線性代數(shù)A模擬卷

1、,011654321A654321A1054221B1.設(shè)設(shè)2.設(shè)設(shè)4維向量維向量=(1,2,0,-3)T, =(2,-1,5,0)T,則則與與的的內(nèi)積內(nèi)積( (,)=)= , , 夾角夾角 = . .3.3.設(shè)矩陣設(shè)矩陣4 4. . 1 1,2 2,3 3,4 4均為均為3 3維向量，則向量組維向量，則向量組1 1,2 2,3 3,4 4必線性必線性 關(guān)關(guān). .線性代數(shù)線性代數(shù)A模擬試卷一模擬試卷一一、（一、（15分）填空題：分）填空題：則則|A|= , A*= ,A-1= .初等矩陣初等矩陣P滿足：滿足：AP=B,則則P= . 2R x222142,3,1 5xxxxx21,x x中的基中

2、的基到基到基的過渡矩陣為的過渡矩陣為 . .5.332211332211332211zczczcybybybxaxaxaD123123123123123123aaaxxxDbbbyyyccczzz332213322133221332213322133221zczczybybyxaxaxzczccybybbxaxaaD321321321321321321321321321cczbbyaaxczcbybaxazccybbxaaD1.設(shè)設(shè)3階行列式階行列式(A) (B) (C) .二、（二、（15分）選擇題：分）選擇題：，則（，則（ ）.2.設(shè)矩陣設(shè)矩陣A的秩的秩R(A)=r,則（則（ ）.(A)A

3、中只有一個中只有一個r階子式不為零，其余的階子式不為零，其余的r階子式全為零；階子式全為零；(B) A中存在一個中存在一個r階子式不為零，其余的階子式不為零，其余的r+1階子式（若有）全為零；階子式（若有）全為零；(C) A中所有的中所有的r階子式均不為零，而高階子式全為零階子式均不為零，而高階子式全為零.23213213211aaxxxaxaxxxxax4.4.設(shè)設(shè) 向量組向量組1 1,2 2, ,，s s線性相關(guān)，則線性相關(guān)，則（ ）.(A)(A) 1 1一定可由一定可由2 2,3 3, ,，s s線性表示；線性表示；(B)(B) 1 1一定不可由一定不可由2 2,3 3, ,，s s線性

4、表示；線性表示；(C) (C) 其中至少有一個向量可由其余其中至少有一個向量可由其余s-1s-1個向量線性表示個向量線性表示. .3. 設(shè)線性方程組設(shè)線性方程組有唯一解，則（有唯一解，則（ ）.(A)a=1;(B)a=-2;(C)a1且且a-2.5.n階方陣階方陣A與對角陣相似，則與對角陣相似，則（ ）.(A)A有有n個不同的特征值；個不同的特征值；(B) A有有n個相同的特征值；個相同的特征值；(C) A有有n個線性無關(guān)的特征向量個線性無關(guān)的特征向量.四、四、（16分）設(shè)向量組分）設(shè)向量組1 1=(1,2,3,4)=(1,2,3,4)T T, , 2 2=(2,3,4,5)=(2,3,4,5

5、)T T, , 3 3=(3,4,5,6)=(3,4,5,6)T T, , 4 4=(4,5,6,7)=(4,5,6,7)T T, ,求由求由1, 2, 3, 4的生成的的生成的向量空間向量空間L的維數(shù)的維數(shù)及一組基，及一組基，并求其余向量在這組基下的坐標并求其余向量在這組基下的坐標. .123123123(2)2212(5)4224(5)1xxxxxxxxx 六、（六、（18分）設(shè)二次型分）設(shè)二次型f=2x12+3x22+3x32+4x2x3.1.寫出寫出f的矩陣；的矩陣；2.求求A的特征值與特征向量；的特征值與特征向量；3.用正交變換用正交變換X=QY將將f化為標準形，并寫出正交矩陣化為標

