分析數(shù)值積分與微分(上)研

1、W Y第章 7-1W Y第章 7-2W Y第章 7-3W Y第章 7-4baxxf d)(baaFbFdxxfI )()()(W Y第章 7-5等321,ln1,sin,sin)(2xxxexxxfxW Y第章 7-6)()()( fabdxxfIba)(xfy )(fW Y第章 7-7中矩形公式取梯形公式 2)()( ,2 )()(2)( bafabdxxfIbabfafabdxxfIbaba1)-(7 )()(0 nnkkkbaIxfAdxxfIW Y第章 7-8nkkkxMaxnbaxxfdxxfIknk00 )(lim)(0或nkkknkkkbaxfAxxfdxxfI00 )()()(

2、nkkkbannxfAdxxfIIRfR0 )()()(W Y第章 7-9W Y第章 7-10.,1.,),(2),(31d,)( .2)(2),(21d,)(.,) 11 (2d1,1)(, 22233 222222 一次梯形公式的代數(shù)精度為知故由定理不精確成立即公式對右端左端此時右端左端時當公式也精確成立右端左端時當此時公式精確成立右端左端時當對于梯形公式解xbaababxxxxfabbaababxxxxfabababxxfbababaW Y第章 7-112)-(7 1211110022110010nabxAxAxAabxAxAxAabAAAnnnnnnnnnnW Y第章 7-12 ) 3

3、7 ()() 0 ()()(101 hfAfAhfAdxxfIhh34,3)(32)(02011112311101hAhAAAAhhAAhAAAh)47()(3)0(34)(3)( hfhfhhfhdxxfbaW Y第章 7-13bahfhfhhfhdxxffR )(3)0(34)(3()()( 檢查（檢查（7-4）對）對 m = 3 是否成立，為此，令是否成立，為此，令 f(x)=x3 代入（代入（7-4），此時左邊），此時左邊 。 ,3)(333右邊hhhh),(3)(344hhhh 右邊左邊再檢查再檢查（7-4）對）對m=4是否成立，令是否成立，令f(x)=x4代入（代入（7-4），），

4、此時此時:因此近似式（因此近似式（7-4）的代數(shù)精度為）的代數(shù)精度為m=3.W Y第章 7-14)()()(gRfRgfR00000)()()() 1 ()(332210332210 xRaxRaxRaRaxaxaxaaR因此：W Y第章 7-15W Y第章 7-16nkkknxlxfxL0)()()( nkkbakbankkkbanbaxfxxlxxlxfxxLxxfI0 0 )(d)(d)()(d )(d )(5)-(7 ), 1 , 0( d)( nkxxlAbakknknkkbaIxfAxxfI0 )(d)(W Y第章 7-176)-(7 d )()!1()(d )()( 0) 1(

5、bankknbannnxxxnfxxLxfIIRW Y第章 7-18是插值型的。所以，求積公式故：所以：滿足：由于) 17(), 1 , 0( d)()()( 0)( 1)()()(d)( 0 0niAxxlAxlAikikxlxlxlAxxlibainkikikkiibankkikiW Y第章 7-19W Y第章 7-20)1 ()0(2) 1(21)(11fffdxxf次代數(shù)精度。所以此求積公式具有一右邊左邊時當右邊左邊時當右邊公式左邊時檢查當解：1) 1021 (2132d ,)(0) 1021(210d ,)(2) 121 (212d ,1)( 1 1 221 1 1 1 xxxxfx

6、xxxfxxfW Y第章 7-21 nnknkbabankjjjkjkknktjtknknabtjkjthAthaxnkxxxxxxxlA 0 0 nkj0jnkj0j 0), 1 , 0( d)()!( !) 1(d:), 1 , 0( dd)(則有引入變換W Y第章 7-22)(nkC7)-(7 ), 1 , 0( d)()!( !) 1( 0 nkj0j)(nktjtknnkCnknnk 于是得求積公式則,)()(nkkCabA8)-(7 )()(0)(nkknknxfCabIW Y第章 7-23989 5888 -928 10496 -4540 10496 -928 5888 9891

7、/283508751 3577 1323 2989 2989 1323 3577 7511/172807 41 216 27 272 27 216 411/8406 19 75 50 50 75 191/2885 7 32 12 32 71/904 1 3 3 11/83 1 4 11/62 1 11/21), 1 , 0( )(nkBACknkW Y第章 7-24 21 21) 1(! 1! 0111 0 )1(11 0 )1(0tdtCdttC9)-(7 )()(2)()(10) 1(1TbfafabxfCabIkkk2 0 1)2(22 0 1)2(12 0 2)2(021061)2(!

