高中數(shù)學(xué)簡(jiǎn)單的三角恒等變換教案新人教版必修4_第1頁(yè)
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1、3.2 簡(jiǎn)單的三角恒等變換整體設(shè)計(jì)一、教學(xué)分析本節(jié)主要包括利用已有的十一個(gè)公式進(jìn)行簡(jiǎn)單的恒等變換,以及三角恒等變換在數(shù)學(xué)中白應(yīng)用.本節(jié)的內(nèi)容都是用例題來(lái)展現(xiàn)的,通過(guò)例題的解答,引導(dǎo)學(xué)生對(duì)變換對(duì)象和變換目標(biāo)進(jìn)行比照、分析,促使學(xué)生形成對(duì)解題過(guò)程中如何選擇公式,如何根據(jù)問(wèn)題的條件進(jìn)行公式變形,以及變換過(guò)程中表達(dá)的換元、逆向使用公式等數(shù)學(xué)思想方法的熟悉,從而加深理解變換思想,提升學(xué)生的推理水平.本節(jié)把三角恒等變換的應(yīng)用放在三角變換與三角函數(shù)間的內(nèi)在聯(lián)系上,從而使三角函數(shù)性質(zhì)的研究得到延伸.三角恒等變換不同于代數(shù)變換,后者往往著眼于式子結(jié)構(gòu)形式的變換,變換內(nèi)容比擬單一.而對(duì)于三角變換,不僅要考慮三角函

2、數(shù)是結(jié)構(gòu)方面的差異,還要考慮三角函數(shù)式所包含的角,以及這些角的三角函數(shù)種類(lèi)方面的差異,它是一種立體的綜合性變換.從函數(shù)式結(jié)構(gòu)、函數(shù)種類(lèi)、角與角之間的聯(lián)系等方面找一個(gè)切入點(diǎn),并以此為依據(jù)選擇可以聯(lián)系它們的適當(dāng)公式進(jìn)行轉(zhuǎn)化變形,是三角恒等變換的重要特點(diǎn).二、三維目標(biāo)1 .知識(shí)與技能:通過(guò)經(jīng)歷二倍角的變形公式推導(dǎo)出半角的正弦、余弦和正切公式,能利用和與差的正弦、余弦公式推導(dǎo)出積化和差與和差化積公式,體會(huì)化歸、換元、方程、逆向使用公式等數(shù)學(xué)思想,提升學(xué)生的推理水平.2 .過(guò)程與方法:理解并掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式,并會(huì)利用公式進(jìn)行簡(jiǎn)單的恒等變形,體會(huì)三角恒等變換在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用.3.情感態(tài)度與價(jià)

3、值觀:通過(guò)例題的解答,引導(dǎo)學(xué)生對(duì)變換對(duì)象目標(biāo)進(jìn)行比照、分析,促使學(xué)生形成對(duì)解題過(guò)程中如何選擇公式,如何根據(jù)問(wèn)題的條件進(jìn)行公式變形,以及變換過(guò)程中表達(dá)的換元、逆向使用公式等數(shù)學(xué)思想方法的熟悉,從而加深理解變換思想,提升學(xué)生的推理水平.三、重點(diǎn)難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn):1.半角公式、積化和差、和差化積公式的推導(dǎo)練習(xí)2.三角變換的內(nèi)容、思路和方法,在與代數(shù)變換相比擬中,體會(huì)三角變換的牛!點(diǎn).教學(xué)難點(diǎn):熟悉三角變換的特點(diǎn),并能運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法指導(dǎo)變換過(guò)程的設(shè)計(jì),不斷提升從整體上把握變換過(guò)程的水平.四、課時(shí)安排2課時(shí)五、教學(xué)設(shè)想第1課時(shí)一導(dǎo)入新課思路1.我們知道變換是數(shù)學(xué)的重要工具,也是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的主要對(duì)象之一,三角

