二重積分的計(jì)算 (3)

1、 關(guān)于二重積分的計(jì)算 (3)現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第1頁(yè)，共32頁(yè) 一、在直角坐標(biāo)系下計(jì)算二重積分一、在直角坐標(biāo)系下計(jì)算二重積分bxaxyxD)()(:21則稱則稱D為為 X 型區(qū)域型區(qū)域. )(1xy)(2xyxboyDax1 1先對(duì)先對(duì) , ,后對(duì)后對(duì) 的二次積分的二次積分yx若積分區(qū)域若積分區(qū)域 可以表示為可以表示為D 當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí), ,則則 的值是以的值是以 為底為底, , 以以 為曲頂?shù)那斨w體積為曲頂?shù)那斨w體積0),(yxfDdyxf),(D),( yxfz現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第2頁(yè)，共32頁(yè) xbad 任取任取, ,0bax 平面平面0 xx 故曲頂柱體體積為故曲頂柱體體積為DyxfVd),(

2、yyxfxAxxd),()()()(000201截面積為截面積為yyxfxxd),()()(21baxxAd )(截柱體的截柱體的)(2xy)(1xyzxyoab0 xD由第五章中由第五章中“平行截面面積為已知平行截面面積為已知的立體體積的立體體積”的分析過(guò)程的分析過(guò)程:現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第3頁(yè)，共32頁(yè) 我們常將上式寫成我們常將上式寫成2.2.先對(duì)先對(duì) , ,后對(duì)后對(duì) 的二次積分的二次積分 Ddyxf),()()(21),(xxbadyyxfdxxy若積分區(qū)域若積分區(qū)域 可以表示為可以表示為DdycyxyD)()(:21y)(1yx)(2yxxdoc則稱則稱 D 為為 Y 型區(qū)域型區(qū)域. 則其體積

3、可按如下兩次積分計(jì)算則其體積可按如下兩次積分計(jì)算 dcyyDdxdyyxfdyxf)()(21),(),()()(21),(yydcdxyxfdy現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第4頁(yè)，共32頁(yè) oxy說(shuō)明說(shuō)明: : (1) (1) 若積分區(qū)域既是若積分區(qū)域既是X X 型區(qū)域又是型區(qū)域又是Y Y 型區(qū)域型區(qū)域 , , Dyxyxfdd),(為計(jì)算方便為計(jì)算方便,可可選擇積分序選擇積分序, 必要時(shí)還可以必要時(shí)還可以交換積分序交換積分序.)(2xyxoyDba)(1yx)(2yxdc則有則有x)(1xyyyyxfxxd),()()(21baxdxyxfyyd),()()(21dcyd(2) 若積分域較復(fù)雜若積分域較復(fù)

4、雜,可將它分成若干可將它分成若干1D2D3DX-型域或型域或Y-型域型域 , 321DDDD則則 現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第5頁(yè)，共32頁(yè) 例例1.1. 計(jì)算計(jì)算,ddsinDyxxx其中其中D 是直線是直線 ,0,yxy所圍成的閉區(qū)域所圍成的閉區(qū)域.oxyDxxy 解解: 由被積函數(shù)可知由被積函數(shù)可知,因此取因此取D 為為X 型域型域 :xxyD00:Dyxxxddsinxy0d0dsinxx0cosx20dsinxxxx先對(duì)先對(duì) x 積分不行積分不行, 說(shuō)明說(shuō)明: 有些二次積分為了積分方便有些二次積分為了積分方便, 還需交換積分順序還需交換積分順序.現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第6頁(yè)，共32頁(yè) 例例2.2. 計(jì)算計(jì)算

5、 其中其中 ( (如圖如圖) )是拋物線是拋物線 及直線及直線 所圍成的閉區(qū)域所圍成的閉區(qū)域,DxydD2xyxyx11xy 2xy yoD解法解法1 1：若將：若將 看成是看成是 型區(qū)域型區(qū)域, , 可表示為可表示為 . .則則DXDxyxx2, 10Dxydxxxydyx210d10221d2xyxxx1053d)(21xxx01642164xx241現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第7頁(yè)，共32頁(yè) 解法解法2:2:若將若將 D D 看成是看成是 型區(qū)域型區(qū)域 D D , ,可表示為得可表示為得Yyxyy, 10Dxydyyxydxy10d10221dyxyyy102d)(21yyyy01432143yy24