8、 1! 12) 1(64)2(! 1! 12) 1(61)2)(1(! 2! 02) 1(: )77(,2,2dtttCdtttCdtttCbxbaxaxn按公式相應的節(jié)點時當10)-(7 )(24)(62SbfbafafabI W Y第章 7-254 0 0) 4(44 0 1) 4(34 0 2) 4(24 0 3) 4(14 0 4) 4(0907) 3)(2)(1(! 0! 44) 1(9032) 4)(2)(1(! 1! 34) 1(9012) 4)(3)(1(! 2! 24) 1(9032) 4)(3)(2(! 3! 14) 1(907) 4)(3)(2)(1(! 4! 04) 1

9、(dtttttCdtttttCdtttttCdtttttCdtttttC，11)-(7 )(7)(32)(12)(32)(7 9043210 xfxfxfxfxfabC4 ),4 , 3 , 2 , 1 , 0( abhkkhaxk其中W Y第章 7-2610)(nknkC)()(nknnkCC)( 0 )( 0 0 )( 0 )()() 11)() 1(!)!() 1()() 1)(1() 1() 1()!( !) 1()() 1)(1() 1)()!( !) 1() 1()() 1)(1() 1()!( !) 1(nknnknnnnknnknnknknnkCdunuknuknuuukknn

10、dunukunkunuuknnkduukunkunununknnkCtnudtntktktttknnkC，則：令由：W Y第章 7-27W Y第章 7-28 nnnnnnnnnnnjnnnnbajnbanjjnnnnnnnnndxntttthadxnttttntnthadxjnthaPRthnhaxdxxxadxxxnPPRnaxaxaxaxP 222222212 2212 202212122 2n0j12 20) 12(121220122121212)()2)(1()() 1() 1() 1)()()(:)()()!12()()() 67(,12,)(:代入上式得令由式次多項式為設證明0)(

11、122nnPR為奇為偶公式的代數(shù)精度實際上是說定理nnnnmCN , 13W Y第章 7-29)()2(4)(6bfbafafabS4)(24)(61)2(4(6)()2(4)(6 4)(4432244333 443ababbabaaabbbaaabbfbafafabSabdxxdxxfIbaba而W Y第章 7-302449787. 011179 . 011328 . 011127 . 011326 . 0117906 . 0122222CI24497866. 0d1116 . 01 6 . 0 2arctgxxxI1 6 . 0 2d11xxI2449546. 01118 . 01146

12、. 01166 . 01222SI2470588. 01116 . 01126 . 0122TIW Y第章 7-31xbxaxfTIRbaTd)(!2)( 12)-(7 ,)(12)(d )(2)(3 baabfxbxaxfRbaT W Y第章 7-32bababHbaHaHabdxxHdxxf )()2()(6)()(xbxbaxaxfSIRbaSd)()2)(! 4)(2 )4()2()2(),()(),2()2(),()(bafbaHbfbHbafbaHafaH),(),()2)(! 4)()()()(2)4(babxbaxaxfxHxfxRW Y第章 7-3313)-(7 ),( )(

13、)2(180d )()2)(! 4)()4( 2)4(bafababxbxbaxaxfRbaS)147 (, ),(4945)( 2) 6(6 bafababCIRC由廣義積分中值定理有非正內(nèi)不變號在由于),(,)()2)(2babxbaxaxW Y第章 7-34nknkbaCabx0)( )(1d10)(nknkCknk0maxabECCCCabCabxfCabxfCabEnknknknknknknknkknknkkknknkknk:, 1,)()()()(0)(0)()(0)(0)(0)(0)(從而有全為正數(shù)時當W Y第章 7-35方法可能不穩(wěn)定大很多初始數(shù)據(jù)的誤差可能擴因此可能很大則注意

14、有正有負時當,., 1,0)(0)()(nknknknknkCCC0limnnRW Y第章 7-36W Y第章 7-37101 10 1)()(2d)(d)(,) 1, 1 , 0(,)., 1 , 0(,1nkkkbankxxkkkxfxfhxxfxxfnkxxnkkhaxnabhnbakk得上用梯形公式并求和在每個小區(qū)間記等分將積分區(qū)間W Y第章 7-3815)-(7 )(2)()(2)d( 11 nnkkbaTxfbfafhxxf整理得)(xfy W Y第章 7-39 bankknTkkkxxkkkkkfhTxxffRxxfhxfxfhxxfxxbaCxfkk 1031 311)2()(