4、函數(shù)主要有以下三個(gè)根本的恒等變換:代數(shù)變換、公式的逆向變換和多向變換以及引入輔助角的變換.前面已經(jīng)利用誘導(dǎo)公式進(jìn)行了簡(jiǎn)單的恒等變換,本節(jié)將綜合運(yùn)用和差角公式、倍角公式進(jìn)行更加豐富的三角恒等變換思路2.三角函數(shù)的化簡(jiǎn)、求值、證實(shí),都離不開(kāi)三角恒等變換.學(xué)習(xí)了和角公式,差角公式,倍角公式以后,我們就有了進(jìn)行三角變換的新工具,從而使三角變換的內(nèi)容、思路和方法更加豐富和靈活,同時(shí)也為培養(yǎng)和提升我們的推理、運(yùn)算、實(shí)踐水平提供了廣闊的空間和開(kāi)展的平臺(tái).對(duì)于三角變換,由于不同的三角函數(shù)式不僅會(huì)有結(jié)構(gòu)形式方面的差異,而且還會(huì)有所包含的角,以及這些角的三角函數(shù)種類(lèi)方面的差異因此三角恒等變換常常首先尋找式子所包含

5、的各個(gè)角之間的聯(lián)系,并以此為依據(jù)選擇可以聯(lián)系它們的適當(dāng)公式,這是三角式恒等變換的重要特點(diǎn).二推進(jìn)新課、新知探究、提出問(wèn)題“與a有什么關(guān)系2cos=2cos2a-1,21cosa將兩個(gè)等式的左右兩邊分別相除2a1cosatan-=如何建立cosa與asin22=1cosasin2?之間的關(guān)系?22a1cosa,tan2a=1cosa這三個(gè)式子有什么共21cosa同特點(diǎn)?通過(guò)上面的三個(gè)問(wèn)題,你能感覺(jué)到代數(shù)變換與三角變換有哪些不同嗎證實(shí)(1)sinacos3=sin(a+3)+sin(a-3);2(2)sin0+sin()=2sincos22并觀察這兩個(gè)式子的左右兩邊在結(jié)構(gòu)形式上有何不同?活動(dòng):教師

6、引導(dǎo)學(xué)生聯(lián)想關(guān)于余弦的二倍角公式cos=1-2sin2a,將公式中的2一aa用一代替,解出sin22亙即可.教師對(duì)學(xué)生的討論進(jìn)行提問(wèn),學(xué)生可以發(fā)現(xiàn):2a是與2的二倍角.在倍角公式cos2=1-2sinaa中,以a代替2a,以,代替22acos=1-2sin2一.2sin1cosa在倍角公式cos2=2cos2a-1中,以“代替2a,以亙代替a,即得22cos21cosa教師引導(dǎo)學(xué)生觀察上面的式,可讓學(xué)生總結(jié)出以下特點(diǎn):(1)用單角的三角函數(shù)表示它們的一半即是半角的三角函數(shù);(2)由左式的“二次式轉(zhuǎn)化為右式的“一次式(即用此式可到達(dá)“降次的目的).教師與學(xué)生一起總結(jié)出這樣的特點(diǎn),并告訴學(xué)生這些特

7、點(diǎn)在三角恒等變形中將經(jīng)常用到.提醒學(xué)生在以后的學(xué)習(xí)中引起注意.同時(shí)還要強(qiáng)調(diào),本例的結(jié)果還可表示a,1cosaa,1cosa,a,1cosa切丹4業(yè)為:sin-=J,cos-=J,tan-=J,并稱(chēng)之為半222.22.1cosa角公式(不要求記憶),符號(hào)由-所在象PM決定.2教師引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)這兩種變換共同討論歸納得出:對(duì)于三角變換,由于不同的三角函數(shù)式不僅會(huì)有結(jié)構(gòu)形式方面的差異,而且還有所包含的角,以及這些角的三角函數(shù)種類(lèi)方面的差異.因此,三角恒等變換常常先尋找式子所包含的各個(gè)角間的聯(lián)系,并以此為依據(jù),選擇可以聯(lián)系它們的適當(dāng)公式,這是三角恒等變換的重要特點(diǎn).代數(shù)式變換往往著眼于式子結(jié)構(gòu)形式的變換

