大學(xué)物理上課后習(xí)題答案

1、第1章質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)學(xué)P211.8 一質(zhì)點(diǎn)在xOy平面上運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)方程為：x=3t+5, y =- t2+3t 2-4.式中t以s計(jì)，x, y以n#。以時(shí)間t為變量，寫出質(zhì)點(diǎn)位置矢量的表示式；求出t=1 s時(shí)刻和t=2s時(shí)刻的位置矢量，計(jì)算這1 秒內(nèi)質(zhì)點(diǎn)的位移；計(jì)算t=0 s時(shí)刻到t = 4s時(shí)刻內(nèi)的平均速度； 求出質(zhì)點(diǎn)速度矢量表示式，計(jì)算t=4 s時(shí)質(zhì)點(diǎn)的速度；(5)計(jì)算t = 0s至h=4s內(nèi)質(zhì)點(diǎn)的平均加速度；(6)求出質(zhì)點(diǎn)加速度矢量的表示 式，計(jì)算t=4s時(shí)質(zhì)點(diǎn)的加速度(請把位置矢量、位移、平均速度、 瞬時(shí)速度、平均加速度、瞬時(shí)加速度都表示成直角坐標(biāo)系中的矢量 式)。解：(1) r (3t 5

2、)i(-t2 3t 4)j m2v v v t 1s, t 2s 時(shí)，r1 8i 0.5j m； r2 11i 4j mv v v v v r r2 r1 314.5j mv v vv v v t 0s 時(shí)，ro 51 4j ; t 4s 時(shí)，r4 171 16jv v121 20j v v 31 5j m s4v dr v v 1V vv v 一 31 (t 3)j m s ,則：v43i 7j m s dtv v vr v v v(5) t 0s 時(shí)，v0 31 3j ; t 4s 時(shí)，v4 31 7j(6) v 或1V m s2這說明該點(diǎn)只有y方向的加速度，且為恒 dt里。1.9質(zhì)點(diǎn)沿x

3、軸運(yùn)動(dòng)，其加速度和位置的關(guān)系為 a 2 6x2, a的單 位為m/s2, x的單位為m質(zhì)點(diǎn)在x=0處，速度為10m/s,試求質(zhì)點(diǎn)在任 何坐標(biāo)處的速度值。解：由 a dv dvdx vdv 得：vdv adx (2 6x2)dx dt dx dt dxvx兩邊積分 wvdv o (2 6x )dx得：v2/2 2x 2x3 50v 2 . x3 x 25 m s 11.11 一質(zhì)點(diǎn)沿半徑為1 m的圓周運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)方程為 =2+3t3,式 中 以弧度計(jì)，t以秒計(jì)，求：t = 2 s時(shí)，質(zhì)點(diǎn)的切向和法向加 速度；當(dāng)加速度的方向和半徑成45角時(shí)，其角位移是多少？解： 9t2, 18tdtdt t 2s

4、時(shí)，a R 1 18 2 36 m s 2,當(dāng)加速度方向與半徑成45角時(shí)，有：tan45 a回 1運(yùn)動(dòng)前經(jīng)過的距離為v0(U);當(dāng)t m時(shí)速度減至v0的，式中m kke為質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量。解：f kv , a f/m kv/m即：R 2 R ，亦即(9t2)2 18t,解得：t3 -9則角位移為：2 3t3 2 3 - 2.67rad91.13 一質(zhì)點(diǎn)在半徑為0.4m的圓形軌道上自靜止開始作勻角加速度 轉(zhuǎn)動(dòng)，其角加速度為=0.2 rad/s 2,求t = 2s時(shí)邊緣上各點(diǎn)的速度、法向加速度、切向加速度和合加速度。解：t 2s 時(shí)， t 0.2 20.4 rad s 1則 v R 0.4 0.4 0.

5、16 m s 1與切向夾角arctan(an. a ) 0.064 0.08 43第2章質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)2.10 質(zhì)點(diǎn)在流體中作直線運(yùn)動(dòng)，受與速度成正比的阻力kv(k為常(-)t數(shù))作用，t=0時(shí)質(zhì)點(diǎn)的速度為V。，證明：t時(shí)刻的速度為v=ve m ;k(一)t 由0到t的時(shí)間內(nèi)經(jīng)過的距離為x = (0) 1-e m ；停止k由a胃得：dv adt 分離變量得：dv vkv dv t kdt_ dt ,即 mv0 v 0 mktk t因此有：In Ine 而， ：vve-v0k tXtk t由v / 得：dx vdt v0e dt ,兩邊積分得：0 dx 0v0e dtmv0kt.x - (1 e m

6、 ) kk t質(zhì)點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)時(shí)速度為零，v v0e0,即t一8,k t.故有：x 0Voem dt m/0/k、.k _m. t mk 時(shí)，其速度為：v v0ev0ev0/e,即速度減至v 0的1 e. 一一，一一， uvv ., 一2.13作用在質(zhì)量為10 kg的物體上的力為F (10 2t)i N,式中t的單位是s, 求4s后，這物體的動(dòng)量和速度的變化，以及力給予物 體的沖量。 為了使這力的沖量為200 NJ- s,該力應(yīng)在這物體上作 用多久，試就一原來靜止的物體和一個(gè)具有初速度6jm/s的物體,回答這兩個(gè)問題。v v v v v v r (7i 6j) ( 3i 4j 16k)450.67