15、12)d()(),( )(12)()(2d)(,)(1因此：梯形公式的截斷誤差為上在小區(qū)間如果 10)(1)(nkkfnf16)-(7 ),( )(12)(12d)()(23 bafhabf nhTxxffRnbaT W Y第章 7-40knkknknkknabnhh00110max)(max22W Y第章 7-41 )()(2)(4)(6)()(4)(6d)(d)()()(4)(6d)(:,), 1 , 0(,11102/11012/1 10 12/12/1111nkknkknkkkkbankxxxxkkkkkkkbfxfxfafhxfxfxfhxxfxxfxfxfxfhxxfSimpson

16、xxxnabhnkkhaxnbakkkk求和得：則有公式求積分用的中點為小區(qū)間分點為等分分成將區(qū)間17)-(7 )(4)(2)()(6d)( 11102/1banknknkkSxfxfbfafhxxfW Y第章 7-42mkkkkkbanknkkkSxxfababxfxfbfafhxxffR11)4(4 10102/1, )()2(180)(4)(2)()(6d)()(18)-(7 ),( )()2(180)() 4(4bafhabfRSW Y第章 7-43nabhnkkhaxk), 1 , 0(,1kkxx1434241,kkkkkxxxxx19)-(7 )(7)(14)(32)(12)(3

17、2)(79010104/31010424/1nknkkknknkkknbfxfxfxfxfafhC20)-(7 ),(),(4945)( 2)() 6(6bafhabCIfRncW Y第章 7-44的近似值計算積分1 0 dsinxxxI945691. 0)8(2) 1 ()0(16171kkfffIW Y第章 7-45946084. 0 )812(4)4(2) 1 () 0(2413141kkkfkfffIW Y第章 7-461 0 dexIx1de3 .01 0 xx422102112)(121 hfhRT8.40106142nn即：44)4(41021180)(180hfhRS 1 ,0

18、 1e)()(xxfxkW Y第章 7-47W Y第章 7-48881125, 0,1342. 01631810213112)()01 (1231)(,211d)2cos(max)(d)2cos(d)cos()(,dcossin)(3221 0 1 0 10)(1 0 1 0 )(1 0 abhhhfhRxfkkdtttkntxtxftktxttxtdxdxftxtxxxfTkkxkkkkk 因此可取時當故：所以由于1 0 sindxxxIW Y第章 7-49W Y第章 7-50abhbfafabT),()(211、)2(22)()2(2)(4)2)()2(21(2)2(212)(22,2,2

19、,212bafabTbfbafafabbfbafabbafafabTabhbbabaaba分半為、將 ,)d( baxxfI對W Y第章 7-513122312422)(2)()(2)(21)()(21(44 , 3 , 2 , 1 , 0 ,4,4)(3kkkkhafbfafhbfkhafafabTkkabakhaxabh再分半、加密一次區(qū)間)3()(21 )4)( 3()4(421)4)( 3()4(4)4)( 2(2)(2)(4222222241212hafhafhTTabafabafabTabafabafababafbfafabTT，亦即即, 2 , 1 , 0 )(2)()(2121

20、2mkhafbfafhTmmkmmW Y第章 7-521,kkxx)(21121kkkxxx1,kkxx)()(2)(411kkkxfxfxfhnabhW Y第章 7-5321)-(7 ) 1(2(21112122mmmkmmhkafhTT )( 2 )()(41 -n0211012knkkknxfhxfxfhTW Y第章 7-54)()(4)(12)(44)(12)()(12)(12)d(),()(12)d(),()d(121212211212221212 2222 2 211111mmmmmmmhhmmmmmmbammbabaffhabfhfhabfhfhabTTfhabTxxfTfRTf

21、habTxxfTfRxxfITmmmmmmmmmm 將此兩式相減作近似：以誤差為：近似積分以。上當前步長加節(jié)點的函數(shù)值之和乘加上新增等于一次區(qū)間時，小一半?yún)^(qū)間或稱為加密即相當于縮時縮小一半變?yōu)楫敳介L由mmmmmhTTabhabhmm2,2212211W Y第章 7-5511222222231),(),(3)(123 mmmmmmTTTfRTfRfhabTTmm)()(1mmff )(180)d(),()(180d)(),(:,)(151d)(),(3,1)4(412 22)4(42 22 222222211111mmbambabafhabSxxfSfRISfhabSxxfSfRISSSSxxf

