形”，其中前四篇同以前的論文類似，討論了集合論的一些數(shù)學(xué)成果，特別是涉及集合論在分析上的一些有趣的應(yīng)用。第五篇論文后來以單行本出版，單行本的書名是一般集合論基礎(chǔ)，第六篇論文是對第五篇的補充。一般集合論基礎(chǔ)在數(shù)學(xué)上的主要成果是引進超窮數(shù)。該文從內(nèi)容到敘述方式都與現(xiàn)代的樸素集合論基本一致，所以該書標志著點集合論體系的建立。對超窮集合論基礎(chǔ)的貢獻是康托爾最后一部重要的數(shù)學(xué)著作。對超窮集合論基礎(chǔ)的貢獻分兩部分，第一部分是全序集合的研究，于1895年5月在

7、數(shù)學(xué)年刊上發(fā)表。第二部分于1897年5月在數(shù)學(xué)年刊上發(fā)表。對超窮集合論基礎(chǔ)的貢獻的發(fā)表標志著集合論已從點集合論過渡到抽象集合論。但是，由于它還不是公理化的，而且它的某些邏輯前提和某些證明方法如不給予適當?shù)南拗票銜?dǎo)出悖論，所以康托爾的集合論通常稱為古典集合論或樸素集合論。隨著時間的推移，人們逐漸認識到集合論的重要性。希爾伯特高度贊譽康托爾的集合論“是數(shù)學(xué)天才最優(yōu)秀的作品”，“是人類純粹智力活動的最高成就之一”，“是這個時代所能夸耀的最巨大的工作”。有了集合論的基礎(chǔ)，解決本文開頭所提出的問題，就是輕而易舉的事了?！靖戒洝恳?、【康托爾簡介】康托爾（1845年1918年）德國數(shù)學(xué)家，集合論創(chuàng)始人。1

8、845年3月3日生于俄國一個商人家庭，1856年隨父母遷居德國。學(xué)生時代的康托爾愛好廣泛，極賦想象力，又具有很強的個性。1868年在柏林大學(xué)取得博士學(xué)位，獲博士學(xué)位后即在哈勒大學(xué)長期任教，并極幸運地追隨當時最偉大的數(shù)學(xué)家維爾斯特拉斯從事研究工作。早年曾研究數(shù)論、不定方程和三角級數(shù)，并在無理數(shù)理論上有建樹。從1872年，康托爾開始了極富想象力的集合論的研究，他以敏銳的目光和深刻的思想向當時人們的傳統(tǒng)觀念發(fā)起了挑戰(zhàn)，完成了一系列令世人瞠目的發(fā)現(xiàn)和結(jié)果。他的工作不僅奠定了集合論的發(fā)展基礎(chǔ)，對拓撲學(xué)，現(xiàn)代分析的研究亦做出奠基性的工作，他不僅善于利用和改革前輩的結(jié)果，更為可貴的是創(chuàng)造了一系列獨具特色的方

9、法，最重要的是他敢于向傳統(tǒng)挑戰(zhàn)的勇氣和大膽探索的精神，令十九世紀二十世紀之交的數(shù)學(xué)界和哲學(xué)界感到震驚。他的偉大工作開始并不被整個數(shù)學(xué)界接受，雖然一些偉大數(shù)學(xué)家給予他的工作高度評價和支持，但他仍遭受不公正的非難和抵毀，其中包括他的老師、很有權(quán)勢的數(shù)學(xué)家克羅尼克的強烈反對，甚至使康托爾不能在柏林大學(xué)任教。這些使康托爾一次次處于精神分裂癥的折磨之中。但康托爾矢志不渝，終于在1904年獲得英國皇家學(xué)會授予他的最高榮譽西爾維斯特獎，這標志著他的工作得到承認。作為偉大的探索者，康托爾為人類留下了不朽的成就，他豐富的想象力，深刻的數(shù)學(xué)哲學(xué)思想，創(chuàng)造性的方法，尤其是為真理而獻身的精神為后人樹立了光輝的典范，“

10、康托爾和他代表的一切是永存的，未來的一代將從中深受教益?！?918年1月6日，康托爾在哈勒大學(xué)的精神病院中悄然去世。二、【萊布尼茲與中國】萊布尼茲生于萊比錫，8歲自學(xué)拉丁文，14歲自學(xué)希臘文，19歲獲得法國學(xué)位，同時又是外交官、哲學(xué)家、政論作家，還做過帝國宮廷顧問。他除同牛頓在數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史上基本同時最早踏進微積分的大門以外，還是數(shù)理邏輯的先驅(qū)，最早提出了邏輯學(xué)中的充足理由律；相當準確地表達了動量守恒定律，提出動量是質(zhì)量同速度的乘積；與帕斯卡計算機相對獨立的設(shè)計出第一臺能進行加、減、乘、除和開方運算的計算機。萊布尼茲的時代，正是中國清初康熙時代。當時西方大批傳教士相繼來華，在客觀上，西方的天文

11、、歷法、數(shù)學(xué)以及其他自然科學(xué)，經(jīng)過這些傳教士傳入中國，同時，大量的中國古代文化典籍、儒家學(xué)說以及康熙皇帝的情況也被傳教士介紹給西方。在華教士同西方的書信往來，促進了歐洲同中國的互相了解，并使許多歐洲人產(chǎn)生了對中國的向往。萊布尼茲就是對中國發(fā)生極大興趣的一個。他雖然沒有到過中國，但對中國文化了解得相當全面，從火藥、造紙到養(yǎng)蠶、紡織，從醫(yī)學(xué)、印染到冶金、航海，從化學(xué)、農(nóng)業(yè)到天文、地理，從語言、文學(xué)到歷史、哲學(xué)，甚至中國人的生活方式，在保存下來的他的書信中，談到中國的就有二百多封。1679年，萊布尼茲出版了一本文集，叫中國的最新消息。他在書中提出和論述了這樣的觀點：歐洲和中國各有所長，應(yīng)該進行相互有利的交流。他說，在數(shù)學(xué)、化學(xué)和醫(yī)學(xué)等學(xué)科方面，歐洲占優(yōu)勝地位，但在實踐方面，中國遠遠超過歐洲。特別是中國保存了幾千年的古老文化和圣賢思想。萊布尼茲認為“伏羲圖是流傳于宇宙間科學(xué)中最古的紀念物”。他說，中國人千年來不可索解的易象之謎得到了新的數(shù)理解釋。為此，他寫了一篇論文關(guān)于僅用0和1兩個記號的二進制算術(shù)的說明并附有其效用及關(guān)于據(jù)此解釋中國伏羲圖的探討。這說明萊布尼茲把伏羲圖看作了他的算術(shù)二進制的最好驗證，使他研究了26年之久的二進制有了定論。他的二進制為以后的計算機原理奠定了基礎(chǔ)。難怪萊布尼茲臨終時追憶他看到伏羲圖時的經(jīng)過和驚喜時說：“我自己成