7、5 w21 2445 J解：若物體原來靜止，則t4iPi0Fdt 0（10 2t）idt 56kgmsi,沿 x 軸正向，若物體原來具有 6 m s 1初速，則tv v于是：P2 p P0 0 Fdt pi,同理有：V2vi, I2 11這說明，只要力函數(shù)不變，作用時(shí)間相同，則不管物體有無初 動(dòng)量，也不管初動(dòng)量有多大，那么物體獲得的動(dòng)量的增量（亦即沖量） 就一定相同，這就是動(dòng)量定理。同上理，兩種情況中的作用時(shí)間相同，即：t2I 0（10 2t）dt 10t t亦即：t2 10t 200 0, 解得t 10s, （t 20s舍去）2.17 設(shè)F合7i 6jN 0 當(dāng)一質(zhì)點(diǎn)從原點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到r 3i 4

8、j 16km時(shí)，求F所作的功。 如果質(zhì)點(diǎn)到r處時(shí)需0.6s , 試求平均功率。 如果質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量為1kg,試求動(dòng)能的變化。解：.由題知，F(xiàn)合為恒力，且r0 0由動(dòng)能定理，Ek A 45 J2.20 一根勁度系數(shù)為ki的輕彈簧A的下端，掛一根勁 度系數(shù)為k2的輕彈簧B , B的下端又掛一重物C , C的 質(zhì)量為M ,如圖。求這一系統(tǒng)靜止時(shí)兩彈簧的伸長量之 比和彈性勢能之比。解：彈簧A、B及重物C受力如題2.20圖所示平衡時(shí)， 有：Fa Fb Mg ,又 Fa k1 x1 , Fb k2 x2所以靜止時(shí)兩彈簧伸長量之比為：Xi X2 k2 ki彈性勢能之比為：殳-2 k1 X12旦Ep212k2 x

9、2 ki第3章剛體力學(xué)基礎(chǔ)v v v3.7 一質(zhì)重為m的質(zhì)點(diǎn)包于（Xi,y1）處，速度為v v vyj , 質(zhì)點(diǎn)受到一個(gè)沿x負(fù)方向的力f的作用，求相對于坐標(biāo)原點(diǎn) 的角動(dòng)量以及作用于質(zhì)點(diǎn)上的力的力矩。解：由題知，質(zhì)點(diǎn)的位矢為：r x1i y1j作用在質(zhì)點(diǎn)上的力為：f fi所以，質(zhì)點(diǎn)對原點(diǎn)的角動(dòng)量為：作用在質(zhì)點(diǎn)上的力的力矩為：Mo r f(x/ yj) ( fi) y fk3.8 哈雷彗星繞太陽運(yùn)動(dòng)的軌道是一個(gè)橢圓。它離太陽最近距離為r1 =8.75 x 100m時(shí)的速率是v1= 5.46 x 14m/s,它離太陽最遠(yuǎn)時(shí)的 速率是V2= 9.08 x 120m/s,這時(shí)它離太陽的距離 上是多少？(

10、太陽位 于橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)。) 解：哈雷彗星繞太陽運(yùn)動(dòng)時(shí)受到太陽的引力，即有心力的作用，所 以角動(dòng)量守恒；又由于哈雷彗星在近日點(diǎn)及遠(yuǎn)日點(diǎn)時(shí)的速度都與軌 道半徑垂直，故有：x Xo vxt 4 tt 3 4 3 7m t 3即有：r1 4i ,r2 7i 25.5jVx Vox 1 ； vyY。丫at6 5 3 3 11rr uv v v uv v v 即有：V2 i1 6j ,V2 i 11jvv uv v v vL1vmv14i3(i6j)2LL2 L182.5k kg mv Lv72k1 st v t v uvM dt (v f)dt00、，3 v 15 2 v v0 (4 t)i (6t

11、-) -t2)j 5jdt3vv15(4 t)kdt 82.5k kg m2 s1uv uv dL 解法(二)M ， dtr1mv1 r2mv2r1v 1V28.75 1010 5.46 10429.08 102125.26 10 m3.10平板中央開一小孔，質(zhì)量為m的小球用細(xì)線系住，細(xì)線穿過小孔后掛一質(zhì)量為M1的重物。小球作勻速圓 周運(yùn)動(dòng)，當(dāng)半徑為r。時(shí)重物達(dá)到平衡。今在 M1的下方再掛一質(zhì)量為M2的物體，如題 3.10圖。試問這時(shí)小球作勻速圓周運(yùn)動(dòng)的角 速度和半徑r為多少？解：只掛重物M1時(shí)，小球作圓周運(yùn)動(dòng)，向心力為 Mg,即：M1g mr0 02v v v3.9物體質(zhì)重為3kg, t=0

12、時(shí)包于r 4i m, v i 6j(m/s),如一包力 f 5jN作用在物體上，求3秒后， 物體動(dòng)量的變化； 相對z軸 角動(dòng)量的變化。31解：p fdt o5jdt 15j kg m s,v vv1.1 解 法(一) 由 a f/m 5/3 jN 得 ：掛上M2后，則有：（Mi M 2）g mr 2桿處于靜止?fàn)顟B(tài)，所以對 則有：A點(diǎn)的合力矩應(yīng)為零，設(shè)閘瓦厚度不計(jì),重力對圓心的力矩為零，故小球?qū)A心的角動(dòng)量守恒。F(l1 I2) N I10,F R對飛輪，按轉(zhuǎn)動(dòng)定律有S ,式中負(fù)號表小 與角速度 萬向I相反。12乂I -mR ,2FrR2 (I1I2) FImR1以F 100 N等代入上式，得:

13、3.11 飛輪的質(zhì)量m=60kg,半徑R=0.25m,繞其水平中心軸。轉(zhuǎn)動(dòng)，轉(zhuǎn)速為900 rev/min ?，F(xiàn)利用一制動(dòng)的 閘桿，在閘桿的一端加一豎直方向的制動(dòng)力 F ,可使飛輪減速。已知閘桿的尺寸如題3.12 圖所示，閘瓦與飛輪之間的摩擦系數(shù)=0.4,飛輪的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量可按勻質(zhì)圓盤計(jì)算。試求： 設(shè)F=100 N,問可使飛輪在多長時(shí)間內(nèi)停止轉(zhuǎn)動(dòng)？在這段時(shí)間里飛輪轉(zhuǎn)了幾轉(zhuǎn)？ 如果在2s內(nèi)飛輪轉(zhuǎn)速減少一半，需加多大的力F ?解：先作閘桿和飛輪的受力分析圖（如圖（b）。圖中N、N是正壓 力，F(xiàn)r、Fr是摩擦力，F(xiàn)x和Fy 是桿在A點(diǎn)轉(zhuǎn)軸處所受支承力， R是輪的重力，P是輪在。軸處 所受支承力。11|2

14、LFr N , N N . . Fr NJ-2 Fl1由此可算出自施加制動(dòng)閘開始到飛輪停止轉(zhuǎn)動(dòng)的時(shí)間為：這段時(shí)間內(nèi)飛輪的角位移為：可知在這段時(shí)間里，飛輪轉(zhuǎn)了 53.1轉(zhuǎn)。0 900 rad s 1 ,要求飛輪轉(zhuǎn)速在t 2 s內(nèi)減少一半，可知 60用上面式.所示的關(guān)系，可求出所需的制動(dòng)力為：3.13 計(jì)算題3.13圖所示系統(tǒng)中物體的加速度.設(shè)滑輪為質(zhì)量均勻 分布的圓柱體，其質(zhì)量為M半彳全為r,在繩與輪緣的摩擦力作用下 旋轉(zhuǎn)，忽略桌面與物體間的摩擦，設(shè) m=50kg, m=200 kg, M=15 kg,3g sinr=0.1 m1 2-mv02解：分別以mi、m2滑輪為研究對象，受力圖如圖(b)

15、所示.對mi、m2運(yùn)用牛頓定律，有：m2g T2 m2a ； Ti ma對滑輪運(yùn)用轉(zhuǎn)動(dòng)定律，有：T2r T1r (1Mr 2) 又a r 2由以上4個(gè)方程解得：a m一-200 97.6 ms：m1m2 M 2 5 200 15 2題 3.13(a)圖題 3.13(b)圖3.14 如題3.14圖所示，一勻質(zhì)細(xì)桿質(zhì)量為m ,長為l ,可繞過一端O的水平軸自由轉(zhuǎn)動(dòng)，桿于水平位置由靜止開,始擺下。求：舉過 ；H 弋、/ 初始時(shí)刻的角加速度； 桿轉(zhuǎn)過 角時(shí)的 ；!，角速度.解：由轉(zhuǎn)動(dòng)定律有：mgl| (1ml2), 23媽213.15 如題3.15圖所示，質(zhì)量為M，長為l的均 勻直棒，可繞垂直于棒一端

16、的水平軸 O無摩擦 地轉(zhuǎn)動(dòng)，它原來靜止在平衡位置上?，F(xiàn)有一質(zhì) 量為m的彈性小球飛來，正好在棒的下端與棒 垂直地相撞。相撞后，使棒從平衡位置處擺動(dòng) 到最大角度30處。設(shè)這碰撞為彈性碰撞，試計(jì)算小球初速 v0的值;相撞時(shí)小球受到多大的沖量？ 解：設(shè)小球的初速度為v0,棒經(jīng)小球碰撞后得到的初角速度為而小球的速度變?yōu)関 ,按題意，小球和棒作彈性碰撞，所以碰撞時(shí)遵從角動(dòng)量守恒定律和機(jī)械能守恒定律，可列式：mv0l I mvl1 2-mv2上兩式中I Ml 73 ,碰撞過程極為短暫，可認(rèn)為棒沒有顯著的角位移；碰撞后，棒從豎直位置上擺到最大角度30,按機(jī)械能守恒定律可列式：1 , 2 一 l “、I Mg

17、- (1 cos30 )22由式得:cos30)由式得：v v0ml所以：(v0 )2 ml2v0求得：v0(1I .2)I 2m由.式得：v22 I 2v0m.；6(2.3)gl 3m M12相碰時(shí)小球受到的沖量為:Fdt(mv)mvmv。由.式求得：Fdt mv mv01 -Ml3；6(2、3)gl M負(fù)號說明所受沖量的方向與初速度方向相反。3.17 一質(zhì)量為m、半徑為R勺自行車輪，假定質(zhì)量均勻分布在輪緣 上，可繞軸自由轉(zhuǎn)動(dòng)。另一質(zhì)量為 m0的子彈以速度v0射入輪緣(如 題3.17圖所示方向)。開始時(shí)輪是靜止的，在質(zhì)點(diǎn)打入后的角速度為何值用m, m0和 表示系統(tǒng)(包括輪和質(zhì)點(diǎn))最后動(dòng)能和初

18、始動(dòng)能之比。解：射入的過程對。軸的角動(dòng)量守恒：.mV0 sin(m m)R12ir m0V0 sin 2(m m)R 2,且 2(m m0)Rm0sinE%mv2 2m m03.18彈簧、定滑輪和物體的連接如題3.18圖所示，彈簧的勁度系數(shù)為2.0 N/m；定滑輪 的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量是0.5kg - m2,半徑為0.30m ,問 當(dāng)6.0 kg質(zhì)量的物體落下0.40m時(shí)，它的速 率為多大？假設(shè)開始時(shí)物體靜止而彈簧無伸 長。解：以重物、滑輪、彈簧、地球?yàn)橐幌到y(tǒng)，重物下落的過程中，機(jī) 械能守恒，以最低點(diǎn)為重力勢能零點(diǎn)，彈簧原長為彈性勢能零點(diǎn)， 貝有：mgh - mv2 11 2 1 kh2222又 v/R