8、.對(duì)于問(wèn)題:(1)如果從右邊出發(fā),僅利用和(差)的正弦公式作展開(kāi)合并,就會(huì)得出左式.但為了更好地發(fā)揮本例的練習(xí)功能,把兩個(gè)三角式結(jié)構(gòu)形式上的不同點(diǎn)作為思考的出發(fā)點(diǎn),引導(dǎo)學(xué)生思考,哪些公式包含sin“cos3呢?想到sin(a+3)=sinacos3+cosasin3.從方程角度看這個(gè)等式,sinacos3,cosasin3分別看成兩個(gè)未知數(shù).二元方程要求得確定解,必須有2個(gè)方程,這就促使學(xué)生考慮還有沒(méi)有其他包含sinacos3的公式,列出sin(a-3)=sinacos3-cosasin3后,解相應(yīng)的以sinacos3,cosasin3為未知數(shù)的二元一次方程組,就容易得到所需要的結(jié)果2由1得到

9、以和的形式表示的積的形式后,解決它的反問(wèn)題,即用積的形式表示和的形式,在思路和方法上都與1沒(méi)有什么區(qū)別.只需做個(gè)變換,令a+3=0,-3=(j),貝Ua=,3=,代入(1)式即得(2)式.22證實(shí):(1)由于sin(a+3)=sinacos3+cosasin3,sin(-3)=sinccos3-cosssin3,將以上兩式的左右兩邊分別相加,得sin(a+3)+sin(a-3)=2sinacos3,即sinccos3=1sin(a+3)+sin(a-3).2(2)由(1),可彳#sin(a+3)+sin(a-3)=2sinacos3.設(shè)a+3=0,a-3=j,那么a=,3=.把a(bǔ),3的值代入,

10、即得sin0+sin=2sincos.教師給學(xué)生適時(shí)引導(dǎo),指出這兩個(gè)方程所用到的數(shù)學(xué)思想,可以總結(jié)出在本例的證實(shí)過(guò)程中用到了換元的思想,如把a(bǔ)+3看作9,a-3看作4,從而把包含“,3的三角函數(shù)式變換成0,的三角函數(shù)式.另外,把sinacos3看作x,cosasin3看作y,把等式看作x,y的方程,通過(guò)解方程求得x,這就是方程思想的表達(dá).討論結(jié)果:“是a的二倍角.22ad1cosasin=1-cos.略見(jiàn)活動(dòng).三應(yīng)用例如思路11sinxcosx例1化簡(jiǎn):.1sinxcosx活動(dòng):此題考查公式的應(yīng)用,利用倍角公式進(jìn)行化簡(jiǎn)解題.教師提醒學(xué)生注意半角公式和倍角公式的區(qū)別,它們的功能各異,本質(zhì)相同,具

11、有對(duì)立統(tǒng)一的關(guān)系2x2sin2sinxcos-解:原式:二2_222x2cos一2sinxcos-2222sinx(sin-22x、cos)2+xx/x2cos-(cos.x.2sin-)222變式練習(xí)化簡(jiǎn):sin50(1+,3tan10).解:原式=$所501,3sin10cos101.32(cos10sin10)sin50?-cos10=2sin50sin30 cos10cos30sin10cos10sin40sin80=2cos40cos10cos10cos10=1.cos10例2sinx-cosx=1,求sin3x-cos3x2的值.活動(dòng):教師引導(dǎo)學(xué)生利用立方差公式進(jìn)行對(duì)公式變換化簡(jiǎn),

12、然后再求解.由于(a-b)3=a3-3a2b+3ab2-b3=a3-b3-3ab(a-b),a3-b3=(a-b)3+3ab(a-b).解完此題后,教師引導(dǎo)學(xué)生深挖本例的思想方法,由于sinx-cosx與sinxcosx之間的轉(zhuǎn)化.提升學(xué)生的運(yùn)算.化簡(jiǎn)水平及整體代換思想.此題也可直接應(yīng)用上述公式求之,即sin3x-cos3x=(sinx-cosx)3+3sinxcosx(sinx-cosx)=.止匕方法往往適用于16sin3xcos3x的化簡(jiǎn)問(wèn)題之中.解:由sinx-cosx=1,得(sinx-cosx)2即1-2sinxcosx=1,1-sinxcosx=3.48點(diǎn)評(píng):此題是對(duì)根本知識(shí)的考查