22、SfRITTTmmmmmmmmmmmmm：近似積分以誤差為近似積分以（下面推導）同樣關于時可結(jié)束計算而以則當若預先給定W Y第章 7-56)227(151),(),(15)(15180)()(112222)4(422)4(1)4(mmmmmmSSSfRSfRfhabSSffmmmm即：可得由)()(16)(180)(1616)(180)()(18021)4(1)4(41)4(41)4(421411)4()4(422111mmmmmmmhhmmmmmmffhabfhfhabhffhabSShhmmmm將上兩式相減注意到W Y第章 7-57:,),217(15,15,)227(22222211公式

23、但可由復化也較難但很復雜梯形的遞推公式公式也可導出類似復化對復化的停機標準。作為并以?？捎脮r則當對預先給定由式SimpsonSimpsonSSSISSSmmmmmmISmSSimpsonhkafkhafbfafhSabhbadxxfImmmmmkmkmmmmmba22211212 ,) ) 12(4)2(2)()(32,2,)(11時，當序列可由此計算等分將區(qū)間W Y第章 7-58121111212112112121121212112121111111111)()()(2231 ) )2(2) 12(2)()(322)(2)()2(32 ) )2(4) 12(4)(2)(2(3) )2(2)

24、12(4)()(3 ) 12(4)2(2)()(3mmmmmmmmmmmkmmkmkmmkmmkmkmmkmkmmkmkmmbfafkhafhkhafhkafbfafhbfafkhafhkhafhkafbfafhkhafhkafbfafhhkafkhafbfafhS12223134mmmTTS即W Y第章 7-59xxxfdxxxIsin)(,sin10211069465909. 0)(81219445135. 04121)(41)2(41(21)(41)(21(41 )(21)(21)(21)(21419397933. 0212121)(2121 )2(41)(21)(21(21920735

25、5. 0)8414710. 01 (21)(21)1 ()0(218/78/58/38/ 14824/34/ 124/34/ 12/ 1104/34/ 14/24/2104/44/34/34/24/24/ 14/ 10422/ 112/ 1102/ 11012/ 12/ 1021023210ffffTTTffTfffffffffffffffffffTTfTffffffffffTffffTW Y第章 7-609460827. 0dsin1021311021310210011776. 031)9465909. 0(3131,9460827. 09460815. 01 0 6226226222212

26、826426767223376xxxITTTTTTTITTTTT即而再繼續(xù)分區(qū)間由于若以W Y第章 7-61813134)(31,9460827. 0,79460831. 0dsin9460833. 031343134)(31:)(3184822212821 0 4822222222233723233323SSTTTTTTTxxxTTTTTTTTTT而實際上還準確這個結(jié)果比位有效數(shù)字的值相比較這是有與上這個差加到或者將)2()(31)2(34)(61)2(64)(61)()()(21(3)(21)2()(21(23431343134:212212hShThTSbfbafafabbfafabbf

27、bafafabTTSTT即下面再次推導驗證W Y第章 7-62)(31:,)d(122 2mmmTTxxfITba結(jié)束控制的誤差估計為近似積分若以mmmmmmSTTTTT222222113134)(3122mmSSimpsonT序列構(gòu)造列亦即：可由復化梯形序W Y第章 7-63mmmCST222: 構(gòu)造構(gòu)造我們可由綜上可見mmmmmmmmmmCSSSSSSSSIS22222222221111511516)(151:),(151:,并且可證得到新的近似序列上補充到也可將此誤差補此誤差控制結(jié)束的誤差為近似積分若以mC2由于由于為復化為復化Cotes序列，序列，即由即由Simpson序列可構(gòu)造出收斂

28、更快的序列可構(gòu)造出收斂更快的Cotes序列序列 。mC2W Y第章 7-64111111222222222222222221411441511516)(1511411443134)(31mmmmmmmmmmmmmmSSSSSSSTTTTTTTW Y第章 7-65)(945)(2),(Cotes(1411446316364)(631)6(622323322222111mmfhabCfRCCCCCCCmmmmmmmm公式的誤差估計式的復化繼續(xù)下去。于系數(shù)的規(guī)律性，還可由積分序列并且上述過程即是下面將要介紹的可繼續(xù)上述構(gòu)造過程：記按照上述系數(shù)規(guī)律性因此記為RombergRRCSTRCCmmmmmmm