6、1現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第8頁(yè)，共32頁(yè) 例例yyxxdsind1012 siny2 對(duì)對(duì)y的積分的積分而它對(duì)而它對(duì)x的積分的積分交換積分次序交換積分次序的方法是的方法是:改寫改寫D為為:oxy 分析分析所以將所以將二次積分二次積分先先將所給的積分域?qū)⑺o的積分域(1)(2)畫出積分域的草圖畫出積分域的草圖(3)計(jì)算二次積分計(jì)算二次積分不能用基本積分法算出不能用基本積分法算出,xy )1 , 1(可用基本積分法算出可用基本積分法算出.交換積分次序交換積分次序. .用聯(lián)立不等式表示用聯(lián)立不等式表示 D:, 10 x1 yx, 10 yyx 0二重積分的計(jì)算法二重積分的計(jì)算法現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第9頁(yè)，共32頁(yè) y

7、yxxdsind1012 yxyyd)(sin0102 yyydsin102 2102dsin21yy )1cos1(21 xyydsin02 10dyoxyxy )1 , 1(, 10: yDyx 0二重積分的計(jì)算法二重積分的計(jì)算法現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第10頁(yè)，共32頁(yè) 例例3.3.化化 為二次積分為二次積分, ,其中其中 為為 、 軸和軸和Ddyxf),(D32xy x1) 1()2(22yx2xyDx32xy1) 1() 2(22yx2xo解：所圍區(qū)域解：所圍區(qū)域 為為 型區(qū)域型區(qū)域, , DY所以所以:D, 10y22322yyxyDdyxf),(10d y22322),(yyydxyxf所圍

8、圖形所圍圖形現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第11頁(yè)，共32頁(yè) 例例4 4 交換下列積分順序交換下列積分順序22802222020d),(dd),(dxxyyxfxyyxfxI解：如圖解：如圖, , 積分域由兩部分組成積分域由兩部分組成: :,020:2211xyxD2280222:xyxD822 yx2D2221D221xy 2將將 視為視為Y Y型區(qū)域型區(qū)域, ,則則:D21DDD, 20 y282yxyDyxyxfIdd),(20dy282d),(yyxyxf現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第12頁(yè)，共32頁(yè) 例例axy2 22xaxy 22yaax 解解原式原式= xyxfd),(交換積分次序：交換積分次序： axxaxay

9、yxfx22202d),(d)0( a yday22xyxfd),( 22yaa 0aa222yaa yd0a xyxfd),( yda2ay22a2a二重積分的計(jì)算法二重積分的計(jì)算法xyOaa2aa2ayx22 現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第13頁(yè)，共32頁(yè) 交換積分次序的步驟交換積分次序的步驟 (1) 將已給的二次積分的積分限得出相應(yīng)的將已給的二次積分的積分限得出相應(yīng)的二重積分的積分區(qū)域二重積分的積分區(qū)域,(2) 按相反順序?qū)懗鱿鄳?yīng)的二次積分按相反順序?qū)懗鱿鄳?yīng)的二次積分.并畫出草圖并畫出草圖;二重積分的計(jì)算法二重積分的計(jì)算法現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第14頁(yè)，共32頁(yè) 1990 年研究生考題年研究生考題, 填空填空,

10、3分分)(dd2202 yexxy)1(214 exy xoy22解解yexxydd2202 xeyyydd0202 yyeyd202 )(d212202yey )1(214 e二重積分的計(jì)算法二重積分的計(jì)算法交換積分次序交換積分次序 200d2yxeyy現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第15頁(yè)，共32頁(yè) 例例5.5.求兩底半徑為求兩底半徑為R R的直交圓柱所圍成的立體體積的直交圓柱所圍成的立體體積解：設(shè)兩柱面方程分別為解：設(shè)兩柱面方程分別為 222222RzxRyx， 由對(duì)稱性由對(duì)稱性, , 所求立體體積為其在第所求立體體積為其在第 一卦限部分體積的一卦限部分體積的8 8倍第一倍第一卦卦限部限部 分分( (如圖