13、,重在讓學(xué)生理解倍角公式與半角公式的內(nèi)在聯(lián)-sin3x-cos3x=(sinx-cosx)(sin2x+sinxcosx+cos2x)法.變式練習(xí)(2007年高考浙江卷,12)sin0+cos0=1,且一 wow,那么cos20的值524是.答案:254444cosAsinAcosBsinB例1221求證:221.cosBsinBcosAsinA活動(dòng):此題可從多個(gè)角度進(jìn)行探究,由于所給的條件等式與所要證實(shí)的等式形式一致,只是將A,B的位置互換了,因此應(yīng)從所給的條件等式入手,而條件等式中含有A,B角的正、余弦,可利用平方關(guān)系來(lái)減少函數(shù)的種類(lèi).從結(jié)構(gòu)上看,條件是a2+b2=1的形式,可利用三角代換

14、.44AcosAsinA.證實(shí)一::1,cosBsinBcos4A-sin2B+sin4A-cos2B=sin2B-cos+B.cos4A(1-cos2B)+sin4A-cos2B=(1-cos2B)cos2B,即cos4A-cos2B(cos4A-sin4A)=cos2B-cos4B.cos4A-2cos2Acos2B+cos4B=0.(cos2A-cos2B)2=0.1.cos2A=cos2B.sin2A=sin2B.44、cosBsinB2c.2-、cosB+sinB=1.22/=1(1+3)=281116點(diǎn)評(píng):此題考查的是公式的變形、化簡(jiǎn)、求值,注意公式的靈活運(yùn)用和化簡(jiǎn)的方cosAsi

15、nA2A2cosAsinA證實(shí)一:令cosa,=sina,cosBsinB貝Ucos2A=cosBcosa,sin2A=sinBsina.兩式相加,得1=cosBcosa+sinBsina,即cos(B-a)=1.B-a=2k兀(kCZ),即B=2kTt+a(keZ).cos=cosB,sin=sinB.cos2A=cosBcosa=cos2B,sin2A=sinBsin=sin2B.cos4Bsin4Bcos4Bsin4B222222=cosB+sinB=1.cosAsinAcosBsinB點(diǎn)評(píng):要善于從不同的角度來(lái)觀察問(wèn)題,本例從角與函數(shù)的種類(lèi)兩方面觀察,利用平方關(guān)系進(jìn)行了合理消元.變式練

16、習(xí)11在銳角二角形ABC中,ABC是它的二個(gè)內(nèi)角,記S=,求證:S90,.1.90A90-B0. .tanAtan(90-B)=cotB0, .tanAtanB1.,S0.,.tan(-23)0.又3e(0,-),-230,得0-23.由tana=tan(1-23),得a=1-23,即a+23=.2sin(a)sin()/tan例2求證:一22-12sincostan活動(dòng):證實(shí)三角恒等式,一般要遵循“由繁到簡(jiǎn)的原那么,另外“化弦為切與“化切為弦也是在三角式的變換中經(jīng)常使用的方法=3sinacosa,_(sinacoscosasin)(sinacoscosasin)_22sincos=sin(a

17、2)sin(a)=左邊.,原式成立.sincos點(diǎn)評(píng):此題進(jìn)一步練習(xí)學(xué)生三角恒等式的變形,靈活運(yùn)用三角函數(shù)公式的水平以及邏輯推理水平變式練習(xí)分析:運(yùn)用比例的根本性質(zhì),可以發(fā)現(xiàn)原式等價(jià)于而上式左邊2.sin4(1cos4)2sin2cos22sin2-二-T二二二2csin4(1cos4)2sin2cos22cos22s1n2(cos2sinA!=tan2右邊.,上式成立,即原等式得證.2cos2(sin2cos2)1m.2.sin3=m-sin(2a+3),求證:tan(a+3)=tana.1m分析:仔細(xì)觀察式與所證式中的角,不要盲目展開(kāi),要有的放矢,看到式中的2a+3可化為結(jié)論式中的a+3與