19、(2mgh kh2)R2(2 6.0 9.8 0.4 2.0 0.42) 0.32故有：v mR2 I 16.0 0.32 0.52.0m s Xo A ； 過平衡位置向正向運(yùn)動(dòng);A 0.8 m s 12.51 m s 1 am22A 63.2 ms2將以上初值條件代入上式,使兩式同時(shí)成立之值即為該條件下的初位相。故有：1 oo Fm mam 0.63N E mvm. 3.16 10 J2當(dāng) Ek Ep 時(shí)，有 E 2Ep,即：1kx2 1 pkA2) 22 2A ，2 ，x Acos( tT5.8A 2Acos(tT3)A 2 ，、 x Acos( t -)T 3),x Acos3 t 勺)

20、T 42A2.2m20 t1) 8 (5 1) 32一個(gè)沿x軸作簡諧振動(dòng)的彈簧振子，振幅為 A ,周期為T ,5.9 一質(zhì)量為10 103kg的物體作諧振動(dòng)，振幅為24cm,周期為4.0s,當(dāng)t 0時(shí)位移為 24cm。求：t 0.5s時(shí)，物體所在的位置及此時(shí)所受力的大小和方向；由起始位置運(yùn)動(dòng)到x 12cm處所需的最短時(shí)間；第5章機(jī)械振動(dòng)5.7 質(zhì)量為10 103kg的小球與輕彈簧組成的系統(tǒng)，按x 0.1cos(8 t 2 /3) (SI)的規(guī)律作諧振動(dòng)，求：振動(dòng)的周期、振幅和初位相及速度與加速度的最大值；最大的回復(fù)力、振動(dòng)能量、平均動(dòng)能和平均勢能，在哪些位置上動(dòng)能 與勢能相等？t2 5s與t1

21、 1s兩個(gè)時(shí)刻的位相差；解：設(shè)諧振動(dòng)的標(biāo)準(zhǔn)方程為x Acos( t 0),則知：其振動(dòng)方程用余弦函數(shù)表示。如果t 0時(shí)質(zhì)點(diǎn)的狀態(tài)分別是:一 A . A過X 一處向負(fù)向運(yùn)動(dòng)； 過X y 處向正向運(yùn)動(dòng)。22試求出相應(yīng)的初位相，并寫出振動(dòng)方程。X Acos n解：因?yàn)?v0Asin 0在x 12cm處物體的總能量。解：由題已知 A 24 10 2m,T 4.0s, ;2 /T 0.5 rads-1又，t 0時(shí)，X0A ,0 0故振動(dòng)方程為：x 24 10 2 cos(0.5 t)m將t 0.5s代入得：x05 24 10 2cos(0.5 t)m 0.17m方向指向坐標(biāo)原點(diǎn)，即沿x軸負(fù)向。由題知，t

22、 0時(shí)，0 0; t t時(shí)，x0A2,且v 0,故t/3. t - -/- 2s3 23由于諧振動(dòng)中能量守恒，故在任一位置處或任一時(shí)刻的系統(tǒng)的總 能量均為：5.10 有一輕彈簧，下面懸掛質(zhì)量為1.0g的物體時(shí)，伸長為4.9cm。用這個(gè)彈簧和一個(gè)質(zhì)量為8.0g的小球構(gòu)成彈簧振子，將小球由平衡位置向下拉開1.0cm后，給予向上的初速度Vo 5.0cm/s,求振動(dòng)周期和振動(dòng)表達(dá)式。3m1g1.0 109.81解：由題知 k - 0.2 N m 1x14.9 10 2而t 0時(shí)，Xo1.0 10 2m,vo 5.0 102ms-1 (設(shè)向上為正)又 、悟=5，即T 1.26s .m . 8 10 3.

23、-一 2,5 、x 2 10 cos(5t )m45.11 題5.11圖為兩個(gè)諧振動(dòng)的x t曲線，試分別寫出其諧振動(dòng)方 程。解：由題5.11圖(a) , = t 0時(shí)，x o 0 , Vo 0 , o 3/2，又 A 10cm , T 2s即： rad s1 ,故 xa 0.1cos( t - )m T2A5由題5.11 圖(b);t 0時(shí)，x 0 -,Vo 0,0 23t10 時(shí)，x 0 一,vo0,023/5 . 5故 Xb 0.1cos( t )m 635.12 一輕彈簧的倔強(qiáng)系數(shù)為k,其下端懸有一質(zhì)量為 M的盤子現(xiàn)有一質(zhì)量為m的物體從離盤底h高度處自由下落到盤中并和盤子 粘在一起，于是

24、盤子開始振動(dòng)。 此時(shí)的振動(dòng)周期與空盤子作振動(dòng)時(shí)的周期有何不同？此時(shí)的振動(dòng)振幅多大？取平衡位置為原點(diǎn)，位移以向下為正，并以彈簧開始振動(dòng)時(shí)作為 計(jì)時(shí)起點(diǎn)，求初位相并寫出物體與盤子的振動(dòng)方程。解：空盤的振動(dòng)周期為2 F,落下重物后振動(dòng)周期為 ,k按所設(shè)坐標(biāo)原點(diǎn)及計(jì)時(shí)起點(diǎn)，t 0時(shí)，則0mg/k。碰撞時(shí),以m, M為一系統(tǒng)動(dòng)量守恒，即：mJ2gh (m M )v0(3) tan o 旦 I 2kh (第三象限)，所以振動(dòng)方程為 Xo, (M m)g5.13 有一單擺，擺長l 1.0m,擺球質(zhì)量m 10 10 3 、.3.2 10 cos(3.13t )rad2kg ,當(dāng)擺球 處在平衡位置時(shí)，若給小球一

