初中幾何輔助線的規(guī)律

1、初中幾何輔助線的規(guī)律初中幾何輔助線的規(guī)律(一 )線、角、相交線、平行線規(guī)律 1如果平面上有n(n≥2)個(gè)點(diǎn)，其中任何三點(diǎn)都不在同一直線上，那么每?jī)牲c(diǎn)畫一條直線，一共可以畫出n(n-1)條。規(guī)律2平面上的n條直線最多可把平面分成n(n+1)+1個(gè)部分。規(guī)律3如果一條直線上有n 個(gè)點(diǎn)， 那么在這個(gè)圖形中共有線段的條數(shù)為n(n-1)條。規(guī)律 4線段(或延長(zhǎng)線)上任一點(diǎn)分線段為兩段，這兩條線段的中點(diǎn)的距離等于線段長(zhǎng)的一半。規(guī)律5有公共端點(diǎn)的n條射線所構(gòu)成的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)一共有n(n-1)個(gè)。規(guī)律6如果平面內(nèi)有n 條直線都經(jīng)過同一點(diǎn)，則可構(gòu)成小于平角的角共有 2n(n-1)個(gè)。規(guī)律7如果平面內(nèi)有n條直

2、線都經(jīng)過同一點(diǎn)，則可構(gòu)成n(n-1)對(duì)對(duì)頂角規(guī)律8平面上若有n(n≥3)個(gè)點(diǎn)，任意三個(gè)點(diǎn)不在同一直線上，過任意三點(diǎn)作三角形一共可作出 n(n-1)(n-2)個(gè)。規(guī)律9互為鄰補(bǔ)角的兩個(gè)角平分線所成的角的度數(shù)為90。規(guī)律10平面上有n條直線相交，最多交點(diǎn)的個(gè)數(shù)為 n(n-1)個(gè)。規(guī)律11互為補(bǔ)角中較小角的余角等于這兩個(gè)互為補(bǔ)角的角的差的一半。規(guī)律12當(dāng)兩直線平行時(shí)，同位角的角平分線互相平行，內(nèi)錯(cuò)角的角平分線互相平行，同旁內(nèi)角的角平分線互相垂直。規(guī)律13已知AB / DE,如圖，規(guī)律如下：規(guī)律14成 “ 8字形的兩個(gè)三角形的一對(duì)內(nèi)角平分線相交所成的角等于另”兩個(gè)內(nèi)角和的一半。三角形部分規(guī)律 1

3、5在利用三角形三邊關(guān)系證明線段不等關(guān)系時(shí)，如果直接證不出來， 可連結(jié)兩點(diǎn)或延長(zhǎng)某邊構(gòu)造三角形，使結(jié)論中出現(xiàn)的線段在一個(gè)或幾個(gè)三角形中，再利用三邊關(guān)系定理及不等式性質(zhì)證題。注意： 利用三角形三邊關(guān)系定理及推論證題時(shí)，常通過引輔助線，把求證的量（或與求證有關(guān)的量）移到同一個(gè)或幾個(gè)三角形中去然后再證題。規(guī)律 16三角形的一個(gè)內(nèi)角平分線與一個(gè)外角平分線相交所成的銳角，等于第三個(gè)內(nèi)角的一半。規(guī)律 17三角形的兩個(gè)內(nèi)角平分線相交所成的鈍角等于90o加上第三個(gè)內(nèi)角的一半。規(guī)律 18三角形的兩個(gè)外角平分線相交所成的銳角等于90o 減去第三個(gè)內(nèi)角的一半。規(guī)律 19從三角形的一個(gè)頂點(diǎn)作高線和角平分線，它們所夾的角

4、等于三角形另外兩個(gè)角差（的絕對(duì)值）的一半。注意： 同學(xué)們?cè)趯W(xué)習(xí)幾何時(shí)，可以把自己證完的題進(jìn)行適當(dāng)變換，從而使自己通過解一道題掌握一類題，提高自己舉一反三、靈活應(yīng)變的能力。規(guī)律 20在利用三角形的外角大于任何和它不相鄰的內(nèi)角證明角的不等關(guān)系時(shí)，如果直接證不出來，可連結(jié)兩點(diǎn)或延長(zhǎng)某邊，構(gòu)造三角形，使求證的大角在某個(gè)三角形外角的位置上，小角處在內(nèi)角的位置上，再利用外角定理證題。規(guī)律 21有角平分線時(shí)常在角兩邊截取相等的線段，構(gòu)造全等三角形。規(guī)律 22有以線段中點(diǎn)為端點(diǎn)的線段時(shí)，常加倍延長(zhǎng)此線段構(gòu)造全等三角形。規(guī)律23在三角形中有中線時(shí)，常加倍延長(zhǎng)中線構(gòu)造全等三角形。規(guī)律24截長(zhǎng)補(bǔ)短作輔助線的方法截長(zhǎng)