11、如圖) )的底面區(qū)域?yàn)椋旱牡酌鎱^(qū)域?yàn)椋?220 ,0:xRyRxD曲頂為：曲頂為： 22 xRzzaaaoyx所以所以dxdyxRVD228dyxRdxxRR22022083330222316)31( 8)(8RRRdxxRR現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第16頁(yè)，共32頁(yè) 二重積分的計(jì)算法二重積分的計(jì)算法2002 年研究生考題年研究生考題, 7分分計(jì)算二重積分計(jì)算二重積分,dd,max22 Dyxyxe其中其中.10 , 10),( yxyxDxyO 解解 112D1D設(shè)設(shè), 10),( 1 xyxDxy 0, 10),( 2 xyxD1 yx Dyxyxedd,max22 122dd,maxDyxyxe 2

12、22dd,maxDyxyxe 12ddDxyxe 22ddDyyxe xxyex010dd2 yyxey010dd2. 1 e xxyex010)dd2(2或或現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第17頁(yè)，共32頁(yè) 解解 121d)(xeexxee2183 xeyxeyIyyxyyxydddd121212141 計(jì)算積分計(jì)算積分xexyd 不能用初等函數(shù)表示不能用初等函數(shù)表示,先交換積分次序先交換積分次序.yexyd x2x xd I211二重積分的計(jì)算法二重積分的計(jì)算法112141xy 2xy 21Oxy現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第18頁(yè)，共32頁(yè) 簡(jiǎn)便簡(jiǎn)便為此只要我們找到極坐標(biāo)系下二重積分與直角為此只要我們找到極坐標(biāo)系下二重積

13、分與直角坐標(biāo)系下二重積分的關(guān)系坐標(biāo)系下二重積分的關(guān)系, , 就可以在極坐標(biāo)系下討論就可以在極坐標(biāo)系下討論二重積分二重積分 的計(jì)算。的計(jì)算。Ddyxf),( 若積分區(qū)域若積分區(qū)域 是與圓域有關(guān)的區(qū)域或者被積函數(shù)為是與圓域有關(guān)的區(qū)域或者被積函數(shù)為 D )(22、yxf )(、xyf)(xyf 等形式等形式, ,用極坐標(biāo)計(jì)算二重積分更用極坐標(biāo)計(jì)算二重積分更 首先找兩坐標(biāo)系下面積元素的關(guān)系。如圖首先找兩坐標(biāo)系下面積元素的關(guān)系。如圖, ,極坐標(biāo)極坐標(biāo)系下系下, , 設(shè)積分區(qū)域被網(wǎng)格（由一族同心圓設(shè)積分區(qū)域被網(wǎng)格（由一族同心圓( ( 常值常值) )與與一族過(guò)極點(diǎn)的射線一族過(guò)極點(diǎn)的射線( ( 常值常值) )

14、組成組成 ）分割成若干個(gè)小區(qū)）分割成若干個(gè)小區(qū)r二、在極坐標(biāo)系下計(jì)算二重積分二、在極坐標(biāo)系下計(jì)算二重積分現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第19頁(yè)，共32頁(yè) iir域域, , 任取一個(gè)任取一個(gè)（其中（其中 介于介于 ， 之間，之間， 介于介于 riirri， 之間之間)，則，則iiiiiiiirrr2221)(21iiiirrr)2(21iiiiirrrr2)(iiirrAoiirr iirrriiiD其中其中 為為 與與 的平均值。由此當(dāng)?shù)钠骄?。由此?dāng) 充分小時(shí)充分小時(shí)，極坐標(biāo)系下的面積元素，極坐標(biāo)系下的面積元素 .iririirriir,rdrdd現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第20頁(yè)，共32頁(yè) 其次其次, , 直角坐標(biāo)系與極