25、水平向右的沖量F t 1.0 10 4kg ms,取打擊時(shí)刻為計(jì)時(shí)起點(diǎn)(t 0),求振動(dòng)的初位相和角振幅，并寫出 小球的振動(dòng)方程。解：由動(dòng)量定理，有：F t mv 0_4F t 1.010v 3m 1.01030.01 m-1 s按題設(shè)計(jì)時(shí)起點(diǎn)，并設(shè)向右為x軸正向，則知t 0時(shí),1x0 0 , v0 0.01m s0, 0 3/2又 g J98 3.13rad s 1.l . 1.02 .v 0 . 2 v 00.013 A , x0 ()3.2 10 m3.13故其角振幅：Al 3.2 10 3radm 2gh則有：v0濡下，于7H小球的振動(dòng)方程為:5.14 有兩個(gè)同方向、同頻率的簡諧振動(dòng)，

26、具合成振動(dòng)的振幅為即：cos0.20m,位相與第一振動(dòng)九/6的位相差為，已知第一振動(dòng)的振幅為 0.173m,求第二個(gè)振動(dòng)的振幅以及第一、第二兩振動(dòng)的位相差。解：由題意可做出旋轉(zhuǎn)矢量題5.14圖。由圖知A Ai2 A2 2AiAcos30(0.173)2 (0.2)2 2 0.173 0.2 出/2 , 二 A20.1m0.01設(shè)角 AAO為，則：A2A；A 2a1A2cosA2 a A2(0.173)2 (0.1)2 (0.02)22AA22 0.173 0.1即/2,這說明，A與A2間夾角為/2,即二振動(dòng)的位相差為/25.16 一質(zhì)點(diǎn)同時(shí)參與兩個(gè)在同一直線上的簡諧振動(dòng)，振動(dòng)方程為:試分別用旋

27、轉(zhuǎn)矢量法和振動(dòng)合成法求合振動(dòng)的振動(dòng)幅和初相，并寫 出諧振方程。-5.斛：.一()，A A1 A2 0.1m66 ,6其振動(dòng)方程為：x 0.1cos(2t6)m(作圖法略)第6章機(jī)械波6.8 已知波源在原點(diǎn)的一列平面簡諧波，波動(dòng)方程為 y=Acos( Bt Cx),其中A , B , C為正值恒量。求：波的振幅、波速、頻率、周期與波長；寫出傳播方向上距離波源為l處一點(diǎn)的振動(dòng)方程； 任一時(shí)刻，在波的傳播方向上相距為 d的兩點(diǎn)的位相差。解：已知平面簡諧波的波動(dòng)方程：y Acos(Bt Cx) (x 0)將上式與波動(dòng)方程的標(biāo)準(zhǔn)形式：y Acos(2 t 2)比較，可知：波振幅為A ,頻率-B ,波長

28、2，波速u -,2CC波動(dòng)周期T - -oB丁將x l代入波動(dòng)方程即可得到該點(diǎn)的振動(dòng)方程：y Acos(Bt Cl)2因任一時(shí)刻t同一波線上兩點(diǎn)之間的包相差為：一 (x2 x1)將乂2 x1 d,及2代入上式，即得： Cd 06.9 沿繩子傳播的平面簡諧波的波動(dòng)方程為y =0.05cos(10t 4 x),式中x, y以米計(jì)，t以秒計(jì)。求：繩子上各質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)時(shí)的最大速度和最大加速度； 求x=0.2m處質(zhì)點(diǎn)在t=1s時(shí)的位相，它是原點(diǎn)在哪一時(shí)刻的位相？ 這一位相所代表的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)在t=1.25s時(shí)刻到達(dá)哪一點(diǎn)？2解：將題給萬程與標(biāo)準(zhǔn)式y(tǒng) Acos( t J x)相比，得：振幅A 0.05m,圓頻率

29、10 ,波長 0.5m,波速 u 2.5m/So2純上各點(diǎn)的最大振速，最大加速度分別為：x 0 2. x 0.2 m處的振動(dòng)比原點(diǎn)落后的時(shí)間為：x - 0.08 su 2.5故x 0.2 m,t 1s時(shí)的位相就是原點(diǎn)(x 0),在t0 1 0.08 0.92 s時(shí)的位相，即： 9.2尼設(shè)這一位相所代表的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)在t 1.25s時(shí)刻到達(dá)x點(diǎn)，則，6.11一列平面余弦波沿x軸正向傳播，波速為5 m/s ,波長為2m原點(diǎn)處質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)曲線如題6.11圖所示。寫出波動(dòng)方程；作出t=0時(shí)的波形圖及距離波源0.5m處質(zhì)點(diǎn)的 振動(dòng)曲線。解：由題 6.11(a)ffl知，A 0.1 m, 了fQ)且 t 0時(shí)，

30、y 0 , Vo 0, 0 ,-/V2 - V又 工 2 2.5 Hz ,貝U252取 y Acos (t -)0,則波動(dòng)方程為：y 0.1cos5 (t -)u52m. t 0時(shí)的波形如題6.11(b)圖x 0.5m代入波動(dòng)方程，得該點(diǎn)處的振動(dòng)方程為： 如題6.11(c)圖所示。t 0 時(shí)，yo 0,Vo 0,解：由題6.12圖可知，A 0.1 m ,4 m ,又,6.12 如題6.12圖所示，已知t=0時(shí)和t=0.5s時(shí)的波形曲線分別為圖 中曲線(a)和(b),周期T0.5s,波沿x軸正向傳播，試根據(jù)圖中繪出 的條件求： 波動(dòng)方程；P點(diǎn)的振動(dòng)方程。x波動(dòng)方程為：y 0.1cos10 (t