6、準形，并寫出正交矩陣Q.三、（三、（14分）設(shè)分）設(shè)n維向量維向量T=(1/2,0,0,1/2),又又A=E-T, B=E+2T,其中其中E為為n階單位矩陣，求階單位矩陣，求AB,A-1,B-1,并寫出并寫出A-1與與B-1的具體形式的具體形式.五、（五、（14分）分）為何值時為何值時,下列下列線性方程組有解線性方程組有解?若有解若有解,求出全部解求出全部解.七、（七、（8分）證明：若為分）證明：若為A正交矩陣，則正交矩陣，則A的伴隨矩陣的伴隨矩陣A*也為正交矩陣也為正交矩陣.000000112301AOOAHOBOCOO1.在在4階行列式階行列式detaij中，含有因子中，含有因子a11a3

7、2的項有：的項有： .3.3.設(shè)設(shè)A,B,CA,B,C為可逆矩陣，分塊矩陣為可逆矩陣，分塊矩陣4.4. 用矩陣形式表示二次型用矩陣形式表示二次型f=x12+x1x2+2x22+3x32-2x2x3,f= .A模擬試卷二模擬試卷二一、（一、（15分）填空題：分）填空題：2. 矩陣矩陣, 則則H-1= .的秩的秩= .5.R4的子空間的子空間V=(x1,x2,x3,x4)T|x1+x2+x3+x4=0的維數(shù)的維數(shù)= ,一組基為一組基為 .12/333/2123/12/11391)23(3)32(12312111010101010103)2(33)2()2(2132321321xbaaxxbxaxx

8、xx1.設(shè)設(shè)=(1,2,3)=(1,2,3)T T, =(1,1/2,1/3)T,A=T T,則則A10=（ ）.;(C) 2.設(shè)設(shè)線性方程組線性方程組( (A)aA)a=b0;(B) a0=b0;(B) a0且且ab;(C)aab;(C)a=b=0.=b=0.二、（二、（15分）選擇題：分）選擇題：（A）310; (B) 有無窮多組解，則（有無窮多組解，則（ ）.3131abA,32;32;32,3000200013. 向量組向量組1 1,2 2, ,，s s線性無關(guān)的充要條件為（線性無關(guān)的充要條件為（ ）. .(A) (A) 1 1不能由不能由2 2,3 3, ,，s s線性表示；線性表示

9、；(B)(B)1 1,2 2, ,，s s的秩小于的秩小于s s；(C) (C) 1 1,2 2, ,，s s的秩等于的秩等于s. s. 為正交矩陣，則（為正交矩陣，則（ ）. .b=(B) a=b=(B) a=b=5.5.設(shè)設(shè)3 3階方陣階方陣A A與對角陣與對角陣(A)A-1有特征值有特征值1，2，-3；(B) A+E有特征值有特征值2,3,-2；(C) A2有特征向量有特征向量1,2,-3 4.設(shè)設(shè)(A)a=(C) a=b=0.相似，則（相似，則（ ）.0001001302151021A2263485326452432143214321xxxxxxxxxxxx120210002三、三、（

10、18分）設(shè)分）設(shè)矩陣矩陣, ,試求試求1.|A|;2.A1.|A|;2.A-1-1;3.|A;3.|A4 4|.|.五、五、（16分）設(shè)向量組分）設(shè)向量組1 1=(1,2,3,4)=(1,2,3,4)T T, , 2 2=(-1,1,-1,0)=(-1,1,-1,0)T T, ,3 3=(2,-1,3,1)=(2,-1,3,1)T T, , 4 4=(0,3,2,4)=(0,3,2,4)T T, ,求求L=L(L=L(1,2,3,4) )的維數(shù)的維數(shù)dim Ldim L及及L L的一組基的一組基, ,并寫出其余向量在這組基下的坐標并寫出其余向量在這組基下的坐標. .1.求求A的特征值與特征向量