5、法：在較長(zhǎng)的線段上截取一條線段等于較短線段;補(bǔ)短法：延長(zhǎng)較短線段和較長(zhǎng)線段相等.這兩種方法統(tǒng)稱截長(zhǎng)補(bǔ)短法。當(dāng)已知或求證中涉及到線段a、 b、 c、 d 有下列情況之一時(shí)用此種方法： ab ab = c ab = c d規(guī)律 25證明兩條線段相等的步驟：觀察要證線段在哪兩個(gè)可能全等的三角形中，然后證這兩個(gè)三角形全等。若圖中沒有全等三角形，可以把求證線段用和它相等的線段代換，再證它們所在的三角形全等。如果沒有相等的線段代換，可設(shè)法作輔助線構(gòu)造全等三角形。規(guī)律 26在一個(gè)圖形中，有多個(gè)垂直關(guān)系時(shí)，常用同角（等角）的余角相等來證明兩個(gè)角相等。規(guī)律 27三角形一邊的兩端點(diǎn)到這邊的中線所在的直線的距離相等

6、。初中幾何輔助線的規(guī)律（二 ）規(guī)律 28條件不足時(shí)延長(zhǎng)已知邊構(gòu)造三角形。規(guī)律29連接四邊形的對(duì)角線，把四邊形問題轉(zhuǎn)化成三角形來解決問題。規(guī)律30有和角平分線垂直的線段時(shí)，通常把這條線段延長(zhǎng)?？蓺w結(jié)為 “角分垂等腰歸”。規(guī)律 31當(dāng)證題有困難時(shí)，可結(jié)合已知條件，把圖形中的某兩點(diǎn)連接起來構(gòu)造全等三角形。規(guī)律 32當(dāng)證題缺少線段相等的條件時(shí)，可取某條線段中點(diǎn)，為證題提供條件。規(guī)律 33有角平分線時(shí)，常過角平分線上的點(diǎn)向角兩邊做垂線，利用角平分線上的點(diǎn)到角兩邊距離相等證題。規(guī)律 34有等腰三角形時(shí)常用的輔助線作頂角的平分線，底邊中線，底邊高線有底邊中點(diǎn)時(shí)，常作底邊中線將腰延長(zhǎng)一倍，構(gòu)造直角三角形解題常

7、過一腰上的某一已知點(diǎn)做另一腰的平行線常過一腰上的某一已知點(diǎn)做底的平行線常將等腰三角形轉(zhuǎn)化成特殊的等腰三角形等邊三角形規(guī)律 35有二倍角時(shí)常用的輔助線構(gòu)造等腰三角形使二倍角是等腰三角形的頂角的外角平分二倍角加倍小角規(guī)律 36有垂直平分線時(shí)常把垂直平分線上的點(diǎn)與線段兩端點(diǎn)連結(jié)起來。規(guī)律 37有垂直時(shí)常構(gòu)造垂直平分線。規(guī)律 38有中點(diǎn)時(shí)常構(gòu)造垂直平分線。規(guī)律 39當(dāng)涉及到線段平方的關(guān)系式時(shí)常構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理證題。規(guī)律 40條件中出現(xiàn)特殊角時(shí)常作高把特殊角放在直角三角形中。四邊形部分規(guī)律41平行四邊形的兩鄰邊之和等于平行四邊形周長(zhǎng)的一半。規(guī)律42平行四邊形被對(duì)角線分成四個(gè)小三角形，相鄰兩個(gè)

8、三角形周長(zhǎng)之差等于鄰邊之差。規(guī)律43有平行線時(shí)常作平行線構(gòu)造平行四邊形。規(guī)律44有以平行四邊形一邊中點(diǎn)為端點(diǎn)的線段時(shí)常延長(zhǎng)此線段。規(guī)律45平行四邊形對(duì)角線的交點(diǎn)到一組對(duì)邊距離相等。規(guī)律46平行四邊形一邊（或這邊所在的直線）上的任意一點(diǎn)與對(duì)邊的兩個(gè)端點(diǎn)的連線所構(gòu)成的三角形的面積等于平行四邊形面積的一半。規(guī)律 47平行四邊形內(nèi)任意一點(diǎn)與四個(gè)頂點(diǎn)的連線所構(gòu)成的四個(gè)三角形中，不相鄰的兩個(gè)三角形的面積之和等于平行四邊形面積的一半。第 7頁(yè) /共 16頁(yè)規(guī)律 48任意一點(diǎn)與同一平面內(nèi)的矩形各點(diǎn)的連線中，不相鄰的兩條線段的平方和相等。規(guī)律 49平行四邊形四個(gè)內(nèi)角平分線所圍成的四邊形為矩形。規(guī)律50有垂直時(shí)可