31、) m103一 x 1u2.而 u2 ms,0.5Hz-2t 0.54故波動(dòng)方程為：y 0.1 cos (t x) m 22A由圖知，t 0 時(shí)，yP ,vP 2落后于0點(diǎn)，故取負(fù)值)0, P(P點(diǎn)的位相應(yīng) 3 P點(diǎn)振動(dòng)方程為yp 0.1cos(10 t3)將xp 1m代入上式，即得P點(diǎn)振動(dòng)方程為:6.13 一列機(jī)械波沿x軸正向傳播, 已知波速為10 m/s；波長為2m 求：由 10 (t ) |t1034 一- 解得：x31.67 m波動(dòng)方程;P點(diǎn)的振動(dòng)方程及振動(dòng)曲線;P點(diǎn)的坐標(biāo);P點(diǎn)回到平衡位置所需的最解：由題6.13圖可知A 0.1m,t=0時(shí)的波形如題6.13圖所示,根據(jù)的結(jié)果可作出旋

32、轉(zhuǎn)矢量圖如題6.13圖(a),則由P點(diǎn)回到平衡位置應(yīng)經(jīng)歷的位相角，所屬最短時(shí)間為：t f /6.14 如題6.14圖所示，有一平面簡諧波在空間傳播，已知P點(diǎn)的振動(dòng)方程為yP=A cos( t 0)。 分別就圖中給出的兩種坐標(biāo)寫出其波動(dòng)方程;t 0時(shí),A -.y0,v0 0 ,-02105 Hz 22，一,由題知 2m, u 10m s-1 , 310 寫出距P點(diǎn)距離為b的Q點(diǎn)的振動(dòng)方程。解：如題6.14圖(a),則波動(dòng)方程為：y Acos (t - )0u u如圖(b),則波動(dòng)方程為：y Acos (t -)0u如題6.14圖(a),則Q點(diǎn)的振動(dòng)方程為：AQ Acos (t b) 0 u如題6

33、.14圖(b),則Q點(diǎn)的振動(dòng)方程為：AQ Acos (t b) 0 u6.17 一平面余弦波，沿直徑為14cm勺圓柱形管傳播，波的強(qiáng)度為18.0 X 10-3J/(m2 - s),頻率為300 Hz,波速為300m/s,求波的平均 能量密度和最大能量密度.3解：I wu . w 18.0 -0 6 10 5 J m 3 ,u300,6.18 如題6.18圖所示，G和S2為兩相干波源，振幅均為 A,相距/4, S較S2位相超前/2,求：S外側(cè)各點(diǎn)的合振幅和強(qiáng)度；S2外側(cè)各點(diǎn)的合振幅和強(qiáng)度 (r2r2)0, AA1A2A,I A24A12246.20 一平面簡諧波沿x軸正向傳播，如題6.20圖所示

34、。已知振幅 為A ,頻率為，波速為u 。 若t=0時(shí)，原點(diǎn)O處質(zhì)元正好由 平衡位置向位移正方向運(yùn)動(dòng)，寫出此 波的波動(dòng)方程；若從分界面反射的波的振幅與入 射波振幅相等，試寫出反射波的波動(dòng) 方程，并求x軸上 因入射波與反射 波干涉而靜止的各點(diǎn)的位置。解：t 0 時(shí)，y 0,v0 0,x一，故波動(dòng)方程為：y Acos2 (t -) m2u 2若仍以234解：(1)在S外側(cè)，距離S為1的點(diǎn)，SS2傳到該P(yáng)點(diǎn)引起的位相差為：22八r1 (r1 )，-A A1 A1 0, I A 0(2)在S2外側(cè).距離S2為r1的點(diǎn)，S S2傳到該點(diǎn)引起的位相差：入射波傳到反射面時(shí)的振動(dòng)位相為(即將x國 代入)423一

35、 - 一，再考慮到波由波疏入射而在波督、界面上反射，存在42半波損失，所以反射波在界面處的位相為： 3-42。點(diǎn)為原點(diǎn)，則反射波在。點(diǎn)處的位相為,因只考慮2以內(nèi)的位相角，反射波在。點(diǎn) 2的位相為/2 ,故反射波的波動(dòng)方程為：y反Acos2 (t )u 2xy Acos2 (t -) - A cos2此時(shí)駐波方程為：u 22 x2 A coscos(2 t)u21令x (2k 1),則x (2k 1), k 0, 1, 2,，此即波節(jié)的包置 22波腹處振幅最大，即為0.12m； x 1.2 m處的振幅由下式?jīng)Q定， 即：第7章 氣體動(dòng)理論基礎(chǔ)P218故波節(jié)位置為：2- xu(2k 1) 27.20

36、 設(shè)有粒子的系統(tǒng)，其速率分布如題7.20圖所示。求分布函數(shù)f()的表達(dá)式;a與0之間的關(guān)系; 速度在1.5 0到2.0 0之間的粒子數(shù)粒子的平均速率。題7.20圖故 x (2k 1)-(k 0, 1, 2,)4根據(jù)題意，k只能取0,1,即x - ,3446.23 兩列波在一根很長的細(xì)繩上傳播，它們的波動(dòng)方程分別為 y1二0.06cos( x 4t)(SI), y2=0.06cos( x 4 t)(SI)。 試證明繩子將作駐波式振動(dòng)，并求波節(jié)、波腹的位置; 波腹處的振幅多大？x=1.2m處振幅多大？ 解：.它們的合成波為：出現(xiàn)了變量的分離，符合駐波方程特征，故繩子在作駐波振動(dòng)令x k，則x k