11、；的特征值與特征向量；2.求一個正交矩陣求一個正交矩陣Q和和對角陣對角陣,使得使得Q Q-1-1AQ=AQ=.四、（四、（16分）求非齊次線性方程組分）求非齊次線性方程組的通解的通解.六、（六、（20分）設(shè)對稱矩陣分）設(shè)對稱矩陣A=,111011321A,011111121B5222112321321321cxbxaxxxxxxx1.設(shè)設(shè)n階方陣階方陣A的行列式的行列式|A|=2,則則A的伴隨陣的行列式的伴隨陣的行列式|A*|= .，3. 3. 設(shè)設(shè)1 1=(2,0,-1)=(2,0,-1)T T, , 2 2=(1,0,0)=(1,0,0)T T為線性方程組為線性方程組4.4. 向量組向量組

12、1 1=(1,2,-3)=(1,2,-3)T T, , 2 2=(-2,1, 0)=(-2,1, 0)T T, , 3 3=(0,5,-6)=(0,5,-6)T T, ,線性線性 關(guān)關(guān). .A模擬試卷三模擬試卷三一、（一、（15分）填空題：分）填空題：2.設(shè)矩陣設(shè)矩陣矩陣矩陣X滿足：滿足： AX=B,則則X= .的兩個解向量，則方程的通解為的兩個解向量，則方程的通解為 .5. 設(shè)設(shè)n階方陣階方陣A與與B相似，相似，A有特征值有特征值1，2，-3,則則 B-1+E有特征值有特征值 .3.設(shè)設(shè) 為為n階可逆矩陣階可逆矩陣A的的特征值，則（特征值，則（ ）. .(A)1/(A)1/為為A-1的的特征

13、值；特征值；(B) (B) 2 2為為A2的的特征值；特征值；( (C)(C)() ) 為為(A)的的特征值特征值, ,其中其中(x(x) ) 為為x x的多項式的多項式. . .abbbabbba5.5.設(shè)設(shè)1 1=(1,-2,5)=(1,-2,5)T T, , 2 2=(-2,4,-10)=(-2,4,-10)T T, ,則（則（ ）. .(A)(A)(1 1,2 2)=-60)=-60；(B) (B) 1 1 與與2 2正交；正交；(C) (C) 1 1,2 2線性相關(guān)線性相關(guān). .二、（二、（15分）多項選擇題：分）多項選擇題：1.設(shè)設(shè)A,B均為均為n階可逆方陣階可逆方陣,則（則（ ）

14、.(A)齊次線性方程組齊次線性方程組ABX=0只有零解只有零解; (B)(A+B)-1=A-1+B-1; (C) A的特征值全不為零的特征值全不為零.2.設(shè)設(shè)A,B均為均為n階矩陣則（階矩陣則（ ）.(A)(AB)T=ATBT;(B)|AB|=|A|B|;(C)|2A|=2|A|.4.n階行列式階行列式的值為（的值為（ ）.(A)(a+nb)(a-b)n-1;(B) (a-b)n+nb(a-b)n-1；(C)a+(n-1)b(a-b)n-1.0235222412432143214321xxxxxxxxxxxx4234321321321xbxxxbxxxxax三、三、（10分）求非齊次線性方程組分）求非齊次線性方程組五、五、（15分）問分）問a,b為何值時，為何值時，線性方程組線性方程組六、（六、（20分）設(shè)二次型分）設(shè)二次型f=x12-2x22+x32+4x2x3,1.寫出二次型寫出二次型f的的矩陣矩陣A;A;七、證明題：七、證明題：1.1.（7 7分）分）設(shè)設(shè)A,B均為均為n階正交矩陣，試證階正交矩陣，試證A-1B也是正交矩陣也是正交矩陣.2.（8分）設(shè)向量組分）設(shè)向量組1,2,，s線性無關(guān)，又線性無關(guān)，又1=2+3+s ，2=1+3+s ，3=1+2+4+s ， ，s=1+2+s-1 ，證明向量組，證明向量組1, 2,，s線性無關(guān)線性無關(guān) 的通解的通解