29、m222222232331141144,W Y第章 7-66138988493. 3 03. 030073. 0138988493. 3)87()85()83()81(812113117607. 3)4/3()41(41211 . 3)21(2121 :,121,21, 03)1 ()0(21 1 , 014)(10 d14232321022222212221221 0 2ITTffffTTffTTfTTTffTTxxfxxI停止若用復化梯形公式W Y第章 7-670005. 01021000895. 0140704293. 3)1615()1613()1611()169()165()163(

30、)161(1612100000015. 0,0000005. 01021,731415926. 331341415926. 3444d14 3222262222222101 0 243433323323 TfffffffTTSSimpsonSTTTSTTarctgxxxI而要達到此精度：，要達到此精度并且若式（序列）準確得多。公式（序列）比梯形公對同一步長位有效數(shù)字具有位有效數(shù)字，具有可構(gòu)造出：與若利用注意到W Y第章 7-68 )0()2(! 31)0()2(! 21)0(2)0()2()0(! 3)0(2)0()0()(3232fhfhfhfhffhfhf hfhfW Y第章 7-69).

31、0()()()2(2)(,),()0()()2(2, 0)0()0(8)0(4)0()()2(2)(2)2(,),(,),0(),2(),(, 0)0(1232fhfhfhfhfhOfhfhfffhfhfhfhfhfhfhOfhfhff更快地收斂于有可能比原序列新的序列即通過簡單計算其誤差階為逼近那么如果減去乘以將我們可以利用上面兩式誤差階均為部分可看作誤差而丟掉剩余逼近均可以那么在上面式子中如果 W Y第章 7-703)()2(6)4(83)()2(4)(0)0()0(48)0(3)()2(43)0(16)0(3)()2(4:4)2()0(64)0(16)0()2()0(8)0(4)0()(

32、1123113111321321hfhfhfhfhfhfffhfhfhffhfhfhfhffhfhfhffhfhfhf 記如果兩邊除減去前一式可得乘可見以W Y第章 7-71.), 2 , 1(,023)-(7 )(2121121無關與其中hiappphahahahIIikpkppk24)-(7 )()()()(:,22112121211kkkppkpppppkpphahahhahahahIIhh可得代替上式中的若用W Y第章 7-72.,)()(,1)()(.), 3 , 2)(1/()(1)()(1),1()()()( )()(:122112321131211211113211113132

33、221重復上述過程收斂快比）其誤差階至少為顯然以令無關仍與其中除上式兩端得以只要取即以此式減上式乘以hIhIhOIIhIhIIhiabhbhbhbhIhIIhahahahIIhIIppppppiipkppppppppkppppppppikkk.,),()(), 3 , 2(1)()()( 1111收斂愈快增大當誤差階為mhOIhImhIhIhImmmpmpmpmmW Y第章 7-73), 2 , 1 , 0( )2(2,2,)(1)(02 kabITTabhbadxxfIkkkkkbak求得的近似值為記此時用復化梯形公式等分將區(qū)間對于：kknhahahaTfR24221),(W Y第章 7-7

34、4)34( ,),)2()2(),(,12222)(1)(0)(122)(04)(1)(1mmmkTTSSTTTabOITTabOTfRITkkkkkkkkk即此前面已證收斂快比顯然的誤差為即而誤差為以), 2 , 1 , 0( 34 , )2( :34)21(1)2()21()2()2(:Richardson,21)2()2()2(),()(0)1(0)(1)(12)(0)1(021211224221)(0kTTTTabITTabIabIabIabaabaabaTfRkkkkkkkkkkikikkk則：并記外推公式結(jié)果有利取W Y第章 7-75即記)(112211)2(14)2()2(4)21(1)2()21()2()2(kmkmmkmkmmmkmmkmkmTabIabIabIabIabIabI)(kmT)(),(22)(mkkmhOTfRkkkkkkkRCCSSTTTTTTkkkk2222222)(3)(2)(1)(0RombergCotes,Simpson),(,Romberg序列構(gòu)造而由序列構(gòu)造再由序列加速構(gòu)造然后利用利用遞推式實際計算時形序列而這實際上是先計算梯構(gòu)造求積公式實際上是由25)-(7 ), 2 , 1 , 0 , , 2 , 1(144)(1) 1(1)(kmTTTmkmkmmkmW Y第