37、, k=0, J 2此即波腹的位置；(5) 0.5 0到0區(qū)間內(nèi)粒子平均速率。解：從圖上可得分布函數(shù)表達(dá)式：Nf( ) a / 0(00)Nf( ) a( 02 ),Nf( ) 0(2 0)f()滿足歸一化條件，但這里縱坐標(biāo)是 N f()而不是f(),故曲線下 的總面積為N.由歸一化條件： 0 N d N 2 0ad N ,可得0002N a 1N a (2 0 1.5 0) -N3AN個(gè)粒子平均速率:50.1 1.013 101.38 10 2330024-32.45 10 m(5) 0.5 0到0區(qū)間內(nèi)粒子數(shù):一1，C 、，Ni 2(a 0.5a)( 0c 、30.5 0)- a 08氧分

38、子的質(zhì)量：mM molNo0.032235.326.02 1 0231026 Kg0.5 0到0區(qū)間內(nèi)粒子平均速率:7.21試計(jì)算理想氣體分子熱運(yùn)動(dòng)速率的大小介于p+ p/100之間的分子數(shù)占總分子數(shù)的百分比。p- p/100 與.由氣體狀態(tài)方程pV MmolRT ,得:分子間的平均距離可近似計(jì)算令u ，則麥克斯韋速率分布函數(shù)可表示為：P3 n2.4510247.42 10dNN42八 u1u e du(5)因?yàn)?u=1, u=0.02N 42 u2由-；=u e u ,N41”41 e 1 0.02 1.66%(6)平均速率:方均根速率:482.87 m8.31 3000.032446.58

39、 m s 17.22容器中儲有氧氣, 求：其壓強(qiáng)為P=0.1MPa(即 1atm)溫度為 27；氧分子的平均動(dòng)能:55-kT 1.38 10222320300 1.04 10.單位體積中的分子數(shù) 子間的平均距離e ; (5) 均動(dòng)能一。n；氧分子的質(zhì)量m； -，氣體密度p;一分 平均速率一 ；(6)方根速率 廠；(7)分子的平7.23 1mol氫氣，在溫度為27；時(shí)，它的平動(dòng)動(dòng)能、轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能和內(nèi) 能各是多少？解：由氣體狀態(tài)方程p nkT 得:解：理想氣體分子的能量：E -RT2對于理想氣體有p nkT ,即：n旦，所以有：N kT) d2pkT3平動(dòng)動(dòng)能t=3 Et - 8.31 300 373

40、9.5J22轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能 r=2 Er - 8.31 300 2493J25內(nèi)能 i=5Ei - 8.31 300 6232.5J27.24 一瓶氧氣，一瓶氫氣，等壓、等溫，氧氣體積是氫氣的2倍, 求.氧氣和氫氣分子數(shù)密度之比；氧分子和氫分子的平均速率之比。解：因?yàn)?p nkT ,則：no/nH 1氣壓降到1.33 x 1-0Pa,平均碰撞頻率又為多少（設(shè)分子有效直徑為10-10m）?解：碰撞頻率公式z &d2n- 而一 1.6攝 1.6卡耍 455.43 ms”氮?dú)庠跇?biāo)準(zhǔn)狀態(tài)下的平均碰撞頻率8 -15.44 108s1210 20 455.43 1.013 1051.38 100 2737-25

41、 一真空管的真空度約為1.38 10-3 Pa（即1.0 X0-5 mmHg）,試 求在27c時(shí)單位體積中的分子數(shù)及分子的平均自由程（設(shè)分子的有效直徑 d=3M010 m）。解：由氣體狀態(tài)方程p nkT得：由平均自由程公式一得:2 d2n一120177.5 m29 103.33 107.26求氮?dú)庠跇?biāo)準(zhǔn)狀態(tài)下的平均碰撞頻率；,若溫度不變， 氣壓下降后的平均碰撞頻率二204210455.43 1.33 10-1z 23 0.714 S1.38 102737.27 1mol氧氣從初態(tài)出發(fā)，經(jīng)過等容升壓過程，壓強(qiáng)增大為原來 的2倍，然后又經(jīng)過等溫膨脹過程，體積增大為原來的2倍，求末態(tài)與初態(tài)之間氣體分

42、子方均根速率之比；一.分子平均自由程之比。解：；由氣體狀態(tài)方程：衛(wèi)1 匹方均根速率公式二 21,2對于理想氣體，p nkT ,即n上kT所以有：一尸2 ,即：上TLpl 1V2 d2p末P2第8章熱力學(xué)基礎(chǔ)8.11 .如題8.11圖所示，一系統(tǒng)由狀態(tài)a沿acb到達(dá)狀態(tài)b的過程 中，有350 J熱量傳入系統(tǒng)，而系統(tǒng)做功126 J。若沿adb時(shí)，系統(tǒng)做功42 J,問有多少熱量傳入系統(tǒng)？V.若系統(tǒng)由狀態(tài)b沿曲線ba返回X犬態(tài)a時(shí)，外界對系統(tǒng)做功為84 J,內(nèi)能增加：ECv(T2工)試問系統(tǒng)是吸熱還是放熱？熱量傳遞是多少？解：由abc過程可求出b態(tài)和a態(tài)的內(nèi)能之差：Q E Aabd過程，系統(tǒng)作功A 4