9、作垂線構(gòu)造矩形或平行線。規(guī)律51直角三角形常用輔助線方法：作斜邊上的高作斜邊中線，當(dāng)有下列情況時(shí)常作斜邊中線：有斜邊中點(diǎn)時(shí)有和斜邊倍分關(guān)系的線段時(shí)規(guī)律 52正方形一條對(duì)角線上一點(diǎn)到另一條對(duì)角線上的兩端距離相等。規(guī)律53有正方形一邊中點(diǎn)時(shí)常取另一邊中點(diǎn)。規(guī)律54利用正方形進(jìn)行旋轉(zhuǎn)變換旋轉(zhuǎn)變換就是當(dāng)圖形具有鄰邊相等這一特征時(shí)，可以把圖形的某部分繞相等鄰邊的公共端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到另一位置的引輔助線方法。旋轉(zhuǎn)變換主要用途是把分散元素通過旋轉(zhuǎn)集中起來，從而為證題第 9頁(yè) /共 16頁(yè)創(chuàng)造必要的條件。旋轉(zhuǎn)變換經(jīng)常用于等腰三角形、等邊三角形及正方形中。規(guī)律 55有以正方形一邊中點(diǎn)為端點(diǎn)的線段時(shí)，常把這條線段延長(zhǎng)，構(gòu)

10、造全等三角形。規(guī)律 56從梯形的一個(gè)頂點(diǎn)作一腰的平行線，把梯形分成一個(gè)平行四邊形和一個(gè)三角形。規(guī)律 57從梯形同一底的兩端作另一底所在直線的垂線，把梯形轉(zhuǎn)化成一個(gè)矩形和兩個(gè)三角形。規(guī)律 58從梯形的一個(gè)頂點(diǎn)作一條對(duì)角線的平行線，把梯形轉(zhuǎn)化成平行四邊形和三角形。規(guī)律59延長(zhǎng)梯形兩腰使它們交于一點(diǎn)，把梯形轉(zhuǎn)化成三角形。規(guī)律60有梯形一腰中點(diǎn)時(shí)，常過此中點(diǎn)作另一腰的平行線，把梯形轉(zhuǎn)化成平行四邊形。規(guī)律 61有梯形一腰中點(diǎn)時(shí)，也常把一底的端點(diǎn)與中點(diǎn)連結(jié)并延長(zhǎng)與另一底的延長(zhǎng)線相交，把梯形轉(zhuǎn)換成三角形。第 15頁(yè) /共 16頁(yè)梯形有底的中點(diǎn)時(shí)，常過中點(diǎn)做兩腰的平行線。初中幾何輔助線的規(guī)律（三 ）規(guī)律 63

11、任意四邊形的對(duì)角線互相垂直時(shí)，它們的面積都等于對(duì)角線乘積的一半。規(guī)律 64有線段中點(diǎn)時(shí)，常過中點(diǎn)作平行線，利用平行線等分線段定理的推論證題。規(guī)律 65有下列情況時(shí)常作三角形中位線。有一邊中點(diǎn);有線段倍分關(guān)系;有兩邊（或兩邊以上）中點(diǎn)。規(guī)律 66有下列情況時(shí)常構(gòu)造梯形中位線有一腰中點(diǎn)有兩腰中點(diǎn)涉及梯形上、下底和規(guī)律67連結(jié)任意四邊形各邊中點(diǎn)所得的四邊形為平行四邊形。規(guī)律68連結(jié)對(duì)角線相等的四邊形中點(diǎn)所得的四邊形為菱形。規(guī)律69連結(jié)對(duì)角線互相垂直的四邊形各邊中點(diǎn)所得的四邊形為矩形。規(guī)律70連結(jié)對(duì)角線互相垂直且相等的四邊形各邊中點(diǎn)所得的四邊形為正方形。規(guī)律 71連結(jié)平行四邊形、矩形、菱形、正方形、等

