新意不斷亮點(diǎn)頻現(xiàn) 高考數(shù)學(xué)函數(shù)題解析

1、.新意不斷 亮點(diǎn)頻現(xiàn)-2007年高考函數(shù)題賞析許曉進(jìn) 共青團(tuán)安溪縣委員會 362400“以能力立意”是新高考數(shù)學(xué)命題的指導(dǎo)思想高考在考查數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識的同時(shí)，注重?cái)?shù)學(xué)學(xué)科的內(nèi)在聯(lián)系和知識的綜合性，不刻意追求知識的覆蓋面從學(xué)科的整體高度和思維價(jià)值的高度考慮問題，在知識網(wǎng)絡(luò)的“交匯點(diǎn)”處設(shè)計(jì)試題，是2007年高考數(shù)學(xué)命題的一大亮點(diǎn)，而函數(shù)作為高中數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容，許多知識都可與其建立聯(lián)系，從而圍繞這根紅線設(shè)計(jì)出了一大批內(nèi)涵豐富、立意新穎、表述脫俗、背景鮮活、設(shè)問獨(dú)特的好試題下面分析函數(shù)試題的幾個(gè)新亮點(diǎn) 亮點(diǎn)1：以圖像和表格形式呈現(xiàn)函數(shù)問題，考查學(xué)生對函數(shù)定義本質(zhì)的理解函數(shù)的表示形式主要有三種形式，即表

2、格、圖像和解析式，而表格和圖像兩種形式表達(dá)函數(shù)則較為直觀、形象，這樣命題既考查考生對函數(shù)定義的理解，又考查考生的閱讀理解能力和分析、轉(zhuǎn)化、解決問題的能力，似有“返璞歸真”之意，體現(xiàn)高考對基礎(chǔ)知識的考查力度和考查形式（毫克）（小時(shí)）例1（湖北文理）為了預(yù)防流感，某學(xué)校對教室用藥熏消毒法進(jìn)行消毒已知藥物釋放過程中，室內(nèi)每立方米空氣中的含藥量（毫克）與時(shí)間（小時(shí)）成正比；藥物釋放完畢后，與的函數(shù)關(guān)系式為（為常數(shù)），如圖所示據(jù)圖中提供的信息，回答下列問題：（I）從藥物釋放開始，每立方米空氣中的含藥量（毫克）與時(shí)間（小時(shí)）之間的函數(shù)關(guān)系式為；（II）據(jù)測定，當(dāng)空氣中每立方米的含藥量降低到毫克以下時(shí)，學(xué)生

3、方可進(jìn)教室，那么， 藥物釋放開始，至少需要經(jīng)過小時(shí)后，學(xué)生才能回到教室解析：（I）由題意和圖示，當(dāng)時(shí)，可設(shè)（為待定系數(shù)），由于點(diǎn)在直線上，將其代入解得；同理，當(dāng)時(shí)，可得 為所求（II）由題意可得，即得或或，由題意至少需要經(jīng)過小時(shí)后，學(xué)生才能回到教室點(diǎn)評：本題屬于閱讀理解型試題，主要考查正比例函數(shù)、指數(shù)型函數(shù)、分段函數(shù)的基本知識以及數(shù)形結(jié)合思想和待定系數(shù)的方法，考查考生的閱讀理解能力、識圖能力、運(yùn)算能力和運(yùn)用函數(shù)思想解決實(shí)際應(yīng)用問題的能力本題圖文并茂，形象直觀，以圖像呈現(xiàn)內(nèi)容，讓考生從圖像當(dāng)中提煉出有用信息，并加以解決，避免知識單一化，實(shí)現(xiàn)知識的整合例2（北京理）已知函數(shù)，分別由下表給出1231

4、31123321則的值為；滿足的的值是解析：=；當(dāng)x=1時(shí)，不滿足條件；當(dāng)x=2時(shí)，滿足條件；當(dāng)x=3時(shí)，不滿足條件 只有x=2時(shí)，符合條件點(diǎn)評：本題形式新穎、靈活，以表格形式出現(xiàn)，主要考查考生對圖表的識別和理解能力，考查函數(shù)的基本問題，屬于送分題亮點(diǎn)2：以立體幾何為載體考查函數(shù)問題，實(shí)現(xiàn)知識間的“交匯融合”例3（廣東理）如圖1所示，等腰三角形ABC的底邊AB=，高CD=3，點(diǎn)E是線段BD上異于B、D的動點(diǎn)，點(diǎn)F在BC邊上，且EFAB，現(xiàn)沿EF將BEF折起到PEF的位置，使PEAE，記BE，表示四棱錐P-ACEF的體積 （1）求的表達(dá)式； （2）當(dāng)為何值時(shí)，V(x)取得最大值？ （3）當(dāng)取得最