15、坐標(biāo)系有如下變換關(guān)系直角坐標(biāo)系與極坐標(biāo)系有如下變換關(guān)系sincosryrx最后最后, , 兩坐標(biāo)系下積分區(qū)域兩坐標(biāo)系下積分區(qū)域 形狀不變，因此有形狀不變，因此有D.)sin,cos(),(DDrdrdrrfdyxf以下我們討論極坐標(biāo)下的二重積分的計(jì)算以下我們討論極坐標(biāo)下的二重積分的計(jì)算DAo)(1r)(2rADo)(1r)(2rADo)(2r0)(1r現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第21頁(yè)，共32頁(yè) Do)(1r)(2r)(1ro)(2r)()(21d)sin,cos(rrrrf設(shè)設(shè),)()(:21rD則則Drrrrfdd)sin,cos(d特別特別, 對(duì)對(duì)20)(0:rDDrrrrfdd)sin,cos()(

16、0d)sin,cos(rrrrf20d)(roD現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第22頁(yè)，共32頁(yè) Ddxdyyxf),(,11 :2xyxD10 x例例6 6. .寫出寫出極坐標(biāo)系下的二次積分極坐標(biāo)系下的二次積分, ,其中其中 . .解：由極坐標(biāo)系下圓解：由極坐標(biāo)系下圓 的方程的方程122 yx1r1 yxcossin1r則則 可表示為：可表示為：D ,201cossin1r為為 ,直線直線 方程為方程為 .則則Ddxdyyxf),(.)sin,cos(201cossin1rdrrrfd xoy1D1122yx1 yx現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第23頁(yè)，共32頁(yè) 例例7.7.將將 化成二次積分，其中化成二次積分，其中 . .

17、 .D ),(dxdyyxfxyxD2 :22yxoD2解：解：D 與圓域有關(guān)與圓域有關(guān), , 考慮用極坐標(biāo)展開(kāi)考慮用極坐標(biāo)展開(kāi) D,22cos20 r在極坐標(biāo)系下在極坐標(biāo)系下 ：. 所以所以cos2022D.)sin,cos(),(rdrrrfddxdyyxfD特別地特別地, , 積分區(qū)域積分區(qū)域 , ,如圖如圖, ,則表為則表為)(0 ,20rDoA)(r于是于是Drdrdrrf)sin,cos()(020)sin,cos(rdrrrfd現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第24頁(yè)，共32頁(yè) 例例8.計(jì)算計(jì)算 ，其中，其中 是由圓心在原點(diǎn)，半徑是由圓心在原點(diǎn)，半徑dxdyeDyx22Da為為 的圓周所圍成的閉區(qū)域

18、的圓周所圍成的閉區(qū)域. .解：極坐標(biāo)系下解：極坐標(biāo)系下 ： ,故有故有 Dar 0 ,20dxdyeDyx22arrdred0202).1 (2aeoyx321D2D 此題若用直角坐標(biāo)來(lái)計(jì)算此題若用直角坐標(biāo)來(lái)計(jì)算, , 由于積分原函數(shù)不易由于積分原函數(shù)不易 表示而無(wú)法求出表示而無(wú)法求出, , 可見(jiàn)極坐標(biāo)在某些情況下確實(shí)能可見(jiàn)極坐標(biāo)在某些情況下確實(shí)能 化簡(jiǎn)運(yùn)算?；?jiǎn)運(yùn)算。例例9. .計(jì)算計(jì)算 .D:D , 3dxdyxyI122yx 解：如圖解：如圖,直線直線 把圓分成把圓分成 ，03 xy1D2D, 10 323 :1rD，10 3532 :2rD，現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第25頁(yè)，共32頁(yè) 則則2133

19、DDdxdyxydxdyxyI1023532102323 cos3sincos3sindrrddrrd.38cossin3cossin3313235332現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第26頁(yè)，共32頁(yè) 內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)(1) 二重積分化為累次積分的方法直角坐標(biāo)系情形直角坐標(biāo)系情形 : 若積分區(qū)域?yàn)?()(,),(21xyyxybxayxD則)()(21d),(dd),(xyxybaDyyxfxyxf 若積分區(qū)域?yàn)?()(,),(21yxxyxdycyxD則xy)(1yxx Ddc)(2yxx )()(21d),(dd),(yxyxdcDxyxfyyxf)(1xyy )(2xyy xybaD現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第27頁(yè)，共32頁(yè) )()(,),(21rrDDDrrfyxf)sin,cos(d),(則)()(21d)sin,cos(drrrrf(2) 一般換元公式),(),(vuyyvuxxDyx),(,),(Dvu0),(),(vuyxJ且則DD