18、a的和,不妨將a+3作為一整體來(lái)處理._222_2sinacoscosasm;22sincos2一一2cosasin22sincos1tan2=右邊.,原tana22cossin證法一:右邊=1-22sincos2sin2cos2_2cosasin22sinacos1.求證:1sin4cos42sin1sin4cos41tan21sin4cos41sin4cos4證實(shí):原等式等價(jià)于2tan1tan21sin41sin4,此式右邊就是cos4cos4tan2tan20.證實(shí):由sin3=msin(2a+3)sin(a+3)-a=msin(a+3)+asin(a+3)cosa-cos(a+3)si

19、na=0sin(a+3)cosa+cos(1-m)sin(a+3)cosa=(1+m)-cos(a+3)sina.1m,一tan(a+3)=tana.1m四知能練習(xí)1.假設(shè)sina=,a在第二象限,那么tana的值為1323一,35解答:1.A2.D3.-3五課堂小結(jié)1 .先讓學(xué)生自己回憶本節(jié)學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)知識(shí):和、差、倍角的正弦、余弦公式的應(yīng)用,半角公式、代數(shù)式變換與三角變換的區(qū)別與聯(lián)系.積化和差與和差化積公式及其推導(dǎo),三角恒等式與條件等式的證實(shí).2 .教師畫(huà)龍點(diǎn)睛總結(jié):本節(jié)學(xué)習(xí)了公式的使用,換元法,方程思想,等價(jià)轉(zhuǎn)化,三角恒等變形的根本手段.六作業(yè)第2課時(shí)一導(dǎo)入新課思路1.問(wèn)題導(dǎo)入三角化簡(jiǎn)、求

20、值與證實(shí)中,往往會(huì)出現(xiàn)較多相異的角,我們可根據(jù)角與角之間的和差、倍半、互補(bǔ)、互余等關(guān)系,運(yùn)用角的變換,溝通條件與結(jié)論中角的差異,使問(wèn)題獲得解決,如:a=(a+3)-3,a+3)sinaA.5B.-5C.D.2.設(shè)5兀.6兀,cos那么sin一等于1aA.2B.C.D.3.sin0=2a=(a+3)+(a-3)=(+a)-(-a),+a=-(-a)等,你能總結(jié)出三角變換的哪些策略?由此探討展開(kāi).思路2.(復(fù)習(xí)導(dǎo)入)前面已經(jīng)學(xué)過(guò)如何把形如y=asinx+bcosx的函數(shù)轉(zhuǎn)化為形如y=Asin(cox+(j)的函數(shù),本節(jié)主要研究函數(shù)y=asinx+bcosx的周期、最值等性質(zhì).三角函數(shù)和代數(shù)、幾何知

21、識(shí)聯(lián)系密切,它是研究其他各類(lèi)知識(shí)的重要工具.高考題中與三角函數(shù)有關(guān)的問(wèn)題,大都以恒等變形為研究手段.三角變換是運(yùn)算、化簡(jiǎn)、求值、證實(shí)過(guò)程中不可缺少的解題技巧,要學(xué)會(huì)創(chuàng)設(shè)條件靈活運(yùn)用三角公式,掌握運(yùn)算,化簡(jiǎn)的方法和技能.(二)推進(jìn)新課、新知探究、提出問(wèn)題三角函數(shù)y=sinx,y=cosx的周期,最大值和最小值是多少?函數(shù)y=asinx+bcosx的變形與應(yīng)用是怎樣的?三角變換在幾何問(wèn)題中有什么應(yīng)用?活動(dòng):教師引導(dǎo)學(xué)生對(duì)前面已學(xué)習(xí)過(guò)的三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)進(jìn)行復(fù)習(xí)與回憶,我們知道正弦函數(shù),余弦函數(shù)的圖象都具有周期性、對(duì)稱(chēng)性、單調(diào)性等性質(zhì).而且正弦函數(shù),余弦函數(shù)的周期都是2k兀(kCZ且kw0),最小