5、大值時(shí)，求異面直線AC與PF所成角的余弦值 圖1解析：（1）由折起的過程可知，PE平面ABC，易得：，V(x)=（）（2），所以時(shí)， ，V(x)單調(diào)遞增；時(shí) ，單調(diào)遞減；因此時(shí)，取得最大值（3）過F作MF/AC交AD與M,則，PM=，在PFM中， ，異面直線AC與PF所成角的余弦值為點(diǎn)評：本題主要考查函數(shù)、函數(shù)極值、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用、幾何體體積計(jì)算、空間兩異面直線所成角的計(jì)算等基礎(chǔ)知識，考查數(shù)形結(jié)合思想以及空間想象能力、邏輯推理能力和運(yùn)算求解能力本題以立體幾何搭建平臺，首先建立函數(shù)關(guān)系，是解決本題的關(guān)鍵，然后以導(dǎo)數(shù)作為工具求最值，實(shí)現(xiàn)知識的遷移和應(yīng)用，思維跨度比較大，但順利自然，貼切而又生動，真正

6、實(shí)現(xiàn)了知識之間的融合與交匯，考查了學(xué)生的綜合思維品質(zhì)和駕馭數(shù)學(xué)知識解決數(shù)學(xué)問題的能力另外，第（3）問還可以用向量方法去解決，此處略例4（湖南理）如圖2，某地為了開發(fā)旅游資源，欲修建一條連接風(fēng)景點(diǎn)和居民區(qū)的公路，點(diǎn)所在的山坡面與山腳所在水平面所成的二面角為（），且，點(diǎn)到平面的距離（km）沿山腳原有一段筆直的公路可供利用從點(diǎn)到山腳修路的造價(jià)為萬元/km，原有公路改建費(fèi)用為萬元/km當(dāng)山坡上公路長度為km（）時(shí)，其造價(jià)為萬元已知，（I）在上求一點(diǎn)，使沿折線修建公路的總造價(jià)最?。唬↖I） 對于（I）中得到的點(diǎn)，在上求一點(diǎn)，使沿折線修建公路的總造價(jià)最?。↖II）在上是否存在兩個(gè)不同的點(diǎn)，使沿折線修建公路

7、的總造價(jià)小于（II）中得到的最小總造價(jià)，證明你的結(jié)論AEDBHP圖2解析：（I）如圖3，由三垂線定理逆定理知，所以是山坡與所成二面角的平面角，則，設(shè)，則記總造價(jià)為萬元，據(jù)題設(shè)有當(dāng)，即時(shí)，總造價(jià)最?。↖I）設(shè)，總造價(jià)為萬元， 圖3根據(jù)題設(shè)有則，由，得當(dāng)時(shí)，在內(nèi)是減函數(shù)；當(dāng)時(shí)，在內(nèi)是增函數(shù)故當(dāng)，即（km）時(shí)總造價(jià)最小，且最小總造價(jià)為萬元（III）解法1：不存在這樣的點(diǎn)，事實(shí)上，在上任取不同的兩點(diǎn)，為使總造價(jià)最小，顯然不能位于 與之間故可設(shè)位于與之間，且=，總造價(jià)為萬元，則類似于（I）、（II）討論知，當(dāng)且僅當(dāng)，同時(shí)成立時(shí)，上述兩個(gè)不等式等號同時(shí)成立，此時(shí)，取得最小值，點(diǎn)分別與點(diǎn)重合，所以不存在這樣