12、腰梯形各邊中點(diǎn)所得的四邊形分別為平行四邊形、菱形、矩形、正方形、菱形。規(guī)律 72等腰梯形的對(duì)角線互相垂直時(shí)，梯形的高等于兩底和的一半（或中位線的長(zhǎng)）。規(guī)律73等腰梯形的對(duì)角線與底構(gòu)成的兩個(gè)三角形為等腰三角形。規(guī)律74如果矩形對(duì)角線相交所成的鈍角為120o,則矩形較短邊是對(duì)角線長(zhǎng)的一半。規(guī)律75梯形的面積等于一腰的中點(diǎn)到另一腰的距離與另一腰的乘積。規(guī)律76若菱形有一內(nèi)角為120，則菱形的周長(zhǎng)是較短對(duì)角線長(zhǎng)的4倍。相似形和解直角三角形部分規(guī)律 77當(dāng)圖形中有叉線（基本圖形如下）時(shí)，常作平行線。規(guī)律 78有中線時(shí)延長(zhǎng)中線（有時(shí)也可在中線上截取線段）構(gòu)造平行四邊形。規(guī)律 79當(dāng)已知或求證中，涉及到以下

13、情況時(shí)，常構(gòu)造直角三角形。有特殊角時(shí)，如有 30、45、60、120、135角時(shí).涉及有關(guān)銳角三角函數(shù)值時(shí).構(gòu)造直角三角形經(jīng)常通過作垂線來實(shí)現(xiàn).規(guī)律 800、 30、 45、 60、 90角的三角函數(shù)值表。另外：0、 30、 45、 60、 90的正弦、余弦、正切值也可用下面的口訣來記憶：0可記為北京電話區(qū)號(hào)不存在，即：010不存在，90正好相反30、 45、 60可記為：1、 2、 3、 3、 2、 1 ，3、 9、 27，弦比2，切比3，分子根號(hào)別忘添.其中余切值可利用正切與余切互為倒數(shù)求得。規(guī)律 81第 17頁(yè) /共 16頁(yè)同角三角函數(shù)之間的關(guān)系:(1) .平方關(guān)系：sin?2; o+c

14、os?2; o=1(2) .倒數(shù)關(guān)系：tan % cot o=1(3) .商數(shù)關(guān)系：規(guī)律 82任意銳角的正弦值等于它的余角的余弦值;任意銳角的余弦值等于它的余角的正弦值。規(guī)律 83任意銳角的正切值等于它的余角的余切值;任意銳角的余切值等于它的余角的正切值。規(guī)律 84三角形的面積等于任意兩邊與它們夾角正弦之積的一半。規(guī)律85等腰直角三角形斜邊的長(zhǎng)等于直角邊的√2 倍。規(guī)律86在含有30角的直角三角形中，60o角所對(duì)的直角邊是30角所對(duì)的直角邊的√3 倍。(即30角所對(duì)的直角邊是幾，另一條直角邊就是幾倍√3。 )規(guī)律 87直角三角形中，如果較長(zhǎng)直角邊是較短直角邊

15、的2 倍， 則斜邊是較短直角邊的√5 倍。圓部分第 23頁(yè) /共 16頁(yè)圓中解決有關(guān)弦的問題時(shí)，常常需要作出圓心到弦的垂線段（即弦心距）這一輔助線，一是利用垂徑定理得到平分弦的條件，二是構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理解題。規(guī)律89有等弧或證弧等時(shí)常連等弧所對(duì)的弦或作等弧所對(duì)的圓心角。規(guī)律90有弦中點(diǎn)時(shí)常連弦心距。規(guī)律91證明弦相等或已知弦相等時(shí)常作弦心距。規(guī)律92有弧中點(diǎn)（或證明是弧中點(diǎn)）時(shí)，常有以下幾種引輔助線的方法：連結(jié)過弧中點(diǎn)的半徑連結(jié)等弧所對(duì)的弦連結(jié)等弧所對(duì)的圓心角規(guī)律 93圓內(nèi)角的度數(shù)等于它所對(duì)的弧與它對(duì)頂角所對(duì)的弧的度數(shù)之和的一半。規(guī)律94圓外角的度數(shù)等于它所截兩條弧的度數(shù)之差的一半。規(guī)律95有直徑時(shí)常作直徑所對(duì)的圓周角，再利用直徑所對(duì)的圓周角為直角證題。規(guī)律96有垂直弦時(shí)也常作直徑所對(duì)的圓周角。規(guī)律97有等弧時(shí)常作輔助線有以下幾種：作等弧