22、正周期都是2兀.三角函數(shù)的定義與變化時(shí),會(huì)對(duì)其周期性產(chǎn)生一定的影響,例如,函數(shù)y=sinx的周期是2k兀(kCZ且kw0),且最小正周期是2兀,函數(shù)y=sin2x的周期是k%(kCZ且kw0),且最小正周期是兀.正弦函數(shù),余弦函數(shù)的最大值是1,最小值是-1,所以這兩個(gè)函數(shù)的值域都是-1,1.22a.b、函數(shù)y=asinx+bcosx=aab(,一sinx,.cosx),2,22,2ab.ab(-p=T)2(-p=T)21從而可令了cos一ab.ab.ab貝U有asinx+bcosx=;a2b2(sinxcosj+cosxsinj)22=Uabsin(x+4).因此,我們有如下結(jié)論:asinx+

23、bcosx=a2b2sin(x+(j),其中tan(j)=b.a在以后的學(xué)習(xí)中可以用此結(jié)論進(jìn)行求幾何中的最值問(wèn)題或者角度問(wèn)題我們知道角的概念起源于幾何圖形,從而使得三角函數(shù)與平面幾何有著密切的內(nèi)在聯(lián)系.幾何中的角度、長(zhǎng)度、面積等幾何問(wèn)題,常需借助三角函數(shù)的變換來(lái)解決,通過(guò)三角變換來(lái)解決幾何中的有關(guān)問(wèn)題,是一種重要的數(shù)學(xué)方法討論結(jié)果:y=sinx,y=cosx的周期是2kukCZ且kw0,最小正周期都是2兀;最大值都是1,最小值都是-1.一略見(jiàn)活動(dòng).三應(yīng)用例如思路1例1如圖1,OPQ半彳空為1,圓心角為的扇形,C是扇形弧上的動(dòng)點(diǎn),ABCD是扇形的內(nèi)接矩形.記/COP=a,求當(dāng)角“取何值時(shí),矩形A

24、BCD勺面積最大?并求出這個(gè)最大面積.活動(dòng):要求當(dāng)角a取何值時(shí),矩形ABCD勺面積S最大,先找出S與a之間的函數(shù)關(guān)系,再求函數(shù)的最值.找S與a之間的函數(shù)關(guān)系可以讓學(xué)生自己解決,得到:S=ABBC=cosasinasina=sinacos優(yōu)sin2a.33求這種y=asin2x+bsinxcosx+ccos2x函數(shù)的最值,應(yīng)先降哥,再利用公式化成Asin3x+4型的三角函數(shù)求最值b2,2absin(),教師引導(dǎo)學(xué)生思考:要求當(dāng)角a取何值時(shí),矩形ABCD勺面積S最大,可分兩步進(jìn)圖1(1)找出S與a之間的函數(shù)關(guān)系;(2)由得出的函數(shù)關(guān)系,求S的最大值.解:在RtAOB計(jì),BC=cosa,BC=sin

25、a,在RtOA計(jì),DA=tan60=73,OA所以O(shè)A=DA=BC=sina.所以AB=OB-OAcosssina3設(shè)矩形ABCD勺面積為S,那么a=sinccoss-sin2a3=1sin2a+cos2a-=-(sin2a+1cos2a)-266.3226=-sin(2由于0a0).(1)求函數(shù)f(x)的值域;(2)假設(shè)函數(shù)y=f(x)的圖象與直線(xiàn)y=-1的兩個(gè)相鄰交點(diǎn)間的距離為一,求函數(shù)2y=f(x)的單調(diào)增區(qū)間.解:(1)f(x)=sinwx+cos9x+sincox-coscox-(cos3x+1)2=2(三sincx-1cosax)-1=2sin(cx22-1)-1.由-1Wsin(

26、cox)w1,得-3w2sin(cox-)-1w1,可知函數(shù)f(x)的值域?yàn)?3,1.(2)由題設(shè)條件及三角函數(shù)圖象和性質(zhì),可知y=f(x)的周期為兀,又由a0,得于是有f(x)=2sin(2x-)-1,再由2k兀-w2xw2k兀+(kCZ),解得ku-_WxWkTt+(kCZ).所以y=f(x)的單調(diào)增區(qū)間為ku-,k兀+(kCZ).點(diǎn)評(píng):此題主要考查三角函數(shù)公式,三角函數(shù)圖象和性質(zhì)等根底知識(shí),考查綜合運(yùn)用三角函數(shù)有關(guān)知識(shí)的水平.例1求函數(shù)y=sin4x+23sinxcosx-cos4x的最小正周期和最小值;并寫(xiě)出該函數(shù)在0,兀上的單調(diào)遞增區(qū)間.活動(dòng):教師引導(dǎo)學(xué)生利用公式解題,此題主要考查二