8、的點(diǎn) ，使沿折線修建公路的總造價(jià)小于（II）中得到的最小總造價(jià)解法2：同解法1得當(dāng)且僅當(dāng)且，即同時(shí)成立時(shí)，取得最小值，以上同解法1點(diǎn)評：本題以實(shí)際問題為出發(fā)點(diǎn)，以立體幾何為背景和載體，主要考查函數(shù)的基本性質(zhì)及用導(dǎo)數(shù)求極值的思想方法，考查應(yīng)用能力和計(jì)算能力這種命題形式打破了以往純立體幾何和純函數(shù)問題命題的格局，使學(xué)生思考的方法和范圍超越了固有的思維空間，使問題本身的綜合性得到進(jìn)一步加強(qiáng)，是一道具有較高區(qū)分度的試題，也為高校選拔優(yōu)秀人才提供了很好的素材將函數(shù)問題嵌入立體幾何問題中，使問題情景生動而又別致新穎，使函數(shù)的基礎(chǔ)知識提升到一個(gè)新的高度，真正體現(xiàn)了函數(shù)與其它知識“交匯”的新特點(diǎn)，這是未來高考

9、對函數(shù)考查的一個(gè)新方向亮點(diǎn)3：以解析幾何為背景考查函數(shù)問題，實(shí)現(xiàn)知識間的縱向整合與碰撞例5（北京理）如圖4，有一塊半橢圓形鋼板，其長半軸長為，短半軸長為，計(jì)劃將此鋼板切割成等腰梯形的形狀，下底是半橢圓的短軸，上底的端點(diǎn)在橢圓上，記，梯形面積為（I）求面積以為自變量的函數(shù)式，并寫出其定義域；（II）求面積的最大值 圖4 圖5解析：（I）依題意，以的中點(diǎn)為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系（如圖5），則點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，點(diǎn)的縱坐標(biāo)滿足方程，解得，其定義域?yàn)椋↖I）記，則令，得因?yàn)楫?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，所以是的最大值因此，當(dāng)時(shí)，也取得最大值，最大值為，即梯形面積的最大值為點(diǎn)評：本題是一道靚題，以解析幾何為原材料，考查函數(shù)的基礎(chǔ)

10、知識及導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，考查最值的求法，將函數(shù)與解析幾何兩塊主體內(nèi)容有機(jī)地滲透和聯(lián)系在一起這種在交匯點(diǎn)設(shè)計(jì)的試題，注重內(nèi)容的聯(lián)系性和知識的綜合性，既能增加知識的考查點(diǎn)，又能從學(xué)科整體的高度和思維價(jià)值的高度考慮問題，能對基礎(chǔ)知識考查達(dá)到必要深度，可謂視角獨(dú)特、回味無窮亮點(diǎn)4：以函數(shù)為主線和出發(fā)點(diǎn)，考查函數(shù)、不等式、導(dǎo)數(shù)、二項(xiàng)式定理、組合數(shù)計(jì)算公式等多個(gè)內(nèi)容，實(shí)現(xiàn)知識大聚會例6（四川理）設(shè)函數(shù)()當(dāng)x=6時(shí),求的展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)；()對任意的實(shí)數(shù)x,證明；()是否存在,使得恒成立?若存在,試證明你的結(jié)論并求出a的值；若不存在,請說明理由解析：（）利用二項(xiàng)展開式的有關(guān)結(jié)論知，該展開式中二項(xiàng)式系數(shù)

11、最大的項(xiàng)是第4項(xiàng)，這項(xiàng)是（）證法1：因證法2：因，而，故只需對和進(jìn)行比較令，有，由，得因?yàn)楫?dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，所以在處有極小值故當(dāng)時(shí)，從而有，亦即，故有恒成立所以，原不等式成立（）對，且，有又因，故，從而有成立，即存在，使得恒成立點(diǎn)評：本題將函數(shù)、不等式、導(dǎo)數(shù)、二項(xiàng)式定理、組合數(shù)計(jì)算公式等多個(gè)內(nèi)容融為一體，考查綜合推理論證與分析解決問題的能力及創(chuàng)新意識本題打破“條件完備，結(jié)論明確”的命題框架，設(shè)計(jì)“條件不完備或結(jié)論不明確”的開放性試題，重在考查學(xué)生的思維品質(zhì)和進(jìn)行探究性學(xué)習(xí)的能力，屬于難度較大，綜合性較強(qiáng)，知識點(diǎn)較多的試題已知函數(shù)的結(jié)構(gòu)特征注定了后繼問題的設(shè)置，這樣既看到了函數(shù)的“