43、2 JQ E A 224 42 266 J 系統(tǒng)吸收熱量ba過程，外界對系統(tǒng)作功A 84 JQ E A 224 84308 J 系統(tǒng)放熱8.12 1mol單原子理想氣體從300K加熱到350K,問在下列兩過程 中吸收了多少熱量？增加了多少內(nèi)能？對外做了多少功？容積保持不變；壓力保持不變。解：等體過程對外作功A 0Q EAECv(T2Ti)：R(T2Ti)2，3 28.31(350300)623.25J等壓過程，吸熱:3 2 8.31 (350 300) 623.25J8.13 一個(gè)絕熱容器中盛有摩爾質(zhì)量為 Mml,比熱容比為丫的理想 氣體，整個(gè)容器以速度 運(yùn)動(dòng)，若容器突然停止運(yùn)動(dòng)，求氣體溫度的

44、 升高量(設(shè)氣體分子的機(jī)械能全部轉(zhuǎn)變?yōu)閮?nèi)能)0解：整個(gè)氣體有序運(yùn)動(dòng)的能量為-m 2 ,轉(zhuǎn)變?yōu)闅怏w分子無序運(yùn)動(dòng)使 2得內(nèi)能增加，溫度變化。_m_12_12 112E-Cv T m 2,TMmol 2Mmol2(1)M22Cv 2R8.14 0.01m 3氮?dú)庠跍囟葹?00K時(shí)，由0.1MPa壓縮到10MPa試分 別求氮?dú)饨?jīng)等溫及絕熱壓縮后的 體積； 溫度； 各過程對外 所做的功。解：等溫壓縮過程中，T=300K,且pM p2V2,解得:V2 咄0.01 1 10 3m3 , P210絕熱壓縮：cv - R ,725由絕熱方程 p1Vlp2V2 ,得：由絕熱方程 Ti Pi 1 E p2 1 ,得

45、對外作功： A Q E 1038.75 623.5 415.5 J由熱力學(xué)第一定律Q E A及Q 0得：AM molCv（T2 丁1），（P2, V2）o 試為氣體的比熱1V又pV -RT ,所以M mol8.15 理想氣體由初狀態(tài)（Pi, V2）經(jīng)絕熱膨脹至末狀態(tài)證過程中氣體所做的功為：wPV一四 式中丫1容比。證明：由絕熱方程pVpmp2V2c得p p1v1A故，V2pdV，dVC -Vi VrV21V11)1( p2V2p1V11V2 1V1 1pMT8.16 1 mol的理想氣體的T-V圖如題8.16圖所示，ab為直線，延長線通過原點(diǎn)O。求ab過程氣體對外做的功。解：設(shè)T kV,由圖可

46、求得直線的斜率k為：k1土，得過程方程 2V0由狀態(tài)方程pV vRT得：p RT=RTV=RTV V 2V02V0ab過程氣體對外作功：A 2VpdV2V0R0dV 曳v0V0 2Vo28.17 某理想氣體的過程方程為 Vp1/2=a, a為常數(shù)，氣體從Vi膨脹 到V求其所做的功。、，、，22解：氣體做功：A v2 pdVv2 ap dV ( ar)|V2 a2(，/)Pl0V2Vi V題圖8.18證其循環(huán)效率為：=11-2Pl P2 1解：等體過程：Qi vCv(T2 Ti) 0,吸熱，Qi Qi Cv呼口R R絕熱過程：Q3 0等壓壓縮過程：Q2 vCp(T2 Ti) 0,放熱解：卡諾熱機(jī)

47、效率 i T2 i幽70% Tii000低溫?zé)嵩碩2 300K不變時(shí)，即 i 300/Ti 80% , 解得：Ti 1500K，則：Ti Ti Ti i500 i000 500K即高溫?zé)嵩礈囟忍岣?00K。 高溫?zé)嵩碩1 1000K不變時(shí)，即 1 T/1000 80% 解得：T2 200K ,則： T2 T2 T2 200 300 -100K 即低溫?zé)嵩礈囟冉档?00K。. Q2 悶 vCp(T2 Ti) Cp(-P2VL .),則，R R次口.wa/Q2,Cp(P2MP2V2)/( 1/ 21)俯環(huán)效率為：11 1QiCv(pV2 P2V2)(P1/P2 1)8.19 一H若熱機(jī)在1000K

48、和300K的兩熱源之間工作，試計(jì)算 熱機(jī)效率； 若低溫?zé)嵩床蛔?，要使熱機(jī)效率提高到80%則高溫?zé)嵩礈囟刃杼岣叨嗌伲咳舾邷責(zé)嵩床蛔?，要使熱機(jī)效率 提高到80%則低溫?zé)嵩礈囟刃杞档投嗌伲?.20如題8.20圖所示是一理想氣體所經(jīng)歷的循環(huán)過程，其中AB和CD是等壓過程，BC和DA為絕熱過程，已知B點(diǎn)和C點(diǎn)的溫 度分別為T2和T3。求此循環(huán)效率。這是卡諾循環(huán)嗎？解：熱機(jī)效率1 Q2/Q1AB等壓過程Qi Cp(T2 Ti) 0,吸熱，即有：CD等壓過程Q2 vCp(T2 Ti) 0,放熱，即有：.包 Tc Td Tc(1 Td/Tc)Qi Tb Ta Tb (1 Ta/Tb)AD絕熱過程，其過程方程為：PA1TAPD1TDBC絕熱過程，其過程方程為：Pb 1TB 1 Pc1Tc又 Pa Pb , Pc Pd ,所以得： :1 一可逆的卡諾機(jī)，作熱機(jī)使用時(shí)，如果工作的兩熱源的溫度 差愈大，則對于做功就愈有利。當(dāng)作致冷機(jī)使用時(shí)，如果兩熱源的 溫度差愈大，對于致冷是否也愈有利？為什么？ 解：.卡諾循環(huán)的致冷機(jī)e 士 A T1 T27 . 一 27 ；時(shí)，需作功：A T工 Q2 300 280 1000 71.4J T2280T1 T2_300 100173 . 一 27 . .時(shí)，需作功：A2 -