2019-2020學年人教B版必修第一冊2.2.1不等式及其性質(zhì)學案

1、第二章等式與不等式2.2 不等式2.2.1 不等式及其性質(zhì)導學案學習目標1、掌握不等式 5 個性質(zhì)與 5 個推論.2、掌握用配方法、作差法、綜合法、反證法、分析法證明不等式3、熟練靈活運用不等式性質(zhì)、推論、思想方法證明不等式重點難點【重點】1、掌握不等式 5 個性質(zhì)與 5 個推論.2、掌握用配方法、作差法、綜合法、反證法、分析法證明不等式3、熟練靈活運用不等式性質(zhì)、推論、思想方法證明不等式【難點】1、正確選用性質(zhì)推理和思想方法來證明不等式知識梳理【情境與問題】你見過下圖中的高速公路指示牌嗎？左邊的指示牌是指對應的車道只能供小客車行駛，而且小客車的速率v1（單位：km/h，下同）應該滿足100

2、v1 ?a b 或 a=baw b【想一想】53222W2 這三個命題都是真命題嗎?怎樣理解兩個實數(shù)之間的大小呢？我們已經(jīng)知道，實數(shù)與數(shù)軸上的點一一對應，即每一個實數(shù)都可以用數(shù)軸上的一個點來表示；反過來,數(shù)軸上的每一個點都表示一個實數(shù)一般地，如果點 P 對應的數(shù)為 X,則稱 x 為點 P 的坐標，并記作 P（ X）另外，數(shù)軸上的點往數(shù)軸的正方向運動時，它所對應的實數(shù)會變大，這就是說，兩個數(shù)在數(shù)軸上對應的點 的相對位置決定了這兩個數(shù)的大小、如下圖所示的數(shù)軸中，A（ a），B （b），不難看出b10a.此外，我們也知道，一個數(shù)加上一個正數(shù)，相當于數(shù)軸上對應的點向正方向移動了一段距離；一個數(shù)減去一個

3、正數(shù)（即加上一個負數(shù)），相當于數(shù)軸上對應的點向負方向移動了一段距離。由此可以看出，要 比較兩個實數(shù)a，b 的大小，只要考察 a-b 與 0 的相對大小就可以了，即a-b0? a0? ab.初中的時候，我們就已經(jīng)歸納出了不等式的三個性質(zhì)：性質(zhì) 1性質(zhì) 2性質(zhì) 3【嘗試與發(fā)現(xiàn)】你能利用前面的知識， 給出性質(zhì) 1 的直觀理解以及這三個性質(zhì)的證明嗎?事實上，如下圖所示，ab 是指點 A 在點 B 的右側(cè)，a+c 和 b+c 表示點 A 和點 B 在數(shù)軸上做了相同的 平移，平移后得到的點A和 B的相對位置，與 A 和 B 的相對位置是一樣的，因此a+cb+c.性質(zhì) 1 可以用如下方式證明：因為（a+c）

4、 - （b+c） =a+c-b-c=a-b , 又因為 ab,所以 a-b0,從而（a+c） - （b+c） 0.因此 a+cb+c.性質(zhì) 2 可以用類似的方法證明：因為ac-bc= （a-b）c，又因為 ab，所以 a-b0，而 c0，因此（a-b）c0，因此 ac-bx0，即即 acbc.性質(zhì) 3 的證明留作練習.【嘗試與發(fā)現(xiàn)】用充分不必要”必要不充分”充要”填空：（1） ab 是 a+cb+c 的條件；（2） 如果 c0，則 ab 是 acbc 的條件；（3） 如果 cb 是 ac0，從而 a-c0，即即 ac.性質(zhì) 4 通常稱為不等關系的，.我們前面在判斷 x2-i 等類似命題的真假時

5、就用過不等關系的傳遞性。性質(zhì) 5這只要利用 a-b=-（ b-a）就可以證明，請讀者自行嘗試另外，值得注意的是，上述不等式性質(zhì)對任意滿足條件的實數(shù)都成立，因此我們可以用任意滿足條件 的式子去代替其中的字母?！镜湫屠}】例 1 比較 x2-x 和 x-2 的大小.又因為 ab，所以 a-b0；且 bc，所以 b-c0 ,因此例 1 的證明中用了配方法，這種方法經(jīng)常用于式子變形，大家應熟練掌握需要注意的是，前面我們證明不等式性質(zhì)和解答例1 的方法，其實質(zhì)都是通過比較兩式之差的符號來判斷兩式的大小，這種方法通常稱為作差法在證明不等式時，當然也可直接利用已經(jīng)證明過的不等式性質(zhì)等。從已知條件出發(fā)，綜合利

6、用各種結果，經(jīng)過逐步推導最后得到結論的方法，在數(shù)學中通常稱為綜合法 下面我們用綜合法來得出幾個常用的不等式性質(zhì)的推論推論 1.證明 a+bc? a+b+ （ -b）c+ （ -b） ? ac-b.推論 1 表明，不等式中的任意一項都可以把它的符號變成相反的符號后，從不等式的一邊移到另一邊 推論 1 通常稱為不等式的移項法則.推論 2證明根據(jù)性質(zhì) 1 有ab? a+cb+c，bd? b+cb+d，再根據(jù)性質(zhì) 4 可知a+cb+d.我們把 ab 和 cd （或 ab 和 cb， c0? acbc， cd， b0? bcbd.再根據(jù)性質(zhì) 4 可知acbd.很明顯，這個推論也可以推廣為更一般的結論：幾

7、個兩邊都是正數(shù)的同向不等式的兩邊分別相乘，所得到的不等式與原不等式同向推論 4這個結論的證明只要多次使用推論 3 的結論即可.推論 5證明假設.a v.b，即.a b或a=b,根據(jù)推論 4 和二次根式的性質(zhì)，得ab 矛盾，因此假設不成立，從而a .b.【嘗試與發(fā)現(xiàn)】證明推論 5 中不等式的方法具有什么特征?可以看出，推論 5 中證明方法的實質(zhì)是：首先假設結論的否定成立，然后由此進行推理得到矛盾，最后得出假設不成立。這種得到數(shù)學結論的方法通常稱為，反證法是一種間接證明的方法例 2( 1)已知 ab， cb-d ；1 1(2) 已知 ab, ab0，求證：一b0, 0cdc d可以看出，例 2 中所使用的方法是綜合法.綜合法中，最重要的推理形式為 p?q,其中 p 是已知或者已 經(jīng)得出的結論，所以綜合法的實質(zhì)就是不斷尋找必然成立的結論?！緡L試與發(fā)現(xiàn)】3. 7V2. 5嗎？用綜合法證明這個結論方便嗎？你覺得可以怎樣證明這個結論?上述這種證明方法通常稱為分析法.分析法中，最重要的推理形式是要證 p，只需證明 q”這可以表示為 p=g,其中 p 是需要證明的結論，所以分析法的實質(zhì)就是不斷尋找結論成立的充分條件.3 7V2.、5 的證明過程也可簡寫為：因為例 3 已知 m0，求證：1 m13+m 3學習過程1. 判斷下列命題的真假：(1 )當 x=3 時