12、大度”和“包容”，又開拓了函數(shù)內(nèi)容的“視野”廣泛性，這些都無不顯示出命題者的智慧，也為今后高考函數(shù)部分的命題提供了一個(gè)思維方向和模板亮點(diǎn)5：以函數(shù)為生命線，與方程聯(lián)袂，考查函數(shù)、方程、不等式、數(shù)列等知識例7（浙江文）已知 (I)若k2，求方程的解； (II)若關(guān)于x的方程在(0，2)上有兩個(gè)解x1，x2，求k的取值范圍，并證明解析：（）當(dāng)k2時(shí)，當(dāng)時(shí)，即或時(shí)，方程化為，解得，因?yàn)椋噬崛?，所以?dāng)時(shí)，即時(shí)，方程化為，解得由得當(dāng)k2時(shí)，方程的解所以或 (II)不妨設(shè)0x1x22，因?yàn)?，所以在?,1上是單調(diào)函數(shù)，故在（0,1上至多一個(gè)解若1x1x22，則x1x20，故不符題意，因此0x11x22由

13、得，所以；由得，所以；故當(dāng)時(shí)，方程在(0，2)上有兩個(gè)解當(dāng)0x11x22時(shí)，由此兩式消去k 得，即，因?yàn)閤22，所以點(diǎn)評：本題主要考查函數(shù)的基本性質(zhì)、方程與函數(shù)的關(guān)系等基礎(chǔ)知識，以及綜合運(yùn)用所學(xué)知識、分類討論等思想方法分析和解決問題的能力需要考生有較扎實(shí)的理論知識及較強(qiáng)的分析問題的能力，同時(shí)要具備良好的運(yùn)算能力本題以函數(shù)作為主線，與方程聯(lián)袂，以求參數(shù)的取值范圍和證明不等式為最終歸宿，充分體現(xiàn)了主干知識在高考中的地位和要求，考查考生的綜合數(shù)學(xué)素養(yǎng)和各種能力例8（廣東文）已知函數(shù),是方程的兩個(gè)根(),是的導(dǎo)數(shù),設(shè) (1)求的值；(2)已知對任意的正整數(shù)有,記,求數(shù)列的前項(xiàng)和解析：(1)由已知條件及

14、求根公式得, (2)， 數(shù)列是首項(xiàng),公比為2的等比數(shù)列， 點(diǎn)評：本題主要考查函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、一元二次方程、對數(shù)、數(shù)列等基礎(chǔ)知識，考查合情推理、化歸與轉(zhuǎn)化、特殊與一般的數(shù)學(xué)思想方法以及抽象概括能力、邏輯推理論證能力、運(yùn)算求解能力和創(chuàng)新意識等本題以考生熟悉的一元二次方程作為基礎(chǔ)，聯(lián)系函數(shù)、導(dǎo)數(shù)和數(shù)列知識，使問題的綜合性得到進(jìn)一步加強(qiáng)，真正體現(xiàn)優(yōu)秀考題的選拔功能亮點(diǎn)6：以函數(shù)作平臺，以導(dǎo)數(shù)作工具，考查線性規(guī)劃問題例9（全國卷文）已知函數(shù)在處取得極大值，在處取得極小值，且（）證明；（）若，求的取值范圍解析：求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（）由函數(shù)在處取得極大值，在處取得極小值，知是的兩個(gè)根所以，當(dāng)時(shí)，為增函數(shù)，由，得（）在

15、題設(shè)下，等價(jià)于即，化簡得，此不等式組表示的區(qū)域?yàn)槠矫嫔先龡l直線，和所圍成的的內(nèi)部，其三個(gè)頂點(diǎn)分別為：和，在這三點(diǎn)的值依次為，所以的取值范圍為ba2124O點(diǎn)評：本題主要考查了函數(shù)導(dǎo)數(shù)、極大值與極小值、方程的根解問題以及利用線性規(guī)劃來求取值范圍問題，考查了運(yùn)算求解能力、知識遷移能力和數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法本題選取了全新的角度，以函數(shù)的知識作為平臺，引入極值，借導(dǎo)數(shù)這一工具來考查線性規(guī)劃問題，將函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、線性規(guī)劃融為一體，使得新增的導(dǎo)數(shù)和線性規(guī)劃知識有機(jī)結(jié)合，既使問題有了新意，又增加了題目的含金量，更顯示出高考壓軸題目的“高端”之處全新的問題情景，對學(xué)生獨(dú)立獲取信息、加工信息和信息遷移的能力是一個(gè)考驗(yàn)，具有極大的挑戰(zhàn)性，充分體現(xiàn)了“學(xué)會捕捉問題中的有用信息，進(jìn)