27、倍角公式以及三角函數(shù)的單調(diào)性和周期性等根底知識(shí).先用二倍角公式把函數(shù)化成最簡(jiǎn)形式,然后再解決與此相關(guān)的問(wèn)題.=3sin2x-cos2x=2sin(2x-).故該函數(shù)的最小正周期是兀;最小值是-2;在0,兀上單調(diào)增區(qū)間是0,一,兀.36點(diǎn)評(píng):此題主要考查二倍角公式以及三角函數(shù)的單調(diào)性和周期性等根底知識(shí).變式練習(xí)函數(shù)f(x)=cos4x-2sinxcosx-sin4x,(1)求f(x)的最小正周期;(2)假設(shè)xC0,求f(x)的最大、最小值.f(x)=cos4x-2sinxcosx-sin4x=(cos2x+sin2x)(cos2x-sin2x)-sin2x=cos2x-sin2x=2cos(2x

28、+一),解:y=sin4x+2.3sinxcosx-cos4x=(sin2x+cos2x)(sin2x-cos2x)+.3sin2x一,一,一2所以,f(x)的取小正周期T=7t.25(2)由于xC0,5,所以2x+_C_,一.當(dāng)2x+1=7時(shí),cos(2x+)取得最大值當(dāng)2x+=兀時(shí),cos(2x+)取得最小值-1.所以,在0,金上的最大值為1,最小值為-J2.思路2例1函數(shù)f(x)=sin(cox+(j)(30,0w()w兀)是R上的偶函數(shù),其圖象關(guān)于點(diǎn)M(3,0)對(duì)稱(chēng),且在區(qū)間0,上是單調(diào)函數(shù),求4和 3 的值.42活動(dòng):提醒學(xué)生在解此題時(shí),對(duì)f(x)是偶函數(shù)這一條件的運(yùn)用不在問(wèn)題上,而

29、在對(duì)“f(x)的圖象關(guān)于M(,0)對(duì)稱(chēng)這一條彳的使用上,多數(shù)考生都存在一定問(wèn)題.4一般地:定義在R上的函數(shù)y=f(x)對(duì)定義域內(nèi)任意x滿(mǎn)足條件:f(x+a)=2b-f(a-x),那么y=f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(a,b)對(duì)稱(chēng),反之亦然.教師在這類(lèi)問(wèn)題的教學(xué)時(shí)要給予充分的提示與總結(jié),多做些這種類(lèi)型的變式練習(xí).解:由f(x)是偶函數(shù),得f(-x)=f(x),即sin(-wx+()=sin(cox+(j),所以-cos()sinwx=cos()sincox對(duì)任意x者B成又w0,所以,得cos()=0.依題設(shè)0w(|)0,得=一+k7t,k=0,1,2,.423=2(2k+1),k=0,1,2,3當(dāng)k=0

30、時(shí),w=2,f(x)=sin(2x+一)在0,一上是減函數(shù);22)在0,上是減函數(shù);22wx+一)在0,一上不是單調(diào)函數(shù)點(diǎn)評(píng):此題是利用函數(shù)思想進(jìn)行解題,結(jié)合三角函數(shù)的圖象與性質(zhì),變換然后進(jìn)而解決此題變式練習(xí)分別為m、n,且a2=2mn.問(wèn):是否能在區(qū)間(兀,2兀中找到角.,恰使等式cos0-sin0=4(cosB一C-cosC)成立?假設(shè)能,找出這樣的角.;假設(shè)不能,請(qǐng)說(shuō)明22理由.解:在RtBAD中,膽=cos_B,在RtBAC中,-AB=sinC,m2amcos=asinC.2同理,ncos=asinB.mncos旦cos=a2sinBsinC.22而a2=2mn,33當(dāng)k=1時(shí),=2,f(x)=sin(2x+當(dāng)k2時(shí),310,f(x)=sin

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